完全图的饱和谱半径
The saturated spectral radius for complete graphs
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中文总结 AI 辅助
本文证明了完全图饱和谱半径猜想，即 $K_{r-1}\vee(n-r+1)K_1$ 在所有 $n$ 顶点 $K_{r+1}$-饱和图中具有最小谱半径，并给出了等号条件及局部两步游走不等式。
中文摘要 AI 辅助
如果一个图是 $K_{r+1}$-饱和的，那么它不含 $K_{r+1}$ 作为子图，但添加任何缺失的边都会产生一个 $K_{r+1}$ 副本。Kim、Kim、Kostochka 和 O 猜想在所有 $n$ 个顶点的 $K_{r+1}$-饱和图中，$K_{r-1}\vee(n-r+1)K_1$ 最小化谱半径。他们证明了 $r=2$ 的情形，而 $r=3$ 和 $r\in\{4,5\}$ 的情形分别由 Kim、Kostochka、O、Shi 和 Wang 以及 Wang 和 Hou 随后确立。我们解决了所有 $r\ge3$ 的猜想：如果 $n\ge r+1$ 且 $G$ 是一个 $n$ 个顶点的 $K_{r+1}$-饱和图，那么 \\[ \rho(G)\ge \frac{r-2+\sqrt{(r-2)^2+4(r-1)(n-r+1)}}{2}, \\] 当且仅当 $G\cong K_{r-1}\vee(n-r+1)K_1$ 时等号成立。我们还证明了 O 关于每个 $r\ge2$ 的局部两步游走猜想：\\[ \sum_{w\in N_G(v)}d_G(w) \ge (r-2)d_G(v)+(r-1)(n-r+1) \qquad(v\in V(G)). \\] 如果 $G$ 没有全向顶点，则不等式右侧带有附加项 $(r-1)(r-2)$。这个常数对于每个固定的 $r$ 在 $n$ 上一致地是最优的，并且在 $r\ge3$ 时给出了严格改进。相应的谱界随之而来。
英文摘要
A graph is $K_{r+1}$-saturated if it is $K_{r+1}$-free and adding any missing edge creates a copy of $K_{r+1}$. Kim, Kim, Kostochka, and O conjectured that $K_{r-1}\vee(n-r+1)K_1$ minimizes the spectral radius among all $n$-vertex $K_{r+1}$-saturated graphs. They proved the case $r=2$, and the cases $r=3$ and $r\in\{4,5\}$ were subsequently established by Kim, Kostochka, O, Shi, and Wang, and by Wang and Hou, respectively. We settle the conjecture for all $r\ge3$: if $n\ge r+1$ and $G$ is an $n$-vertex $K_{r+1}$-saturated graph, then \[ ρ(G)\ge \frac{r-2+\sqrt{(r-2)^2+4(r-1)(n-r+1)}}{2}, \] with equality if and only if $G\cong K_{r-1}\vee(n-r+1)K_1$. We also prove O's local two-walk conjecture for every $r\ge2$: \[ \sum_{w\in N_G(v)}d_G(w) \ge (r-2)d_G(v)+(r-1)(n-r+1) \qquad(v\in V(G)). \] If $G$ has no universal vertex, the inequality holds with the additional term $(r-1)(r-2)$ on the right-hand side. This constant is best possible uniformly in $n$ for every fixed $r$, and gives a strict improvement when $r\ge3$. A corresponding spectral bound follows.
发表机构
- School of Mathematical Sciences, MOE-LSC, SHL-MAC, Shanghai Jiao Tong University（上海交通大学数学科学学院）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
