Some examples of well-behaved Beurling number systems
该研究聚焦Beurling数系的幂次误差节省问题，证明了多类参数范围内$[α,β]$-系的存在性，并在黎曼猜想假设下构造出β<1/2的数系族，推进了Beurling广义素数理论的边界研究。
2024-06-26 math.NT
On the connection between the Beurling-Malliavin density and the asymptotic density
本文从数论视角建立 Beurling–Malliavin 密度与上渐近密度的一般关系，刻画二者相等的序列类，并通过替代定义考察推广等差数列的另一类序列。
2023-11-08 math.NT
The Beurling-Malliavin density, the Polya density and their connection
本文提出Beurling-Malliavin密度的新表述，证明上Polya密度的存在性与次可加性的联系，并通过引入的量建立两种密度间的联系，最后讨论经典定义并证明新结果。
2024-04-29 math.NT
On zero-density estimates for Beurling zeta functions
本文针对满足特定整数分布的Beurling广义数系对应的Beurling zeta函数给出零点密度估计，还将结果推广到更广泛的广义Dirichlet级数，探讨了条件改进及最优性问题，推进了Beurling zeta函数的零点分布研究。
2024-09-16 math.NT
The optimal Malliavin-type remainder for Beurling generalized integers
本文建立了Beurling广义整数渐近密度逼近公式中Malliavin型余项的最佳阶，通过构造广义数系并利用Riemann素数计数函数与整数计数函数的极值振荡估计，改进并推广了先前工作。
2022-08-05 math.CV math.NT
Fourier Coefficients of Beurling Functions and a Class of Mellin Transform Formally Determined by its Values on the Even Integers
众所周知的事实是，黎曼假设将遵循，如果函数恒等地等于-1可以任意地在$L^{2}([0,1],dx)$的范数$\norma{.}$中由形式为$f(x)=\sum_{k=1}^{n}a_{k} ρ(\frac{θ_{k}}{x})$的函数近似，其中$ρ(x)\adef\pfrac{x}$和$a_{k}\in\cc$，$0<θ_{k}\leqslant 1$满足$\sum_{k=1}^{n}a_{k} θ_{k}=0$。Parsevall恒等式$\norma{f(x)+1}^{2}=\sum_{n\in\zz}\modulo{c(n)}^{2}$是计算或估计该范数的可能工具。本文给出了$f+1$的傅里叶系数$c(n)$的表达式，当$f$是如上定义的函数时。作为一个应用，我们推导出一个表达式为$M_{f}(s)\adef\int_{0}^{1}(f(x)+1) x^{s-1} dx$作为一个系列，只依赖于$M_{f}(2k)$，$k\in\nn$。我们注意到傅里叶系数$c(n)$取决于$M_{f}(2k)$，对于如上定义的函数$f$，$M_{f}(2k)$也可以用$a_{k}$和$θ_{k}$来表示.因此，对这些参数的更好控制将允许估计$M_{f}(2k)$，并因此最终通过我们的傅里叶系数和Parsevall恒等式的表达式来处理$\norma{f+1}$。
2004-07-27 math.NT
A note on Bohr's theorem for Beurling integer systems
本文研究Beurling整数系统中Bohr定理的成立条件，证明对Beurling素数序列施加小扰动可使其满足Bohr条件，并结合概率方法构造出Bohr定理与Riemann假设同时成立的系统，从而给出Helson关于广义Dirichlet级数Hardy空间外函数猜想的反例。
2023-03-09 math.CV math.FA math.NT
On zero-density estimates and the PNT in short intervals for Beurling generalized numbers
本文研究了整数分布为 $N(x) = Ax + O(x^θ)$ 的 Beurling 广义素数系统的 zeta 函数零点分布，通过将 Dirichlet 多项式经典均值定理推广至广义情形，显著改进了零点密度估计，并探讨了其对短区间素数定理的影响。
2022-12-21 math.NT
The Carlson-type zero-density theorem for the Beurling zeta function
本文利用 Pintz 的新方法结合经典零点检测和与 Halász 方法，在无需额外条件的情况下，证明了 Beurling zeta 函数的 Carlson 型零点密度定理。
2024-11-12 math.NT
New zero-density estimates for the Beurling $ζ$ function
本文针对 Beurling zeta 函数，提出一种结合零点检测和核函数技术的新方法，在自然数和 Ramanujan 条件下，得到类似 Turán 结果的 Carlson 型密度估计，逼近密度假设。
2024-07-17 math.NT
Distribution of Beurling primes and zeroes of the Beurling zeta function I. Distribution of the zeroes of the zeta function of Beurling
我们证明了三个结果的密度分别。局部密度和Beurling zeta函数$ζ(s)$的零点聚集接近单线$σ:=\Re s=1$。这里的分析带来了一些新闻，有时甚至是黎曼ζ函数的经典情况。定理4给出了一个零密度估计，它是对Selberg类已知结果的补充。注意，塞尔伯格类的密度结果依赖于$ζ$的函数方程的使用，这在Beurling上下文中是没有假设的。在定理5中，我们推导出一个著名的图兰定理的变体，扩展了它的有效性范围，甚至对于高度仅为$h=2$的矩形。在定理6中，我们推广了Ramachandra的零聚类结果。一个较弱的结果--另一方面，是蒙哥马利经典著作\cite{Mont}中平均结果的强烈锐化--是由戴蒙德、蒙哥马利和沃尔豪尔得出的。在这里，我们表明，模糊的技术Ramachandra文件（如一个多项式的系数，如$10^8$）可以摆脱，提供了一个更透明的证明这种聚类现象的有效性。
2022-06-25 math.CV math.NT
Note on a conjecture of Bateman and Diamond concerning the abstract PNT with Malliavin-type remainder
在给定$β\in(0,1)$的条件下，证明了存在一个Beurling广义数系，它的整数计数对某些$a>0$和$c>0$满足$N(x) = ax + O\bigl(x\exp(-c\log^β x)\bigr)$，它的素计数函数对某些$c'>0$满足$π(x) = \mathrm{Li}(x) + Ω\bigl(x\exp(-c'(\log x)^{\fracβ{β+1}})\bigr)$.这是通过概括钻石，蒙哥马利和Vorhauer的建设。这个Beurling系统为1969年Bateman和Diamond关于PNT与Malliavin型余项的猜想提供了额外的动力。
2020-12-11 math.NT
Beurling Nyman Geometry and Gram Matrix Structure, Ladder Density and Polynomial Decay via Mellin Smoothing
本文用多尺度阶梯参数化、Mellin 分析与受控平滑算子证明 BN 系统 Gram 非对角元沿阶梯距离具有任意阶多项式衰减，并导出 m>2 时的块压缩性。
2025-10-20 math.CA math.NT
On General Prime Number Theorems with Remainder
证明了对于Beurling广义数，余数形式的素数定理$$π(x) = \operatorname*{Li}(x) + O\left(\frac{x}{\log^{n}x}\right) \quad \mbox{for all } n\in\mathbb{N}$$等价于（对于某些$a>0$）$$N(x) = ax + O\left(\frac{x}{\log^{n}x}\right) \quad \mbox{for all } n \in \mathbb{N},$$，其中$N$和$π$分别是广义整数和素数的计数函数.尼曼（Nyman，Acta Math.81（1949），299-307）已经考虑过这一点，但他关于这一问题的文章中有一些错误。我们还得到了这个素数定理的一个平均版本，在Cesàro意义上的带凸点。
2017-02-17 math.NT
Exploring the Representation of Large Positive Integers as Sums of Prime Powers and Integer Powers: Analysis with Positive Density Subsets
本文利用转换原理研究大正整数表示为素数幂与整数幂之和的问题，其中素数和整数幂分别取自正密度子集，拓展了加法数论中的表示理论。
2024-02-19 math.NT
Arithmetic and Analysis of the series $\displaystyle { \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \sin \frac{x}{n} }$
本文将Nyman和Beurling关于黎曼假设与$ L^2(0, 1)$中某些函数空间的密度之间等价的著名定理与Hardy和Littlewood首先考虑的一个三角级数联系起来。我们强调它的一些奇怪的分析和算术属性。
2021-02-15 math.CV math.NT
Positive density of integer polynomials with some prescribed properties
本文证明了具有给定根性质的各种整数多项式都有正密度。例如，我们证明了几乎所有的整数多项式恰好有一个或两个具有最大模的根。我们还表明，对于任何正整数$n$和任何一组$n$不同的点对称的实数线，有一个正的密度的整数多项式的次数$n$，高度至多$H$和伽罗瓦群$S_n$的根是接近给定的$n$点。
2015-09-07 math.NT
The density of integers representable as the sum of four prime cubes
可以写成四个素立方之和的整数集合至少具有较低的密度$0.009664$。这改进了Ren的$0.003125$和Liu的$0.005776$的早期界。
2019-02-26 math.NT
Density of integer solutions to diagonal quadratic forms
设Q是至少包含四个变量的非奇异对角二次型。我们给出了方程Q=0的整数解的个数的上界，当B趋于无穷大时，这些整数解位于边长为2B的盒子中。得到的估计是完全一致的形式的系数，并成为尖锐的，因为他们越来越大的模。
2007-04-10 math.NT
A proof of the positive density conjecture for integer Apollonian circle packings
有界阿波罗圆填充（英语：Bounded Apollonian circle packing，ACP）是一种古希腊的构造，它是通过在笛卡尔配置的四个相互相切的圆的三角形空隙中重复内接圆而制成的。值得注意的是，如果原始的四个圆具有整数曲率，则包装中的所有圆也将具有整数曲率。本文计算了有界整数ACP $P$中曲率小于$X$的整数个数$κ(P,X)$的下界，并证明了Graham，Lagarias，Malows，Wilkes和Yan的一个猜想：当$X$趋于无穷大时，$κ(P,X)$的比值$κ(P,X)/X$大于0.
2010-01-21 math.NT
Natural Density Distribution of Hermite Normal Forms of Integer Matrices
Hermite标准形（HNF）是任何主理想整环上矩阵的标准表示。在整数上，随机矩阵的HNF的分布远非均匀。这篇文章的目的是提出一个明确的计算这个分布连同一些应用。更准确地说，对于整数矩阵的条目是上界的绝对值由一个大的界限，我们计算的渐近数这样的矩阵的HNF具有一个规定的对角结构。我们应用这些结果来分析的一些程序和算法，其动态依赖于随机寻找整数矩阵的HNF。
2011-08-04 math.NT
On the representation of large even integers as the sum of eight primes from positive density sets
本文证明若素数子集 A 在素数中的下密度大于 1/2，则每个充分大的偶数均可表示为 A 中八个素数之和，且常数 1/2 是最佳的。
2024-09-24 math.NT
On the density of S-adic integers near some projective G-varieties
我们提供了一些一般条件，确保涉及S-adic域中系数的齐次多项式的不等式组具有非平凡的S-积分解。证明是基于强逼近性质的Zagliki-稠密子群和adelic数的几何。我们给出了两个应用的例子，涉及二次和线性型的系统。
2019-04-24 math.NT
On the natural density of integers $n$ for which $σ(kn+r_1) >σ(kn+r_2)$
Changzhou institute of technology（常州工学院）；Nanjing University（南京大学）
本文研究了σ(kn+r₁) > σ(kn+r₂)的整数n的自然密度，扩展了Kobayashi和Trudgian的结果，并提供了具体案例的计算和显式界限。
2026-08-12 math.NT
On the Density of Integer Points on the Generalised Markoff-Hurwitz and Dwork Hypersurfaces
利用混合特征和模素数$p$的界估计了多项式$f_i \in {\mathbb Z}[X]$、非零整数$a$和正整数$k_i$ $i=1, \ldots, n$在超曲面$$ f_1(x_1) + \ldots + f_n(x_n) =a x_1^{k_1} \ldots x_n^{k_n} $$上的整数点密度.在$$ f_1(X) = \ldots = f_n(X) = X^2 \quad \text{and}\quad k_1 = \ldots = k_n =1 $$的情况下，上面的同余被称为Markoff-Hurwitz超曲面，而对于$$ f_1(X) = \ldots = f_n(X) = X^n\quad \text{and}\quad k_1 = \ldots = k_n =1 $$，它被称为Dwork超曲面。我们的结果比一般超曲面的结果强得多。
2014-04-23 math.NT
Arithmetic progressions in Salem-type subsets of the integers
给定零密度的整数子集，我们定义了这样的集合的分数密度的较弱的概念。它示出了这个概念是如何对应的实的一个紧凑的子集的豪斯多夫维数。然后，我们表明，一个版本的定理的Zuebaba和Pramanik的3项等差数列的单位区间的子集也持有的整数的子集与分数密度，并满足一定的傅立叶衰减条件。
2010-07-13 math.NT
On the density or measure of sets and their sumsets in the integers or the circle
令$\mathrm{d}(A)$为整数序列$A$的渐近密度（如果存在）。对任意实数$0\leqα\leqβ\leq 1$，我们解决了正整数序列$A$的存在性问题，使得$\mathrm{d}(A)=α$和$\mathrm{d}(A+A)=β$ .更一般地，我们研究了$A\subset \mathbb{N}$的$k$ -元组$(\mathrm{d}(iA))_{1\leq i\leq k}$的集合。这导致我们引入由丢番图约束定义的子集，这些子集被称为“伪$s$次幂”的随机整数集。我们考虑类似的问题，循环$\mathbb{R}/\mathbb{Z}$的子集，也就是说，我们部分地确定了一套$k$元组$(μ(iA))_{1\leq i\leq k}$为$A\subset \mathbb{R}/\mathbb{Z}$。
2019-05-20 math.NT
On the Density of Integer Points on Generalised Markoff-Hurwitz and Dwork Hypersurfaces
本文利用模无平方数整数$q$的混合特征和的界估计了某些多项式$f_i \in {\mathbb Z}[X]$和非零整数$a$和$k_i$，$i=1, \ldots, n$在超曲面$$ f_1(x_1) + \ldots + f_n(x_n) =a x_1^{k_1} \ldots x_n^{k_n} $$上的整数点密度.在$$ f_1(X) = \ldots = f_n(X) = X^2\quad \text{and} \quad k_1 = \ldots = k_n =1 $$的情况下，上述超曲面被称为Markoff-Hurwitz超曲面，而对于$$ f_1(X) = \ldots = f_n(X) = X^n\quad \text{and} \quad k_1 = \ldots = k_n =1 $$，它被称为Dwork超曲面。我们的结果是大大强于那些已知的一般超曲面。
2014-08-20 math.NT
A new generalized prime random approximation procedure and some of its applications
本文提出一种新的广义素数随机逼近方法，改进了现有离散化技术，并应用于解决多个开放问题，包括构造行为良好的广义数系和改进具有正则素数但极不规则整数的 Beurling 素数系统。
2024-06-17 math.NT math.PR
The Density and Quantitative Upper Bound of Integers Not Expressible as the Sum of a Prime and a Zumkeller Number
Independent Mathematics Researcher（独立数学研究员）
本文研究不能表示为素数与Zumkeller数之和的整数构成的例外集，建立其计数函数的定量上界，进而证明该例外集的自然密度为0。
2026-10-21 math.NT
On sets of integers which are both sum-free and product-free
我们考虑集合的正整数不包含两个元素的总和在集合中，也没有产品的两个元素。我们证明了这样一个集合的上密度严格小于小于1/2，这是最好的可能。此外，我们还找到了这样的集，也是周期模一些正整数的密度的极大序模。
2012-01-05 math.NT
On rectangular unimodular matrices over the algebraic integers
令$n$和$m$是正整数，使得$n<m$。本文利用数域的代数整数环上的$m$矩阵计算了矩形么模$n$的稠密性。
2018-03-23 math.NT
On integers $n$ for which $σ(2n+1)\geq σ(2n)$
证明了正整数$n$的自然密度，其中$σ(2n+1)\geq σ(2n)$介于$0.053$和$0.055$之间.
2019-04-22 math.NT
Density of the union of positive diagonal binary quadratic forms
设$X$是一个足够大的正整数。我们证明了，可以选择一个子集$S$的素数与基数$O(\log X)$，使得一个正比例的整数小于$X$可以表示为$x^2 + p y^2$至少有一个$p \in S$。
2022-11-24 math.NT
The congruent numbers have positive natural density
证明了有理椭圆曲线y^2 = x^3 - n^2x对于至少41.9%的无平方因子正整数n = 1，2，3 mod 8满足完全的Birch和Swinnerton-Dyer猜想，并且对于至少55.9%的无平方因子正整数n = 5，6，7 mod 8满足正则的BSD猜想.特别是，至少55.9%的正无平方数整数等于5、6或7 mod 8是全等数。这些证明完成了由田、袁和张开始的一个论点。
2016-03-29 math.NT
Norm forms represent few integers but relatively many primes
范数形式，其例子包括$x^2 + y^2$、$x^2 + x y - 57 y^2$和$x^3 + 2 y^3 + 4 z^3 - 6 x y z$，是由数域上的范数产生的整数形式。证明了由范数形式表示的整数集合的自然密度为零，而由范数形式表示的素数集合的相对自然密度存在且为正.这些结果需要类域理论的工具，包括Artin-Chebotarev密度定理和Hilbert类域。我们介绍这些工具，因为我们需要他们在过程中的主要论点。这篇文章是暂时的性质，并假定只有第一当然代数数论。
2019-09-19 math.NT
Sumsets contained in sets of upper Banach density 1
每一个上Banach密度为1的正整数集合$A$都包含一个两两不相交子集$(B_i)_{i=1}^{\infty}$的无穷序列，使得$B_i$对所有$i \in \mathbf{N}$都有上Banach密度1，对每一个正整数的非空有限集$I$都有$\sum_{i\in I} B_i \subseteq A$.
2017-08-18 math.NT
Sumsets avoiding squarefree integers
我们描述了正密度$δ$的整数集合$A$的结构，使得$A+A$不包含无平方整数。结果表明，行为在值$δ_0=1/4-\frac{2}{π^2}=0.0473...$和$δ_1=1/18$处突然改变。
2011-05-06 math.NT
The density of numbers $n$ having a prescribed G.C.D. with the $n$th Fibonacci number
对于每个正整数$k$，令$\mathscr{A}_k$是所有正整数$n$的集合，使得$\gcd(n, F_n) = k$，其中$F_n$表示第$n$个斐波那契数。证明了$\mathscr{A}_k$的渐近密度存在且等于$$\sum_{d = 1}^\infty \frac{μ(d)}{\operatorname{lcm}(dk, z(dk))}$$，其中$μ$是Möbius函数，$z(m)$表示使$m$能整除$F_n$的最小正整数$n$.我们还给出了一个有效的准则，建立时的渐近密度为零的$\mathscr{A}_k$，我们表明，这是当且仅当$\mathscr{A}_k$是空的情况下。
2018-03-12 math.NT
On the Density of Spoof Odd Perfect Numbers
本文研究了奇正整数集合$\mathcal{S}$的性质${2n}/{σ(n)} - 1 = 1/x$，对于正整数$x$，与奇完全数和奇“欺骗完全数”有关的集合。结果发现，如果$D=pq$表示一个伪奇完全数，而不是笛卡尔的例子，则$q>10^{12}$是伪素因子$p$.此外，我们发现不规则的整数$n\in\mathcal{S}$和研究方面的密度，导致我们推测，$\mathcal{S}$低于$k$的数量是$\sim10 \log(k)$。
2021-02-06 math.NT
On integers of the form \(p+F_{2^k}+F_q\)
School of Mathematics and Statistics, Huaiyin Normal University（淮阴师范学院数学与统计学院）
本文证明形如 \\(p+F_{2^k}+F_q\\)（\\(p,q\\) 为素数，\\(k\ge0\\)）的整数集合具有正的下渐近密度，同时其补集也具有正的下渐近密度。
2026-06-29 math.NT
Product-free sets with high density
我们证明了存在渐近密度任意接近于1的整数集合，其中方程ab=c无解，其中a，b，c在集合中。我们还考虑了一些自然的推广，以及一个具体的数值例子的产品免费的整数集的渐近密度大于1/2。
2011-12-09 math.NT
Positive lower density for prime divisors of generic linear recurrences
令$d \ge 3$是整数，并且令$P \in \mathbb{Z}[x]$是其伽罗瓦群是$S_d$的次数$d$的多项式。设$(a_n)$是以$P$为特征多项式的线性递归整数序列.在广义黎曼假设下，证明了序列$(a_n)$中至少有一个元素被整除的素数集合的低密度是正的.
2021-02-08 math.NT
A density theorem for prime squares
该论文证明在素数集合具有足够大相对下密度时，每个充分大的同余类整数可表示为该集合中固定个数素数平方之和。
2025-03-01 math.NT
A unified parametric approach to the Erdős--Straus conjecture with explicit solutions for a set of integers of natural density one
本文提出参数方法研究丢番图方程，揭示其在埃尔多斯-斯特劳斯猜想中的结构行为，并为自然密度为一的整数集提供显式解。
2026-03-22 math.NT
Natural Density of Rectangular Unimodular Integer Matrices
本文计算了可推广为整数上可逆n × n矩阵的k × n整数矩阵集合的自然密度。作为推论，我们找到了具有Hermite范式[O Id]的矩形矩阵的密度。并给出了与Cesaro关于互质整数稠密性定理和Quillen-Suslin定理的联系。
2010-11-22 math.NT math.RA
On a Density for Sets of Integers
探讨了Riemann zeta函数与整数集上的密度之间的关系。几个属性的检查密度推导出来。
2015-02-09 math.NT stat.ME
Lower bound estimates for the rank of universal quadratic forms in some families of real cubic fields with density one
本文在密度为一的实三次域族中，利用不可分解整数和短向量性质，给出了泛二次型秩的明确下界估计，并推广到表示给定整数所有倍数的情形。
2023-06-01 math.NT
On Mertens-Cesàro Theorem for Number Fields
设$K$是一个具有整数环$\mathcal O$的数域。在引入了$\mathcal O$子集的密度概念，推广了$\mathbb Z$子集的自然密度概念之后，我们证明了代数整数的互素$m$ -元组集合的密度是${1/ζ_K(m)}$，其中$ζ_K$是$K$的戴德金ζ函数.
2015-09-03 math.NT
On the density at integer points of a system comprising an inhomogeneous quadratic form and a linear form
我们证明了一个类似的奥本海默猜想的系统，包括一个非齐次二次型和一个线性型在$3$变量使用仿射格空间上的动力学。
2019-05-29 math.DS math.NT
Averaging along Uniform Random Integers
为了给“随机整数具有初始数字d的概率”一个含义，我们定义URI集为自然整数的随机集E，使得每个n>0都以概率1/n属于E，与其他整数无关。这使我们能够引入自然数上的两个密度概念：URI密度，通过沿E的元素平均而获得，以及局部URI密度，我们通过考虑E的第k个元素并让k无穷大而获得。我们证明了E的元素满足Benford定律，无论是在URI密度的意义下，在本地URI密度的意义下。此外，如果b_1和b_2是两个乘法独立的整数，则一个自然数在b_1和b_2基中的尾数是独立的。URI-密度和局部URI-密度与其他众所周知的密度概念的连接被建立：两者都比自然密度强，URI-密度相当于对数密度。我们还给出了H_ \infty -密度的URI-集的随机解释。
2011-09-05 math.NT math.PR
On the Asymptotic Density of $k$-tuples of Positive Integers Satisfying Arbitrary GCD Conditions
本文研究满足任意gcd条件的正整数k元组的渐近计数问题，通过建立存在性条件并利用多变量狄利克雷级数导出渐近公式，推广了Tóth关于两两条件的结果。
2025-05-08 math.CO math.NT
On the order of unimodular matrices modulo integers
在广义黎曼假设下，证明了：如果b是一个大于1的整数，则对密度为1的整数子集中的所有N，b模N的乘法阶都大于N^（1-ε）.若A是一个系数为整数的双曲幺模矩阵，则A模p的阶大于p^（1-ε），对所有p都是素数的稠密子集.此外，对于整数的密度为1的子集中的所有N，A模N的阶大于N^（1-ε）。
2002-02-06 math.NT nlin.CD
Exact Limit Theorems for Restricted Integer Partitions
对于一组正整数$A$，令$p_A(n)$表示将$n$写成来自$A$的整数之和的方式的数量，并且令$p(n)$表示通常的分区函数。在40年代早期，Erdens扩展了经典的Hardy-Ramanujan公式，证明了$A$有密度$α$当且仅当$\log p_A(n) \sim \log p(αn)$。Nathanson问Erdans定理是否也适用于$A$的低密度，即$A$是否有低密度$α$当且仅当$\log p_A(n) / \log p(αn)$有下限$1$。我们回答这个问题否定的建设，为每一个$α> 0$，一组整数$A$的密度较低$α$，满足$$ \liminf_{n \rightarrow \infty} \frac{\log p_A(n)}{\log p(αn)} \geq \left(\frac{\sqrt{6}}π-o_α(1)\right)\log(1/α)\;. $$我们进一步表明，上述界是最好的可能（到$o_α(1)$长期），从而确定确切的极值关系之间的一组整数的密度较低，其分区函数的下限。我们还证明了一个类似的定理就上密度的一组整数，回答另一个问题的Nathanson。
2021-04-06 math.CO math.NT
