Optimal bounds for the Dunkl kernel in the dihedral case
Jean-Philippe Anker, Bartosz Trojan
本文研究了二面体群情形下的Dunkl核问题，通过建立其精确的上下界估计，为该领域提供了最优的理论界限。
我们在二面体群情形下建立了Dunkl核的精确上下界估计。
We establish sharp upper and lower estimates of the Dunkl kernel in the case of dihedral groups.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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The Dunkl kernel and intertwining operator for dihedral groups
与有限反射群相关联的Dunkl算子生成微分-差分算子的交换代数。存在一个唯一的线性算子称为交织算子，它交织在这个代数和标准微分算子代数之间。还存在傅里叶变换在此上下文中的推广，称为Dunkl变换。本文对所有二面体群确定了Dunkl变换的积分核Dunkl核的整式。我们还确定了一个整式的缠绕运营商的情况下，二面体群，根据观察有效的所有反射群。作为特例，我们恢复了[Xu，Intertwining算子与二面体群相关的结果。施工约2019年]。在我们的方法中至关重要的是，在一个合适的高维空间的积分核和单纯形之间的联系的系统使用。
An Integral Expression for the Dunkl Kernel in the Dihedral Setting
本文利用\cite{M-Y-Vk}中的结果建立了任意阶二面体群中Dunkl核的整式，其中给出了正则参数函数的Dunkl交织算子的构造.我们引入了一个微分方程系统，导致显式表达的Dunkl核每当一个适当的解决方案，它是获得。特别地，给出了Dunkl核$E_k(x,y)$的显式表达式，当它的自变量之一$x$或$y$在二面体群中的已知反射作用下是不变的.我们还获得了一个生成系列的齐次组件$E_m(x,y)$，$m\in\mathbb{Z}^{+}$，Dunkl内核，从中我们得到新的尖锐估计Dunkl内核时，参数函数$k$满足$\mathrm{Re}(k)>-ν$，$ν$一个任意的非负整数，这是据我们所知，是迄今为止最大的上下文，这样的估计。
Dunkl kernel associated with dihedral group
在本文中，我们追求的调查开始在\cite{Mas-You}，作者提供了一个建设的Dunkl交织算子的一个大的子集的一组经常的多重值。更确切地说，我们具体地讨论了当根系为二面角型时，在对重数函数作一个较温和的假设下，该算子对齐次多项式的作用。特别是，我们得到了相应的Dunkl核的公式和另一种表示的广义贝塞尔函数已经在\cite{Demni0}。当重数函数处处为常数时，我们的计算给出了一个计算从二面体群分解成固定数目（不一定是简单的）反射的元素的数目的问题的解决方案。在本文的其余部分，我们提供了另一种方法来推导与二面角系统相关的Dunkl核从相应的广义贝塞尔函数。这一次，我们使用移位原理以及对应于$\mathbb{R}^2$的正则基的向量的Dunkl算子的多种组合。当二面体系统是6阶时，并且仅在这种情况下，一个单一的组合足以得到Dunkl核，并且与Amri \cite [引理1]{Amri}最近在$A_2$型根系的情况下得到的公式同构。最后，我们导出了与八阶二面体系统相关的Dunkl核的整表示。
Explicit formulas for the Dunkl dihedral kernel and the $(κ, a)$-generalized Fourier kernel
本文提出了一种新的方法来获得$(κ, a)$的核的显式和整式--$κ=0$的广义傅里叶变换。在二面体群的情况下，这种方法也适用于Dunkl核以及Dunkl Bessel函数。该方法采用引入一个辅助变量的系列扩展的内核，这是随后的拉普拉斯变换。拉普拉斯域中的核通过使用泊松核而呈现出简单得多的形式。然后可以使用广义Mittag-Leffler函数计算拉普拉斯逆变换以获得整式。当涉及的参数为整数时，使用部分分式分解获得显式公式。得到了$(κ, a)$ -广义傅里叶变换的核的新的界。
A formula and sharp estimates for the Dunkl kernel for the root system $A_2$
本文转换了 $A_2$ Dunkl 核公式，用仅含正项的 $A_1$ Dunkl 核表示 $A_2$ Dunkl 核，并据此推导出 $A_2$ Dunkl 核及相应热核的精确估计。
A positive radial product formula for the Dunkl kernel
与根系相关的广义Bessel函数的Dunkl算子的非负重数参数具有正积公式，这是一个公开的猜想.本文证明了这一猜想的一个部分结果，即广义Bessel函数的非对称对应Dunkl核的正径积公式。因此，径向意味着乘积公式中的一个因子被其在球面上的平均值所取代。这个乘积公式的关键是Dunkl型球面平均算子的一个正性结果。它也可以解释为径向函数的Dunkl型广义平移是保正的。作为应用，我们构造了与径向概率分布相关的Dunkl型齐次马氏过程。
Asymptotic analysis for the Dunkl kernel
本文通过分析相关常微分方程系统，研究了Dunkl核在高维情形下的渐近行为，推广了合流超几何函数的经典渐近，并给出Dunkl型热核的短时渐近，进而证明Dunkl交织算子的表示测度一般连续。
Dunkl operators: Theory and applications
这些课堂讲稿旨在介绍有理Dunkl算子理论和相关的特殊函数，重点是正性和渐近性。我们首先概述了一般概念：Dunkl算子，交织算子，Dunkl核和Dunkl变换。指出了它与Calogero-Moser-Sutherland型可积粒子系统的联系，并讨论了与之相关的正交多项式系统.一个主要部分是致力于积极的交织运营商和Dunkl内核，Dunkl型热半群，以及相关的概率方面的结果。笔记的结论与最近的结果的渐近的Dunkl内核。
Turán Type Inequalities for Dunkl Kernel and $q$-Dunkl Kernel
证明了Dunkl核的turán型不等式.我们为$q$ -Dunkl内核提供了一个$q$ -整表示。利用Schwartz不等式的$q$ -形式，得到了$q$ -Dunkl核的一个turán型不等式.
Uniform bounds on the Dunkl kernel
针对任意约化根系，给出了具有正则谱参数的 Dunkl 核及其导数在空间变量上的一致上界，推广了经典单变量 Bessel 函数和 Cartan 运动群球函数的结果，并证明了对于重数 k>1/2 和一般谱参数，Dunkl 交织算子的表示测度关于 Lebesgue 测度绝对连续。
Positivity of Dunkl's intertwining operator via the trigonometric setting
本文给出了Dunkl纠缠算符在晶体学中正性的一个新证明。它是基于最近由M. de Jeu和S. Sahi的Heckman-Opdam多项式及其非对称对应物。
On the integral representations for Dunkl kernels of type $A_{2}$
本文利用文献[1]中的结果，给出了$A_2$型根系和参数$k>0$的Dunkl核的显式积分公式.
On the estimates of the Dunkl Kernel
本文在M.F.E. de Jeu和M.罗斯勒在\cite{R3}。
Riesz distributions and Laplace transform in the Dunkl setting of type A
本文在有理Dunkl理论的框架下研究了与A型根系相关的Riesz分布。作为一个重要的工具，我们采用了一个拉普拉斯变换涉及相关的Dunkl内核，这基本上可以追溯到麦克唐纳，但到目前为止，只建立在一个正式的水平。我们给出了一个严格的治疗这种变换的基础上适当的估计A型Dunkl内核。我们的主要结果是一个精确的模拟在Dunkl设置的一个著名的结果Gindikin，指出Riesz分布的对称锥是一个积极的措施，当且仅当其指数包含在Wallach集。对于Riesz分布的Dunkl设置，我们得到了类似的特征的广义Wallach集依赖于重数参数的根系。
Sharp estimates for the Jacobi and trigonometric Dunkl heat kernels
该研究针对秩1情形的W-不变三角Dunkl热核（含根系A₁、BC₁）证明精确双边估计，进而得到全范围类型参数下非紧雅可比热核的精确界。
Laplace-type integral representations of the generalized Bessel function and of the Dunkl kernel of type $B_2$
本文给出了B_2型二秩根系的广义Bessel函数和Dunkl核的Laplace型整表示。第一种方法的推导是通过修正的第一类Bessel函数，详细阐述了在\cite{Demni}中证明的广义Bessel函数的整表示。特别地，我们恢复了八阶二面体群的Duistermaat-Heckman测度密度的表达式。至于相应的Dunkl核的整表示，它遵循从应用的移位原理的广义贝塞尔函数。
Vector Polynomials and a Matrix Weight Associated to Dihedral Groups
研究了值在二面体群的二维不可约模中的两实变量多项式空间作为Dunkl算子的标准模。考虑了单参数情形（省略了偶二面体群的双参数情形）。通过求解一个边值问题，然后计算归一化常数，得到了高斯形式的矩阵权函数。构造了齐次调和多项式的一个正交基。这些多项式的系数被发现是平衡终止$_4F_3$系列。
Sonine Transform Associated to the Dunkl Kernel on the Real Line
考虑Dunkl交织算子$V_α$及其对偶${}^tV_α$，定义并研究了$\mathbb{R}$上的Dunkl Sonine算子及其对偶.其次，我们引入了Dunkl-Laplacian算子$Δ_α$的复幂，建立了Dunkl-Sonine算子$S_{α,β}$及其对偶${}^tS_{α,β}$的反演公式.此外，我们还给出了算子${}^tS_{α,β}$的Plancherel公式.
Intertwining operators associated to dihedral groups
与二面体群相关联的Dunkl算子是一对微分-差分算子，其生成作用于$\mathbb{R}^2$中的可微函数的交换代数。交织算子交织在这个代数和微分算子代数之间。本文的主要结果是一类函数上缠绕算子的整表示。作为应用，导出了$h$ -调和函数和筛分Gegenbauer多项式的Poisson核的闭公式，并对其它几个相关的正交多项式族给出了类似的公式.
BMO Classification for Two-Dimensional Dunkl Newton and Green Kernels
该研究将Chanillo与Li的BMO-哈代空间方法扩展至邓克尔框架，完成二维邓克尔牛顿核与格林核的BMO分类，获多项相关估计与准则。
Potential kernels for radial Dunkl Laplacians
当重数为$k(α)=1$，即平坦复对称空间时，得到了几何复情形下$W$不变Dunkl Laplacian的Newton核和Poisson核的双边界.对于不变的Dunkl-Poisson核$P^W(x,y)$，估计为$$ P^W(x,y)\asymp \frac{P^{{\bf R}^d}(x,y)}{\prod_{α> 0 \ }|x-σ_αy|^{2k(α)}},$$，其中$α$是作用于${\bf R}^d$的根系的正根，$σ_α$是相应的对称，$P^{{\bf R}^d}$是${{\bf R}^d}$中的经典Poisson核.当$d\ge 3$ .在秩1直积情形$\mathbb Z_2^N$下得到了同样的估计，并对一般的$W$ -不变Dunkl过程进行了证明.作为应用，我们得到了经典Dyson布朗运动和任意Weyl腔中布朗运动的Poisson核和Newton核的双边界。
Potential theory associated with the Dunkl Laplacian
本文的主要目的是为微分-差分算子的标准例子Dunkl-Laplacian $Δ_k$的研究提供潜在的理论途径。通过引入相对于$Δ_k$的Green核，证明了Dunkl-Laplacian生成平衡空间，并研究了相应的调和测度族.因此，借助于调和核，我们给出了$\mathbb{R}^d$的开子集$U$的大类上的所有$Δ_k$ -调和函数的一个刻划。我们还建立了相应的狄利克雷问题解的存在唯一性结果。
Riesz transform and commutators in the Dunkl setting
该研究在 Dunkl 框架下刻画了 Dunkl Riesz 变换核的最优逐点大小与正则性估计，建立了仅用欧氏度量的核下界，证明了交换子的上下界分别对应 Dunkl 与欧氏度量的 BMO 空间，并讨论了紧性与两类 VMO 性质。
Dunkl intertwining operator for symmetric groups
本文用Humbert函数$Φ_{2}^{(n)}$明确地表示$A_{n-1}$型的Dunkl核和广义Bessel函数，并指定一个变量.得到的公式给出了文献[21]中关于对称群的缠绕算子的徐氏整式的一个新的证明。
On the Green function and Poisson integrals of the Dunkl Laplacian
证明了$\mathbb{R}^d$中Dunkl-Laplacian $Δ_k$的单位球的格林函数的存在性和研究性质.作为应用，我们导出了$Δ_k$ -下调和函数的Poisson-Jensen公式和$Δ_k$的Poisson积分的Hardy-Stein恒等式.我们还得到了$\mathbb{R}^d$中秩1情形下牛顿势核、格林函数和泊松核的精确估计.这些估计与经典拉普拉斯算子的位势论中的著名结果形成鲜明对比。
Sharp estimates for potential operators associated with Laguerre and Dunkl-Laguerre expansions
我们研究潜在的运营商与Laguerre函数展开卷积和厄米型，并与Dunkl-Laguerre扩展。我们证明了相应的潜在内核定性尖锐的估计。然后我们刻画了势算子是$L^p-L^q$有界的那些$1 \le p,q \le \infty$.这些结果是经典的Hardy-Littlewood-Sobolev分数积分定理在Laguerre和Dunkl-Laguerre设置的尖锐的类似物。
Weak Type Estimates for Square Functions of Dunkl Heat Flows
本文通过积分型Dunkl热核估计和Caldrón--Zygmund分解，证明了Dunkl热流的Littlewood--Paley--Stein平方函数的弱(1,1)有界性，延续了先前关于该函数无维L^p有界性的研究。
Potential operators associated with Hankel and Hankel-Dunkl transforms
在Hankel变换、修正的Hankel变换和Hankel-Dunkl变换下研究了Riesz势和Bessel势。我们证明尖锐或定性尖锐的逐点估计相应的潜在内核。然后我们刻画了那些潜在算子满足$L^p-L^q$估计的$1\le p,q \le \infty$。在里斯位势的情况下，我们还表征了那些$1\le p,q \le \infty$，其中两个权重$L^p-L^q$估计，涉及功率权重，持有。作为我们的结果的一个特例，我们得到了径向情况下经典里斯位势的两个幂权$L^p-L^q$界的完整刻画。这补充了鲁宾的一个旧结果，以及德·纳波利、德雷利希曼和杜兰以及多安迪科切亚最近的重新研究。
Opdam's hypergeometric functions: product formula and convolution structure in dimension 1
设$G_λ^{(α,β)}$是Dunkl-Cherednik算子$T^{(α,β)}$在$\mathbb{R}$上的本征函数。本文将乘积$G_λ^{(α,β)}(x)G_λ^{(α,β)}(y)$表示为具有显式核的$G_λ^{(α,β)}(z)$的积分。一般来说，这个核不是正的。进一步，通过取所谓的有理极限，我们恢复了M的乘积公式。Rösler的Dunkl内核。然后，我们定义并研究了与$G_λ^{(α,β)}$相关的卷积结构。
On the kernel of the $(κ,a)$-generalized Fourier transform
对于$(κ,a)$的核$B_{κ,a}(x,y)$--广义傅里叶变换$\mathcal{F}_{κ,a}$，以权$|x|^{a-2}v_κ(x)$作用于$L^{2}(\mathbb{R}^{d})$，其中$v_κ$是Dunkl权，我们研究了当$\|B_{κ,a}\|_{\infty}=B_{κ,a}(0,0)=1$ .已知$d\ge 2$和$\frac{2}{a}\in\mathbb{N}$的阳性结果。我们调查的情况下$d=1$和$\frac{2}{a}\in\mathbb{N}$。此外，我们还给出了$\|B_{κ,a}\|_{\infty}>1$与$d\ge 1$和任何$a$成立的参数充分条件.我们还研究了Schwartz空间在$\mathcal{F}_{κ,a}$变换下的图像。特别地，我们得到，$\mathcal{F}_{κ,a}(\mathcal{S}(\mathbb{R}^d))=\mathcal{S}(\mathbb{R}^d)$只有当$a=2$。最后，我们推广了Dunkl变换，引入了由$\mathcal{F}_{κ,a}$生成的非变形变换，并研究了它们的主要性质。
A New Product Formula Involving Bessel Functions
本文考虑了指标为$α> -\frac{1}{2}$的规范化贝塞尔函数，找到了项$x^nj_{α+n}(x)j_α(y)$的一个整表示.这使我们能够建立广义Hankel函数$B^{κ,n}_λ$在$\mathbb{R}$上的乘积公式。$B^{κ,n}_λ$是由Dunkl理论产生的积分变换$\mathcal{F}_{κ,n}$的核心。事实上，我们表明，$B^{κ,n}_λ(x)B^{κ,n}_λ(y)$可以表示为一个积分的$B^{κ,n}_λ(z)$与显式内核调用Gegenbauer多项式的所有$n\in\mathbb{N}^\ast$。所得结果推广了M. Rösler的Dunkl核，当n=1和S。本说，当$n=2$。作为应用，我们定义并研究了与$B^{κ,n}_λ$相关的平移算子和卷积结构.它们与经典傅里叶理论中的类似物有许多共同的重要性质。
Non-radial Dunkl multipliers at the $L^2$-Sobolev threshold
本文证明任意有限反射群下 Dunkl 变换的 Hörmander 乘子定理，无需径向性假设，通过新的核估计和振荡分析得到 $L^p$ 有界性及端点界。
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