Remarks on the spectral radius of $K_{r+1}$-saturated graphs
写$ρ\left( G\right) $的谱半径的图$G$和$S_{n,r}$的加入$K_{r}\vee\overline{K}_{n-r}.$让$n>r\geq2$和$G$是一个$K_{r+1}$饱和图的顺序$n.$最近金，金，Kostochka，和O确定正是最小值的$ρ\left( G\right) $的$r=2$，并发现了一个渐近紧界$ρ\left( G\right) $的$r\geq3.$他们还重申，\[ ρ\left( G\right) >ρ\left( S_{n,r-1}\right) , \]，除非$G=S_{n,r-1}.$在这说明他们的猜想得到证明。
2022-02-09 math.CO
On Minimum Saturated Matrices
受Anstee，Griggs和Sali关于禁止子矩阵和图的极值sat-function的工作的启发，我们引入了矩阵的sat-type问题。设F是k-行矩阵族。一个矩阵M称为F-容许的，如果M不包含子矩阵G \in F（作为G的行和列置换）.如果M是F-容许的，则没有重复列的矩阵M是F-饱和的，但添加M中不存在的任何列都违反了这一性质。本文研究了n行F-饱和矩阵的列数最少的函数sat（n，F）。本文对任意k-行矩阵族F建立了sat（n，F）=O（n^{k-1}）的估计，并计算了几个小的禁止矩阵的sat函数.
2012-05-24 math.CO
$K_{s,t}$-saturated bipartite graphs
一个$n$乘$n$二部图是$H$饱和的，如果在它的两个部分之间添加任何缺失的边都会创建一个新的$H$副本。1964年，Erdés，Hajnal和Moon提出了关于$K_{s,s}$ -饱和二部图的最小边数的猜想.这个猜想由Wessel和Bollobás在一个更一般但有序的环境中独立证明：他们证明了$K_{(s,t)}$饱和二部图的最小边数是$n^2-(n-s+1)(n-t+1)$，其中$K_{(s,t)}$是“有序”完全二部图，其中$s$顶点在第一个颜色类，$t$顶点在第二个颜色类。然而，在无序$K_{s,t}$饱和的情况下确定最小边数的非常自然的问题仍然没有解决。这个问题最近被Moshkovitz和Shapira考虑过，他们也证明了它的答案应该是什么。本文给出了$K_{s,t}$ -饱和二部图的最小边数的一个渐近紧界，它仅比Moshkovitz和Shapira的猜想小一个加性常数.我们还证明了他们的猜想$K_{2,3}$ -饱和，这是第一个开放的情况。
2014-11-26 math.CO
Minimum saturated graphs for unions of cliques
该研究解决了Chen与Yuan提出的猜想，确定了团的并图$K_p\cup (t-1)K_q$对应的$n$阶最小饱和图族$Sat(n,K_p\cup (t-1)K_q)$，完善了图论中饱和数相关的结论。
2024-04-18 math.CO
The Minimum Number of Edges in $(p+1)K_2$-Saturated Graphs
Graduate School of Informatics, Kyoto University（京都大学情报大学院）；Zhejiang Normal University（浙江师范大学）
本文针对极值图论中确定$(p+1)K_2$-饱和图最小边数的公开问题，通过细化结构分析推导边数参数公式，完整解决该问题并推广已有结论，同时还原经典边数上界。
2025-11-17 math.CO
Minimum saturated graphs without $4$-cycles and $5$-cycles
本文研究不含4-环与5-环的图的饱和数问题，确定了n个顶点的{C₄,C₅}-饱和图的最小边数公式，推进了环族饱和数的精确计算研究。
2025-03-21 math.CO
All minimum $C_4$-saturated multipartite graphs
Tsinghua University（清华大学）；Beijing Jiaotong University（北京交通大学）
本文确定了完全 $k$-部图 $K_k^n$ 中 $C_4$-饱和子图的最小边数 $sat(K_4^n,C_4)$，并刻画了所有 $n\ge 2$ 和 $k\ge 4$ 时的极值结构。
2026-06-27 math.CO
Minimum saturated families of sets
我们称$[n]$的子集的家族$\mathcal{F}$为$s$饱和的，如果它不包含$s$成对不相交的集合，而且没有集合可以添加到$\mathcal{F}$而保持这个属性（这里是$[n] = \{1,\ldots,n\}$）。40多年前，Erdibs和Kleitman证实$[n]$子集的$s$饱和家族的大小至少为$(1 - 2^{-(s-1)})2^n$ .很容易证明每个$s$饱和族的大小至少为$\frac{1}{2}\cdot 2^n$，但是，正如Frankl和Tokushige所提到的，对于某些固定的$\varepsilon > 0$，即使获得$(1/2 + \varepsilon)2^n$的稍微更好的界也似乎很困难。本文证明了这样一个结果，证明了$[n]$的子集的每个$s$饱和族的大小至少为$(1 - 1/s)2^n$。这个下界是一个多部版本的问题，在其中，我们寻求一个下界$|\mathcal{F}_1| + \ldots + |\mathcal{F}_s|$，其中$\mathcal{F}_1, \ldots, \mathcal{F}_s$是家庭的子集$[n]$，这样就没有$s$成对不相交的集，一个从每个家庭$\mathcal{F}_i$，而且没有一套可以添加到任何家庭，同时保持这一属性。我们表明，$|\mathcal{F}_1| + \ldots + |\mathcal{F}…
2018-04-24 math.CO
Minimizing the number of complete bipartite graphs in a $K_s$-saturated graph
一个图$G$是$F$ -饱和的，如果它不包含$F$的副本作为子图，但任何新的边缘添加到$G$创建一个$F$的副本。我们证明了对于$s \geq 3$和$t \geq 2$，在$K_s$饱和图中$K_{1,t}$的最小拷贝数是$Θ( n^{t/2})$ .当$t = 2$问题涉及直径为2围长为5的Moore图时，得到了更精确的结果。证明了对于$s \geq 4$和$t \geq 3$，$K_{2,t}$在$n$ -顶点$K_s$ -饱和图中的最小拷贝数至少为$Ω( n^{t/5 + 8/5})$，至多为$O(n^{t/2 + 3/2})$ .这些结果回答了Chakraborti和Loh的一个问题。一般估计的$K_{a,b}$在$K_s$饱和图的拷贝数也得到了，但找到一个渐近公式仍然开放。
2021-01-02 math.CO
Some results on minimum saturated graphs
School of Mathematics and Statistics, Shandong University of Technology（山东理工大学数学与统计学院）；School of Mathematics Nanjing University of Aeronautics and Astronautics（南京航空航天大学数学学院）；Center for Discrete Mathematics, Fuzhou University（福州大学离散数学研究中心）
本文研究了极小饱和图问题，确定了 $\sat(n,\{K_3,P_k\})$ 的精确值，推导了 $\sat(n,K_3\cup P_k)$ 的两个界，并给出了 $\sat(n,K_1\lor F)$ 的精确值。
2025-10-12 math.CO
$C_{2k}$-saturated graphs with no short odd cycles
图$F$的饱和数，写作$\textup{sat}(n,F)$，是$n$ -顶点$F$ -饱和图中的最小边数.关于饱和数的最早结果之一是由Erdens、Hajnal和Moon确定了所有$r \geq 3$的$\textup{sat}(n,K_r)$。从那时起，各种图和超图的饱和数被研究。受Alon和Shikhelman的广义Turán函数的启发，Kritschgau et. al.定义$\textup{sat}(n,H,F)$为$n$ -顶点$F$ -饱和图中$H$的最小拷贝数。他们证明，除其他事项外，$\textup{sat}(n,C_3,C_{2k}) = 0$的所有$k \geq 3$和$n \geq 2k +2$。我们将这个结果推广到所有的奇循环，证明了对于任何奇整数$r \geq 5$，$\textup{sat}(n, C_r,C_{2k}) = 0$对于所有的$2k \geq r+5$和$n \geq 2kr$。
2018-10-13 math.CO
Saturation Number of Trees in the Hypercube
一个图$H^{\prime}$是$(H, G)$饱和的，如果它不含$G$，并且添加不在$H^{\prime}$中的$H$的任何边都会创建$G$的副本.饱和数$sat(H, G)$是$(H, G)$ -饱和图中的最小边数。研究了$n$维超立方体$Q_n$中树$T$的饱和数的界.我们首先提出了一个一般的下界的饱和数的基础上的最小程度的非叶。从那里，我们提出了两个一般的方法来构建$T$饱和子图的$Q_n$，并证明了非平凡的上界的特定类型的树，包括道路，广义星，和某些毛毛虫的限制下，最小程度的直径。
2014-11-10 math.CO
On rainbow saturated graphs with minimum number of edges
Tsinghua University（清华大学）
本文证明彩虹饱和数二分法：含孤立边的图饱和数为常数，否则为线性；并确定广义友谊图的渐近精确值。
2026-09-29 math.CO
Edge-Minimum Saturated k-Planar Drawings
对于平面中无环（多）图的绘图类$\mathcal{D}$，当向$D$添加任何边导致$D' \notin \mathcal{D}$时，绘图$D \in \mathcal{D}$是\emph{saturated}-这类似于Turán（1941）和Erdés，Hajnal和Moon（1964）引入的图类中的饱和图。我们专注于$k$ -平面图，即，在平面中绘制的图形，其中每个边在最多的$k$时间交叉，以及所有$k$ -平面图的类$\mathcal{D}$，服从一些限制，如没有交叉的入射边，没有一对边交叉超过一次，或没有边交叉本身。虽然饱和的$k$ -平面图纸是几个以前的作品的重点，如何稀疏这些可以是不好理解的紧边界。我们建立了一个通用的框架，以确定所有的$n$ -顶点饱和$k$ -在许多自然类的平面图纸之间的最小数量的边缘。例如，当事件交叉、多交叉和自交叉都被允许时，稀疏$n$ -顶点饱和$k$ -平面绘图对于任何$k \geq 4$都具有$\frac{2}{k - (k \bmod 2)} (n-1)$边，而如果所有这些都被禁止，稀疏的这样的绘图对于任何$k \geq 6$都具有$\frac{2(k+1)}{k(k-1)}(n-1)$边。
2021-08-26 cs.CG cs.DM math.CO
Two stability theorems for $\mathcal{K}_{\ell + 1}^{r}$-saturated hypergraphs
一个$\mathcal{F}$ -饱和$r$ -图是一个不包含任何$\mathcal{F}$成员作为子图的极大$r$ -图.设$\mathcal{K}_{\ell + 1}^{r}$是所有$r$ -图$F$的集合，其中至多有$\binom{\ell+1}{2}$条边，使得对于某些$\left(\ell+1\right)$ -集$S$，每对$\{u, v\} \subset S$都被$F$中的一条边覆盖.我们的第一个结果表明，对每个$\ell \geq r \geq 2$，每个$t_{r}(n, \ell) - o(n^{r-1+1/\ell})$顶点上的$\mathcal{K}_{\ell+1}^{r}$ -饱和$r$ -图都含有$(1-o(1))n$顶点上的完全$\ell$ -部子图，这推广了Popielarz，Sahasrabudhe和Snyder给出的$K_{\ell+1}$ -饱和图的稳定性定理.我们还表明，该界是最好的可能。我们的第二个结果是由Andrásfai，Erdés和Sós的一个著名定理的动机，其中规定，对于$\ell \geq 2$，每个$K_{\ell+1}$ -free图$G$上的$n$顶点具有最小程度的$δ(G) > \frac{3\ell-4}{3\ell-1}n$是$\ell$ -partite。一个$r$ -图$\mathcal{H}$（记为$δ_{…
2022-11-05 math.CO
The saturated spectral radius for complete graphs
School of Mathematical Sciences, MOE-LSC, SHL-MAC, Shanghai Jiao Tong University（上海交通大学数学科学学院）
本文证明了完全图饱和谱半径猜想，即 $K_{r-1}\vee(n-r+1)K_1$ 在所有 $n$ 顶点 $K_{r+1}$-饱和图中具有最小谱半径，并给出了等号条件及局部两步游走不等式。
2026-09-14 math.CO
Generalized sum-free sets and cycle saturated regular graphs
Gerbner、Patkós、Tuza和Vizer最近开始研究$F$饱和的正则图。这一研究领域的一个基本问题是确定这种图何时存在。利用广义无和集证明了对任意奇数$k \geq 5$，存在一个$n$ -顶点正则的$C_k$-饱和图，且所有$n \geq n_k$都有$n$-顶点正则的$C_k$ -饱和图.我们的证明是基于$\mathbb{Z}_n$中构造一种特殊类型的和自由集。证明了对所有偶数$\ell \geq 4$和整数$n > 12 \ell^2 + 36 \ell + 24$，在$\mathbb{Z}_n$中存在对称完备$( \ell , 1)$ -无和集.我们提出的问题，找到这样一个集的最小尺寸，并提出了一些例子，发现由计算机搜索。
2021-08-30 math.CO
Minimizing the number of matchings of fixed size in a $K_s$-saturated graph
对于一个固定图$F$，如果$G$不包含与$F$同构的子图，但在添加任何新边后包含$F$，则称该图$G$是$F$ -饱和的。设$M_k$是由$k$边组成的匹配，$S_{n,k}$是完全图$K_k$和空图$\overline{K_{n-k}}$的连接图.本文证明了对于$s \geq3$和$k\geq 2$，对于充分大的$n$，$S_{n,s-2}$是所有$n$ -顶点$K_s$ -饱和图中$M_k$个数最少的图，并且当$k \leq s-2$为唯一极值图.此外，我们还证明了当$k=2$和$s=3$时，$S_{n,1}$是唯一的极图.
2022-11-06 math.CO
Minimum Distance Spectral Radius of Graphs with Given Edge Connectivity
本文在给定边连通度的固定阶连通图中，确定了唯一具有最小距离谱半径的图。
2012-03-14 math.CO
Saturated $2$-planar drawings with few edges
该研究针对饱和2-平面图的最小边数问题，分别在两条边最多交叉一次和可多次交叉的条件下，推导得出n-1的下界和⌊2n/3⌋的紧界，补充了k>0时饱和k-平面图边数的相关结论。
2023-08-29 math.CO
The Minimum Spectral Radius of Graphs with the Independence Number
本文研究了连通图的Perron向量的一些性质。利用这些结果分别刻画了具有独立数$α$的所有$n=kα$阶连通图中具有最小（最大）谱半径的所有极连通图.
2013-08-09 math.CO
$K_r$-saturated Graphs and the Two Families Theorem
给定一个图$H$，我们说一个图$G$是$H$ -饱和的，如果$G$不包含$H$的副本，但添加任何新的边缘到$G$创建一个$H$的副本。设$sat(n,K_r,t)$是$K_r$饱和图中最小度至少为$t$的$n$顶点上的最小边数. Day证明了对于固定的$r \geq 3$和$t \geq r-2$，$sat(n,K_r,t)=tn-c(r,t)$对于足够大的$n$，其中$c(r,t)$是依赖于$r$和$t$的常数，并证明了固定的$r$和大的$t$的界限$$ 2^t t^{3/2} \ll_r c(r,t) \leq t^{t^{2t^2}} $$。在本文中，我们表明，对于固定的$r$和大的$t$，$c(r,t)$的数量级是由$c(r,t)=Θ_r \left(4^t t^{-1/2} \right)$。此外，我们调查的依赖$r$，获得估计$$ \frac{4^{t-r}}{\sqrt{t-r+3}} + r^2 \ll c(r,t) \ll \frac{4^{t-r} \min{(r,\sqrt{t-r+3})}}{\sqrt{t-r+3}} + r^2 \ . $$。我们进一步表明，对所有$r$和$t$，有一个有限的图的集合，使所有的极值图是在集合中的图的爆破。利用类似的思想，我们证明了每一个大的$K_r$ -饱和图的$e$边有一个顶点覆盖的大小$O(e / \log e)$，均…
2023-02-26 math.CO
On the number of edges in saturated partial embeddings of maximal planar graphs
本文研究极大平面图饱和部分平面嵌入的边数极值问题，证明平面饱和数存在严格小于3倍顶点数的上界，并确定其与边数比值的最小范围，回答了Clifton和Simon提出的问题。
2025-02-08 math.CO
Saturated Subgraphs of the Hypercube
我们称$G$是\emph{$(Q_n,Q_m)$-saturated}，如果它是$n$ -维超立方体$Q_n$的极大无$Q_m$子图.一个图$G$称为$(Q_n,Q_m)$ -半饱和图，如果它是$Q_n$的一个子图，并且添加任何边形成$Q_m$的一个新拷贝。讨论了$(Q_n,Q_m)$ -饱和图的最小边数. $(Q_n,Q_m)$ -半饱和图）可以表示为$sat(Q_n,Q_m)$（分别为$s\text{-}sat(Q_n,Q_m)$）。我们证明，$ \lim_{n\to\infty}\frac{sat(Q_n,Q_m)}{e(Q_n)}=0$，为固定的$m$，证伪Santolupo的猜想，当$m=2$，这个限制是$\frac{1}{4}$。此外，我们通过不同的方法表明，$sat(Q_n, Q_2)=O(2^n)$，和$s\text{-}sat(Q_n, Q_m)=O(2^n)$，固定的$m$。我们还证明了$s-sat(Q_n,Q_2)\geq \frac{m+1}{2}\cdot 2^n$的下界，从而确定了$sat(Q_n,Q_2)$在一个常数因子内，并讨论了一些进一步的问题。
2016-08-17 math.CO
Twin-free $K_r$-saturated Graphs and Maximally Independent Sets in $K_3$-free Graphs
针对无孪生顶点的$K_r$-饱和图问题，定义$tsat(n,K_r)$为其最小边数并给出上下界，同时揭示其与无$K_3$图中极大独立集相关问题的联系。
2024-11-28 math.CO
Minimizing the number of edges in $\mathcal{C}_{\ge r}$-saturated graphs
给定一个图族$\mathcal{F}$，如果$G$不包含$F$的副本作为任何$F\in\mathcal{F}$的子图，但添加任何边$e\notin E(G)$在$G$内创建了某些$F\in\mathcal{F}$的至少一个副本，则称图$G$是$\mathcal{F}$饱和的. $\mathcal{F}$ -饱和图在$n$顶点上的最小尺寸称为饱和数，记为$\sat(n, \mathcal{F})$ .设$\mathcal{C}_{\ge r}$是长度至少为$r$的圈族。Ferrara等人（2012）给出了$\sat(n, C_{\ge r})$的下限和上限，并确定了$3\le r\le 5$的$\sat(n, C_{\ge r})$的精确值。本文确定了$r=6$和$28\le \frac{n}2\le r\le n$的$\sat(n,\mathcal{C}_{\ge r})$的精确值，并对其它情形给出了新的上下界.
2021-03-01 math.CO
Maximum spectral radius of graphs with given connectivity and minimum degree
Shiu，Chan和Chang [关于连通度至多为$k$的图的谱半径，J. Math. Chem.，46（2009），340-346]研究了具有$κ(G) \leq k$的$n$阶的图的谱半径，并且示出了在这些图中，在$K_k^n$处唯一地获得最大谱半径，$K_k^n$是通过将来自$K_{n-1}$的$k$顶点的$k$边连接到孤立顶点而获得的图。本文利用$κ(G)\leq k$和最小度$δ(G)\geq k $研究了$n$阶图的谱半径.我们表明，在这些图中，最大谱半径在$K_{k}+(K_{δ-k+1}\cup K_{n-δ-1})$上唯一获得。
2011-07-27 math.CO
Signless Laplacian spectral radius and Hamiltonicity of graphs with large minimum degree
本文利用无号Laplacian谱半径建立了最小度大的图的Hamilton性的一个充分条件，并刻画了所有的极图.此外，我们证明了平衡二部图的一个类似结果。另外，我们构造了无穷多个图，证明了本文的结果为判定图的Hamilton性提供了新的强度。
2017-10-24 math.CO
Few $T$ copies in $H$-saturated graphs
一个图是$F$饱和的，如果它是$F$自由的，但任何边的添加创建一个$F$的副本.本文研究了$F$饱和图在$n$顶点上所能包含的$H$的最小拷贝数$\mathrm{sat}(n, H, F)$.该参数是Alon和Shikhelman的广义Turán问题的自然饱和模拟，并且让$H = K_2$恢复充分研究的饱和函数。我们提供了第一次调查到这个一般的功能集中在主机图是$K_s$或$C_k$饱和的情况下。一些有代表性的有趣行为是：（a）对于任何自然数$m$，存在图$H$和$F$使得$\mathrm{sat}(n, H, F) = Θ(n^m)$。(b)对于许多对$k$和$l$，我们显示$\mathrm{sat}(n, C_l, C_k) = 0$。特别地，我们证明了对于任意的$k > 4$和足够大的$n$，在$n$顶点上存在一个无三角形的$C_k$饱和图。(c)$\mathrm{sat}(n, K_3, K_4) = n-2$、$\mathrm{sat}(n, C_4, K_4) \sim \frac{n^2}{2}$和$\mathrm{sat}(n, C_6, K_5) \sim n^3$。我们将讨论几个尚未解决的有趣问题。
2018-10-15 math.CO
The minimum spectral radius of graphs with a given domination number
设$\mathbb{G}_{n,γ}$是控制数为$γ$且顶点数为$n$的简单连通图的集合.在$\mathbb{G}_{n,γ}$中具有最小谱半径的图称为极小图。本文首先证明了$\mathbb{G}_{n,γ}$的极小图必为树。此外，对于$γ\in\{1,2,3,\lceil\frac{n}{3}\rceil,\lfloor\frac{n}{2}\rfloor\}$，我们刻画了$\mathbb{G}_{n,γ}$中的所有极小图.
2022-12-02 math.CO
Minimizing the number of edges in $K_{s,t}$-saturated bipartite graphs
本文考虑饱和二部图的边极小化问题。一个由$n$构成的$n$二分图$G$是$H$饱和的，如果$G$不包含一个与$H$同构的子图，但是向$G$添加任何缺失的边会创建$H$的一个副本.半个多世纪以前，Wessel和Bollobás独立地解决了$K_{(s,t)}$ -饱和图的边数最小化问题，其中$K_{(s,t)}$是“有序”完全二部图，其中$s$顶点来自第一个颜色类，$t$来自第二个颜色类。然而，这个问题的非常自然的“无序”的类似物被认为是只有五年前由Moshkovitz和Shapira。当$s=t$时，可以很容易地检查无序变体与有序情况完全相同。后来，GAN，Korándi和Sudakov给出了$K_{s,t}$ -饱和$n$ by $n$二部图的最小边数的渐近紧界，它仅比Moshkovitz和Shapira的猜想小一个加性常数。本文用极图的分类证明了他们关于$s=t-1$的猜想。我们还改进了GAN，Korándi和Sudakov对一般$s$和$t$以及所有足够大的$n$的估计。
2021-03-29 math.CO
Saturation in random graphs
一个图$H$是$K_s$ -饱和的，如果它是一个极大无$K_s$图，即，$H$在$s$顶点上不包含团，但添加任何缺失边都会创建团。$K_s$ -饱和图的最小边数在50多年前由Zykov确定，并由Erdens，Hajnal和Moon独立确定。在本文中，我们研究了这个问题的随机模拟：最小化的最大$K_s$ -免费的子图的Erdens-Rényi随机图$G(n,p)$的边的数量。我们给出了这个最小值的渐近紧估计，并为随机图中弱饱和的相关概念提供了精确的界。我们的研究结果揭示了这些参数的一些令人惊讶的行为。
2016-04-13 math.CO
On Minimum Terminal Distance Spectral Radius of Trees with Given Degree Sequence
对于给定顶点度序列的树，其终端距离矩阵的谱半径由BFS-树（也称为贪婪树）的终端距离矩阵的平均行和从下向上限定.这个下界通常不是紧的;然而，由于BFS-树的终端距离矩阵的谱半径是自然的上界，数值模拟表明上界和下界之间的相对差距不超过3%（我们也朝着分析证明这一事实迈出了一步）。因此，BFS树在给定度序列的所有树中具有最小终端距离谱半径的猜想是正确的，其正确率至少为97%。同样的技术可以应用于树的距离谱半径，这是一个更流行的拓扑指数。
2015-07-08 math.CO
Saturation in the Hypercube and Bootstrap Percolation
令$Q_d$表示维数为$d$的超立方体。给定$d\geq m$，$Q_d$的生成子图$G$称为$(Q_d,Q_m)$ -饱和，如果它不包含$Q_m$作为子图，但添加$E(Q_d)\setminus E(G)$的任何边都会在$G$中创建$Q_m$的副本。本文讨论了Johnson和Pinto提出的一个问题，证明了对于每个固定的$m\geq2$，$(Q_d,Q_m)$ -饱和图的最小边数是$Θ(2^d)$ .我们还研究了弱饱和，这是一种形式的自助渗流。如果$E(Q_d)\setminus E(G)$的边可以一次一个地添加到$G$中，使得每个添加的边创建$Q_m$的新副本，则称$Q_d$的生成子图是弱$(Q_d,Q_m)$ -饱和的。我们讨论了Johnson和Pinto的另一个问题，确定了弱$(Q_d,Q_m)$ -饱和图的最小边数，对所有的$d\geq m\geq1$ .更一般地说，我们确定的最小数量的边缘在一个子图的$d$维网格$P_k^d$是弱饱和的“轴对齐”副本的一个较小的网格$P_r^m$。我们还研究了网格中的弱饱和圈。
2015-06-01 cs.DM math.CO
Distance spectral radius of uniform hypergraphs
研究了三种类型的嫁接变换对一致超图的距离谱半径的增减作用，确定了唯一的$k$ -一致超图，分别具有最大、次大、最小和次小距离谱半径.
2016-02-26 math.CO
Connected graphs with a large dissociation number attaining the minimum spectral radius
Shenzhen University（深圳大学）
研究给定阶数\(n\)和解离数\(\psi\)的连通图的最小谱半径，对于\(\psi=n - k\)（\(k\geq4\)固定且\(n\)足够大），建立上下界并证明极值图所属类别。
2026-07-14 math.CO
Graphs with induced-saturation number zero
给定图$G$和$H$，如果$H$不是$G$的子图，则$G$是$H$饱和的，但是对于所有$e \notin E(G)$，$H$显示为$G + e$的子图。对于每一个$n \ge |V(H)|$，存在一个$n$ -顶点图是$H$ -饱和的，但对于诱导子图则不成立.也就是说，存在图$H$和$n \ge |V(H)|$的值，其中每个$n$ -顶点图$G$包含$H$作为导出子图，或者存在$e \notin E(G)$使得$G + e$不包含$H$作为诱导子图。为了避免这个问题，Martin和Smith在引入诱导饱和度和图的诱导饱和数的概念时使用了三图。这允许在搜索H的诱导副本时可以包括或排除的边缘，并且诱导饱和数是所需的这种边缘的最小数量。本文证明了许多常见图的诱导饱和数为零。因此，这产生了H诱导饱和的图，而不是三图。我们引入了一个新的参数indsat*（n;H），它是n阶H诱导饱和图的最小边数.我们提供了许多图indsat*（n;H）的界限。特别地，我们完全确定indsat*（n;paw），并且indsat*（n; $K_{1,3}$）对于无穷多个n。
2015-03-06 math.CO
Minimum spectral radius of graphs of fixed order and dissociation number and its connection to Turán problems
Department of Mathematical Sciences, The University of Memphis（孟菲斯大学数学科学系）；Department of Mathematics, University of Rochester（罗切斯特大学数学系）
该文研究固定阶数与解离数的连通图的最小边数与谱半径，结合完全多部图Turán型问题推广已有结果、证明稳定性结论，并刻画极值图结构、推导相关参数新上界与解离数新界。
2025-10-30 math.CO
Saturation Numbers for Linear Forests $P_6$ + $tP_2$
一个图$G$是$H$ -饱和的，如果它不包含$H$作为子图，但在$G$的补图中添加任何边后包含$H$。饱和数，$sat (n, H)$，是在所有$n$阶的$H$ -饱和图的集合中图的最小边数。本文确定了$n \geq 10t/3 + 10$的饱和数$sat (n, P_6 + tP_2)$，刻画了$n >10t/3 + 20$的极图.
2021-10-17 math.CO
Radius, Girth and Minimum Degree
给定一个连通图$G$，其顶点为$n$，最小度为$δ\geq 2$，围长至少为$g \geq 4$，那么这个图的最大半径$r$是多少？Erdwords，Pach，Pollack和Tuza在无三角形的情况下（$g=4$）建立了$r \leq \frac{n-2}δ+12$，并指出直到加性常数的值，这是紧的。我们确定三角形自由的情况下的确切值。对于更高的$g$，知之甚少。我们确定了$g=6,8,12$的$r$的阶，并证明了一般偶数$g$的阶的一个上界.最后，证明了一般偶数$g$的相应下界等价于Erdés围长猜想.
2020-09-03 math.CO
Hypergraph Saturation Irregularities
设$\mathcal{F}$是一类$r$ -图.一个$r$ -图$G$称为$\mathcal{F}$ -饱和，如果它不包含$\mathcal{F}$的任何成员，但添加任何边创建了$\mathcal{F}$中某个$r$ -图的副本.饱和数$\operatorname{sat}(\mathcal{F},n)$是$\mathcal{F}$ -饱和图中在$n$顶点上的最小边数。证明了存在有限族$\mathcal{F}$使得$\operatorname{sat}(\mathcal{F},n) / n^{r-1}$不趋于极限.这就解决了皮库尔科的问题。
2018-03-15 math.CO
Spectral radius and signless Laplacian spectral radius of strongly connected digraphs
设D是强连通有向图，A（D）是D的邻接矩阵.设diag（D）是D的顶点具有出度的对角矩阵，Q（D）= diag（D）+ A（D）是D的无符号拉普拉斯矩阵. Q（D）的谱半径称为D的无符号拉普拉斯谱半径，记为q（D）。本文给出了q（D）的带出度序列的尖上界，并与已知的上界进行了比较，给出了q（D）的带团数、围长或点连通度的尖上界或下界，刻画了相应的极有向图或提出的公开问题.此外，我们还确定了在所有强连通有向图中唯一达到最小（或最大）、第二小（或最大）、第三小、第四小谱半径和无号Laplacian谱半径的有向图，并回答了Lin-Shu [H. Q. Lin，J.L. Shu，A note on the spectral characterization of strong connected bicycle digraphs，线性代数应用436（2012）2524{2530].
2014-01-28 math.CO
Connected graphs with a given dissociation number attaining the minimum spectral radius
本文研究给定解离数下谱半径最小的$n$阶连通图，刻画了解离数取若干特定值时的极值图，并证明解离数大于$\lceil2n/3\rceil$时极值图为树。
2023-09-27 math.CO
On spectral radius of strongly connected digraphs
在强连通有向图中，我们确定了分别达到$n\ge 4$阶的第二、第三和第四最小谱半径的有向图，从而肯定地回答了关于$n\ge 4$的所有$n$阶强连通双圈有向图中达到最小谱半径的唯一有向图是否达到所有$n$阶强连通有向图中的第二小谱半径的问题在[H. Lin，J. Shu，A note on the spectral characterization of strong connected bicycle digraphs，线性代数应用436（2012）2524--2530].我们还分别讨论了具有小谱半径和大谱半径的强连通双圈有向图。
2013-05-01 math.CO
Saturated Partial Embeddings of Maximal Planar Graphs
本文研究极大平面图部分嵌入的标号与无标号两种饱和概念，给出标号平面饱和比的近紧上下界，并构造无标号平面饱和比至少为 $1/2$ 的图族。
2024-12-08 math.CO
Graphs with the minimum spectral radius for given independence number
设$\mathbb{G}_{n,α}$是阶数为$n$且独立数为$α$的连通图的集合.给定$k=n-α$，在$\mathbb{G}_{n,α}$中具有最小谱半径的图称为极小图。Stevanović在古典著作[D. Stevanović，图的谱半径，学术出版社，阿姆斯特丹，2015年。指出在$\mathbb{G}_{n,α}$中确定极小图是$96$中的一个难题。最近，Lou和Guo在\cite{Lou}中证明了如果$α\ge\lceil\frac{n}{2}\rceil$，则$\mathbb{G}_{n,α}$的极小图一定是树。本文进一步详细地给出了极小图的结构特征，并给出了极小图的构造定理，从而从理论上完全确定了$k=n-α\le \frac{n}{2}$中的极小图及其谱半径.作为应用，我们确定了$α=n-1,n-2,n-3,n-4,n-5,n-6$的$\mathbb{G}_{n,α}$中的所有极小图及其谱半径，前四个结果是\cite{Xu,Lou}中已知的，后两个是新的.
2022-06-18 math.CO
Extremal problems on saturation for the family of $k$-edge-connected graphs
设$\mathcal{F}$是一个图族。一个图$G$是$\mathcal{F}$ -饱和的，如果$G$不包含$\mathcal{F}$的成员作为子图，但当$e\in E(\overline{G})$时，$G+e$包含$\mathcal{F}$的某个成员. $\mathcal{F}$的饱和数和极值数分别记为$sat(n,\mathcal{F})$和$ex(n,\mathcal{F})$，是$n$ -顶点$\mathcal{F}$ -饱和图中边的最小和最大数.对于$k\in\mathbb{N}$，设$\mathcal{F}_k$和$\mathcal{F}'_k$分别是$k$ -连通图和$k$ -边-连通图的族.温格证明了$sat(n,\mathcal{F}_k)=(k-1)n-{k\choose2}$，我们证明了$sat(n,\mathcal{F}'_k)=(k-1)(n-1)-\lfloor{\frac {n}{k+1}}\rfloor{k-1 \choose 2}$。我们还证明了$ex(n,\mathcal{F}'_k)=(k-1)n-{k\choose2}$和刻画时，平等持有。最后，我们给出了$\mathcal{F}_k$ -饱和图和$\mathcal{F}'_k$ -饱和图的谱半径的一个下界.
2018-03-03 math.CO
Minimizing the numbers of cliques and cycles of fixed size in an $F$-saturated graph
本文考虑了两个重要的问题，在充分研究的理论图是$F$饱和。一个图$G$称为$F$ -饱和图，如果$G$不包含与$F$同构的子图，但是添加任何边都会创建$F$的副本。我们首先解决了一个基本问题，最小化的大小$r$集团的数量在一个$K_s$饱和图的所有足够大的顶点数，确认一个猜想的Kritschgau，Methuku，泰特，和Timmons。我们还进一步证明了相应的稳定性结果。接下来，我们最小化的周期长度$r$在$K_s$饱和图的所有足够大的顶点数，并分类的极值图的大多数值的$r$，回答另一个问题的Kritschgau，Methuku，泰特，和Timmons的大多数$r$。然后，我们转移到一个中心和长期猜想图饱和度提出的，它指出，对于每一个图$F$，极限$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\sat(n, F)}{n}$存在，其中$\sat(n, F)$表示的最小数量的边在$n$ -顶点$F$ -饱和图。Pikhurko通过考虑图族而不是单个图，在负方向上取得了进展，并证明了存在大小为$4$的图族$\mathcal{F}$，对于该图族不存在$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\sat(n, \mathcal{F})}{n}$（对于图族$\mathcal{F}$，如果$G$不包含$\mathcal{F}$中任何图的副本，则…
2020-07-15 math.CO
Spectral radius and Hamiltonicity of graphs with large minimum degree
本文给出了图的Hamilton路和圈的充分条件。设$λ\left( G\right) $表示图$G,$的邻接矩阵的谱半径，本文的主要结果是：（1）设$n\geq k^{3}/2+k+4,$和$G$是一个阶为$n$，度最小的图，若\[ λ\left( G\right) \geq n-k-1, \]，则$G$有Hamilton圈，除非$G=K_{1}\vee(K_{n-k-1}+K_{k})$或$G=K_{k}\vee(K_{n-2k}+\overline{K}_{k})$ . (2)令$k\geq1,$ $n\geq k^{3}/2+k^{2}/2+k+5,$和令$G$是一个图的顺序$n$，与最小程度$δ\left( G\right) \geq k.$如果\[ λ\left( G\right) \geq n-k-2, \]然后$G$有一个哈密尔顿路径，除非$G=K_{k}\vee(K_{n-2k-1}+\overline {K}_{k+1})$或$G=K_{n-k-1}+K_{k+1}$此外，它表明，在上述声明中，在$n$上的边界是紧的加法项不超过$2$。
2016-11-06 math.CO
Saturated Partial Embeddings of Planar Graphs
本文定义平面图的平面饱和率，证明无孪生平面图的该比率严格大于1/16且可任意逼近1/16，并研究含受限低度孪生顶点的更广泛图类。
2024-03-04 math.CO
On the minimum spectral radius of unicyclic graphs with a given matching number
SRM Institute of Science and Technology（SRM科学与技术学院）；Indian Institute of Technology Guwahati（印度理工学院古瓦哈提分校）
研究给定匹配数的单圈图类中谱半径最小的图，并刻画了匹配数为1,2,3和⌊n/2⌋时的极图。
2026-06-16 math.CO
On the $A_α$ spectral radius of strongly connected digraphs
设$G$是一个具有邻接矩阵$A(G)$的有向图。设$D(G)$是$G$的顶点度为out的对角矩阵。Nikiforov \cite{Niki}提出研究无向图的度的邻接矩阵和对角矩阵的凸组合。Liu等人的\cite{LWCL}将该定义扩展到了有向图。对于任何实数$α\in[0,1]$，有向图$G$的矩阵$A_α(G)$定义为$$A_α(G)=αD(G)+(1-α)A(G).$$。$A_α(G)$的特征值的最大模称为$G$的$A_α$谱半径，记为$λ_α(G)$。本文证明了关于谱半径$λ_α(G)$的一些极值结果，推广了以前关于$λ_0(G)$和$λ_{\frac{1}{2}}(G)$的结果.特别地，我们刻画了$n$顶点上的所有$\widetilde{\infty}$ -有向图和$\widetildeθ$ -有向图中具有最大（或最小）$A_α$谱半径的极有向图.此外，我们确定了强连通双圈有向图中具有第二和第三小$A_α$谱半径的有向图。对于$0\leqα\leq\frac{1}{2}$，我们还确定了在$n$顶点上的所有强连通有向图中具有第二、第三和第四最小$A_α$谱半径的有向图。最后，我们刻画了在所有含有完全二部子有向图的强连通二部有向图中具有最小$A_α$谱半径的有向图。
2021-05-23 math.CO
Extremal distance spectra of graphs and essential connectivity
本文研究图的本质连通度与距离谱半径的极值关系，确定了给定本质连通度下具有最小距离谱半径的图、连通图及强连通有向图的极值结构。
2025-01-20 math.CO
Two spectral extremal results for graphs with given order and rank
图的谱半径和秩分别定义为图的邻接矩阵的谱半径和秩。确定某些图族上具有最大或最小谱半径的极图是谱极值图论中的一个重要问题。Monsalve和Rada [Extremal谱半径of graphs with rank 4，线性代数Appl.609（2021）1-11]得到了所有n阶秩4图中具有最大和最小谱半径的极图。本文首先确定了任意给定阶数和秩为r的图中谱半径最大的极图，进而确定了阶数和秩为5的图中谱半径最小的极图。
2023-01-13 math.CO
