Hamilton cycles in pseudorandom graphs: resilience and approximate decompositions
Mathematical Institute, University of Oxford（牛津大学数学研究所）；Department of Mathematical Sciences, KAIST（韩国科学技术院数学科学系）；Extremal Combinatorics and Probability Group (ECOPRO), Institute for Basic Science (IBS)（基础科学研究院极值组合与概率研究组）
该研究针对不含过密子图的伪随机图证明两个核心定理，得到稀疏伪随机图中渐近最优的哈密顿韧性与分解结果，改进了相关领域此前的结论。
2026-11-02 math.CO
Regularity inheritance in pseudorandom graphs
提出了稀疏正则性方法，证明了双混乱图的子图的单侧和双侧正则性继承引理，改进了Conlon、Fox和Zhao [Adv. Math. 256（2014），206--290]的结果。这些继承引理也意味着改进的$H$计数引理的子图的双混杂图，对于某些$H$。
2019-02-07 math.CO
Turán problems in pseudorandom graphs
研究不含特定图副本的最稠密伪随机图问题，提出改进的嵌入过程将密度上界提升至$n^{-1/3}$，并构造了已知最稠密的无$K_{2,3}$且无三角形的伪随机图及无团伪随机图。
2023-02-23 math.CO
Hamiltonicity of Sparse Pseudorandom Graphs
本文证明了在$d\geq \log^{6}n$且$λ\leq cd$时，每个$(n,d,λ)$-图均含哈密顿圈，改进了前人多项式增长条件下的结果，并基于诱导子图特征值与不相交路径连接的新结果完成证明。
2024-11-26 math.CO
Hamilton cycles in pseudorandom graphs
寻找一个图是哈密尔顿图的一般条件是图论的一个中心问题。一个古老的和众所周知的猜想在该地区的国家，任何$d$-正规$n$-顶点图$G$，其第二大特征值的绝对值$λ(G)$是最多$\frac{d}{C}$，对于一些通用常数$C>0$，有一个汉密尔顿圈。在本文中，我们得到了两个主要的结果，取得了实质性的进展，对这个问题。首先，当度$d$至少是$n$的一个小幂时，我们完全解决了这个猜想.其次，在一般情况下，我们表明，$λ(G) \leq \frac{d}{C(\log n)^{1/3}}$意味着存在一个Hamilton圈，提高了20岁的界$\frac{d}{ \log^{1-o(1)} n}$的Krivelevich和Sudakov。我们以一种新颖的方式使用各种方法，如强大的Pósa旋转扩展技术，Friedman-Pippenger树嵌入回滚和吸收方法，结合其他工具和想法。我们的结果有几个有趣的应用，给出最佳界的生成元的数量，保证随机凯莱图的Hamilton性，这是一个重要的部分情况下，著名的Hamilton猜想的Lovász。它们也可以用来改进Alon和Bourgain关于乘法子群中加法模式的一个结果。
2023-03-09 math.CO
Spanning trees in the square of pseudorandom graphs
该研究针对伪随机图平方图的生成树问题，证明了满足特定谱隙条件的(n,d,λ)-图的平方图可包含所有有界最大度的n顶点树，解答了Krivelevich的相关问题。
2023-11-06 math.CO
Hitting time for Hamilton cycles in pseudorandom graphs
Fudan University（复旦大学）；Beijing Institute of Technology（北京理工大学）；Korea Institute for Advanced Study（韩国高等科学研究院）；Institute of Science and Technology Austria（奥地利科学技术研究所）
研究伪随机图中Hamilton环的出现时间与最小度数的关系，证明两者在特定条件下时间一致，并确定了Hamilton环的精确阈值。
2026-03-05 math.CO
Extremal results for odd cycles in sparse pseudorandom graphs
本文研究伪随机图的子图的极值问题。对于图$F$和$Γ$，广义Turán密度$π_F(Γ)$表示$Γ$的最大子图的密度，其中不包含~$F$的副本。推广了关于奇圈的经典Turán型结果，证明了当$F$是奇圈且$Γ$是充分伪随机图时，$π_{F}(Γ)=1/2$是一个完全伪随机图.特别地，对于$(n,d,λ)$-图$Γ$，即，$n$-顶点，$d$-正则图的所有非平凡的特征值在区间$[-λ,λ]$，我们的结果适用于奇数周期的长度$\ell$，提供\[ λ^{\ell-2}\ll \frac{d^{\ell-1}}n\log(n)^{-(\ell-2)(\ell-3)}\,. \]到polylog因子这验证了一个猜想Krivelevich，李和Sudakov。对于三角形来说，这个条件是最好的，并且之前已经被Sudakov，Szabó和Vu证明了，他们解决了$F$是完全图的情况。阿隆和Kahale（基于早期的三角形自由$(n,d,λ)$-图的阿隆建设）的建设表明，我们的假设$Γ$是最好的可能的polylog因子为每一个奇数$\ell\geq 5$。
2016-03-14 math.CO
Odd cycles in subgraphs of sparse pseudorandom graphs
我们回答两个极端的问题，自然出现在稀疏伪随机图的研究中的奇数周期。令$Γ$是$(n,d,λ)$ -图，即，$n$ -顶点，$d$ -正则图，所有非平凡特征值都在区间$[-λ,λ]$内. Krivelevich，Lee和Sudakov证明了，只要$λ^{2k-1}\ll d^{2k}/n$，$Γ$的每个有$(1/2+o(1))e(Γ)$边的子图$G$都包含一个奇圈$C_{2k+1}$ . Aigner Horev，Hàn和第三作者证明了一个较弱的陈述，允许在假设$λ^{2k-1}\ll d^{2k}/n$中有一个额外的多对数因子，但我们完全删除了它，从而解决了猜想。这也推广了Sudakov，Szabo和Vu的三角形Turán型定理。其次，我们得到了奇圈的Ramsey重数结果。也就是说，在相同的参数范围内，我们证明了每个2-边着色的$Γ$包含至少$(1-o(1))2^{-2k}d^{2k+1}$单色副本的$C_{2k+1}$。这两个结果是渐近最好的可能由Alon和Kahale的$C_{2k+1}$ -自由伪随机图的建设。
2019-06-12 math.CO
Triangle-factors in pseudorandom graphs
本文证明了：对于一个小的常数$\varepsilon > 0$，若$d$ -正则图$G$在$n \in 3 \mathbb{Z}$顶点上的第二特征值$λ$至多为$\varepsilon d^2/(n \log n)$，则$G$包含一个三角形因子. Krivelevich，Sudakov和Szabó，扩展了阿隆的一个构造，证明了对于每个函数$O(\log n)$，使得$Ω(n^{2/3}) \le d \le n$和无穷多个$n \in \mathbb{N}$，存在一个$d$ -正则无三角形图$G$，其顶点为$Θ(n)$和$λ= Ω(d^2 / n)$。
2018-05-24 math.CO
On the number of distinct spanning trees in pseudorandom graphs
Institute of Science and Technology Austria（奥地利科学技术研究所）
研究伪随机图中生成树数量，证明在特定条件下生成树数量下限为(α-ε)^n。
2026-05-12 math.CO
Near-perfect clique-factors in sparse pseudorandom graphs
证明了对任意$t\ge 3$，存在一个常数$c=c(t)>0$，使得任意具有第二大特征值$λ$且满足$λ\le c d^{t-1}/n^{t-2}$的$d$ -正则$n$ -顶点图都包含$K_t$的顶点不相交副本，该副本至多覆盖$n^{1-1/(8t^4)}$顶点.这为Krivelevich、Sudakov和Szábo的猜想[ \emph{Triangle factors in sparse pseudo-random graphs}，Combinatorica \textbf{24}（2004），pp.~ 403--426]证明了对于一个适当小的绝对常数~ $c>0$，具有$n\in 3\mathbb{N}$和$λ\leq cd^{2}/n$的$(n,d,λ)$ -图含有三角形因子.
2018-06-01 math.CO
Disjoint connected dominating sets in pseudorandom graphs
本文研究伪随机图中不相交连通支配集的数量，证明$d$-正则（弱）伪随机图包含渐近最优的$(1+o(1))d/\ln d$个不相交CDS，并由此推出随机$d$-正则图的相应结论。
2024-10-21 math.CO
Multicolor Ramsey numbers via pseudorandom graphs
弱最优$K_s$ -free $(n,d,λ)$ -图是指$n$顶点上的$d$ -正则$K_s$ -free图，它具有$d=Θ(n^{1-α})$和谱展开$λ=Θ(n^{1-(s-1)α})$，对于某些固定的$α>0$ .这样的图被称为最优的，如果另外$α= \frac{1}{2s-3}$。证明了若$s_{1},\ldots,s_{k}\ge3$是固定正整数，且对每个$1\le i\le k$都存在弱最优的无$K_{s_{i}}$伪随机图，则其Ramsey数满足\[ Ω\Big(\frac{t^{S+1}}{\log^{2S}t}\Big)\le r(s_{1},\ldots,s_{k},t)\le O\Big(\frac{t^{S+1}}{\log^{S}t}\Big), \] as $t\rightarrow\infty$，其中$S=\sum_{i=1}^{k}(s_{i}-2)$ .这推广了Mubayi和Verstraëte以前的结果，他们证明了$k=1$情形，Alon和Rödl证明了$s_1=\cdots = s_k = 3$情形。这两个先前的结果使用的最佳，而不是弱最佳$K_{s_i}$自由图的存在。
2020-02-08 math.CO
Clique factors in pseudorandom graphs
一个$n$ -顶点图称为$(p,β)$ -双混杂图，如果对任何顶点集$A,B\subseteq V(G)$，我们有\[e(A,B)=p|A||B|\pm β\sqrt{|A||B|}.\].我们证明了对任何$3\leq r\in \mathbb{N}$和$c>0$，存在一个$\varepsilon>0$，使得任何具有$n\in r \mathbb{N}$，$δ(G)\geq cpn$和$β\leq \varepsilon p^{r-1}n$的$n$ -顶点$(p,β)$ -双混杂图包含一个$K_r$ -因子.这暗示了$(n,d,λ)$ -图的强伪随机概念的相应结果。对于三角形因子的情况，即当$r=3$时，这个结果解决了Krivelevich，Sudakov和Szabó从2004年开始的一个猜想，并且由于Alon的伪随机三角形自由结构，它是紧的。事实上，在这种情况下更是如此：作为这个结果的推论和Han，Kohayakawa，Person和作者的结果，我们可以得出结论，$β=o(p^2n)$的相同条件实际上保证了一个$(p,β)$ -双混杂图$G$包含$n$顶点上最大度至多为2的每个图。
2023-02-07 math.CO
Optimally pseudorandom $K_4$-free graphs
School of Mathematics and Statistics, Beijing Institute of Technology（北京理工大学数学与统计学院）；Dept. of Mathematics, Southern University of Science and Technology（南方科技大学数学系）；Department of Mathematics, Computer Science and Statistics, Ghent University（根特大学数学、计算机科学与统计系）
通过构造分裂Cayley六边形中的图，证明了最优伪随机$K_4$-自由图的存在性，并改进了Ramsey数$r(4,t)$的下界。
2026-09-29 math.CO
Resilience of rainbow Hamilton cycles in pseudorandom graphs
该论文证明在伪随机图中，满足一定最小度条件的生成子图在全局有界着色下必含彩虹哈密顿圈，并给出计数、渗流及避免边对冲突的推广，回答了随机图上的相关问题。
2026-10-22 math.CO
Rainbow spanning configurations in uniformly coloured pseudorandom graphs
本文提出定量调色板转移原理，在均匀边染色伪随机图中证明彩虹生成配置（如完美匹配、哈密顿圈、有界度生成树）的渐近几乎必然存在性，调色板大小仅比配置大小多任意小的$\n$倍。
2026-10-08 math.CO
Long induced cycles in pseudorandom graphs
ETH Zurich（苏黎世联邦理工学院）；TU Wien（维也纳工业大学）；Tel Aviv University（特拉维夫大学）
本文证明伪随机图中存在长诱导圈，长度下界为$c_2n\log(d/\lambda)/d$，并达到最优，方法涉及多尺度算法、深度优先探索、渗流理论和随机矩阵估计。
2026-09-09 math.CO
Rigidity of expanders and pseudorandom graphs
Tel Aviv University（特拉维夫大学）；Technion Israel Institute of Technology（以色列理工学院）；University of Oxford（牛津大学）
本文研究伪随机图的刚性性质，证明满足一定条件的C-扩张图和满足λ≤c₁r的(n,r,λ)-图分别具有指定阶数的刚性，结果在涉及的通用常数范围内是最优的，改进并拓展了此前相关研究。
2026-08-24 math.CO
Spanning trees in pseudorandom graphs via sorting networks
该研究借助Ajtai等人的对数深度排序网络构造，证明满足λ=O(d/log³n)的(n,d,λ)-图对所有有界度生成树具有通用性，改进了先前的界，推进了2007年提出的相关问题的解决。
2023-11-06 math.CO
Clique-factors in sparse pseudorandom graphs
University of Rhode Island（罗德岛大学）；Universidade de São Paulo（圣保罗大学）；Freie Universität Berlin（柏林自由大学）；Technische Universität Ilmenau（伊尔梅瑙工业大学）
证明对于任意t≥3，存在常数c>0和n0，使得任何d-正则n顶点图G，若t整除n且n≥n0，且第二大特征值绝对值λ满足λ≤c d^t/n^{t-1}，则G包含一个K_t-因子。
2026-06-23 math.CO
Spectrally indistinguishable pseudorandom graphs
本文提出了一类在光谱上与随机图难以区分，但其他性质上与随机图显著不同的伪随机图。
2025-11-26 cs.DM math.CO math.NT
Ordered matchings versus triangles via pseudorandom triangle-free graphs
Fuzhou University（福州大学）；Yancheng Teachers University（盐城师范学院）
该研究针对有序图的反 Ramsey 数，证明区间色数为 2 的均匀随机有序匹配与三角形形成的反 Ramsey 数下界为 Ω(n^{4/3}/(log n)^{1/3})，通过伪随机无三角图、粗编码和 Brègman 不等式改进现有结果。
2026-09-18 math.CO
Spectral expansion properties of pseudorandom bipartite graphs
本文从谱角度研究$(a,b)$-双正则二部图的伪随机与展开性质，推导得到谱隙与图的$k$-边连通性、边不相交生成树数量、$k$-连通性及边不相交生成2-连通子图数量的显式定量关系，并给出更强结论。
2024-04-10 math.CO
Extremal results in sparse pseudorandom graphs
Szemerédi的正则性引理是极值组合学中的一个基本工具。然而，最初的版本只对研究稠密图有帮助。在1990年代，Kohayakawa和Rödl证明了一个类似于Szemerédi正则引理的稀疏图，作为将极值结果扩展到稀疏图的一般程序的一部分。Szemerédi正则引理的许多关键应用都使用了相关的计数引理。为了证明这些结果也适用于稀疏图的扩展，证明稀疏图中的计数引理仍然是一个著名的公开问题。本文的主要进展在于一个新的计数引理，证明了以下功能的方法Gowers，补充了Kohayakawa和Rödl的稀疏正则性引理，使我们能够计数小图的正则子图的充分伪随机图。我们用它来证明稀疏扩展的几个著名的组合定理，包括删除引理的图形和群体，Erdens-Stone-Simonovits定理和拉姆齐定理。这些结果扩展和改进了以前的大量工作。
2013-10-16 cs.DM math.CO
A note on pseudorandom Ramsey graphs
对于固定的$s \ge 3$，证明了如果存在最优的无$K_s$的伪随机图，则Ramsey数$r(s,t) = t^{s-1+o(1)}$为$t \rightarrow \infty$ .我们的方法还改进了由Bohman和Keevash从随机$C_{\ell}$ -free过程中获得的$r(C_{\ell},t)$的最佳下界，对所有奇数$\ell \geq 5$和$\ell \in \{6,10\}$都使用了多对数因子。对于$\ell = 4$，它与无$C_4$过程的下限相匹配.我们还证明，通过不同的方法，$r(C_5, t)> (1+o(1))t^{11/8}$和$r(C_7, t)> (1+o(1))t^{11/9}$。这些改善指数的$t$在以前的最佳结果，似乎是第一个例子的图形$F$与周期，这种改善的指数$r(F, t)$显示在边界上给出的随机$F$ -免费的过程和随机图。
2019-09-29 cs.DM math.CO
Regular bipartite decompositions of pseudorandom graphs
本文研究了伪随机$(n,d,λ)$-图的正则二部分解，通过随机算法证明当$λ\leq d/12$时可分解为至多$\log_2 d + 36$个正则二部生成子图，并改进了1-因子分解的已知界。
2024-10-16 math.CO
On Independent Spanning Trees in Random and Pseudorandom Graphs
本研究针对Zehavi与Itai提出的k-连通图独立生成树猜想，证明其对几乎所有任意密度的随机图成立且结果本质最优，还证明谱比条件温和的(n,d,λ)-图存在(1-o(1))d棵独立生成树，渐近解决了随机d-正则图的该猜想。
2025-09-30 math.CO
Spanning clique subdivisions in pseudorandom graphs
KAIST（韩国科学技术院）；Institute for Basic Science (IBS)（基础科学研究院）；University of Chile（智利大学）；University of Warwick（华威大学）
研究满足特定伪随机条件的图中团的生成细分情况，通过常数条件给出三个结果，包括特定条件下含生成细分的团范围，以及最小度和无特定二分洞时含生成近平衡细分团的范围。
2026-07-07 math.CO
The Normalized Matching Property in Random and Pseudorandom Bipartite Graphs
二部图中霍尔条件的一个简单推广，具有顶点划分$(X,Y)$的图$G(X,Y,E)$中的归一化匹配性质（NMP）表明，对于任何子集$S\subseteq X$，我们有$\frac{|N(S)|}{|Y|}\ge\frac{|S|}{|X|}$。本文证明了随机图和伪随机图具有规范匹配性质的一些结果。1.我们建立$p=\frac{\log n}{k}$作为在$\mathbb{G}(k,n,p)$中具有NMP的尖锐阈值，$\mathbb{G}(k,n,p)$是具有$|X|=k,|Y|=n$的图（假设$k\le n\leq \exp(o(k))$），并且其中每对$(x,y)\in X\times Y$是独立于概率$p$的边。这推广了Erdens-Rényi关于在$\mathbb{G}(n,n,p)$中具有完美匹配的$\frac{\log n}{n}$阈值的经典结果。2.我们还表明，一个伪随机二分图-删除一个消失的小部分顶点-承认NMP，只要它不是太稀疏。更准确地说，一个二分图$G(X,Y)$，与$k=|X|\le |Y|=n$，被称为是随机子伪随机（以下A。离散数学（Discrete Math.，1989）），如果每个$x\in X$具有至少$pn$的度，并且每对不同的$x, x'\in X$具有至多$(1+\varepsilon)p^2n$公共邻居。我们证明了对于任何足够大的$(p,\va…
2021-06-24 cs.DM math.CO math.PR
Exact-palette rainbow embeddings in uniformly coloured pseudorandom graphs
研究均匀着色稀疏双混合图中彩虹结构的涌现，证明在亚线性调色板盈余下完美匹配等结构存在，并推广到精确调色板情形，利用耦合与传播测度方法。
2026-09-30 math.CO
Note on the trace of random walks on pseudorandom graphs
Fudan University（复旦大学）；Institute of Science and Technology Austria（奥地利科学技术研究院）
该研究证明了在伪随机图上随机游走的覆盖时间与轨迹性质，揭示了其渐近最优的界限。
2026-02-11 math.CO math.PR
1-factorizations of pseudorandom graphs
图$G$的$1$ -因子分解是边不相交的完美匹配的集合，其并集是$E(G)$。$G$允许$1$ -因子分解的一个平凡的必要条件是$|V(G)|$是偶数，而$G$是正则的;反之则很容易看出是假的。本文研究了正则伪随机图的$1$ -因子分解问题。具体地说，我们证明了一个$(n,d,λ)$ -图$G$（即$d$ -正则图的$n$顶点，其第二大特征值的绝对值是在最多$λ$）承认$1$ -因子分解，只要$n$是偶数，$C_0\leq d\leq n-1$（其中$C_0$是一个通用常数），和$λ\leq d^{1-o(1)}$。特别是，由于（众所周知）一个典型的随机$d$ -正则图$G_{n,d}$是这样一个图，我们得到的存在的$1$ -因式分解在一个典型的$G_{n,d}$的所有$C_0\leq d\leq n-1$，从而扩展到所有可能的值$d$结果获得的詹森，并独立地由Molloy，Robalewska，罗宾逊和Wormald固定的$d$。此外，我们还得到了一个下界的数量不同的$1$ -因子分解的图$G$，这是关闭的一个因素$2$在基地的指数从已知的上界。这个下界比以前最好的已知下界好$2^{nd/2}$倍，即使在$G$是完全图的最简单的情况下也是如此。我们的证明是概率的，可以很容易地变成多项式时间（随机）算法。
2018-03-28 cs.DM math.CO
Finding any given 2-factor in sparse pseudorandom graphs efficiently
University of Rhode Island（罗德岛大学）；Universidade de São Paulo（圣保罗大学）；Freie Universität Berlin（柏林自由大学）；Technische Universität Ilmenau（伊尔梅瑙工业大学）
针对最大度不超过2的图H，提出确定性多项式时间算法在伪随机图中找到H，改进了吸收-储层方法并回答了Nenadov的问题。
2026-06-23 cs.DM math.CO
On covering expander graphs by Hamilton cycles
随机图和伪随机图的填充Hamilton圈问题已经得到了广泛的研究。本文研究了图的边被Hamilton圈覆盖的对偶问题，证明了：如果一个最大度$Δ$图满足一些基本的扩张性质，并且包含一族$(1-o(1))Δ/2$边不相交的Hamilton圈，那么它的边也存在被$(1+o(1))Δ/2$ Hamilton圈覆盖的问题.这意味着对每个$α>0$和每个$p \geq n^{α-1}$，几乎必然存在一个由$(1+o(1))np/2$ Hamilton圈覆盖的$G(n,p)$的所有边，这是几乎最优的.
2011-11-14 math.CO
Feedback-arc robustness in random orientations of pseudorandom triangle-free graphs
Nankai University（南开大学）；Beijing University of Technology（北京工业大学）
研究无三角形图随机定向中的反馈弧鲁棒性，通过证明特定不等式及概率结果，得出反馈弧比等相关量的渐近性质，证实了Aboulker等人的两个猜想。
2026-07-27 math.CO
Optimal covers with Hamilton cycles in random graphs
图G的Hamilton圈填充是指图G中边不相交的Hamilton圈的集合。最近的结果表明，G_n，p a.a.s.大小为\lfloor delta（G_n，p）/2 \rfloor。Glebov、Krivelevich和Szabó最近开始研究“对偶”问题，其中要求一组覆盖G的所有边的Hamilton圈。我们的主要结果表明，对于log^{117}n / n < p < 1-n^{-1/8}，a.a.s. G_n，p的边可由\lceil Delta（G_n，p）/2 \rceil Hamilton圈覆盖.这显然是最优的，并且改进了Glebov、Krivelevich和Szabó的近似结果，该结果对p > n^{-1+ \eps }成立。我们的证明是基于Knox，Kühn和Osthus关于伪随机图中填充Hamilton圈的一个结果.
2013-07-24 math.CO
Hamilton cycles in weighted Erdős-Rényi graphs
给定一个对称的$n\times n$矩阵$P$，其上有$0 \le P(u, v)\le 1$，通过独立地包含任意边$\{u, v\}$，概率为$P(u, v)$，我们定义了一个$[n]$上的随机图$G_{n, P}$.对于$k\ge 1$，令$\mathcal{A}_k$是包含$\lfloor k/2 \rfloor$ Hamilton圈的性质，如果$k$是奇数，则有一个完美匹配，所有边不相交。通过对$P$的特征值条件和对它的行和的条件，$G_{n, P}\in \mathcal{A}_k$以高概率发生当且仅当$G_{n, P}$具有最小度$k$ whp。我们还提供了一个点击时间版本。作为一种特殊情况，当PDMATHABM_Z为常数时，伪随机$(n, d, μ)$ -图上的随机图过程具有$\mathcal{A}_k$性质，只要它以高概率获得最小度$k$.
2020-12-22 math.CO
Long cycles in subgraphs of (pseudo)random directed graphs
本文研究了随机和伪随机有向图关于具有长有向圈的弹性。对于每一个$0 < γ< 1/2$，我们找到一个常数$c=c(γ)$，使得以下成立。设$G=(V,E)$是$n$顶点上的（伪）随机有向图，$G'$是$G$的一个有$(1/2+γ)|E|$边的子图.则$G'$包含长度至少为$(c-o(1))n$的有向环。此外，存在$G$的具有$(1/2+γ-o(1))|E|$边的子图$G''$，其不包含长度至少为$cn$的圈。
2010-09-20 math.CO
Covering cycles in sparse graphs
令$k \geq 2$为整数。Kouider和Lonc证明了每个顶点数为$n \geq n_0(k)$且最小度至少为$n/k$的图$G$的顶点集可以被$k - 1$圈覆盖.我们的主要结果表明，对于每一个$α> 0$和$p = p(n) \in (0, 1]$，同样的结论适用于图$G$与最小程度$(1/k + α)np$是稀疏的意义上，\[ e_G(X,Y) \leq p|X||Y| + o(np\sqrt{|X||Y|}/\log^3 n) \qquad \forall X,Y\subseteq V(G). \]特别是，这使我们能够确定随机和伪随机图的局部弹性相对于有一个顶点覆盖由一个固定数量的周期。该证明使用了稀疏扩展图中的吸收方法的一个版本。
2021-11-17 math.CO
High Dimensional Expanders: Eigenstripping, Pseudorandomness, and Unique Games
自Kaufman和Mass [KM 16]引入以来，高维扩展子（HDX）上的高阶随机游动（HD-游动）已经看到了令人难以置信的大量研究和应用，但其更广泛的组合和谱性质仍然知之甚少。我们开发了双边局部谱扩展器上的HD-游动的谱结构的组合表征[DK 17]，这提供了广泛的推广，研究了Johnson和Grassmann图。我们的表征，这表明，频谱的HD-散步紧紧集中在几个组合结构的条带，导致新的结构定理，如紧$\ell_2$ -表征的边扩展，以及一个新的理解本地到全球的算法HDX。对于后者，我们引入了一个频谱复杂性的措施，称为剥离阈值排名，并显示它如何可以取代（大得多）阈值排名控制算法的性能结构化对象。结合前$\ell_2$特征的平方和证明，我们给出了一个具体的应用程序，这个框架的独特的游戏算法的HD散步，在许多情况下，提高了最先进的[RBS 11，ABS 15]从近指数多项式时间（例如，稀疏化的约翰逊图或切片的$q$ ary超立方体）。我们对扩展的表征也与近似的硬度有着有趣的联系，其中格拉斯曼图的$\ell_\infty$ -变体最近被用于解决2-2博弈猜想[KMS 18]。我们从相关的$\ell_\infty$ -变体到我们的$\ell_2$ -表征给出了一个减少，但它在$\ell_2$和$\ell_\infty$结构之间的间隙很大的硬度感兴趣的制度中丢失了因素。尽管如此，我们打开了…
2021-07-18 cs.CC math.CO
New tools for sparse graph embeddings: Hybrid expanders and application to nested cycles
Bocconi University（博科尼大学）；University of Oxford（牛津大学）；EPF Lausanne（洛桑联邦理工学院）
该研究引入兼具次线性扩张与强常数因子扩张特性的混合扩张器，证明平均度达2^ω(log^*n)的图含此类子图，将树嵌入等工具引入稀疏图，还解决了Erdős相关工作中Thomassen提出的嵌套环问题。
2026-10-14 math.CO
On Hamilton Decompositions of Line Graphs of Non-Hamiltonian Graphs and Graphs without Separating Transitions
与Kotzig的结果$3$ -正则图$X$的线图是Hamilton可分解的当且仅当$X$是Hamilton的相反，我们证明了对于每个整数$k\geq 4$，存在一个简单的非Hamilton的$k$ -正则图，其线图具有Hamilton分解.我们还回答了Jackson的一个问题，证明了对于每一个整数$k\geq 3$，存在一个简单的连通$k$ -正则图，它的线图没有Hamilton分解，没有分离变迁.
2017-10-17 math.CO
Efficient Hamilton covers and linear arboricity of random graphs
Bocconi University（博科尼大学）；University of Oxford（牛津大学）；EPF Lausanne（洛桑联邦理工学院）；School of Mathematical Sciences, Tel Aviv University（特拉维夫大学数学科学学院）
研究随机图$G(n,p)$的哈密顿覆盖，在广泛边概率范围证明其大小下界紧性，尤其在稀疏区域有新贡献，开发工具分解图并扩展为哈密顿圈，还证明击中时间结果，且表明该随机图对各$p\leq 1$满足线性荫度猜想。
2026-07-17 math.CO
Hamilton decompositions of line graphs
证明了：如果一个图是偶次正则的且含有一个Hamilton圈，或者是奇次正则的且含有一个Hamilton $3$ -因子，则它的线图是Hamilton可分解的.这一结果部分地推广了Kotzig关于一个$3$ -正则图是Hamilton图的充要条件是它的线图是Hamilton可分解的结果，并证明了Bermond关于Hamilton可分解图的线图是Hamilton可分解的猜想.
2020-12-02 math.CO
The minimum number of Hamilton cycles in a hamiltonian threshold graph of a prescribed order
证明了$n$阶Hamilton阈值图的最小Hamilton圈数为$2^{\lfloor (n-3)/2\rfloor}$，且该最小Hamilton圈数是由度序列为$n-2$的图$n-1,n-1,n-2,\ldots,\lceil n/2\rceil,\lceil n/2\rceil,\ldots,3,2$唯一得到的.该图也是所有$n.$阶Hamilton阈值图中唯一的最小图
2018-02-26 math.CO
The degrees, number of edges, spectral radius and weakly Hamilton-connectedness of bipartite graphs
图$G$的一条路如果通过$G$的所有顶点，则称为Hamilton路。一个图是哈密尔顿连通的，如果任意两个顶点通过哈密尔顿路相连。注意，任何二部图都不是哈密尔顿连通的。研究了二部图的弱Hamilton连通性。弱Hamilton连通图是平衡二部图$G=(X,Y,E)$，它的任意顶点$x\in X$和$y\in Y$之间存在一条Hamilton路.本文给出了简单平衡二部图弱Hamilton连通的度、边数和谱半径条件。
2018-09-14 math.CO
4-regular 4-connected Hamiltonian graphs with few Hamiltonian cycles
该研究证明了存在哈密顿环数量有界的无穷多族4-正则4-连通哈密顿图，并提出5-正则5-连通情形下是否存在同类图族的开放问题。
2021-04-13 math.CO
Hamilton cycles in 5-connected line graphs
Carsten Schlassen的一个猜想指出，每个4-连通线图都是哈密尔顿的。已知该猜想对于7连通线图成立。我们通过证明任何最小度至少为6的5-连通线图是哈密尔顿的来改进这一点。结果扩展到无爪图和Hamilton连通性。
2011-03-31 math.CO
Hamilton Cycles in Double Generalized Petersen Graphs
Watkins（1969）通过对Petersen图的改进，首次引入了广义Petersen图（GPG）。Zhou和Feng（2012）对GPG进行了改进，引入了双广义Petersen图（DGPG）。Kutnar和Petecki（2016）证明了DGPG在特殊情况下是Hamilton的，并证明了所有的DGPG都是Hamilton的。本文构造了所有DGPG中的Hamilton圈。
2016-10-07 math.CO
On Hamilton Cycle Decompositions of Tensor Products of Graphs
$G$的Hamilton分解是将其边集划分为不相交的Hamilton圈。Manikandan和Paulraja证明了：如果$G$和$H$是Hamilton圈可分解的循环图，且其中至少有一个是非二部的，则它们的张量积是Hamilton圈可分解的.本文证明了：如果$G$是具有某些性质的Hamilton圈可分解循环图，$H$是Hamilton圈可分解重图，则它们的张量积是Hamilton圈可分解的.特别地，某些稀疏Hamilton圈可分解循环图的张量积是Hamilton圈可分解的。
2017-03-09 math.CO
Hamilton circles in Cayley graphs
对于局部有限的无限图，Hamilton圈的概念可以推广到Hamilton圈，$S^1$在Freudenthal紧化中的同胚像。本文证明了局部有限Cayley图存在Hamilton圈的一个充分条件。
2017-01-18 math.CO
10-tough chordal graphs are Hamiltonian
Chen等人证明了每个18-tough弦图都有一个Hamilton圈[Networks 31（1998），29-38]。改进他们的界限，我们证明了每一个10-坚韧弦图是哈密尔顿（实际上，哈密尔顿连通）。我们使用Aharoni和Haxell的超图推广霍尔定理作为我们的主要工具。
2016-07-03 math.CO
