On natural densities of sets of some type integers
令$a_0=b_0=0$和$0<a_1\leq b_1<a_2\leq b_2<\ldots\leq b_{n}$为整数。令$Q\left(x;\bigcup_{j=1}^{n}[a_j,b_j]\right)$是$1$和$x$之间的整数的数目，使得它们的素因子分解中的所有指数都在$\bigcup_{j=1}^{n}[a_j,b_j]$中。下面的公式成立：$$\lim_{x\to\infty}{\frac{Q\left(x;\bigcup_{j=1}^{n}[a_j,b_j]\right)}{x}}=\prod\limits_{p}\sum\limits_{i=0}^{n}\left(\frac{1}{p^{a_{i}}}-\frac{1}{p^{b_{i}+1}}\right).$$在本文中，我们证明了这个结果，然后推广它。
2020-12-06 math.NT
Conditions for Beurling's integers to have a density
1997年，H.G.Diamond给出了Beurling广义素数的一个条件，使得相应的广义整数具有密度。我们给出了这个条件的一个新的证明（定理1）和一个证明，它是不必要的（定理2和例子）。然而，这是非常接近必要的（定理3）。定理1和2的证明都依赖于傅里叶分析，主要是维纳代数，部分依赖于概率方法。
2016-11-14 math.NT
Natural Density of Rectangular Unimodular Integer Matrices
本文计算了可推广为整数上可逆n × n矩阵的k × n整数矩阵集合的自然密度。作为推论，我们找到了具有Hermite范式[O Id]的矩形矩阵的密度。并给出了与Cesaro关于互质整数稠密性定理和Quillen-Suslin定理的联系。
2010-11-22 math.NT math.RA
Density of integer solutions to diagonal quadratic forms
设Q是至少包含四个变量的非奇异对角二次型。我们给出了方程Q=0的整数解的个数的上界，当B趋于无穷大时，这些整数解位于边长为2B的盒子中。得到的估计是完全一致的形式的系数，并成为尖锐的，因为他们越来越大的模。
2007-04-10 math.NT
A proof of the positive density conjecture for integer Apollonian circle packings
有界阿波罗圆填充（英语：Bounded Apollonian circle packing，ACP）是一种古希腊的构造，它是通过在笛卡尔配置的四个相互相切的圆的三角形空隙中重复内接圆而制成的。值得注意的是，如果原始的四个圆具有整数曲率，则包装中的所有圆也将具有整数曲率。本文计算了有界整数ACP $P$中曲率小于$X$的整数个数$κ(P,X)$的下界，并证明了Graham，Lagarias，Malows，Wilkes和Yan的一个猜想：当$X$趋于无穷大时，$κ(P,X)$的比值$κ(P,X)/X$大于0.
2010-01-21 math.NT
On the representation of large even integers as the sum of eight primes from positive density sets
本文证明若素数子集 A 在素数中的下密度大于 1/2，则每个充分大的偶数均可表示为 A 中八个素数之和，且常数 1/2 是最佳的。
2024-09-24 math.NT
On the density of S-adic integers near some projective G-varieties
我们提供了一些一般条件，确保涉及S-adic域中系数的齐次多项式的不等式组具有非平凡的S-积分解。证明是基于强逼近性质的Zagliki-稠密子群和adelic数的几何。我们给出了两个应用的例子，涉及二次和线性型的系统。
2019-04-24 math.NT
On the Density of Integer Points on the Generalised Markoff-Hurwitz and Dwork Hypersurfaces
利用混合特征和模素数$p$的界估计了多项式$f_i \in {\mathbb Z}[X]$、非零整数$a$和正整数$k_i$ $i=1, \ldots, n$在超曲面$$ f_1(x_1) + \ldots + f_n(x_n) =a x_1^{k_1} \ldots x_n^{k_n} $$上的整数点密度.在$$ f_1(X) = \ldots = f_n(X) = X^2 \quad \text{and}\quad k_1 = \ldots = k_n =1 $$的情况下，上面的同余被称为Markoff-Hurwitz超曲面，而对于$$ f_1(X) = \ldots = f_n(X) = X^n\quad \text{and}\quad k_1 = \ldots = k_n =1 $$，它被称为Dwork超曲面。我们的结果比一般超曲面的结果强得多。
2014-04-23 math.NT
Arithmetic progressions in Salem-type subsets of the integers
给定零密度的整数子集，我们定义了这样的集合的分数密度的较弱的概念。它示出了这个概念是如何对应的实的一个紧凑的子集的豪斯多夫维数。然后，我们表明，一个版本的定理的Zuebaba和Pramanik的3项等差数列的单位区间的子集也持有的整数的子集与分数密度，并满足一定的傅立叶衰减条件。
2010-07-13 math.NT
On the density or measure of sets and their sumsets in the integers or the circle
令$\mathrm{d}(A)$为整数序列$A$的渐近密度（如果存在）。对任意实数$0\leqα\leqβ\leq 1$，我们解决了正整数序列$A$的存在性问题，使得$\mathrm{d}(A)=α$和$\mathrm{d}(A+A)=β$ .更一般地，我们研究了$A\subset \mathbb{N}$的$k$ -元组$(\mathrm{d}(iA))_{1\leq i\leq k}$的集合。这导致我们引入由丢番图约束定义的子集，这些子集被称为“伪$s$次幂”的随机整数集。我们考虑类似的问题，循环$\mathbb{R}/\mathbb{Z}$的子集，也就是说，我们部分地确定了一套$k$元组$(μ(iA))_{1\leq i\leq k}$为$A\subset \mathbb{R}/\mathbb{Z}$。
2019-05-20 math.NT
On the Density of Integer Points on Generalised Markoff-Hurwitz and Dwork Hypersurfaces
本文利用模无平方数整数$q$的混合特征和的界估计了某些多项式$f_i \in {\mathbb Z}[X]$和非零整数$a$和$k_i$，$i=1, \ldots, n$在超曲面$$ f_1(x_1) + \ldots + f_n(x_n) =a x_1^{k_1} \ldots x_n^{k_n} $$上的整数点密度.在$$ f_1(X) = \ldots = f_n(X) = X^2\quad \text{and} \quad k_1 = \ldots = k_n =1 $$的情况下，上述超曲面被称为Markoff-Hurwitz超曲面，而对于$$ f_1(X) = \ldots = f_n(X) = X^n\quad \text{and} \quad k_1 = \ldots = k_n =1 $$，它被称为Dwork超曲面。我们的结果是大大强于那些已知的一般超曲面。
2014-08-20 math.NT
On integers $n$ for which $σ(2n+1)\geq σ(2n)$
证明了正整数$n$的自然密度，其中$σ(2n+1)\geq σ(2n)$介于$0.053$和$0.055$之间.
2019-04-22 math.NT
Binary Additive Problems Involving Naturals with Binary Decompositions of a Special Kind
令$h$和$l$是整数，使得$0\le h\le 2$，$0\le l\le 4$。我们得到了方程$n-3m=h$，$n-5m=l$在正整数中的解的个数的渐近公式$m$和特殊类型的$n$，$m\le X$ .
2008-05-26 math.NT
The congruent numbers have positive natural density
证明了有理椭圆曲线y^2 = x^3 - n^2x对于至少41.9%的无平方因子正整数n = 1，2，3 mod 8满足完全的Birch和Swinnerton-Dyer猜想，并且对于至少55.9%的无平方因子正整数n = 5，6，7 mod 8满足正则的BSD猜想.特别是，至少55.9%的正无平方数整数等于5、6或7 mod 8是全等数。这些证明完成了由田、袁和张开始的一个论点。
2016-03-29 math.NT
The Density and Quantitative Upper Bound of Integers Not Expressible as the Sum of a Prime and a Zumkeller Number
Independent Mathematics Researcher（独立数学研究员）
本文研究不能表示为素数与Zumkeller数之和的整数构成的例外集，建立其计数函数的定量上界，进而证明该例外集的自然密度为0。
2026-10-21 math.NT
On a Density for Sets of Integers
探讨了Riemann zeta函数与整数集上的密度之间的关系。几个属性的检查密度推导出来。
2015-02-09 math.NT stat.ME
On sets of integers which are both sum-free and product-free
我们考虑集合的正整数不包含两个元素的总和在集合中，也没有产品的两个元素。我们证明了这样一个集合的上密度严格小于小于1/2，这是最好的可能。此外，我们还找到了这样的集，也是周期模一些正整数的密度的极大序模。
2012-01-05 math.NT
Newton representation of functions over natural integers having integral difference ratios
不同的问题导致从自然整数到整数的同一类函数：具有整数差比的函数，即对所有$a>b$验证$f(a)-f(b)\equiv0 \pmod {(a-b)}$。我们通过牛顿级数的表示来刻画这类函数。这个类显然包含所有具有整数系数的多项式，也包含意外的函数，例如所有函数$x\mapsto\lfloor e^{1/a}\;a^x\;x!\rfloor$，具有$a\in\Z\setminus\{0,1\}$，以及除了0之外等于$\lfloor e\;x!\rfloor$的函数。最后，为了研究补类，我们研究函数$\N\to\RR$，它不一致地接近任何具有整数差比的函数。
2013-10-05 cs.DM math.NT
A unified parametric approach to the Erdős--Straus conjecture with explicit solutions for a set of integers of natural density one
本文提出参数方法研究丢番图方程，揭示其在埃尔多斯-斯特劳斯猜想中的结构行为，并为自然密度为一的整数集提供显式解。
2026-03-22 math.NT
On rectangular unimodular matrices over the algebraic integers
令$n$和$m$是正整数，使得$n<m$。本文利用数域的代数整数环上的$m$矩阵计算了矩形么模$n$的稠密性。
2018-03-23 math.NT
On Integer sequences in Product sets
设$B$是自然数或复数的有限集。对应于$B$的积集由$B.B:=\{ab:a,b\in B\}$定义。本文给出了精确到一个正常数的积集上的多项式序列的最长连续项长度的一个上界。当$B$是一组自然数时，我们给出了一个关于积集中存在的斐波那契数的最大数目的精确界;当$B$是一组复数时，我们给出了一个精确到正常数的界.
2015-11-10 math.NT
On Diamond's $L^1$ criterion for asymptotic density of Beurling generalized integers
给出了Beurling广义整数具有正渐近密度的$L^{1}$准则的一个简短证明.我们实际上在一个较弱的假设下证明了密度的存在。我们还讨论了相关的充分条件估计$m(x)=\sum_{n_{k}\leq x} μ(n_k)/n_k=o(1)$，与$μ$的Moebius函数的Beurling模拟。
2019-01-26 math.CA math.NT
Distribution of the k-regular partition function modulo composite integers M
令$b_k(n)$表示自然数$n$的$k-$正则分块。本文研究了$b_k(n)$模复合整数$M$与$6$互质的性质.特别地，我们证明了对于任意$k-$正则分割函数$b_k(n)$和与$6$互质的整数$M$，存在无穷多个$b_k(n)$模$M$的Ramanujan型同余.
2022-12-09 math.NT
Partitions of the set of nonnegative integers with the same representation functions
对于一组非负整数$S$，令$R_{S}(n)$表示整数$n$的无序表示的数目，作为来自$S$的两个不同项的和。在本文中，我们专注于分区的自然数成两个集提供相同的表示功能。我们解决了列夫和陈最近的一个问题。
2016-08-10 math.NT
On the density at integer points of a system comprising an inhomogeneous quadratic form and a linear form
我们证明了一个类似的奥本海默猜想的系统，包括一个非齐次二次型和一个线性型在$3$变量使用仿射格空间上的动力学。
2019-05-29 math.DS math.NT
Sums of Consecutive Integers
一个自然数n的分解是一个连续的自然数序列，其和为n。我们构造了自然数的奇因子与其分解之间的一一对应关系。我们研究了长度分解，并引入了长度谱的概念。此外，我们使用图表来说明我们的证明背后的想法。
2007-01-04 math.HO math.NT
Density of the union of positive diagonal binary quadratic forms
设$X$是一个足够大的正整数。我们证明了，可以选择一个子集$S$的素数与基数$O(\log X)$，使得一个正比例的整数小于$X$可以表示为$x^2 + p y^2$至少有一个$p \in S$。
2022-11-24 math.NT
On the Reciprocal of the Binary Generating Function for the Sum of Divisors
如果\(A \)是一组包含\(0 \)的自然数，则存在一个唯一的非空的自然数“倒数”集合\(B \)（包含\(0 \)），使得每个正整数都可以写成\(a + b \)的形式，其中\(a \in A \)和\(b \in B \)以偶数种方式表示。此外，\(A \)和\(B \) over \(\FF_2 \)的生成函数在\(\FF_2 [[q]] \)中是倒数。我们考虑包含\(0 \)和所有整数使得\(σ(n) \)是奇数的集合\(A \)的倒数集合\(B \)，其中\(σ(n) \)是\(n \)的所有正因子之和。这个问题是由欧拉的“五边形数定理”激发的，其推论是自然数集合\(n \)使得整数\(n \)的分区数\(p(n) \)是奇数是广义五边形数集合（形式为\(k(3k\pm1)/2 \)的整数，其中\(k \)是自然数）的倒数。Parkin和Shanks在1967年提出的一个旧猜想是，整数\(n \)的密度使得\(p(n) \)是奇数（等价地，偶数）是\(1/2 \)。欧拉还发现\(σ(n) \)满足与五边形数定理给出的几乎相同的递归，因此我们希望通过计算包含\(σ(n) \)为奇数的自然数（按照惯例为\(σ(0)=1 \)）的集合的倒数的密度来阐明帕金-香克斯猜想。我们推测这个特定的密度是\(1/32 \)，并证明它位于\(0 \)和\(1/16 \)之间。最后，我们在某…
2014-09-09 math.NT
Additive number theory and the ring of quantum integers
设$m$和$n$为正整数。对于量子整数$[n]_q = 1 + q + ... + q^{n-1}$，存在自然多项式加法使得$[m]_q \oplus_q [n]_q = [m+n]_q$和自然多项式乘法使得$[m]_q \otimes_q [n]_q = [mn]_q$。这些构造导致量子整数环和量子有理数域的构造。证明了量子整数的加法和乘法等价于加性数论中整数区间的初等分解。
2002-03-31 math.NT math.QA
Rational integers as sums of units -- the quadratic case
Graz University of Technology（格拉茨工业大学）；University of Salzburg（萨尔茨堡大学）
本文研究了二次数域中自然数作为k个单位和的渐进行为，解决了Jarden和Narkiewicz在2007年提出的问题。
2026-01-14 math.NT
On the distribution of the digits of quotients of integers and primes
我们研究了从$[1,T]$区间中随机选取的正整数的乘积位数的分布，改进了以前已知的计数函数的误差项为$T\to+\infty$。我们还解决了一些自然变量的问题，有关点的主要坐标和点，从原点可见。
2020-08-23 math.NT
Averaging along Uniform Random Integers
为了给“随机整数具有初始数字d的概率”一个含义，我们定义URI集为自然整数的随机集E，使得每个n>0都以概率1/n属于E，与其他整数无关。这使我们能够引入自然数上的两个密度概念：URI密度，通过沿E的元素平均而获得，以及局部URI密度，我们通过考虑E的第k个元素并让k无穷大而获得。我们证明了E的元素满足Benford定律，无论是在URI密度的意义下，在本地URI密度的意义下。此外，如果b_1和b_2是两个乘法独立的整数，则一个自然数在b_1和b_2基中的尾数是独立的。URI-密度和局部URI-密度与其他众所周知的密度概念的连接被建立：两者都比自然密度强，URI-密度相当于对数密度。我们还给出了H_ \infty -密度的URI-集的随机解释。
2011-09-05 math.NT math.PR
Norm forms represent few integers but relatively many primes
范数形式，其例子包括$x^2 + y^2$、$x^2 + x y - 57 y^2$和$x^3 + 2 y^3 + 4 z^3 - 6 x y z$，是由数域上的范数产生的整数形式。证明了由范数形式表示的整数集合的自然密度为零，而由范数形式表示的素数集合的相对自然密度存在且为正.这些结果需要类域理论的工具，包括Artin-Chebotarev密度定理和Hilbert类域。我们介绍这些工具，因为我们需要他们在过程中的主要论点。这篇文章是暂时的性质，并假定只有第一当然代数数论。
2019-09-19 math.NT
Integers representable as differences of linear recurrence sequences
设$\{U_n\}_{n \geqslant 0}$和$\{G_m\}_{m \geqslant 0}$是定义在整数上的两个线性递归序列。当$x$趋于无穷大时，我们建立了$[-x, x]$范围内的整数个数$c$的渐近公式，它可以表示为差$ U_n - G_m$.特别地，这样的整数的密度是$0$。
2020-06-16 math.NT
Sumsets contained in sets of upper Banach density 1
每一个上Banach密度为1的正整数集合$A$都包含一个两两不相交子集$(B_i)_{i=1}^{\infty}$的无穷序列，使得$B_i$对所有$i \in \mathbf{N}$都有上Banach密度1，对每一个正整数的非空有限集$I$都有$\sum_{i\in I} B_i \subseteq A$.
2017-08-18 math.NT
Sumsets avoiding squarefree integers
我们描述了正密度$δ$的整数集合$A$的结构，使得$A+A$不包含无平方整数。结果表明，行为在值$δ_0=1/4-\frac{2}{π^2}=0.0473...$和$δ_1=1/18$处突然改变。
2011-05-06 math.NT
The density of numbers $n$ having a prescribed G.C.D. with the $n$th Fibonacci number
对于每个正整数$k$，令$\mathscr{A}_k$是所有正整数$n$的集合，使得$\gcd(n, F_n) = k$，其中$F_n$表示第$n$个斐波那契数。证明了$\mathscr{A}_k$的渐近密度存在且等于$$\sum_{d = 1}^\infty \frac{μ(d)}{\operatorname{lcm}(dk, z(dk))}$$，其中$μ$是Möbius函数，$z(m)$表示使$m$能整除$F_n$的最小正整数$n$.我们还给出了一个有效的准则，建立时的渐近密度为零的$\mathscr{A}_k$，我们表明，这是当且仅当$\mathscr{A}_k$是空的情况下。
2018-03-12 math.NT
On the Density of Spoof Odd Perfect Numbers
本文研究了奇正整数集合$\mathcal{S}$的性质${2n}/{σ(n)} - 1 = 1/x$，对于正整数$x$，与奇完全数和奇“欺骗完全数”有关的集合。结果发现，如果$D=pq$表示一个伪奇完全数，而不是笛卡尔的例子，则$q>10^{12}$是伪素因子$p$.此外，我们发现不规则的整数$n\in\mathcal{S}$和研究方面的密度，导致我们推测，$\mathcal{S}$低于$k$的数量是$\sim10 \log(k)$。
2021-02-06 math.NT
An Extension of the Dirichlet Density for Sets of Gaussian Integers
整数集的密度的几种度量已经被提出，例如渐近密度、Schnirelmann密度和Dirichlet密度。在文献中已经有一些工作将这些密度的概念扩展到更高维的整数集合。在这项工作中，我们提出了一个扩展的Dirichlet密度的集合的高斯整数，并调查它的一些性质。
2015-02-06 cs.CG math.CA math.NT
On integers of the form \(p+F_{2^k}+F_q\)
School of Mathematics and Statistics, Huaiyin Normal University（淮阴师范学院数学与统计学院）
本文证明形如 \\(p+F_{2^k}+F_q\\)（\\(p,q\\) 为素数，\\(k\ge0\\)）的整数集合具有正的下渐近密度，同时其补集也具有正的下渐近密度。
2026-06-29 math.NT
On the Asymptotic Density of $k$-tuples of Positive Integers Satisfying Arbitrary GCD Conditions
本文研究满足任意gcd条件的正整数k元组的渐近计数问题，通过建立存在性条件并利用多变量狄利克雷级数导出渐近公式，推广了Tóth关于两两条件的结果。
2025-05-08 math.CO math.NT
Product-free sets with high density
我们证明了存在渐近密度任意接近于1的整数集合，其中方程ab=c无解，其中a，b，c在集合中。我们还考虑了一些自然的推广，以及一个具体的数值例子的产品免费的整数集的渐近密度大于1/2。
2011-12-09 math.NT
Integers representable as differences of linear recurrence sequences
设$\{U_n\}_{n \geq 0}$和$\{V_m\}_{m \geq 0}$是两个线性递归序列。我们建立了$[-x, x]$范围内的整数个数$c$的一个渐近公式，它可以表示为差$ U_n - V_m$。特别地，这样的整数的密度是$0$。
2020-08-03 math.NT
Positive lower density for prime divisors of generic linear recurrences
令$d \ge 3$是整数，并且令$P \in \mathbb{Z}[x]$是其伽罗瓦群是$S_d$的次数$d$的多项式。设$(a_n)$是以$P$为特征多项式的线性递归整数序列.在广义黎曼假设下，证明了序列$(a_n)$中至少有一个元素被整除的素数集合的低密度是正的.
2021-02-08 math.NT
Natural numbers represented by $\lfloor x^2/a\rfloor+\lfloor y^2/b\rfloor+\lfloor z^2/c\rfloor$
令$a,b,c$为正整数。已知有无穷多个正整数不能用$ax^2+by^2+cz^2$和$x,y,z\in\mathbb Z$表示。相反，我们猜想任何自然数都可以用$\lfloor x^2/a\rfloor+\lfloor y^2/b\rfloor +\lfloor z^2/c\rfloor$和$x,y,z\in\mathbb Z$表示，如果$(a,b,c)\not=(1,1,1),(2,2,2)$，并且任何自然数都可以用$\lfloor T_x/a\rfloor+\lfloor T_y/b\rfloor+\lfloor T_z/c\rfloor$和$x,y,z\in\mathbb Z$表示，其中$T_x$表示三角数$x(x+1)/2$。我们在某些特殊情况下证实了这个一般猜想，特别是，我们证明了$$\left\{x^2+y^2+\left\lfloor\frac{z^2}5\right\rfloor:\ x,y,z\in\mathbb Z\ \mbox{and}\ 2\nmid y\right\}=\{1,2,3,\ldots\}$$和$$\left\{\left\lfloor\frac{x^2}m\right\rfloor+\left\lfloor\frac{y^2}m\right\rfloor+\left\lfloor\frac{z^2}m\right\rfloor:\ x,y,…
2015-12-23 math.NT
A reduction of integer factorization to modular tetration
令$a,k\in\mathbb{N}$。对于指数函数$x\mapsto a^x$的$k-1$ -th分解，也称为四分之一，我们写\[ ^k a:=a^{a^{.^{.^{.^{a}}}}}. \]在本文中，我们展示了如何四分之一模自然数$N$的有效算法可用于计算$N$的素因子分解。特别是，我们证明了计算整数的无平方部分的问题是确定性的多项式时间约模四分之一。
2018-02-13 math.NT
On the order of unimodular matrices modulo integers
在广义黎曼假设下，证明了：如果b是一个大于1的整数，则对密度为1的整数子集中的所有N，b模N的乘法阶都大于N^（1-ε）.若A是一个系数为整数的双曲幺模矩阵，则A模p的阶大于p^（1-ε），对所有p都是素数的稠密子集.此外，对于整数的密度为1的子集中的所有N，A模N的阶大于N^（1-ε）。
2002-02-06 math.NT nlin.CD
A density theorem for prime squares
该论文证明在素数集合具有足够大相对下密度时，每个充分大的同余类整数可表示为该集合中固定个数素数平方之和。
2025-03-01 math.NT
Zeta-regularization and natural boundaries: Sums and products of integers and primes
Université Paris-Saclay, CNRS, CEA, Institut de Physique Théorique（巴黎萨克雷大学，法国国家科学研究中心，法国原子能和替代能源委员会，理论物理研究所）
针对素数zeta函数自然边界导致经典zeta正则化失效的问题，本文通过超越自然边界的方法正则化所有素数的和，并在九类唯一因子分解的虚二次域中建立整数与素数正则化积的幂律关系。
2026-06-24 hep-th math-ph math.MP
Integer continued fractions for complex numbers
本文研究将标准连分数自然推广到复数，基于拉格朗日与高斯的算法，证明新表示的唯一性、有用性质及其几何切割序列解释。
2025-08-20 math.NT
An inverse theorem for sumsets of sets of positive density in the integers
本文研究了正密度集合A,B满足d(A+B)=d(A)+d(B)的条件，给出了Kneser和集不等式的新反推定理，并回答了Erdős和Graham的长期问题。
2026-04-14 math.CO math.DS math.NT
Exact Limit Theorems for Restricted Integer Partitions
对于一组正整数$A$，令$p_A(n)$表示将$n$写成来自$A$的整数之和的方式的数量，并且令$p(n)$表示通常的分区函数。在40年代早期，Erdens扩展了经典的Hardy-Ramanujan公式，证明了$A$有密度$α$当且仅当$\log p_A(n) \sim \log p(αn)$。Nathanson问Erdans定理是否也适用于$A$的低密度，即$A$是否有低密度$α$当且仅当$\log p_A(n) / \log p(αn)$有下限$1$。我们回答这个问题否定的建设，为每一个$α> 0$，一组整数$A$的密度较低$α$，满足$$ \liminf_{n \rightarrow \infty} \frac{\log p_A(n)}{\log p(αn)} \geq \left(\frac{\sqrt{6}}π-o_α(1)\right)\log(1/α)\;. $$我们进一步表明，上述界是最好的可能（到$o_α(1)$长期），从而确定确切的极值关系之间的一组整数的密度较低，其分区函数的下限。我们还证明了一个类似的定理就上密度的一组整数，回答另一个问题的Nathanson。
2021-04-06 math.CO math.NT
Conjectures involving a generalization of the sums of powers of integers
考虑一类自然包含整数幂和的和。关于这些款项的代表性的一些说明。
2017-03-01 math.CO math.NT
On the structure of ($-β$)-integers
$(-β)$ -整数是$β$ -整数的自然推广，因此也是负实基的整数的自然推广。当$β$是Parry数的模拟时，我们用反态射的不动点来描述$(-β)$ -整数集合的结构.
2011-06-26 cs.DM math.NT
