On non-chaotic hyperbolic sets
Noriaki Kawaguchi
本文研究了超曲集在某种意义下非混沌的必要充分条件。
我们给出了超曲集在某种意义上是非混沌（或反之）的必要且充分条件。
We give necessary and sufficient conditions for a hyperbolic set to be non-chaotic (or, conversely, chaotic) in a certain sense.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Non-Hyperbolic Chaotic Dynamics: Renormalization and More
本文研究了二维系统中野集与非均匀混沌超限性的共存现象，并提出了一种广义重正化方案。
Nonuniformly hyperbolic systems arising from coupling of chaotic and gradient-like systems
我们研究由两个映射耦合得到的动力系统，其中一个是混沌的，并以Anosov同构为例，另一个是梯度型的，并以圆的N极到S极映射为例。利用双曲系统的几何和遍历论的技巧，我们分析了三种不同的耦合方式。对于弱耦合，我们提供了一个现有理论的补充，表明几乎总是吸引子分形几何时，它不是正常的双曲。我们的主要结果是较强的耦合，其中的Anosov同构的行动的圆映射具有一定的单调性。在这些条件下，我们表明，耦合系统有不变锥，并拥有SRB措施，即使有真正的障碍，一致双曲性。
Singular-hyperbolic attractors are chaotic
我们证明了一个三维流的奇异双曲吸引子是混沌的，在两个强烈不同的意义。首先，流是可扩展的：如果两个点始终保持接近，可能通过时间重新参数化，那么它们的轨道重合。其次，存在一个物理（或Sinai-Ruelle-Bowen）措施支持的吸引子，其遍历盆地覆盖了完整的勒贝格（体积）措施子集的拓扑吸引区域。而且该测度在中心不稳定方向上具有绝对连续的条件测度，是一个$u$ -吉布斯态，是强不稳定方向上流的时间一映射的Jacobian的对数的平衡态.这扩展到一类奇异双曲吸引子的主要内容的遍历论的一致双曲（或公理A）吸引流。
Chaotic Dynamics in Nonautonomous Maps: Application to the Nonautomous Henon Map
在本文中，我们分析了二维非自治映射的混沌动力学通过使用一个非自治版本的Conley-Moser条件先前给出的。用这种方法，我们能够给出一个精确的定义是什么意思的非自治映射的混沌不变集。推广了非自治Conley-Moser条件，得到了非自治混沌不变集为双曲的一个新的充分条件.我们考虑一个非自治Hénon映射的具体例子，给出了非自治Hénon映射具有双曲混沌不变集的充分条件.
Non-hyperbolicity at large scales of a high-dimensional chaotic system
许多重要的高维动力系统的动力学是混沌和复杂的，这意味着需要强的约化假设来理解动力学。加拉沃蒂和科恩的极具影响力的混沌假设指出，高维系统的大规模动力学实际上是一致双曲的，这意味着许多恰当的统计性质。我们得到了直接和可靠的数值证据，相反的混沌假设，在平均场耦合系统中的非双曲大尺度动力学结构的存在。要做到这一点，我们减少系统的热力学极限，我们近似数值切比雪夫基础转移算子离散化。这使我们能够获得一个高精度的估计同宿相切，这意味着失败的一致双曲。预计在扰动下会出现稳健的非双曲行为。因此，混沌假设不应该{ \it a priori}假设在所有系统中成立，并且需要更好地理解其有效性的域。
A dynamical version of Kuratowski-Mycielski Theorem and invariant chaotic sets
我们建立了一个动力学版本的Kuratowski-Mycielski定理存在的“大”不变的依赖集。将这一结果应用于拓扑动力系统中不变混沌集的研究，简化了许多已知结果，并得到了一些新的结果。
Chaotic Delone sets
给出了混沌Delone集的定义，并建立了$ε\geq δ$的混沌在$(ε,δ)$-Delone集空间中的普适性.我们还提出了一个双曲模拟的切割和项目的方法，自然产生的例子混沌Delone集。
The Hausdorff dimension of multiply Xiong chaotic sets
分别对有限符号上的满移位和高斯系统构造了一个处处具有满豪斯多夫维数的乘Xiong混沌集，该混沌集包含在某个乘邻近胞中.
Chaotic Planar Piecewise Smooth Vector Fields With Non Trivial Minimal Sets
本文讨论了平面分段光滑向量场理论中的混沌行为和极小性问题。观察到了非确定性混沌的发生，并引入了可定向极小的概念。研究了混沌系统中极小性与可定向极小性之间的关系，并观察到混沌系统中存在新的非平凡极小集。该方法是几何的，涉及非光滑系统的普通技术。
Multi-chaos from Quasiperiodicity
高维混沌映射或混沌流的一个共同特征是“不稳定维数变率”，即存在周期点，其非稳定流形具有不同的维数。在本文中，在试图描述这样的系统，我们定义了一个属性称为“多重混沌”。一个集合$X$是多混沌的，如果$X$有一个稠密的轨道，并且对于至少2个$k$值，$k$维不稳定的周期点在$X$中是稠密的。所有的证据表明，这样的行为持有已根据双曲的意义上说，（i）有一个混沌集$X$与密集的轨迹和（ii）在X有两个或两个以上的双曲集不同的不稳定的尺寸。我们提出了一个简单的二维多混沌范例，其中准周期轨道起着关键作用，取代了大的双曲集。
Topological structure of (partially) hyperbolic sets with positive volume
我们考虑了黎曼流形中吸引正体积点集的双曲集和部分双曲集。对于可微性大于1的复同态，我们得到了关于这类集合的拓扑结构的几个结果。我们特别表明，有没有部分双曲马蹄正体积这样的双同态。我们还给出了属于具有正体积的双曲集或部分双曲集的几乎所有点的极限集的刻划。
Quasisymmetrically inequivalent hyperbolic Julia sets
我们给出了双曲有理映射的朱利亚集是同胚的但不是拟对称同胚的对的明确例子。
Hausdorff dimension of the sets of Li-Yorke pairs for some chaotic dynamical systems including A-coupled expanding systems
本文研究了若干混沌动力系统的Li-Yorke对集的豪斯多夫维数，其中包括$A$耦合的膨胀系统.本文证明了PDMATHAMM耦合膨胀系统的Li-Yorke对在一定条件下在不变集上具有满豪斯多夫维数。本文将文献[8]关于拓扑共轭于全移位且具有自相似不变集的动力系统的Li-Yorke对的豪斯多夫维数的结果推广到共轭于某种子移位的动力系统的情形。给出了一类A-耦合扩张映射的"混沌不变集"的豪斯多夫维数。
Existence of periodic orbits for singular-hyperbolic Lyapunov stable sets
Bautista和Morales证明了奇异双曲吸引集（*）中周期轨道的存在性。本文将他们的结果推广到奇异双曲型李雅普诺夫稳定集。（（*）“Existence of periodic orbits for singular-bypolar sets”，Moscow Mathematical Journal，6（2006），265-297）
Julia and Mandelbrot sets for dynamics over the hyperbolic numbers
Julia集和Mandelbrot集是分形集的经典例子，它们刻画了复数上动力系统的有界轨道。我们研究了双曲数上的动力系统的类似集。双曲数，其形式为$x+τy$ for $x,y \in \mathbb{R}$和$τ^2 = 1$ but $τ\neq \pm 1$，是用于编码闵可夫斯基空间$\mathbb{R}^{1,1}$的几何性质的自然数系统。我们表明，双曲模拟的Mandelbrot集参数化的连通性的双曲朱利亚集。利用这些朱利亚集给出了双曲平面的一个壁室分解。
Partially Hyperbolic Sets with a Dynamically Minimal Invariant Lamination
研究了C1-双曲同态的部分双曲集。对于这些集合，定义了强稳定层和强不稳定层。当每个叶的轨道密集地与集合相交时，层压被称为动态最小。证明了具有动态极小层的部分双曲集内部为空。我们还研究了这些集合的勒贝格测度和谱分解。这些结果可应用于具有一维中心丛的C1-一般/鲁棒传递吸引子。
Homoclinic classes for sectional-hyperbolic sets
证明了每一个分段双曲型李雅普诺夫独立集都包含一个非平凡的同宿类。
Generic hyperbolic Mañé sets have zero entropy
本文证明在 $C^k$ 拓扑意义下，通用的双曲 Mañé 集拓扑熵为零。
No hyperbolic sets in J_\infty for infinitely renormalizable quadratic polynomials
设f是一个无限重正化的二次多项式，J_ \infty是f的简单重正化的“小”朱利亚集的前向轨道的交集.证明了J_ \infty不含双曲集.
Topological entropy and Hausdorff dimension of irregular sets for non-hyperbolic dynamical systems
我们系统地研究了非双曲动力系统的例子，具有不规则集的全拓扑熵和全豪斯多夫维数。例子包括一些部分双曲系统和几何洛伦兹流。我们也为未来的研究提出了一些有趣的问题。
An estimate on the Hausdorff dimension of stable sets of non-uniformly hyperbolic horseshoes
证明了非一致双曲马蹄稳定集的豪斯多夫维数严格小于2.
Compact locally maximal hyperbolic sets for smooth maps: fine statistical properties
紧局部极大双曲集研究通过几何定义的功能空间，利用光滑的映射在双曲集的邻域。这提供了一个独立的理论，不仅再现了所有已知的经典结果，但也给出了新的见解，这些系统的统计特性。
Lorenz-like chaotic attractors revised
我们描述了奇异双曲系统动力学的一些最新结果（或类洛伦兹）吸引子：这类吸引子是可扩展的，并且对初始数据非常敏感;它们允许唯一的物理度量，其支撑是整个吸引子，其是双曲的并且是关于中心不稳定雅可比矩阵的平衡态;与几何洛伦兹吸引子相关联的首中时满足对数律;几何Lorenz吸引子遍历域上的物理量的大偏差率是指数的。
Finiteness of attractors and repellers on sectional hyperbolic sets
我们得到了吸引子和排斥子的数量的上界，可以出现从小扰动的一节双曲集。这扩展了[Sectional-Anosov flows in higher dimensions]和[The explosion of singular-bypass attractor]的结果。
Finiteness of homoclinic classes on sectional hyperbolic sets
研究了紧致流形上向量场的截面双曲集的小扰动。实际上，我们得到了同宿类在此情形下的鲁棒有限性。此外，由于吸引子和排斥子集是同宿类的特殊情况，这个结果改进了（A。M. López B，分段双曲集上吸引子和排斥子的不确定性和存在性，离散和连续动力系统-A 37）。
A note on Bohr chaos and hyperbolic sets
研究动力系统中跟踪现象与玻尔混沌的关系，给出基于跟踪的玻尔混沌充分条件，结合跟踪引理得出关于玻尔混沌和双曲集的结果，突出双曲集结构性质。
No-shadowing for singular hyperbolic sets with a singularity
证明了每一个具有奇点的奇异双曲链传递集不具有跟踪性。利用这个结果，我们证明了：如果星流在其链递归集上具有跟踪性，则它满足公理A和无环条件;如果多奇异双曲集具有跟踪性，则它是双曲的.
Admissibility and nonuniformly hyperbolic sets
利用容许性，得到了两类具有非一致双曲行为的动力学的一个特征。也就是说，我们考虑指数二分性的规范和非一致双曲集序列。我们注意到，沿着稳定和不稳定方向建立指数界的方法不同于替换测试序列的标准技术。此外，我们在一个单一的步骤中获得的界限。
Hyperbolic Sets and Entropy at the Homological Level
本文的目的是研究d维环面的一维中心方向的部分双曲同态的熵猜想的一种改进。我们首先建立了双曲集的不稳定指数和代数水平上的指数之间的联系。给出了两个例子，这可能会阐明哪些是高维中心情况下的好问题。
About $C^{1}$-minimality of the hyperbolic Cantor sets
本文证明了包含在$S^1$中的一个接近仿射康托尔集的$C^{1+α}$ -双曲康托尔集不是$C^{1}$ -极小的.
Constraints On Dynamics Preserving Certain Hyperbolic Sets
我们建立了两个结果下，双曲集的拓扑约束环境动力学。首先，如果一个集合对于某个双同态是一个紧的、传递的、扩张的余维为1的双曲吸引子，那么它对于任何双同态是一个传递的、扩张的余维为1的吸引子（或收缩的排斥子）的并集，使得它是双曲的。其次，如果一个集合对于一个曲面双同态是一个非游荡的、局部极大的、紧的双曲集，那么对于任何它是双曲的双同态，它都是局部极大的。
Hyperbolic Invariant Sets With Positive Measures
如果紧致流形上的一个保体积的双同态$C^{1 + a}$，$a >0$有一个正体积的双曲不变集，则这个映射是Anosov映射.我们还给出了保体积$CC^{1+a}$，$a>0$，Anosov同态遍历性的一个直接证明.
Tangent bundles to regular basic sets in hyperbolic dynamics
对于具有$C^1$不稳定层的Riemann流形上的$C^1$流或双同态，给定局部极大紧不变双曲集$Λ$，我们构造了局部非稳定流形的不变连续切向量丛，它以某种方式局部逼近$Λ$.
Generic Rotation Sets in Hyperbolic Surfaces
证明了在亏格$g>1$的闭定向曲面上，对于同伦于恒等式的一般同胚，其旋转集至多由$2^{5g-3}$凸集的并集给出。提供了显示这种渐近顺序的清晰度的例子。
Dimensions of C1-average conformal hyperbolic sets
本文引入了平均共形双曲集的概念，它对任一遍历测度只允许一个正的和一个负的李雅普诺夫指数。对于C1双同态的平均共形双曲集，利用次可加热力学形式论中的技巧和一些关于不稳定/稳定流形的几何论证，给出了双曲集的豪斯多夫维数和下（上）盒维数的计算公式，它们正好是双曲集对稳定流形和非稳定流形的限制维数之和.此外，平均共形双曲集的维数随动力学连续变化。
Escaping Fatou components with disjoint hyperbolic limit sets
本文构造了二维复空间的自同构，其逃逸Fatou分支循环上恰有两个秩为1的极限函数，且对应极限集为无穷远直线上两个不交的双曲子集。
Sectional-hyperbolic lyapunov stable sets
在双曲动力系统中，一个著名的结果是：每个双曲李雅普诺夫独立集都是吸引的;人们很自然地想知道这个结果在分段双曲动力系统中是否保持。这个问题仍然是开放的，虽然已经提出了一些部分的结果。证明了紧致流形上向量场X的余维为1的具有唯一边界型类Lorenz奇点的截双曲传递Lyapunov独立集是X的吸引子。
Omega-limit sets close to singular-hyperbolic attractors
研究了三维向量场$X$的奇异双曲吸引子的孤立块$U$中的Ω极限集$ω_X(x)$.证明了对每个接近于$X$的向量场$Y$，集合$ \{x\in U:ω_Y(x)$包含一个奇点$\}$是$U$中的{ \em残差}.这是用来证明持续的奇异双曲吸引子只有一个奇异链传递李雅普诺夫稳定集。这些结果推广了几何Lorenz吸引子\cite{gw}和\cite{mpu}中的例子的已知性质.
Hausdorff Dimension of Average Conformal Hyperbolic Sets
共形推斥集或共形双曲集的豪斯多夫维数是很好理解的。对于非共形映射，豪斯多夫维数仅在某些特殊情况下才是已知的。Ban，Cao和Hu定义了平均共形反射器的概念，推广了共形、拟共形和弱共形反射器，并找到了平均共形反射器的豪斯多夫维数方程。本文将这一概念推广到平均共形双曲集，并获得了类似的豪斯多夫维数方程。
Geometric measures for hyperbolic sets on surfaces
本文给出了一个模空间，它是关于Hausdorff测度绝对连续的不变测度的曲面上的所有双曲基集的模空间.为此，我们引入了两个新的不变量：测量螺线管功能和cocycle-gap对。我们推广了A的本征值公式。N. Livsic和Ja。G. Sinai的Anosov同构，保持一个绝对连续的措施，双曲基本集的表面上，拥有一个不变测度绝对连续的Hausdorff措施。我们用多种方法证明了这类双曲系统的Lipschitz共轭类，例如，用周期点的特征值和Gibbs测度。
Nonlocally maximal and premaximal hyperbolic sets
我们证明了，对于任何闭流形的尺寸为3或更大，有一个开集的光滑流，有一个双曲集，不包含在一个局部最大的。此外，我们证明了双曲集的跟踪闭包的稳定性是预极大性的一个内在性质。最后，我们回顾了Anosov关于预极大性的一些结果。
Hyperbolic dimension of Julia sets of meromorphic maps with logarithmic tracts
证明了对于具有对数道的亚纯映射（例如$\mathcal B$类中具有有限个极点的整映射或亚纯映射），朱利亚集包含一个大于1的豪斯多夫维数的紧不变双曲康托尔集.因此，朱利亚集的双曲维数大于1。
Dynamical Borel-Cantelli lemmas and rates of growth of Birkhoff sums of non-integrable observables on chaotic dynamical systems
我们考虑的影响动力Borel-Cantelli引理的增长率的Birkhoff总和不可积可观$φ(x) = d(x,p)^{-k}$，$k>0$，遍历动力系统$(T,X,μ)$，其中$μ(X) = 1$。给出了非一致扩张映射、间歇型映射以及一致双曲组的一些一般性结果和一些具体例子。
On the number of ergodic physical/SRB measures of singular-hyperbolic attracting sets
本文研究三维流中连通奇异双曲吸引集的遍历物理/SRB测度数量，证明其仅由类Lorenz平衡点数决定的上界，并用例子说明该界可达。
On the intersection of sectional-hyperbolic sets
本文分析了紧致流形上流的正负截双曲集的交。首先，我们证明了这样的交集是双曲的，如果交集都是传递的（这是假的，没有这样的假设）。接下来，我们证明，在一般情况下，这样的交集由一个非奇异双曲集，多个奇点和正则轨道加入他们。之后，我们展示了一个三维的星流与两个同宿类，一个是积极的（但不是消极的）节双曲和其他负（但不是积极的）节双曲，其交叉减少到一个单一的周期轨道。这为Shy，Zhu，GAN和Wen的一个猜想（\cite{sgw}，\cite{zgw}）提供了一个反例.
Stable sets, hyperbolicity and dimension
本文给出了$n$维流形上的$C^2$双同态的双曲集$Λ$的独立集的豪斯多夫维数的一个上界.由此得到$\dim_H W^s(Λ)=n$等价于SRB-测度的存在性.我们还讨论了扩张映射情况下的相关结果。
Adapted metrics for singular hyperbolic flows
奇异和分段双曲集是经典Smale双曲理论扩展到具有不变集的流的对象，该不变集具有由集内的正则轨道积累的奇异性。众所周知，（部分）双曲集允许适应度量。证明了有限维紧致流形上任意奇异双曲集关于$C^{1}$向量场的奇异适应度量的存在性。此外，我们获得了2节适应度量的某些开放类的2节双曲集和任何双曲集。
A dynamical algorithm to compute hyperbolic Julia sets in polynomial time
本文提出一种动态算法，用于在多项式时间内计算复多项式的双曲Julia集，并确立其下可计算性。
On the volume of sectional-hyperbolic sets
本文证明了在 $d$ 维（$d\ge3$）流形上，具有正体积的传递截面双曲集 $Λ$ 等于该流形且为无奇点的一致双曲集。
On hyperbolic rational maps with finitely connected Fatou sets
本文研究了具有连通Fatou集的双曲有理映射.我们为此类映射构建了后临界有限双曲树映射方案的模型，推广了连通朱利亚集情况下的后临界有限有理映射。我们证明了它们是理性映射的一般极限，因为我们拟共形拉伸的动态。相反，我们使用拟共形手术，以显示任何后临界有限双曲树映射计划出现这样的限制。我们构造了丰富的例子，由于灵活的模型，并使用它们来构建一个序列的理性映射的一个固定的程度与无限多的非单项重标度限制。
On the volume of singular-hyperbolic sets
3-向量场$X$的吸引子$Λ$是奇异双曲的，如果它的所有奇点都是双曲的，并且它是中心方向体积膨胀的部分双曲的.证明了$C^{1+α}$奇异双曲吸引子对某些$α>0$总有零体积，从而推广了一致双曲吸引子的一个类似结果.对于一类高维奇异吸引子，也得到了同样的结果。证明了如果$Λ$是$X$的奇异双曲吸引子，则要么它的体积为零，要么$X$是Anosov流.我们也给出了正体积的$C^1$奇异双曲吸引子的例子。此外，我们表明，$C^1$一般我们有体积为零的$C^1$强大的类奇异双曲吸引子。
On the uniform hyperbolicity of some nonuniformly hyperbolic systems
给出了一类非一致双曲动力系统的一致双曲性的充分条件。特别是，我们表明，当地的非均匀扩张的全概率集的同态必然是一致扩大。我们还提出了一个版本的非一致双曲集的双同态的结果。
Hyperbolic sets that are not contained in a locally maximal one
本文研究了与双曲集结构有关的两个性质。首先，我们构建新的例子，否定回答以下问题所提出的Katok和Hasselblatt。设$Λ$是一个双曲集，$V$是$Λ$的开邻域.是否存在局部极大双曲集$\widetildeΛ$使得$Λ\subset \widetildeΛ \subset V $？我们发现，这样的例子是存在于线性anosov的$\mathbb{T}^3$，因此是强大的。此外，我们还构造了一些新的不包含在任何局部极大双曲集中的例子。到目前为止已知的例子是由克罗格和费舍尔构造的，这些例子要么维数大于4，要么不是传递的。我们在$\mathbb{T}^3$中给出了一个传递的和健壮的例子。并表明这样的例子不能在二维中建立。
Finitely many physical measures for sectional-hyperbolic attracting sets and statistical stability
我们证明了一个Hölder- $C^1$向量场的分段双曲吸引集允许有200多个物理/SRB测度，它们的遍历盆几乎覆盖了拓扑吸引盆的所有点.另外，这些物理量连续依赖于$C^1$拓扑中的流，即分段双曲吸引集是统计稳定的。为了证明这些结果，我们表明，这类吸引集的邻域中的每个中心不稳定盘最终扩展到包含一个球，其内半径一致有界远离零。
Partially hyperbolic sets with positive measure and $ACIP$ for partially hyperbolic systems
本文利用动力学密度基研究部分双曲集拓扑结构，证明正体积强部分双曲集包含全局稳定与不稳定流形，并给出关于本质可达、可达且中心丛聚条件下ACIP存在性与传递性的若干应用。
On the hyperbolic automorphisms of the 2-torus and their Markov partitions
本文介绍了Anosov同构的基本概念、混沌性质的表示方法以及这方面的历史研究。给出了2-环面的双曲线性自同构的一个完全分类。我们对这类自同构引入了预马尔可夫分割的概念，并给出了它们的分类和构造算法。
Bellis strong stable sets on infinite hyperbolic surfaces
论文修正了贝尔利关于双曲面上单位切 bundle 中强稳定集的定理，证明了当测地射线遇到任意短的闭测地线时，强稳定集不等于关联的horocyclic轨道。
Stable sets of certain non-uniformly hyperbolic horseshoes have the expected dimension
我们证明了在曲面仿射的某些异宿分支中产生的非一致双曲马蹄形的稳定集和不稳定集具有本文的第二和第三作者在以前的工作中所证明的值。我们的结果适用于第一异宿分支与马蹄与豪斯多夫维数$<22/21$的保守曲面的自同态。
Transitivity and homoclinic classes for singular-hyperbolic systems
一个{ \em奇异双曲集}是一个部分双曲集，具有奇异性（全双曲）和体积中心方向为\cite{MPP1}。我们研究了具有稠密闭轨道{ \em且只有一个奇点}的连通奇异双曲吸引集。这些集被证明是传递的大多数$C^r$流在Baire的第二类sence。在一般情况下，这些集被证明是传递或工会的两个同宿类。在后一种情况下，我们证明了许多同宿类的存在性。我们的结果推广了\cite{N}中关于双曲型方程组的一个著名结果。
Chaotic polynomial maps
在欧氏空间中引入了一类多项式映射，研究了存在Smale马蹄和一致双曲不变集的条件，研究了其混沌动力学行为和奇异吸引子，证明了某些映射是Li-Yorke或Devaney意义下的混沌.这类地图包括Logistic地图和Hénon地图。对于三维空间中的某些映射，在一定条件下，当扩张维数为1或2时，证明了存在一个Smale马蹄形和一个一致双曲不变集，使系统在其上拓扑共轭于有限字母表上的双侧全移位;如果系统正在扩展，则证明存在一个前向不变集，在该前向不变集上系统与八个符号上的单侧全移位拓扑半共轭。研究了三类二次高维多项式映射Smale马蹄和一致双曲不变集的存在性，证明了在一定条件下，该映射在不变集上拓扑共轭于有限字母表上的双边全移位.通过计算机模拟，在三维空间中发现了一些有趣的具有混沌吸引子和正李雅普诺夫指数的映射。最后，通过两个算例对理论结果进行了验证.
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