AI 中文总结
该论文证明了 $K_5$-无 minors 图的齐次割半群在高度 $k$ 的饱和性与平面 $k$-图的 $k$-边可染色性等价，从而将割多面体正规性猜想与 Seymour 平面边染色猜想联系起来。
AI 中文摘要
对于每个正整数 $k$，我们证明：每个 $K_5$-无 minors 图的齐次割半群在高度 $k$ 处饱和，当且仅当每个平面 $k$-图都是 $k$-边可染色的。这里，$k$-图是一个无环的 $k$-正则多重图，其中每个奇数顶点割的大小至少为 $k$。三次平面对偶的三角形展开将割分解转化为完美匹配分解。反之，则使用与固定完美匹配的对称差。该等价性将 $K_5$-无 minors 割多面体的正规性猜想与 Seymour 平面边染色猜想联系起来。特别地，已知情形 $k\leq 8$ 给出了通过高度八的饱和性。
英文摘要
For every positive integer $k$, we prove that the homogeneous cut semigroup of every $K_5$-minor-free graph is saturated at height $k$ if and only if every planar $k$-graph is $k$-edge-colourable. Here a $k$-graph is a loopless $k$-regular multigraph in which every odd vertex cut has size at least $k$. A triangle expansion of a cubic plane dual converts cut decompositions into perfect-matching decompositions. The converse uses symmetric difference with a fixed perfect matching. The equivalence identifies the normality conjecture for $K_5$-minor-free cut polytopes with Seymour's planar edge-colouring conjecture. In particular, the known cases $k\leq 8$ give saturation through height eight.
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