平面图的饱和部分嵌入
Saturated Partial Embeddings of Planar Graphs
AI总结：
本文定义平面图的平面饱和率，证明无孪生平面图的该比率严格大于1/16且可任意逼近1/16，并研究含受限低度孪生顶点的更广泛图类。
摘要：
在这项工作中，我们研究在嵌入平面图时，人们能够在多大程度上偏离最优行为。对于平面图 $G$，如果向平面子图 $H\subseteq G$ 添加任意一条边（可能带有新顶点）都会破坏平面性，或使所得图不再是 $G$ 的子图，则我们称 $H$ 为平面饱和子图。对于平面图 $G$，我们将平面饱和率 $\psr(G)$ 定义为 $G$ 的平面饱和子图 $H$ 中 $\frac{e(H)}{e(G)}$ 的最小值，并研究 $\psr(G)$ 能有多小。尽管存在一些平面图，其 $\psr(G)$ 可以任意接近 $0$，但我们证明，对于所有无孪生顶点的平面图，都有 $\psr(G)>1/16$；并且存在无孪生顶点的平面图，其 $\psr(G)$ 可以任意接近 $1/16$。事实上，我们研究了更广泛的一类平面图，重点关注以数量有界的度为 $1$ 和度为 $2$ 的孪生顶点为特征的图类。我们给出了若干边界情形的解，同时对其余情形提出了猜想。
英文摘要：
In this work, we study how far one can deviate from optimal behavior when embedding a planar graph. For a planar graph $G$, we say that a plane subgraph $H\subseteq G$ is a \textit{plane-saturated subgraph} if adding any edge (possibly with new vertices) to $H$ would either violate planarity or make the resulting graph no longer a subgraph of $G$. For a planar graph $G$, we define the \textit{plane-saturation ratio}, $\psr(G)$, as the minimum value of $\frac{e(H)}{e(G)}$ for a plane-saturated subgraph $H$ of $G$ and investigate how small $\psr(G)$ can be. While there exist planar graphs where $\psr(G)$ is arbitrarily close to $0$, we show that for all twin-free planar graphs, $\psr(G)>1/16$, and that there exist twin-free planar graphs where $\psr(G)$ is arbitrarily close to $1/16$. In fact, we study a broader category of planar graphs, focusing on classes characterized by a bounded number of degree $1$ and degree $2$ twin vertices. We offer solutions for some instances of bounds while positing conjectures for the remaining ones.
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