Universal Vertices and Saturation Numbers for Disjoint Triangles
Graduate School of Informatics, Kyoto University（京都大学大学院信息学研究科）
本文研究不含(m+1)个不相交三角形的饱和图，构造了一族饱和图给出上界O(n^{3/2})，并将Faudree等人的阈值从n≥12m+3降至n≥9m+5，证明饱和数为n+6m-1。
2026-06-25 math.CO
Constructing Triangle Decomposable Multigraphs with Minimum Multi-edges
研究了图的三角分解。我们考虑的建设类图的每一个边缘在于一个三角形和添加的最小数量的重边之间已经邻顶点的结果在一个强三角形整除图，也是三角形可分解的。我们探讨了几类可平面图以及一类环形图。
2021-08-19 math.CO
Fractional triangle decompositions in graphs with large minimum degree
图的三角形分解是将图的边划分成三角形。图的分数三角形分解是将非负权重分配给其每个三角形，使得包含任何给定边的三角形的权重之和为1。证明了对所有的$ε> 0$，$n$顶点上的最小度至少为$(0.9 + ε)n$的所有足够大的图都有一个分数三角分解.这改进了Garaschuk的一个结果，即对于最小度至少为$0.956n$的图，同样的结果也成立。结合Barber，Kühn，Lo和Osthus最近的一个结果，这意味着对于所有的$ε> 0$，$n$顶点上的每一个足够大的三角形可分图，其最小度至少为$(0.9 + ε)n$，都允许一个三角形分解.
2015-07-21 math.CO
On Minimum Saturated Matrices
受Anstee，Griggs和Sali关于禁止子矩阵和图的极值sat-function的工作的启发，我们引入了矩阵的sat-type问题。设F是k-行矩阵族。一个矩阵M称为F-容许的，如果M不包含子矩阵G \in F（作为G的行和列置换）.如果M是F-容许的，则没有重复列的矩阵M是F-饱和的，但添加M中不存在的任何列都违反了这一性质。本文研究了n行F-饱和矩阵的列数最少的函数sat（n，F）。本文对任意k-行矩阵族F建立了sat（n，F）=O（n^{k-1}）的估计，并计算了几个小的禁止矩阵的sat函数.
2012-05-24 math.CO
Asymptotic Structure of Graphs with the Minimum Number of Triangles
我们考虑了给定阶数和大小的图中三角形个数的最小化问题，并描述了极图的渐近结构。这是通过描述使三角形密度最小化的标志代数同态的集合来实现的。
2014-09-24 math.CO
The minimum number of 4-cliques in graphs with triangle-free complement
f（n）表示n阶图中4-团的最小数目，且无三角形补。寻找f（n）是Erdos在1962年提出的一个问题的一个特例。当图接近正则时，我们给出了f（n）的一个上界和一个匹配的下界.
2005-01-14 math.CO
Detour-saturated graphs of small girths
图G的迂回路是图G中的最长路。G的迂回阶是G的迂回中的顶点数。一个图被称为迂回饱和的，如果添加任何边严格增加迂回顺序。低气压Beineke，J.E. Dunbar和M.弗里克在2005年提出了以下三个问题。(1)围长为4的迂回饱和图的最小阶是多少？(2)设Pr是Petersen图的一个顶点分裂成三片叶子而得到的图。Pr是最小的无三角形的弯路饱和图吗？(3)是否存在围长大于5的迂回饱和图？我们回答这些问题。
2018-06-18 math.CO
An invariant for minimum triangle-free graphs
我们研究了具有指定顶点数$n(G)$、独立数$α(G)$和长度为4的圈数$\operatorname{N}(C_4;G)$的无三角形图的边数$e(G)$。我们特别表明，$$3e(G) - 17n(G) + 35α(G) + \operatorname{N}(C_4;G) \geq 0$$的所有三角形的自由图$G$。我们还证明了满足这个不等式的图具有相等性。
2016-12-04 math.CO
$K_{s,t}$-saturated bipartite graphs
一个$n$乘$n$二部图是$H$饱和的，如果在它的两个部分之间添加任何缺失的边都会创建一个新的$H$副本。1964年，Erdés，Hajnal和Moon提出了关于$K_{s,s}$ -饱和二部图的最小边数的猜想.这个猜想由Wessel和Bollobás在一个更一般但有序的环境中独立证明：他们证明了$K_{(s,t)}$饱和二部图的最小边数是$n^2-(n-s+1)(n-t+1)$，其中$K_{(s,t)}$是“有序”完全二部图，其中$s$顶点在第一个颜色类，$t$顶点在第二个颜色类。然而，在无序$K_{s,t}$饱和的情况下确定最小边数的非常自然的问题仍然没有解决。这个问题最近被Moshkovitz和Shapira考虑过，他们也证明了它的答案应该是什么。本文给出了$K_{s,t}$ -饱和二部图的最小边数的一个渐近紧界，它仅比Moshkovitz和Shapira的猜想小一个加性常数.我们还证明了他们的猜想$K_{2,3}$ -饱和，这是第一个开放的情况。
2014-11-26 math.CO
On the minimum degree required for a triangle decomposition
我们证明了，对于足够大的$n$，每一个图的顺序$n$的最小度至少$0.852n$有一个分数边分解成三角形。我们通过改进Dross用来建立$0.9n$的一个界限的方法来做到这一点。利用Barber，Kühn，Lo和Osthus的一个结果，我们的结果意味着：对于每个$ε>0$，每个最小度至少为$(0.852+ε)n$的足够大阶$n$图都有三角分解当且仅当它的度都是偶数，且边数是3的倍数.
2020-01-16 math.CO
On the minimum number of distinct eigenvalues of triangle-free strongly regular graphs
本文研究了七个已知无三角形强正则图的最小不同特征值数，证明Clebsch图可达两个，并确定Sims-Gewirtz图的最小值为三，从而回答了一个开放问题。
2025-02-07 math.CO
Minimum saturated graphs for unions of cliques
该研究解决了Chen与Yuan提出的猜想，确定了团的并图$K_p\cup (t-1)K_q$对应的$n$阶最小饱和图族$Sat(n,K_p\cup (t-1)K_q)$，完善了图论中饱和数相关的结论。
2024-04-18 math.CO
The minimum spectral radius of $tP_4$-saturated graphs
School of Mathematics and Statistics, Beijing Institute of Technology（北京理工大学数学与统计学院）；Center for Combinatorics and LPMC, Nankai University（南开大学组合数学中心）
本文研究了$tP_4$-饱和图的谱半径问题，证明了其最小谱半径下界，并刻画了等号成立的图结构，同时指出特定条件下最小化谱半径与边数的集合不相交。
2026-02-10 math.CO
Variations on Ramsey numbers and minimum numbers of monochromatic triangles in line $2$-colorings of configurations
本文探索了拉姆齐数与单色化配置中单色三角形的最小数变体，通过定义线2-着色配置并计算具体对称示例，扩展并完善了相关图论理论。
2024-04-26 math.CO
The Minimum Number of Edges in $(p+1)K_2$-Saturated Graphs
Graduate School of Informatics, Kyoto University（京都大学情报大学院）；Zhejiang Normal University（浙江师范大学）
本文针对极值图论中确定$(p+1)K_2$-饱和图最小边数的公开问题，通过细化结构分析推导边数参数公式，完整解决该问题并推广已有结论，同时还原经典边数上界。
2025-11-17 math.CO
Minimum saturated graphs without $4$-cycles and $5$-cycles
本文研究不含4-环与5-环的图的饱和数问题，确定了n个顶点的{C₄,C₅}-饱和图的最小边数公式，推进了环族饱和数的精确计算研究。
2025-03-21 math.CO
All minimum $C_4$-saturated multipartite graphs
Tsinghua University（清华大学）；Beijing Jiaotong University（北京交通大学）
本文确定了完全 $k$-部图 $K_k^n$ 中 $C_4$-饱和子图的最小边数 $sat(K_4^n,C_4)$，并刻画了所有 $n\ge 2$ 和 $k\ge 4$ 时的极值结构。
2026-06-27 math.CO
Proximity and remoteness in triangle-free and C_4-free graphs in terms of order and minimum degree
设$G$是一个有限的连通图. $G$的顶点$v$的平均距离是从$v$到$G$的所有其他顶点的距离的算术平均值。$G$的距离$ρ(G)$和接近度$π(G)$是$G$的顶点的平均距离的最大值和最小值。本文给出了给定阶和最小度的无三角形图的距离的一个精确的上界，以及相应的距离的一个精确的上界，它与一个可加常数无关。我们还提出了上界的远程和邻近的$C_4$ -免费的图形给定的顺序和最低程度，我们证明，这些是接近最好的可能。
2020-02-08 math.CO
Progress towards Nash-Williams' Conjecture on Triangle Decompositions
将图的边划分成边不相交的三角形，形成图的三角形分解。Nash-Williams在1970年提出了一个著名的猜想：任何一个在$n$顶点上的三角形可分图，只要它的最小度至少为$0.75 n$，它就允许一个三角形分解。根据最近的结果，这个问题的分数版本是至关重要的。分数三角形分解是将非负权重分配给图中的每个三角形，使得沿着每条边的权重之和精确地为1。我们证明了，对于$n$顶点上的任何图，至少$0.827327 n$允许一个分数三角分解。结合Barber，Kühn，Lo，和Osthus的结果，这意味着对于$n$顶点上的每一个具有最小度的足够大的三角形可分图，至少$0.82733 n$允许一个三角形分解.
2020-10-01 math.CO
Monochromatic triangles in three-coloured graphs
1959年，Goodman确定了边集为双色的完全图中单色三角形的最少个数。古德曼还提出了问题，证明类似的结果完全图的边缘集着色有两个以上的颜色。在本文中，我们确定了在一个足够大的三色完全图中单色三角形的最小数目和达到这个最小数目的着色。
2012-06-10 math.CO
The exact minimum number of triangles in graphs of given order and size
一个给定阶数和大小的图中三角形的最小数目是多少？动机早期的结果曼特尔和图兰，拉德马赫解决了第一个非平凡的情况下，这个问题在1941年。这个问题在1955年被埃尔德什重新提出，现在被称为埃尔德什-拉德马赫问题。在引起广泛关注之后，它在2008年由Razborov的一项重大突破中渐近解决。本文给出了边密度在~ $1$之外有界的所有大型图的精确解，在此范围内证实了Lovász和Simonovits在1975年提出的一个猜想.此外，我们给出了极图的描述。
2020-04-24 math.CO
Minimum saturated families of sets
我们称$[n]$的子集的家族$\mathcal{F}$为$s$饱和的，如果它不包含$s$成对不相交的集合，而且没有集合可以添加到$\mathcal{F}$而保持这个属性（这里是$[n] = \{1,\ldots,n\}$）。40多年前，Erdibs和Kleitman证实$[n]$子集的$s$饱和家族的大小至少为$(1 - 2^{-(s-1)})2^n$ .很容易证明每个$s$饱和族的大小至少为$\frac{1}{2}\cdot 2^n$，但是，正如Frankl和Tokushige所提到的，对于某些固定的$\varepsilon > 0$，即使获得$(1/2 + \varepsilon)2^n$的稍微更好的界也似乎很困难。本文证明了这样一个结果，证明了$[n]$的子集的每个$s$饱和族的大小至少为$(1 - 1/s)2^n$。这个下界是一个多部版本的问题，在其中，我们寻求一个下界$|\mathcal{F}_1| + \ldots + |\mathcal{F}_s|$，其中$\mathcal{F}_1, \ldots, \mathcal{F}_s$是家庭的子集$[n]$，这样就没有$s$成对不相交的集，一个从每个家庭$\mathcal{F}_i$，而且没有一套可以添加到任何家庭，同时保持这一属性。我们表明，$|\mathcal{F}_1| + \ldots + |\mathcal{F}…
2018-04-24 math.CO
Triangle-free Graphs with Large Minimum Common Degree
本文证明最小公共度大于 n/8 的无三角形图必同态于长度为 5 的圈，从而推广 Häggkvist 的经典结果，并说明该界不可改进。
2024-08-10 math.CO
Fractional Triangle Decompositions at Partite Minimum Degree $4n/5$
University of California, Los Angeles（加州大学洛杉矶分校）
本文证明部分最小度为 $4n/5$ 的平衡三部图存在分数三角分解，并借此将部分拉丁方阵的可完成性阈值改进至 $\varepsilon<1/5$，优于此前 $2/25$ 的界。
2026-09-29 math.CO
On the Minimum Number of Edges in Triangle-Free 5-Critical Graphs
Kostochka和Yancey证明了每个5-临界图G满足：|E（G）|>=（9/4）|V（G）|- 5/4矿石的建设给出了一个无限的家庭满足这个界限的图形。证明了存在e，d > 0使得如果G是5-临界图，则|E（G）|>=（9/4 + e）|V（G）|- 5/4 - dT（G），其中T（G）是大小为3或4的顶点不相交的集团的最大数目，其中大小为4的集团具有大小为3的集团的两倍的权重。作为推论，无三角形的5-临界图G满足：|E（G）|>=（9/4 + e）|V（G）|- 5/4
2017-08-07 math.CO
Minimizing the number of complete bipartite graphs in a $K_s$-saturated graph
一个图$G$是$F$ -饱和的，如果它不包含$F$的副本作为子图，但任何新的边缘添加到$G$创建一个$F$的副本。我们证明了对于$s \geq 3$和$t \geq 2$，在$K_s$饱和图中$K_{1,t}$的最小拷贝数是$Θ( n^{t/2})$ .当$t = 2$问题涉及直径为2围长为5的Moore图时，得到了更精确的结果。证明了对于$s \geq 4$和$t \geq 3$，$K_{2,t}$在$n$ -顶点$K_s$ -饱和图中的最小拷贝数至少为$Ω( n^{t/5 + 8/5})$，至多为$O(n^{t/2 + 3/2})$ .这些结果回答了Chakraborti和Loh的一个问题。一般估计的$K_{a,b}$在$K_s$饱和图的拷贝数也得到了，但找到一个渐近公式仍然开放。
2021-01-02 math.CO
Some results on minimum saturated graphs
本文研究了极小饱和图问题，确定了 $\sat(n,\{K_3,P_k\})$ 的精确值，推导了 $\sat(n,K_3\cup P_k)$ 的两个界，并给出了 $\sat(n,K_1\lor F)$ 的精确值。
2025-10-12 math.CO
Triangle-tilings in graphs without large independent sets
本文研究了具有次线性独立数的$n$ -顶点图$G$中保证完美和几乎完美三角形拼接存在所需的最小度。在这种情况下，我们表明，如果$δ(G) \ge n/3 + o(n)$，那么$G$有一个三角形平铺覆盖所有，但最多四个顶点。此外，对于每一个$r \ge 5$，我们渐近地确定一个完美的三角形平铺的最小度阈值的额外的假设下，$G$是$K_r$自由和$n$是由$3$整除。
2016-07-26 math.CO
Strong connectivity and directed triangles in oriented graphs. Partial results on a particular case of the Caccetta-Häggkvist conjecture
Caccetta-Häggkvist猜想的一个特例是，一个最小出度至少为$1/3n$的$n$阶有向图包含一个长度至多为3的有向圈。最近，Kral，Hladky和Norine证明了最小出度至少为$0.3465n$的$n$阶有向图包含长度不超过3的有向圈（这是目前最好的结果）.一个较弱的特殊情况是，最小半度至少为$1/3n$的$n$阶有向图包含有向三角形。在最近的一篇文章中，作者利用Kral等人的结果证明了：对于$β\geq 0.343545$，任何阶为$n$且最小半度至少为$βn$的有向图$D$都包含一个长度至多为3的有向圈（这是目前最好的结果）.这意味着，对于给定的整数$d\geq 1$，每一个具有最小半度$d$且阶为$md$且阶为$m\leq 2.91082$的有向图都包含一个长度至多为3的有向圈。特别地，每一个具有最小半度$d$且阶$md$具有$m\leq 2.91082$的有向图都包含有向三角形。本文利用Kral等人的结果证明了：每一个半度为最小$d$，序为$md$且序为$2.91082< m\leq 3$，强连通度至多为$0.679d$的有向图都包含有向三角形.这将通过更一般和更精确的结果来暗示，不仅对$2.91082< m\leq 3$有效，而且对更大的$m$值也有效。作为应用，改进了已有的两个结果.第一个结果（作者Broersma和Li）涉及一个$n$阶且最小半度至少为…
2011-12-15 math.CO
$C_{2k}$-saturated graphs with no short odd cycles
图$F$的饱和数，写作$\textup{sat}(n,F)$，是$n$ -顶点$F$ -饱和图中的最小边数.关于饱和数的最早结果之一是由Erdens、Hajnal和Moon确定了所有$r \geq 3$的$\textup{sat}(n,K_r)$。从那时起，各种图和超图的饱和数被研究。受Alon和Shikhelman的广义Turán函数的启发，Kritschgau et. al.定义$\textup{sat}(n,H,F)$为$n$ -顶点$F$ -饱和图中$H$的最小拷贝数。他们证明，除其他事项外，$\textup{sat}(n,C_3,C_{2k}) = 0$的所有$k \geq 3$和$n \geq 2k +2$。我们将这个结果推广到所有的奇循环，证明了对于任何奇整数$r \geq 5$，$\textup{sat}(n, C_r,C_{2k}) = 0$对于所有的$2k \geq r+5$和$n \geq 2kr$。
2018-10-13 math.CO
Extremal problems on triangle areas in two and three dimensions
研究极值问题的三角形领域开始在一系列文件的Erdens和珀迪在20世纪70年代初。在本文中，我们提出了新的结果，这样的问题，有关的数量的三角形的相同面积的有限点集在平面上和3-空间，和数量的不同的地区所确定的三角形。在平面上，我们的主要结果是$n$点所跨越的单位面积三角形个数的$O(n^{44/19}) =O(n^{2.3158})$上界，这是对1992年以来$O(n^{7/3})$经典上界的首次突破。我们还在一些重要的特殊情况下取得了进展：我们表明：（i）对于凸位置的点，存在$n$-元素点集，跨越$Ω(n\log n)$三角形的单位面积。(ii)由$n$点确定的最小（非零）面积三角形的数量至多为${2/3}(n^2-n)$;存在跨越$(6/π^2-o(1))n^2$最小面积三角形的$n$-元素点集（对于任意大的$n$）。(iii)由$n$点确定的最小面积的锐角三角形的数量是O（n）;这是渐近紧的。(iv)对于在凸位置的$n$点，最小面积的三角形的数目是O（n）;这是渐近紧的。(v)如果不允许三个点共线，则存在跨越$Ω(n\log n)$最小面积三角形的$n$-元素点集（与（ii）相反，其中允许共线并且二次下界成立）。在3-空间中，我们证明了$n$点所跨越的单位面积三角形的数目的$O(n^{17/7}β(n))= O(n^{2.4286})$上界，其中$β(n)$是与逆Ackerm…
2007-10-22 math.CO
Saturation Number of Trees in the Hypercube
一个图$H^{\prime}$是$(H, G)$饱和的，如果它不含$G$，并且添加不在$H^{\prime}$中的$H$的任何边都会创建$G$的副本.饱和数$sat(H, G)$是$(H, G)$ -饱和图中的最小边数。研究了$n$维超立方体$Q_n$中树$T$的饱和数的界.我们首先提出了一个一般的下界的饱和数的基础上的最小程度的非叶。从那里，我们提出了两个一般的方法来构建$T$饱和子图的$Q_n$，并证明了非平凡的上界的特定类型的树，包括道路，广义星，和某些毛毛虫的限制下，最小程度的直径。
2014-11-10 math.CO
Triangle-free subgraphs of random graphs
最近，人们对极值图论中著名经典结果的随机图模拟研究产生了浓厚的兴趣。在这里，我们遵循这一趋势，并研究具有高最小度的$G(n,p)$的无三角形子图的结构。证明了对于某些$r=r(\varepsilon)$，$G(n,p)$的每个最小度至少为$\big(\frac{2}{5} + o(1)\big)pn$的无三角形生成子图都是$\mathcal O(p^{-1}n)$ -接近二部图，每个最小度至少为$(\frac{1}{3}+\varepsilon)pn$的无三角形生成子图都是$\mathcal O(p^{-1}n)$ -接近$r$ -部图.这些是Andrásfai、Erdés和Sós [Discrete Math.8（1974），205-218]的结果和Anjassen [Combinatorica 22（2002），591- 596]的结果的随机图模拟。我们还表明，我们的结果是最好的可能的常数因子。
2015-07-18 math.CO
Few $T$ copies in $H$-saturated graphs
一个图是$F$饱和的，如果它是$F$自由的，但任何边的添加创建一个$F$的副本.本文研究了$F$饱和图在$n$顶点上所能包含的$H$的最小拷贝数$\mathrm{sat}(n, H, F)$.该参数是Alon和Shikhelman的广义Turán问题的自然饱和模拟，并且让$H = K_2$恢复充分研究的饱和函数。我们提供了第一次调查到这个一般的功能集中在主机图是$K_s$或$C_k$饱和的情况下。一些有代表性的有趣行为是：（a）对于任何自然数$m$，存在图$H$和$F$使得$\mathrm{sat}(n, H, F) = Θ(n^m)$。(b)对于许多对$k$和$l$，我们显示$\mathrm{sat}(n, C_l, C_k) = 0$。特别地，我们证明了对于任意的$k > 4$和足够大的$n$，在$n$顶点上存在一个无三角形的$C_k$饱和图。(c)$\mathrm{sat}(n, K_3, K_4) = n-2$、$\mathrm{sat}(n, C_4, K_4) \sim \frac{n^2}{2}$和$\mathrm{sat}(n, C_6, K_5) \sim n^3$。我们将讨论几个尚未解决的有趣问题。
2018-10-15 math.CO
On rainbow saturated graphs with minimum number of edges
Tsinghua University（清华大学）
本文证明彩虹饱和数二分法：含孤立边的图饱和数为常数，否则为线性；并确定广义友谊图的渐近精确值。
2026-09-29 math.CO
Perfect tilings of 3-graphs with the generalised triangle
本文确定了3-一致超图被广义三角形完美铺砌的最佳最小共度条件，并给出了彩虹版本的渐近最优条件。
2025-05-08 math.CO
Triangle areas in line arrangements
一个广泛研究的主题组合几何，起源于Erdans，是以下。给定平面上基数为$n$的点集$P$，我们如何描述所确定距离的分布？这一点已在许多方面得到推广。在本文中，我们提出了以下变体。考虑$n$线的平面布置。确定由这些线确定的单位面积、最大面积或最小面积的三角形的最大数目。确定这些$n$线的子集的最小大小，以便所有三元组确定不同的面积三角形。我们证明了单位面积最大出现的数量级介于$Ω(n^2)$和$O(n^{9/4})$之间。这个结果是强连接到两个添加剂组合的结果和Szemerédi-特罗特型关联定理。接下来，我们展示了最小面积三角形的最大数量的紧界。最后结合代数、几何和组合技巧给出了最大面积和不同面积问题的上下界上界。
2020-04-08 math.CO
Rainbow triangles in edge-colored graphs with large minimum color degree
Nankai University（南开大学）
本文完全确定了最小色度至少为(n+1)/2的n阶边着色图中彩虹三角形的最小数量f(n)，解决了Li等人提出的公开问题。
2026-06-23 math.CO
On the difference between proximity and other distance parameters in triangle-free graphs and $C_4$-free graphs
连通图$G$的顶点$v$的平均距离是从$v$到$G$的所有其他顶点的距离的算术平均值。$G$的邻近度$π(G)$和远离度$ρ(G)$是$G$的顶点的平均距离的最小值和最大值。本文给出了具有给定阶和最小度的无三角形图的距离与邻近、直径与邻近、半径与邻近之差的上界。我们得到后两个结果，首先证明下界的顺序，最小程度和直径或半径方面的接近。我们的边界是尖锐的除了一个加法常数。我们还得到了相应的界限$C_4$ -自由图。
2021-06-04 math.CO
On the minimum number of triangles in balanced tripartite graphs with large minimum degree
School of Computer Science and Technology, Dongguan University of Technology（东莞理工学院计算机科学与技术学院）；School of Mathematical Sciences, Zhejiang Normal University（浙江师范大学数学科学学院）
该研究针对三部图最小度约束下三角形最小数量问题，构造反例推翻Bollobás等人提出的$4t^3$上界猜想，并将下界从$t^3$改进至$\frac{12}{5}t^3$。
2026-09-18 math.CO
Two stability theorems for $\mathcal{K}_{\ell + 1}^{r}$-saturated hypergraphs
一个$\mathcal{F}$ -饱和$r$ -图是一个不包含任何$\mathcal{F}$成员作为子图的极大$r$ -图.设$\mathcal{K}_{\ell + 1}^{r}$是所有$r$ -图$F$的集合，其中至多有$\binom{\ell+1}{2}$条边，使得对于某些$\left(\ell+1\right)$ -集$S$，每对$\{u, v\} \subset S$都被$F$中的一条边覆盖.我们的第一个结果表明，对每个$\ell \geq r \geq 2$，每个$t_{r}(n, \ell) - o(n^{r-1+1/\ell})$顶点上的$\mathcal{K}_{\ell+1}^{r}$ -饱和$r$ -图都含有$(1-o(1))n$顶点上的完全$\ell$ -部子图，这推广了Popielarz，Sahasrabudhe和Snyder给出的$K_{\ell+1}$ -饱和图的稳定性定理.我们还表明，该界是最好的可能。我们的第二个结果是由Andrásfai，Erdés和Sós的一个著名定理的动机，其中规定，对于$\ell \geq 2$，每个$K_{\ell+1}$ -free图$G$上的$n$顶点具有最小程度的$δ(G) > \frac{3\ell-4}{3\ell-1}n$是$\ell$ -partite。一个$r$ -图$\mathcal{H}$（记为$δ_{…
2022-11-05 math.CO
Sparse halves in dense triangle-free graphs
Erdinger证明了在$n$顶点上的每个无三角形图$G$都包含一组至多跨越$n^2 /50$边的$\lfloor n/2 \rfloor$顶点. Krivelevich证明了最小度至少为$\frac{2}{5}n$的图的猜想。Keevash和Sudakov将这个结果改进为平均度至少为$\frac{2}{5}n$的图。我们加强这些结果表明，猜想持有的最低程度至少$\frac{5}{14}n$和图的平均程度至少$(\frac{2}{5} - \varepsilon)n$的一些绝对$\varepsilon >0$的图。此外，我们证明了猜想是正确的，图的编辑距离接近的Petersen图。
2015-02-10 math.CO
Fractional triangle decompositions of dense 3-partite graphs
我们计算一个最小度阈值足以3部图承认分数三角形分解。再加上最近的工作巴伯，库恩，洛，奥斯托斯和泰勒，这导致边界的确切分解，特别是完成问题的稀疏部分拉丁方。也考虑了一些扩展。
2016-09-09 math.CO
Dense induced bipartite subgraphs in triangle-free graphs
在$H$ -free图中寻找稠密诱导二部子图的问题由来已久，早在30年前就由Erdens，Faudree，Pach和Spencer提出。在本文中，我们在这个方向上得到了几个结果。首先证明了任何最小度至少为$d$的$K_t$ -free图都包含最小度至少为$c_t \log d/\log \log d$的导出二部子图，从而（渐近地）证实了Esperet，Kang和Pastassé的几个定理.作为对这一结果的补充，我们进一步得到了稠密无三角形图情形下的最优界，并回答了Erdés，Janson，Jupuczak和Spencer的一个问题。
2019-07-08 math.CO
An infinite family of doubly saturated $R(3,t)$-good graphs
University of Illinois Urbana-Champaign（伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校）；Carnegie Mellon University（卡内基梅隆大学）
该研究针对$t\ge17$的奇数，构造顶点数为$5t-10$的循环双饱和$R(3,t)$-好图，解决了相关猜想，形式化论证并得出$\operatorname{DS}(3,t)$的上下界。
2026-08-10 cs.DM math.CO
On stability of the Erdős-Rademacher Problem
Mantel定理指出每个有$\lfloor \frac{n^2}{4} \rfloor +t$边的$n$ -顶点图，其中$t>0$包含一个三角形。确定这样的图中三角形的最小数目的问题通常被称为Erdens-Rademacher问题。Lovász和Simonovits证明了在每个图中至少有$t\lfloor n/2 \rfloor$三角形。Katona和Xiao在没有覆盖所有三角形的$s-1$顶点的附加条件下考虑了同样的问题。他们解决了$t=1$和$s=2$的案件。解决了他们的猜想，当$n$足够大时，我们确定了每个固定的$s$和$t$对的最小三角形个数.此外，解决了Katona和Xiao的另一个猜想，我们将理论推广到考虑团而不是三角形。
2021-06-11 math.CO
The chromatic profile of locally bipartite graphs
本文研究局部二部图的色轮廓，证明最小度超过4/7·n时必为3可着色且该界紧，超过6/11·n时必为4可着色。
2023-08-21 math.CO
Edge-Minimum Saturated k-Planar Drawings
对于平面中无环（多）图的绘图类$\mathcal{D}$，当向$D$添加任何边导致$D' \notin \mathcal{D}$时，绘图$D \in \mathcal{D}$是\emph{saturated}-这类似于Turán（1941）和Erdés，Hajnal和Moon（1964）引入的图类中的饱和图。我们专注于$k$ -平面图，即，在平面中绘制的图形，其中每个边在最多的$k$时间交叉，以及所有$k$ -平面图的类$\mathcal{D}$，服从一些限制，如没有交叉的入射边，没有一对边交叉超过一次，或没有边交叉本身。虽然饱和的$k$ -平面图纸是几个以前的作品的重点，如何稀疏这些可以是不好理解的紧边界。我们建立了一个通用的框架，以确定所有的$n$ -顶点饱和$k$ -在许多自然类的平面图纸之间的最小数量的边缘。例如，当事件交叉、多交叉和自交叉都被允许时，稀疏$n$ -顶点饱和$k$ -平面绘图对于任何$k \geq 4$都具有$\frac{2}{k - (k \bmod 2)} (n-1)$边，而如果所有这些都被禁止，稀疏的这样的绘图对于任何$k \geq 6$都具有$\frac{2(k+1)}{k(k-1)}(n-1)$边。
2021-08-26 cs.CG cs.DM math.CO
Congruent Triangular Faces, Reflections Allowed: Universal Realization and the Minimum Face Count in Problem B22
School of Computer Science and Engineering, California State University, San Bernardino（加利福尼亚州立大学圣贝纳迪诺分校计算机科学与工程学院）
针对允许反射的凸多面体公共三角形面的B22问题，构造了所有非退化三角形的通用八面体实现，并确定了各类三角形的最小面数。
2026-08-04 math.CO math.MG
Remarks on the spectral radius of $K_{r+1}$-saturated graphs
写$ρ\left( G\right) $的谱半径的图$G$和$S_{n,r}$的加入$K_{r}\vee\overline{K}_{n-r}.$让$n>r\geq2$和$G$是一个$K_{r+1}$饱和图的顺序$n.$最近金，金，Kostochka，和O确定正是最小值的$ρ\left( G\right) $的$r=2$，并发现了一个渐近紧界$ρ\left( G\right) $的$r\geq3.$他们还重申，\[ ρ\left( G\right) >ρ\left( S_{n,r-1}\right) , \]，除非$G=S_{n,r-1}.$在这说明他们的猜想得到证明。
2022-02-09 math.CO
Generalized sum-free sets and cycle saturated regular graphs
Gerbner、Patkós、Tuza和Vizer最近开始研究$F$饱和的正则图。这一研究领域的一个基本问题是确定这种图何时存在。利用广义无和集证明了对任意奇数$k \geq 5$，存在一个$n$ -顶点正则的$C_k$-饱和图，且所有$n \geq n_k$都有$n$-顶点正则的$C_k$ -饱和图.我们的证明是基于$\mathbb{Z}_n$中构造一种特殊类型的和自由集。证明了对所有偶数$\ell \geq 4$和整数$n > 12 \ell^2 + 36 \ell + 24$，在$\mathbb{Z}_n$中存在对称完备$( \ell , 1)$ -无和集.我们提出的问题，找到这样一个集的最小尺寸，并提出了一些例子，发现由计算机搜索。
2021-08-30 math.CO
Andrásfai--Erdős--Sós theorem for the generalized triangle
该研究确定了广义三角形F₅的3-均匀超图Andrásfai--Erdős--Sós型定理的最优ε值，证明n≥5000时最小度大于4n²/45的无F₅3-图必为3部图，还得到可消3-图的对应最优结果，大幅强化了前人工作。
2024-10-31 math.CO
Minimum degree conditions for rainbow triangles
本文研究了保证彩虹三角形存在的最小度条件，发现最小度设定下的极值行为表现为离散跳跃，与密度设定下的连续过渡截然不同。
2023-05-22 cs.DM math.CO
Minimizing the number of matchings of fixed size in a $K_s$-saturated graph
对于一个固定图$F$，如果$G$不包含与$F$同构的子图，但在添加任何新边后包含$F$，则称该图$G$是$F$ -饱和的。设$M_k$是由$k$边组成的匹配，$S_{n,k}$是完全图$K_k$和空图$\overline{K_{n-k}}$的连接图.本文证明了对于$s \geq3$和$k\geq 2$，对于充分大的$n$，$S_{n,s-2}$是所有$n$ -顶点$K_s$ -饱和图中$M_k$个数最少的图，并且当$k \leq s-2$为唯一极值图.此外，我们还证明了当$k=2$和$s=3$时，$S_{n,1}$是唯一的极图.
2022-11-06 math.CO
