A new upper bound for finite additive bases
设n（2，k）表示最大整数n，对于该最大整数n存在k个非负整数的集合A，使得和集2A包含{0，1，2，.，n-1}。加性数论中的一个经典问题是求n（2，k）的上界。本文证明了limsup_{k\to\infty} n（2，k）/k^2 \leq 0.4789.
2005-03-13 math.CO math.NT
Representation of Small Integers by Binary Forms
建立了Thue不等式$|F(x , y)| \leq m$的整数解个数的上界，其中$F$是二进制形式的次数$n \geq 3$和非零判别式$D$，$m$是一个整数.当$m$小于$|D|^{\frac{1}{4(n-1)}}$时，我们的上界与$m$无关。我们还考虑了Thue方程$|F(x , y)| = m$，并给出了其积分解个数的一些上界.在方程的情况下，我们的上界将与整数$m$无关，当$ m < |D|^{\frac{1}{2(n-1)}}$。
2015-08-14 math.NT
Alternating state complexity of the set of primes and squarefree integers
该研究证明素数集具有指数级交替复杂度，证实了Fijalkow的猜想，同时指出无平方因子整数集的交替复杂度基本达到理论最大值。
2023-07-21 math.LO math.NT
On the complexity of algebraic number I. Expansions in integer bases
令$b \ge 2$为整数。证明了每个无理代数数的$b$ -adic展开式不可能具有低复杂度.此外，我们建立了无理态射数是超越的，对于一个广泛的类态射。特别地，无理自动数是超越的。我们的主要工具是一个新的，组合超越标准。
2005-11-28 math.NT
Upper Bounds on Integer Complexity
将$||n||$定义为$n$的\emph{complexity}，这是使用加法和乘法的任意组合来写入$n$所需的最小$1$数。John Selfridge证明了所有$n$的$||n|| \geq 3\log_3 n$。Richard Guy通过将$n$写成以2为底，注意到了对于所有$n>1$，$||n|| \leq 3\log_2 n$的平凡上限。Juan Arias de Reyna和Jan Van de Lune给出了几乎所有$n$的上界。本文给出了所有$n$的第一个非平凡上界.特别地，对于所有的$n>1$，我们有$||n|| \leq A \log n$，其中$A = \frac{41}{\log 55296}$。
2022-11-06 math.NT
The computational complexity of the local postage stamp problem
局部邮票问题（LPSP）是一个被广泛研究的问题：给定一个正整数k，一组正整数1 = a1 < a2 <. < ak and an integer h >= 1，不能表示为线性组合x1 a1 +.的最小正整数是多少？+ xk ak其中x1 +. + xk <= h且每个xi是非负整数？本文证明了LPSP在图灵归约下是NP-难的，但当k固定时可以在多项式时间内求解。
2001-12-22 cs.CC math.CO math.NT
Differences of squares of upper-triangular $2\times 2$ integer matrices
University of Zagreb（萨格勒布大学）
研究上三角整数矩阵能表示为两个上三角整数矩阵平方差的条件，给出基于数的平方差表示和额外整除条件的完整判据，并分类可表示矩阵的同余条件。
2026-05-08 math.NT
Value sets of non-permutation polynomials over the residue class rings of integers
本文研究整数剩余类环上非置换多项式的值集大小，给出素数幂情形下的上界并证明其可达性，进而推广到任意正整数模数。
2023-10-31 math.CO math.NT
On the expansion of some exponential periods in an integer base
我们推导出了无理性指数为2的所有实数的基$b$展开（$b\geq 2$）的子字复杂度的下界。这提供了一个定理由于Ferenczi和Mauduit的推广。作为结果，我们得到的第一个下界的子字复杂度的数$e$和其他一些超越指数周期。
2012-05-04 math.CO math.NT
Long regularly-spaced and convex sequences in dense sets of integers
设A是在有限区间内稠密的整数集.我们建立了A和A-A的最长正则凸子集的上界和下界。
2020-09-01 math.CO math.NT
An almost sure upper bound for random multiplicative functions on integers with a large prime factor
设$f$是Rademacher或Steinhaus随机乘法函数。让$\varepsilon>0$变小。我们证明，作为$x\rightarrow +\infty$，我们几乎肯定有$$\bigg|\sum_{\substack{n\leq x\\ P(n)>\sqrt{x}}}f(n)\bigg|\leq\sqrt{x}(\log\log x)^{1/4+\varepsilon},$$，其中$P(n)$代表$n$的最大素因子。这给出了$f$最大波动的几乎必然大小的指示。
2021-05-20 math.NT
On the representation of integers by quadratic forms
设Q为整系数非奇异二次型。当Q是不定的时，我们给出了方程Q=0的最小非平凡积分解的新的上界。当Q是正定的，我们提供了改进的上界的最小正整数k，使方程Q=k是不溶于整数，尽管是可溶模每个素数的权力。
2006-12-12 math.NT
Improved Algorithms for Integer Complexity
本文针对正整数n的整数复杂度f(n)的计算问题，提出了两种更快的算法：一是计算所有n≤N复杂度的近最优O(N polylog N)时间算法，二是计算单个n复杂度的首个亚线性时间O(n^0.6154)算法。
2023-09-13 cs.DS math.NT
On the number of integer polynomials with multiplicatively dependent roots
本文给出了具有不同非零根乘相依的定次有界高整数多项式的计数结果。这些包括尖锐的下界，上界和渐近公式的各种情况下，虽然在一般情况下，有一个对数之间的差距下限和上界。
2018-02-05 math.NT
Refined upper bounds for the linear Diophantine problem of Frobenius
我们研究Frobenius问题：给定互素正整数a_1，.，a_d，找到t的最大值（Frobenius数g（a_1，...，a_d）），使得m_1a_1 +. m_d a_d = t在非负整数m_1，.，m_d。我们介绍了一种方法来计算g（a_1，a_2，a_3）的上界，它的增长速度似乎比以前已知的界慢得多.我们的计算是基于一个公式的限制分拆函数，其中涉及Dedekind-Rademacher总和，和这些总和的互易定律。
2005-01-02 math.CO math.NT
Four Integer Factorization Algorithms
本文详细讨论了四种整数分解算法的理论问题。重点研究了这些算法在难以分解的平衡整数子集N = pq，p < q <2 p上的性能。这些算法的运行时间复杂度从确定性指数时间复杂度O（N^（1/2））到启发式和无条件对数时间复杂度O（（log N）^c），c > 0常数不等。
2010-08-31 math.NT
A computational upper bound on Jacobsthal's function
函数h（k）表示最小的数m，使得每个m个连续整数的序列都包含一个与前k个素数互质的整数。给出了计算h（k）的强上界的一种新的计算方法。
2012-09-14 math.NT
Geometric-progression-free sets over quadratic number fields
一个最近感兴趣的问题一直是研究如何大的子集的自然数可以同时避免3项等比数列。在此基础上，我们考虑了二次数域上的类似问题。我们首先构造一个虚二次数域的代数整数的高密度子集，避免3项等比数列。当唯一因子分解失败或在实二次数域上时，我们转而研究整数环的理想子集。这里我们的方法是构造集合“greetings”，这是Rankin所考虑的贪婪有理整数集合的推广。然后，我们描述这些集的密度值的戴德金ζ函数。接下来，我们考虑具有大上密度的等比数列自由集。我们推广了Riddell的一个论点，得到了无几何级数子集的上密度的上界，并构造了避免等比数列的具有高上密度的集合，得到了所有这样的子集的上密度的上确界的下界.这两个论点都严格依赖于整数环中具有小范数的元素。
2015-11-14 math.CO math.NT
Infinitely Often Dense Bases of Integers with a Prescribed Representation Function
Nathanson用一个指定的表示函数为整数构造了渐近基，然后问它们的密度有多大。我们可以很容易地获得一个上界使用一个简单的参数。在本文中，我们将看到，这确实是我们可以得到的最好的界限，渐近基的整数与任意表示函数规定。
2007-04-26 math.CO math.NT
The Density and Quantitative Upper Bound of Integers Not Expressible as the Sum of a Prime and a Zumkeller Number
Independent Mathematics Researcher（独立数学研究员）
本文研究不能表示为素数与Zumkeller数之和的整数构成的例外集，建立其计数函数的定量上界，进而证明该例外集的自然密度为0。
2026-10-21 math.NT
Cardinalities of Jordan Diophantine sets of upper triangular integer matrices
University of Zagreb（萨格勒布大学）
该研究确定了上三角整数矩阵环中Jordan D(N)-集存在无限集的N的条件，明确了有限集的最大基数，还给出了两类特殊无限集存在的充要条件。
2026-10-09 math.NT
$D(N)$-quadruples in upper-triangular $2\times2$ integer matrices
University of Zagreb Faculty of Science（萨格勒布大学理学院）
该研究在非交换环$M_2(\boldsymbol Z)$中引入$D(N)$-$m$元组的类似物，考虑标准矩阵乘积与若尔当乘积两种形式，聚焦上三角整数矩阵$UT_2(\boldsymbol Z)$，探究其中若尔当$D(N)$四元组的存在性。
2026-09-01 math.NT
Integer complexity: The integer defect
将$\|n\|$定义为$n$的复杂度，即使用加法和乘法的任意组合写入$n$所需的最小1个数。John Selfridge证明了所有$n$的$\|n\|\ge 3\log_3 n$，导致作者和Zelinsky将$n$的缺陷$δ(n)$定义为差异$\|n\|-3\log_3 n$。同时，在加法链的研究中，通常考虑$s(n)$，$n$的小步骤的数目，定义为$\ell(n)-\lfloor\log_2 n\rfloor$，整数量。因此，这里我们类似地定义$D(n)$，$n$的整数缺陷，类似于$s(n)$的$δ(n)$的整数版本。请注意，$D(n)$与$\lceil δ(n) \rceil$不同。我们证明了$D(n)$在[3]中考虑的缺陷良序方面具有额外的意义，因为$D(n)$表明当限制到$n$且$\|n\|$位于指定的同余类模$3$中时，量$δ(n)$位于$ω$的哪些幂之间。我们还用$D(n)\le 1$确定了所有数$n$，并利用这一结果推广了Rawsthorne [18]的一个结果.
2018-08-03 math.NT
Upper and lower bounds on $B_k^+$-sets
设$G$是一个阿贝尔群。如果无论何时$a_1 + \dots + a_k = b_1 + \dots + b_k$与$a_i, b_j \in A$都存在$i$和$j$使得$a_i = b_j$，则集合$A \subset G$是\emph{$B_k^+$-set}。如果$A$是一个$B_k$ -集，那么它也是一个$B_k^+$ -集，但反过来一般不成立。确定区间$\{1, 2, \dots, N \} \subset \integers$或循环群$\integers_N$中$B_k$ -集的最大尺寸是一个研究得很好的问题。本文研究了$B_k^+$ -集的相应问题.我们证明了区间$\{1, 2, \dots, N \}$中$B_k^+$ -集的最大尺寸的非平凡上界。对于奇数$k \geq 3$，我们构造了$B_k^+$ -集，它比Bose和Chowla构造的$B_k$ -集有更多的元素。证明了$B_3^+$ -集$A \subset \integers_N$至多有$(1 + o(1))(8N)^{1/3}$元素.最后，我们得到了新的上界的最大尺寸的$B_k^*$ -集$A \subset \{1,2, \dots, N \}$，一个问题，首先由Ruzsa研究。
2013-06-20 math.CO math.NT
On Small Sets of Integers
$\bf H$上的上准密度（整数或非负整数）是在$\mathbf H$的整个幂集上定义的实值次加性函数$μ^\ast$，使得对于所有$X \subseteq \bf H$、$k \in {\bf N}^+$和$h \in \bf N$的$μ^\ast(X) \le μ^\ast({\bf H}) = 1$和$μ^\ast(k \cdot X + h) = \frac{1}{k}\, μ^\ast(X)$，其中$k \cdot X := \{kx: x \in X\}$ ;并且$\bf H$上的上密度是关于包含不减的$\bf H$上的上准密度。我们说一个集合$X \subseteq \bf H$是小的，如果对于$\bf H$上的每个上拟密度$μ^\ast$，有$μ^\ast(X) = 0$。上密度的主要例子有上解析密度、上巴拿赫密度、上巴克密度和上波利亚密度，以及上$α$ -密度的不可数族，其中$α$是实参数$\ge -1$（最值得注意的是，$α= -1$对应于上对数密度，$α= 0$对应于上渐近密度）。事实证明，$\bf H$的子集是小的，当且仅当它属于$\bf Z$上Buck密度的零集。这使我们能够表明，许多有趣的集是小的，包括整数小于一个固定数量的素因子，计数与多重性;的数字表示的二进制二次形式与整数系数的判别式是不是一个完美的平方;和图像的$\bf Z$通过一个非线性整数多项…
2020-10-29 math.CA math.FA math.NT
Integer Complexity: Experimental and Analytical Results
我们考虑用算术表达式表示自然数，使用一，加法，乘法和括号。n的（整数）复杂度-表示为||n||定义为表示n的最短表达式中1的个数。我们很快就到了这里，这些问题很容易表述，但（似乎）极难解决。在本文中，我们代表了我们通过实验数学探索该领域的尝试。在计算了||n|| 10^12我们给出了我们的观察结果。其中之一（如果为真）意味着有无限多个苏菲·热尔曼素数，甚至有无限多个长度为4的坎宁安链（至少）。我们还证明了一些关于整数复杂性的分析结果。
2012-03-29 math.NT
Upper bounds on the solutions to $n = p+m^2$
Hardy和Littlewood证明了每个不是平方的大整数$n$都是素数和平方的和。他们相信$n = p+m^2$的这种表示的个数$\mathcal{R}(n)$由\mathcal{R}（n）\sim \frac{\sqrt{n}}{\log n} \prod_{p=3}^{\infty}（1- \frac{1}{p-1}（\frac{n}{p}））渐近给出，其中$p$是素数，$m$是整数，$(\frac{n}{p})$表示勒让德符号。不幸的是，正如我们稍后将指出的，这个猜想很难证明，而且非平方的\emph{all}整数不能表示为素数和平方的和。相反，在本文中，我们证明了两个上界的$\mathcal{R}(n)$ $n \le N$。第一个上限适用于\emph{all} $n \le N$。第二个上界取决于西格尔零点的可能存在性，并假设其存在，并适用于所有$N/2 < n \le N$，但最多$\ll N^{1-δ_1}$的这些整数，其中$N$是一个足够大的正整数和$0< δ_1 \le 0.000025$。
2012-04-07 math.NT
Which numbers are not the sum plus the product of three positive integers?
我们研究了$n$的表示数$R_3(n)$作为三个正整数的和加积。平均而言，$R_3(n)$是$\frac{1}{2}\log^2 n$。给出了$R_3(n)$的上界和$n \leq N$个数的上界，使得$R_3(n) = 0$ .我们猜想，$R_3(n)= 0$无限经常。
2022-01-31 math.NT
Sumsets contained in sets of upper Banach density 1
每一个上Banach密度为1的正整数集合$A$都包含一个两两不相交子集$(B_i)_{i=1}^{\infty}$的无穷序列，使得$B_i$对所有$i \in \mathbf{N}$都有上Banach密度1，对每一个正整数的非空有限集$I$都有$\sum_{i\in I} B_i \subseteq A$.
2017-08-18 math.NT
Estimating of the number of integer (natural) solutions of inhomogeneous algebraic Diophantine diagonal equations with integer coefficients
利用Hardy和Littlewood的圆方法，研究了无自由元的非齐次代数丢番图对角型方程的整数（自然）解个数的上界.本文给出了显式变元非齐次代数丢番图对角方程自然解个数的上界。他在论文中开发了一种方法，该方法允许您对具有整数系数的代数丢番图方程的自然（整数）解的数量进行低估计。作者用这种方法得到了几类任意变量的非齐次代数丢番图对角方程（包括图厄方程）的整数（自然）解个数的下估计.
2016-08-12 math.NT
Integer factorization as subset-sum problem
SBA Research（SBA研究所）
本文将2018年的筛法推广，实现整数分解到多选择子集和问题特定实例的多项式时间归约，改进了针对差值小的除数构成整数的专用分解算法，降低了Fermat分解算法的运行时复杂度，提出了确定性与启发式两种过程。
2026-11-10 math.NT
Digit Polynomials and their application to integer factorization
本文提出了数字多项式的概念，并由此导出了一个具有运行时复杂度为$\mathcal{O}(N^{1/4+ε})$的确定性无条件整数分解算法。Strassen的著名的因式分解方法是我们的方法的一个特例。我们还将考虑改进复杂性界限的可能性。
2015-12-20 math.NT
Estimating of the number of natural solutions of homogeneous algebraic Diophantine diagonal equations with integer coefficients
与Hardy和Littlewood（CM）的圆方法不同，本文提出了一种方法，它可以对整系数代数丢番图方程的自然（整数）解的个数进行较低的估计。利用该方法得到了任意变量数的整系数对角型齐次代数丢番图方程自然解个数的下估计.利用CM方法得到了一类齐次丢番图方程的自然解个数的上界，其中$k \geq \log_2 s$为方程的次数，$s$为变量个数.还得到了整数系数的齐次代数丢番图方程的自然解个数的上界。研究了整系数对角型齐次丢番图方程自然解个数的上下估计之间的关系。
2016-04-27 math.NT
Integer Complexity and Well-Ordering
将$\|n\|$定义为$n$的复杂度，即使用加法和乘法的任意组合写入$n$所需的最小1个数。约翰·塞尔弗里奇证明了$\|n\| \ge 3\log_3 n$适用于所有的$n$。将$n$（表示为$δ(n)$）的缺陷定义为$\|n\| - 3\log_3 n$。在本文中，我们考虑的集合$\mathscr{D} := \{δ(n): n \ge 1 \}$的所有缺陷。我们证明了作为实数的子集，集合$\mathscr{D}$是良序的，其序类型为$ω^ω$。更具体地，对于整数$k\ge 1$，$\mathscr{D}\cap[0,k)$具有订单类型$ω^k$。我们还考虑了其他一些与$\mathscr{D}$相关的集合，并证明了这些集合也是良序的，并且具有序类型$ω^ω$。
2015-08-26 math.NT
A Upper Bound for the Number of Solutions of Ternary Purely Exponential Diophantine Equations
设$a,b,c$是与$\min\{a,b,c\}>1$互质的固定正整数.本文将Gel'fond-Baker方法与初等方法相结合，证明了若方程$\max\{a,b,c\}>5\times 10^{27}$成立，则方程$a^x+b^y=c^z$至多有三个正整数解$(x,y,z)$ .
2017-02-11 math.NT
A hypothetical upper bound on the heights of the solutions of a Diophantine equation with a finite number of solutions
设f（1）=1，对每个正整数n，f（n+1）=2^{2^{f（n）}}.我们猜想如果系统S \subseteq {x_i \cdot x_j=x_k：i，j，k \in {1，.，n}} \cup {x_i+1=x_k：i，k \in {1，.，n}}在非负整数x_1，.，x_n，则每个这样的解（x_1，...，x_n）满足x_1，...，x_n \leq f（2n）.我们证明：（1）猜想意味着存在一个算法，它以一个丢番图方程作为输入，返回一个整数，并且这个整数大于整数的高度（非负整数，正整数，有理）解，如果解集是有限的，（二）这个猜想意味着一个丢番图方程是否只有1/2个有理解的问题是可以用预言机判定的用于判定丢番图方程是否有有理解，（3）该猜想意味着用判定丢番图方程是否有整数解的预言机判定丢番图方程是否只有100个整数解的问题，（4）该猜想意味着如果集合M \subseteq N有有限重丢番图表示，则M是可计算的。
2017-06-07 math.NT
The exponential sum over squarefree integers
给出了无平方因子整数上指数和的一个上界.这建立了Brüdern和Perelli的一个猜想。
2011-05-09 math.NT
A simple Proof that $r^{k^{2}}$ is an upper Bound on each van der Waerden Number $W(r, k)$, for each $k$ bounded below by a certain positive real Number $\varepsilon$
在这里，我们回答了罗恩·格雷厄姆关于得到范德瓦尔登数的更精细的上界的猜想，但没有应用双重归纳法或组合学来处理包含一些范德瓦尔登数作为元素的整数集合。相反，我们仅仅通过利用任何大于大于可被另一个整数整除的整数的某些性质来获得结果。我们的数学方法很容易被那些专业领域位于组合数论之外的人所使用，例如离散数学，初等数论或解析数论。
2012-08-22 math.NT
An Upper Bound for the Number of Solutions of Ternary Purely Exponential Diophantine Equations II
设$a,b,c$是与$\min\{a,b,c\}>1$互质的固定正整数.本文通过分析三元纯指数丢番图方程$a^x+b^y=c^z$解的间隙法则，证明了若$\max\{a,b,c\}\geq 10^{62}$，则方程至多有两个正整数解$(x,y,z)$ .
2018-08-19 math.NT
A hypothetical way to compute an upper bound for the heights of solutions of a Diophantine equation with a finite number of solutions
设f（n）=1，如果n=1，2^（2^（n-2）），如果n \in {2，3，4，5}，（2+2^（2^（n-4）^（2^（n-4）），如果n \in {6，7，8，.}。我们猜想，如果系统T \subseteq {x_i+1=x_k，x_i \cdot x_j=x_k：i，j，k \in {1，.，n}}在正整数x_1，.. x_n，则每个这样的解（x_1，...，x_n）满足x_1，...，x_n \leq f（n）.我们证明了函数f不能被减少，并且这个猜想意味着存在一个算法，它以一个丢番图方程作为输入，返回一个整数，并且这个整数大于整数（非负整数，正整数，有理数）解的高度，如果解集是有限的.我们表明，如果猜想是真的，那么这可以部分地证实了一个蛮力算法的执行。
2015-08-19 math.NT
A numerical note on upper bounds for b 2 [g] sets
西顿集是这样的集合，它的两个元素的和永远不重合。他们可以追溯到30年代，当时Sidon要求具有该属性的连续整数子集的最大大小。这个问题现在得到了令人满意的回答。它们的自然推广，称为B 2 [g]集，并定义为最多有g种方法（直到重新排序被加数）将给定整数表示为集合的两个元素之和，这一事实更难以处理，也不容易理解。本文利用数值方法改进了整数区间上B2 [g]集在g = 2，3，4，5情形下的最佳上界估计.
2016-11-09 math.NT
Quaternary quadratic forms with prime discriminant
设$Q$是一个具有素判别式的正定四元二次型型.给出了正整数$n$的$Q$表示数的一个显式下界.这个问题与导出$Q$的θ级数的尖点部分的Petersson范数$\langle C, C \rangle$的上界有关。我们推导出一个上界$\langle C, C \rangle$依赖于最小的正整数不表示的对偶形式$Q^{*}$。另外，我们给出了除$Q$之外的整数$n$和的一个非平凡上界.
2022-06-01 math.NT
Is there a computable upper bound for the height of a solution of a Diophantine equation with a unique solution in positive integers?
Let B_n={x_i \cdot x_j=x_k, x_i+1=x_k: i,j,k \in {1,...,n}}. For a positive integer n, let ξ(n) denote the smallest positive integer b such that for each system S \subseteq B_n with a unique solution in positive integers x_1,...,x_n, this solution belongs to [1,b]^n. Let g(1)=1, and let g(n+1)=2^{2^{g(n)}} for every positive integer n. We conjecture that ξ(n) \leq g(2n) for every positive integer n. We prove: (1) the function ξ: N\{0}-->N\{0} is computable in the limit; (2) if a function f:N\{0}-->N\{0} has a single-fold Diophantine representation, then there exists a positive integer m such t…
2017-04-06 math.LO math.NT
An estimate for Frobenius' diophantine problem in three dimensions
本文给出了不可表示为三个给定整数的正线性组合的最大整数的上、下界，证明了Beck，Einstein和Zacks提出的一个上界的错误.
2011-05-07 math.NT
Integer Complexity: Experimental and Analytical Results II
我们考虑用1、加法、乘法和括号来表示自然数。$\left\| n \right\|$表示表示$n$的表达式中1的最小数目。对数复杂度$\left\| n \right\|_{\log}$定义为$\left\| n \right\|/{\log_3 n}$。$\left\| n \right\|_{\log}$的值位于片段$[3, 4.755]$中，但几乎不知道关于该“谱”的结构的确定性（值是否密集在片段中的某处等）。我们建立了一个连接这个问题和另一个困难的问题：看似“几乎随机”的行为的数字在基地3表示的数字$2^n$。我们还考虑表示自然数的表达式，包括减法，和所谓的$P$ -算法-一个家庭的“确定性”的算法，用于建立表示的数字。
2014-09-01 math.NT
Gaps and the exponent of convergence of an integer sequence
蒂博尔·沙拉特教授在布拉迪斯拉发夸美纽斯大学的一次研讨会上要求研究整数序列A={a_1<a_2<. <a_n<...}关于它的收敛指数A的收敛指数与它的上指数密度一致。本文考虑Šalát教授问题的一个推广，研究了比值序列a_m/ a_{m+1}和序列（a_{m+1} -a_m）/a_m对A的上、下指数密度的影响.
2012-01-10 math.NT
On integer solutions of Parsell-Vinogradov systems
证明了Parsell-Vinogradov系统在每一维$d\ge 2$上整数解个数的一个精确上界.
2018-04-07 math.CA math.NT
Complexity of Inverting the Euler Function
提出了一种求欧拉函数$ϕ(m)$逆的算法。对于给定的$n \geq 1$，该算法在多项式时间“平均”中找到所有解$m$到$ϕ(m) = n$的集合$Ψ(n)$。事实上，在最坏的情况下，$Ψ(n)$是指数级的，并且不能在多项式时间内计算。在相反的方向，我们表明，根据一个被广泛接受的数论猜想，有一个多项式时间减少的分区问题，NP完全问题，决定是否$ϕ(m) = n$有一个解决方案的整数n的一个小集合的问题。这表明判定给定的整数有限集S是否包含顶点的问题是NP-完全的。一个totient是一个整数n，它位于phi函数的图像中;也就是说，一个整数n，存在一个整数m求解phi（m）= n。最后，我们建立了欧拉函数反演与整数分解问题之间的紧密联系。
2004-04-23 math.NT
Representation of integers by sparse binary forms
我们将给新的上界的解决方案的数量不等式的形状$|F(x , y)| \leq h$，其中$F(x , y)$是一个稀疏的二进制形式，整数系数，和$h$是一个足够小的整数方面的判别式的二进制形式$F$的绝对值。我们的边界依赖于$F(x , y)$的非零系数的数量。当$F$是真正的稀疏，我们建立了一个尖锐的上界的解决方案的数量是线性的非零系数的数量。这项工作将提供肯定的答案，穆勒和施密特在1988年所提出的一些论点，为特殊但重要的情况。
2021-07-11 math.NT
Counting rational points close to $p$-adic integers and applications in Diophantine approximation
我们找到了一些$n$ -维$p$ -进整数的$ψ$ -近似的有理点的数量的上界和下界。格点计数技术被用来找到的上界的结果，和鸽子洞原理风格的论点被用来找到下界的结果。我们利用这些结果来寻找一组$p$ -adic加权的同时可逼近点的豪斯多夫维数，这些点与$p$ -adic坐标超平面相交。对于下界的结果，我们表明，一组有理点，$τ$ -近似一个$p$ -进整数形成一组共振点，可以用来构建一个局部无处不在的矩形系统。
2021-03-26 math.NT
An upper bound for the number of smooth values of a polynomial and its applications
Waseda University（早稻田大学）
本文证明了整系数多项式光滑值数量的新上界，改进了Timofeev的结果，并应用于Cassels定理的另证及二次多项式本原因子问题。
2025-10-08 math.NT
On algorithms to calculate integer complexity
我们考虑一个问题，首先提出了马勒和Popken在1953年，后来发展的Coppersmith，Erdensys，盖伊，Isbell，Selfridge，和其他人。令$f(n)$为$n \in \mathbb{Z^{+}}$的复杂度，其中$f(n)$定义为表示$n$所需的最少数量的$1$，以及任意数量的$+$、$*$和括号.已经开发了几种算法来计算高达$n$的所有整数的复杂度。目前，已知最快的算法是$\mathcal{O}(n^{1.230175})$，由J. Arias de Reyna和J. van de Lune在2014年给出。该算法利用Guy给出的递归定义，并迭代通过$d \ |\ n$的乘积$f(d) + f\left(\frac{n}{d}\right)$和$a$的求和$f(a) + f(n - a)$，直到$n$的某个函数。速率限制因素是迭代求和。我们讨论了潜在的改进，该算法通过一种方法，提供了一个强大的统一的上限的数目，必须计算几乎所有的$n$的被加数。我们还开发了代码来运行J. Arias de Reyna和J. van de Lune的分析，从而将$\mathcal{O}(n^{1.230175})$的运行时间减少到$\mathcal{O}(n^{1.222911236})$。我们所有的代码都可以在网上找到：https://github.com/kcordwel…
2018-12-18 math.NT
On representation of integers by binary quadratic forms
给定一个负的$D>-(\log X)^{\log 2-δ}$，我们给出了判别式$D$的本原正定二元二次型$f$的亏格的某些但不是全部形式所表示的无平方整数$<X$个数的一个新的上界.我们也给出了一个类似的上界平方自由整数的形式$q+a<X$其中$q$是素数和$a\in\mathbb Z$是固定的。结合Iwaniec的1/2维筛，这产生了由判别式$D$的二进制二次型表示的这样的整数$q+a<X$的数量的下界，其中$D$被允许如上所述随着$X$增长。一个直接的后果，这一点，来自最近的工作的作者在[BF]，是一个下界的数量素数来作为曲率在一个给定的原始整数阿波罗圆包装。
2011-05-23 math.NT
New upper bounds for the number of divisors function
令$τ(n)$代表正整数$n$的约数。我们根据$\log n$和$n$的不同素因子的个数得到了$τ(n)$的上界.
2018-12-24 math.NT
