Enriched Differential Lie Algebras in Topology
本文引入了一类新的丰富微分分次李代数（Edgl），它与所有连通CW复形和单纯集的拓扑直接相关。它配备了同伦理论类似于沙利文开发的交换微分分次代数。每个连通空间都有一个唯一的最小边模型，一个代数过程将其连接到最小沙利文模型。最小edgl模型自然代表cofibrations，特别是细胞的附件，和edgl和沙利文模型之间的相互作用，允许扩展到所有路径连通空间的结果以前只建立简单的连通空间。这，特别是，提供了经典的沙利文合理化$X\to X_{\mathbb Q}$的路径连通空间的应用和有趣的例子。
2022-08-25 math.AT
Up to homotopy algebras with strict units
证明了非平凡元数为零的运算的极小模型a la Sullivan的存在性。所以，直到有严格单位的同伦代数都是这些极小模型上的运算代数。作为应用，我们给出了有理数上酉n-小盘算子形式的另一个证明。
2019-12-18 math.AT
Cell decompositions of persistent minimal models
本文将有理同伦论结构定理推广到持久化情形，通过胞腔附着的迭代序列显式构造驯顺持久CDGA的极小模型，并给出余持久单连通空间有理Postnikov塔的显式分解。
2025-07-02 math.AT
Homology Nilpotency in Rational Homotopy Theory: Cell Attachments, Retractive Towers, Divergence, and Stabilization
Department of Mathematics and Statistics, University of Ottawa（渥太华大学数学与统计系）
该研究在有理同伦理论中构造了nil_h(M)=3<Hnil(M)=4的极小Sullivan代数，揭示同调幂零性的商缺陷可通过逐次有限单连通有理球楔积稳定化消除，建立了稳定化后同调幂零性与同伦范畴的关系。
2026-09-04 math.AT
Algebraically and geometrically minimal DG-models of diagrams of spaces
New York University Abu Dhabi（阿布扎比纽约大学）；St. Petersburg State University（圣彼得堡国立大学）
本文推广Sullivan有理同伦理论至有限指标范畴上的空间图表，构造几何与代数最小模型，分类有理同伦类型，并刻画H-图表分裂条件，应用于自同构群计算。
2026-09-29 math.AT
Rational Homotopy Equivalence
Masaryk University（马萨里克大学）
本文提出算法构建Sullivan极小模型，用于判断两个连通空间是否具有相同的有理同调类型。
2026-07-28 math.AT
A differential algebra and the homotopy type of the complement of a toric arrangement
我们证明了复曲面排列的补集的有理同伦类型完全由两组组合数据决定。这是通过在Q上引入一个微分分次代数而得到的，该代数的极小模型等价于该排列的Sullivan极小模型。
2020-07-04 math.AT math.CO
Computing Minimal Persistent Cycles: Polynomial and Hard Cases
持久性循环，特别是最小循环，是有用的几何特征，在纯拓扑持久性图（也称为条形码）中用作区间的扩充。在我们早期的工作中，我们证明了计算有限区间的最小1维持久圈（持久1-圈）是NP-困难的，而计算无限区间的最小1维持久圈（持久1-圈）是多项式易处理的。在本文中，我们解决这个问题的一般尺寸与$\mathbb{Z}_2$系数。除了证明它是NP-困难的计算最小持久d-圈（d>1）的任意单纯复形的两种类型的间隔，我们确定了两个有趣的情况下，这是多项式听话。这两种情况假设复形是流形的某种推广，我们称之为弱伪流形。对于弱（d+1）-伪流形的d次持久图的有限区间，利用了这样的区间的持久圈是零同调的这一事实，将问题归结为最小割问题.由于无穷区间上的问题是NP-难的，我们进一步假设弱（d+1）-伪流形嵌入到$\mathbb{R}^{d+1}$中，使得复形具有自然的对偶图结构，问题转化为最小割问题.这两种算法在科学数据上的实验表明，最小持久周期捕获数据的各种重要特征。
2020-02-15 cs.CG math.AT
On L.S.-category of a family of rational elliptic spaces
设X是有限型单连通有理椭圆CW-复形，其Sullivan极小模型为$(ΛV, d)$，$k \geq 2$是使$d=\sum \limits_{\underset{}{i\geq k}}d_i$与$d_i(V) \subseteq Λ^iV$的最大整数.在\cite{murillo02}中，作者证明了如果$(ΛV,d_k)$是更椭圆的，则$cat(ΛV,d)=(k-2)dimV^{even} + dimV^{odd}.$我们的工作集中在L. S. -当$k=3$和当$(ΛV,d_3)$不一定是椭圆的情况下，这类空间的范畴。
2013-10-23 math.AT
Computing Betti tables and minimal presentations of zero-dimensional persistent homology
University of California, Davis（加州大学戴维斯分校）；Lawrence Berkeley National Laboratory（劳伦斯伯克利国家实验室）；International Computer Science Institute（国际计算机科学研究所）；Centre de Recherches Mathématiques（数学研究中心）；Institut des sciences mathématiques（数学科学研究所）；Laboratoire de combinatoire et d’informatique mathématique de l’Université du Québec à Montréal（蒙特利尔大学组合与数学计算实验室）；Université de Sherbrooke（舍布鲁克大学）
本文提出在零维同调情况下，通过log-linear时间算法高效计算双格rade模块的Betti表，并在二次时间内计算最小呈现，提升拓扑数据分析效率。
2026-02-13 cs.CG math.AT
Persistence and Topological Complexity
Rutgers University（罗格斯大学）；University of Oklahoma（俄克拉荷马大学）
本文将拓扑复杂度及其上同调下界推广到持久拓扑空间，建立稳定性，并证明其能比持久同调更有效地区分某些空间。
2026-10-15 math.AT
An upper bound for the rational topological complexity of a family of elliptic spaces
针对具有恒定长度微分的纯极小 Sullivan 模型的单连通椭圆空间，论文证明其有理拓扑复杂度满足 ${\rm TC}_0(S)\leq 2{\rm cat}_0(S)+\chi_\pi(S)$，核心贡献是相应的模型结构定理。
2023-09-30 math.AT
The de Rham homotopy theory and differential graded category
本文是arXiv：0810.0808的推广。我们开发的德拉姆同伦理论不一定幂零空间，使用封闭的DG-范畴和等变DG-代数。我们看到这两个代数对象以某种方式相对应。证明了图式同伦类型的同伦范畴与闭dg-范畴的同伦范畴之间的等价性。本文用极小模型刻画了空间的同伦不变量。在这种情况下，极小模型的行为很像沙利文的极小模型。我们还提供了一些例子。我们证明了纤维合理化和封闭的dg范畴与辅助数据之间的等价性。
2011-08-23 math.AT math.CT
Computing Minimal Presentations and Bigraded Betti Numbers of 2-Parameter Persistent Homology
出于应用拓扑数据分析，我们给出了一个有效的算法计算（最小）表示的双阶$K[x,y]$ -模块$M$，其中$K$是一个字段。该算法将自由模块的短链复合体$X\xrightarrow{f} Y \xrightarrow{g} Z$作为输入，使得$M\cong \ker{g}/\mathrm{im}{f}$。它在时间$O(|X|^3+|Y|^3+|Z|^3)$中运行，需要$O(|X|^2+|Y|^2+|Z|^2)$内存，其中$|\cdot |$表示秩。给出了用我们的算法计算的表示，$M$的二阶贝蒂数很容易计算。我们的方法是基于一个简单的矩阵约简算法，轻微的变种，其中计算自由模块，最小生成集和Gröbner基地之间的态射的内核。我们的算法计算最小的介绍已经实现了RIVET，一个软件工具的可视化和分析的两个参数的持久同源性。在拓扑数据分析问题的实验中，我们的实现大大优于标准计算交换代数包Singular和Macaulay 2。
2022-05-19 cs.SC math.AC math.AT
On the higher rational topological complexity of certain elliptic spaces
该研究针对具有纯极小Sullivan模型的单连通椭圆空间，推导了高阶有理拓扑复杂度的上界公式，给出余形式空间下的下界，并算出部分空间族的精确值。
2025-03-22 math.AT
On minimal models in integral homotopy theory
本文的出发点是Grothendieck关于同伦类型表示的一个思想。我们证明了任何局部有限幂零同伦都可以用一个单纯集来表示，这个单纯集是一个在所有次数上都是单生成的自由群，并且它的映射是由有理系数多项式给出的。这样一个单纯集在某种意义上是一个普遍的局部化/完备化，因为同伦的所有局部化和完备化都很容易从它构造出来，特别是它与Quillen和Sullivan方法的关系。将该理论应用于无挠的群生成的幂零群的Eilenberg-MacLane空间，得到了与Passi多项式映射理论的密切关系.
2001-08-20 math.AG math.AT math.GR
Unbounded Nilpotency Gaps on Rationally Elliptic Manifolds
University of Ottawa（渥太华大学）
该研究构造了一类有理同伦型为椭圆型的单连通闭光滑流形，证明其同调幂零性可任意超过有理范畴，分离了极小模型的短模型与短商，还通过有理手术实现相关模型并得到同调幂零性与有理范畴比值趋近4/3等结果。
2026-10-16 math.AT
Persistent Simple-homotopy invariants via discrete Morse theory
Institute of Mathematical Sciences（数学科学研究所）；Chennai Mathematical Institute（金奈数学研究所）；Max Planck Institute for Mathematics（马克斯·普朗克数学研究所）
本文提出一种改进的持久同调，用于检测同调不可见的简单同伦现象。通过定义Morse复杂度轮廓，证明其在简单同伦等价下不变，并提供高效的Vietoris-Rips滤波算法。
2026-09-23 math.AT
Up-to-homotopy algebras with strict units. (Extended abstract version.)
证明了非平凡元数为零的运算的极小模型a la Sullivan的存在性.所以具有严格单位的上至同伦代数就是这些极小模型上的运算代数。作为应用，我们给出了有理数上酉n-小盘算子形式的另一个证明。
2019-12-18 math.AT math.KT
Pre-c-symplectic condition for the product of odd-spheres
我们说一个单连通空间$X$是预c-辛的，如果它是一个有理纤维化$X\to Y\to \C P^{\infty}$的纤维，其中$Y$是上同调辛的，在这个意义上，有一个2次上同调类是一个顶类.它是一个有理同伦性质，但不是上同调性质。利用Sullivan的极小模型，给出了奇球面积$X=S^{k_1}\times ... \times S^{k_n}$是准c-辛的充要条件，并讨论了相关的问题.给出了空间$X$的有理环秩的Hasse图的特征，作为准c-辛的必要条件，并给出了有限奇生成有理同伦群的例子.
2012-06-22 math.AT
Persistence Minimal Free Lie Model
本文融合有理同伦论与持续模块，提出持续极小 Quillen 模型并证明其稳定性，为拓扑数据分析提供比直接计算滤流同调群更精细的代数框架。
2025-05-13 math.AT
Morgan's mixed Hodge structures and nonabelian Hodge structures
本文利用非交换Hodge理论，在Sullivan的$1$ --极小模型上改进了Morgan关于混合Hodge结构的工作.作为应用，我们给出了紧致K“ahler流形上混合Hodge结构的实幂幺变分的显式表示.
2022-05-10 math.AG math.AT math.CV
Persistent homology for functionals
研究为一大类泛函引入确保持续同调模满足持久图的拓扑条件，并以此在现代框架下重证 Unstable Minimal Surface Theorem。
2022-05-24 math.AT math.FA
$\mathbb{Q}_p$-Homotopy Types and Applications to Topology and Algebraic Geometry
本文发展Q_p同伦理论，关联p完全空间与Q_p上的交换微分分次代数，证明其极小模型可还原同伦群等结构，并将该理论应用于拓扑与代数几何的多类问题。
2026-08-27 math.AT
The Nielsen numbers of iterations of maps on infra-solvmanifolds of type $R$ and periodic points
利用$R$型下解流形上映射$f$的Nielsen理论，研究了Nielsen数序列$\{N(f^k)\}$、$f$的本质周期轨道和$f$的同伦极小周期的渐近性态.我们给出了这类映射的本质周期轨道个数的一个线性下界，改进了Shub和Sullivan关于周期点的著名结果以及Babenko和Bogatyi关于周期轨道的著名结果.我们还证明了无穷多个素数的常倍数作为同伦极小周期出现在这样的映射中。
2015-12-27 math.AT math.DS math.GT
On models of orbit configuration spaces of surfaces
我们考虑轨道配置空间$C_n^G(S)$，其中$S$是一个表面获得了一个封闭的定向表面$\bar{S}$通过删除有限数量的点（最终没有）和$G$是一个有限的组自由连续作用于$S$。证明了在第一个$k$坐标上投影得到的纤维化$π_{n,k} : C_{n}^G(S) \to C_k^G(S)$是有理纤维化。因此，空间$C_{n}^G(S)$具有在cdga序列中拟合的Sullivan模型$A_{n,k}=ΛV_{C_k^G(S)}\otimes ΛV_{C_{n-k}^G(S_{G,k})}$：$ΛV_{C_k^G(S)}\to A_{n,k} \to ΛV_{C_{n-k}^G(S_{G,k})},$，其中$ΛV_X$表示$X$的最小模型，并且$C_{n-k}^G(S_{G,k})$是$π_{n,k}$的纤维。我们表明，这个模型是最小的，除了某些情况下，当$S\simeq S^2$和计算在所有情况下，更高的$ψ$同伦群（相关的生成元的最小模型）的$C_n^G(S)$。我们从计算中得出，具有有限Betti数的$C_n^G(S)$是有理$K(π,1)$，即它的极小模型与$1$ -极小模型相同（或等价地，$ψ$ -同伦空间在比$2$更高的阶上为零），当且仅当$S$与$S^2$不同胚.特别地，对于不同胚于$S^2$的$S$，极小模型（同构于$1$ -极小模型）完全由$π_1 C_n^G(S)…
2020-10-23 math.AT
Rational self-homotopy equivalences and Whitehead exact sequence
对于单连通CW-复$X$，令$\mathcal{E}(X)$表示$X$的自同伦等价的同伦类的群，令$\mathcal{E}_{\sharp}(X)$表示它的诱导同伦群上的恒等式的同伦类的子群.正如我们所知，商群$\frac{\mathcal{E}(X)}{\mathcal{E}_{\sharp}(X)}$可以用$Aut(π_{*}(X))$的子群来标识。这项工作的目的是确定这个子群的合理空间。我们构造了与$X$的最小Sullivan模型相关联的Whitehead正合序列，它允许我们定义分次向量空间$\mathrm{Hom}(π_*(X),\Bbb Q)$的自相干自同构的子群$\mathrm{Coh.Aut}(\mathrm{Hom}\big(π_{*}(X),\Bbb Q)\big)$.因此，我们建立了$\mathcal{E}(X) / \mathcal{E}_{\sharp}(X) \cong \mathrm{Coh.Aut} (\mathrm{Hom}(π_*(X),\Bbb Q))$。此外，通过计算群$\mathrm{Coh.Aut}\big(\mathrm{Hom}(π_{*}(X),\Bbb Q)\big)$，我们给出了具有少量自同伦等价的有理空间的例子。
2009-05-09 math.AT
Intersection Cohomology. Simplicial Blow-up and Rational Homotopy
设X是一个伪流形。本文利用单纯爆破定义了一个上链复形，它的上同调系数与M. Goresky和R.麦克弗森我们简单地在面集的过滤版本的设置中这样做，也称为没有退化的单纯集，在C. P. Rourke和B. J. Sanderson的意义上。我们定义了过滤面集上的反常局部系统和反常局部系统中系数的交上同调。特别地，如上所述，当X是一个伪流形时，我们得到一个反常的局部上链系统，它与域上的Goresky和MacPherson的交上链准同构。我们还表明，这两个复杂的上链是准同构的过滤版本的沙利文的微分形式在字段Q。在第二步中，我们使用这些形式扩展沙利文的介绍合理同伦类型的交叉上同调。为此，我们构造了一个函子从过滤面集的范畴到一类反常交换微分分次Q-代数（cdga的）由于Hovey。我们还建立了一些反常cdga的正分次极小模型的存在性和唯一性，包括过滤面集上的反常形式及其交上同调。最后，我们证明了正则部分连通的PL-伪流形的极小模型的拓扑不变性，并且这个理论创造了新的拓扑不变量。这一观点提出了交叉口设置的正式定义，并给出了实例。特别地，我们证明了CP（4）中的任何节点超曲面都是交形式的。
2014-07-15 math.AT math.GT
Minimal Cycle Representatives in Persistent Homology using Linear Programming: an Empirical Study with User's Guide
持久同源类的循环代表可以用于提供数据中拓扑特征的描述。然而，这些代表的非唯一性造成了歧义，并可能导致对同一组类的许多不同解释。解决这个问题的一种方法是针对在数据上下文中有意义的一些度量来优化代表的选择。在这项工作中，我们提供了一个研究的有效性和计算成本的几个$\ell_1$ -最小化优化程序构造同调循环基地的持续同调有理系数在一维，包括均匀加权和长度加权的边缘损失算法，以及均匀加权和面积加权三角形损失算法。我们通过标准的线性规划方法进行这些优化，应用通用求解器优化单纯边界矩阵的列基。我们的主要发现是：（i）优化在减小循环代表的大小方面是有效的，（ii）优化循环代表的基的计算成本超过在我们考虑的大多数数据集中计算这样的基的成本，（iii）线性求解器的选择对于优化循环的计算时间很重要，（iv）对于大多数循环代表，使用Guesthouse线性求解器，求解整数规划的计算时间不显著长于求解线性规划的计算时间，（v）引人注目的是，无论是否需要整数解，我们几乎总是得到具有相同成本的解，并且几乎所有找到的解都具有{-1，0，1}中的条目，因此，也是限制性$\ell_0$最优化问题的解，并且（vi）我们得到Erdens-Rényi随机团复形中生成元的定性不同结果。
2021-10-18 cs.CG math.AT stat.ML
Cofibrant models of diagrams: mixed Hodge structures in rational homotopy
我们研究了一类顶点在具有函子路径的可变范畴中的图范畴的同伦理论，从而得到了关于凝聚对象的同伦范畴的一个很好的计算。将这一理论应用到微分分次代数的混合Hodge图范畴中。利用Sullivan的极小模型，我们证明了混合Hodge复形上Beilinson定理的一个乘法形式.作为结果，我们得到了有理同伦型复代数簇上的混合Hodge结构的函性。在这种情况下，由Morgan理论得到的同伦群上的混合Hodge结构是由混合Hodge图的不可分解的导出函子得出的。
2013-07-18 math.AT math.CT
Compression for 2-Parameter Persistent Homology
压缩的目的是减少输入的大小，同时保持其相关属性。对于多参数持久同源性，压缩是任何计算管道中的必要步骤，因为标准构造导致大输入，并且该领域中的计算任务往往是昂贵的。提出了两种压缩自由2-参数持久模的链复形的方法。第一种方法扩展了单参数持续同调的多块算法，返回所有与输入准同构的链复形中最小的链复形。第二种方法产生的同源性的输入最小的介绍，它是基于Lesnick和赖特的算法，但结合了几个改进，导致大量的性能增益。这两种方法是互补的，并且可以结合起来在几秒钟内计算具有数百万个生成器的复合体的最小表示。这些方法已经实施，软件是公开的。我们报告的实验评估，表现出显着的改进性能相比，以前可用的压缩策略。
2022-08-16 cs.SC math.AC math.AT
Quantitative Simplification of Filtered Simplicial Complexes
我们引入了一个新的不变量定义在一个给定的过滤单纯复形的顶点，称为余密度，它控制的影响，删除顶点持久的同源性。我们实现这种控制，通过使用过滤的单纯复形之间的交错类型的距离。我们研究的特殊情况下，Vietoris-Rips过滤，并表明，我们的边界提供了显着的改善，立即从考虑有关的Gromov-Hausdorff距离的边界。基于这些思想，我们给出了一种滤除单纯复形实际化简的迭代法。作为我们的分析的副产品，我们确定了一个过滤的单纯复形的核心的概念，它承认作为一个最小的单纯过滤，保留所有持久的同源性信息的解释。
2018-01-09 math.AT
A fundamental class for intersection spaces of depth one Witt spaces
利用Banagl-Christenson定理，证明了深度为1的伪流形的交空间具有贝蒂数的广义Poincaré对偶性，条件是其环丛的某些特征类为零.本文证明了深度为1的Witt空间的中反常交空间可以通过单胞的附着而完备为有理Poincaré对偶空间，只要与其相关联的有理Hurewicz同态是满射的.我们的方法继续Klimczak以前的工作，包括孤立奇点的情况下，简单连接的链接。对于每一个奇异层，我们表明，我们的条件上的合理Hurewicz同态意味着链接丛的Banagl-Christenson特征类消失。此外，使用Sullivan极小模型，我们证明了逆蕴涵至少在奇异层的维数的两倍由链路的维数所限定的情况下成立。作为应用，我们比较了我们的有理Poincaré对偶空间的签名与给定Witt空间的Goresky-MacPherson交同调签名。讨论了一类以圆为奇异层的Witt空间的结果。
2019-04-07 math.AT
Mysterious Triality and the Exceptional Symmetry of Loop Spaces
本文通过扩展Cartan子代数到最大抛物子代数，揭示了循环空间的更丰富对称性，并建立了代数托roidification/totalization的伴随关系。
2024-08-23 hep-th math.AT math.QA
A complete classification of the rational realization of gap-two products of Eilenberg--MacLane spaces as classifying spaces
Nankai University（南开大学）
本研究针对单连通有理同调有限型的$\pi$有限空间，探讨Eilenberg--MacLane空间的间隙二乘积作为分类空间的有理实现，证明其有理同伦等价的充要条件，并确定其极小Sullivan模型的同构类及有理同伦类型的唯一性情况。
2026-10-23 math.AT
Infinite symmetric products of rational algebras and spaces
证明了有理数上的连通分次交换代数代数的无穷对称积与原代数的正度子空间上的自由分次交换代数代数自然同构.特别地，连通交换（通常意义下）分次代数在有理数上的无限对称积是多项式代数。应用于拓扑学，我们得到了有限型连通空间的有理同伦理论中的Dold-Thom定理的一个快速证明。我们还表明，有限对称产品的某些简单的自由分次交换代数是免费的，这使我们能够确定最小的沙利文模型有限对称产品的复射影空间。
2021-11-08 math.AC math.AT math.RA
The Persistent Homotopy Type Distance
我们引入持久同伦型距离dHT来比较定义在可能不同的同伦等价拓扑空间上的实值函数。dHT定义的基本思想是测量应用于两个函数之一所需的最小移位，以便两个函数的子级集变得同伦等价。这个距离在与持久同源性有关的方面是有趣的。事实上，我们的主要结果表明，dHT仍然提供了一个上限的瓶颈之间的持久性图的干预功能的距离。此外，由于同伦等价比同胚弱，这意味着由L-infty距离和自然伪距离dNP提供的标准稳定性结果的提升。从另一个角度证明了dHT在两个方面推广了L-infty距离和dNP。首先，我们表明，适当地限制dHT适用的对象的类别，它可以与其他两个距离相一致。最后，我们表明，dHT有一个解释的交织，自然地把它放在家庭的持久性理论中使用的距离。
2018-03-04 cs.CG math.AT
Nonabelian cohomology jump loci from an analytic viewpoint
对于一个拓扑空间，我们研究了它的上同调支撑轨迹，它位于基本群的各种（非交换）表示之内。为了做到这一点，对于一个CDG（交换微分分次）代数，我们定义它的上同调跳轨迹，坐在各种（代数）平坦连接。证明了表示簇原点1处的解析芽由空间的Sullivan 1-极小模型决定。在弱有限性假设下，证明了当空间和代数具有相同的$q$ -极小模型时，在一定程度上$q$，两种类型的跳跃轨迹在原点具有相同的解析芽.我们将这种一般方法应用于形式空间（为此我们建立了Farber-Novikov谱序列的退化）、拟投射流形和非线性生成的幂零群幂群。当CDG代数具有正权时，我们阐明了（秩一复形）拓扑和代数跳跃轨迹的一些结构：直到次数$q$，它们所有通过原点的不可约分量都是连通的仿射子环面，分别是有理线性子空间.此外，全球指数映射发送所有代数上同调跳转轨迹，直到程度$q$，到他们的拓扑对应。
2013-05-12 math.AG math.AT
Pro-algebraic homotopy types
本文的目的是将沙利文的有理同伦理论推广到非幂零空间，提供了一种替代方法来定义Toen的示意同伦类型在任何域k的特征零。新的功能包括一个明确的描述同伦群使用的Maurer-Cartan方程，收敛谱序列比较示意性的同伦群与上同调的普遍半简单的本地系统，和一个概括的Baues-Lemaire猜想。对于紧致Kaehler流形，其示意同伦群可以用这个上同调环来明确描述，给出了典型的权分解。还有极小模型、无点同伦类型和代数自同构群的概念。对于一个具有代数好的基本群和有限秩的高阶同伦群的空间，证明了其图解同伦群为π n（X）\otimes k.
2008-01-13 math.AG math.AT
AKSZ-type Topological Quantum Field Theories and Rational Homotopy Theory
我们重新制定和激励AKSZ型拓扑场论在行人的条款，解释他们如何出现作为最一般的施瓦茨型拓扑行动受到一个简单的约束，以及他们如何推广陈$-$西蒙斯理论和其他著名的拓扑场论，因为他们是规范理论的平坦连接的高规范群（无限李代数）。他们的欧拉$-$拉格朗日方程定义准自由分次交换微分代数，或等价的$L_\infty$ -代数，规范群的李代数的等价物;我们解释如何整合出辅助场在物理学对应于采取沙利文极小模型这个代数，以及如何场和规范变换之间的对应关系实现Koszul对偶。使用这个字典，我们可以导入拓扑不变量和概念（例如$~$有理LS-范畴）来应用于这类理论。
2018-09-25 hep-th math-ph math.AT
Cyclic theory for commutative differential graded algebras and s-cohomology
本文考虑流形范畴$hH^\ast, cH^\ast, sH^\ast,$上的三个同伦函子，并将它们与连通交换微分分次代数范畴$HH^\ast, CH^\ast, SH^\ast.$上的其他三个同伦函子平行，如果$P$是光滑1-连通流形，且代数是$P$的de-Rham代数，则这两对函子一致，但一般不一致.函子$ HH^\ast $和$CH^\ast$也可以分别导出为Hochschild。交换微分分次代数的循环同调，但这里不是这样介绍它们的。第三个$SH^\ast ,$虽然是从负循环同调中得到的启发，但不能与任何代数的任何种类的循环同调相一致。函子$sH^\ast$可能在拓扑学中扮演某种角色。构造函子$HH^\ast, CH^\ast $和$SH^\ast ,$的重要工具除了循环理论所建议的线性代数外，还有本文所描述的Sullivan极小模型定理和“自由环”构造。
2009-05-10 math.AT math.KT
Homological Scaffold via Minimal Homology Bases
同源支架利用持久同源性来构建加权网络的拓扑合理摘要。然而，它对代表性周期选择的关键依赖阻碍了将全局特征追溯到单个网络组件的能力，除非提供一种原则性的方法来做出这样的选择。在本文中，我们应用最新的进展，在最小的同源基的计算引入一个准规范版本的支架，称为最小的，并采用它来分析数据的真实和在硅片。与此同时，我们验证了，在统计上，标准支架是一个很好的代理的最小的足够复杂的网络。
2021-01-01 cs.CG math.AT math.CO
Data structures for real multiparameter persistence modules
偏序集上的模理论被用来定义计算上可行的、拓扑上可解释的数据结构，根据同调类的生与死来定义具有多个实参数的持久同调。为了取代一般偏序集上模的Noether假设，本文用组合的方法定义了一个“编码”条件，并用代数的方法加以发展。它捕捉到了持久同源性的拓扑驯服性。满足它的偏序模可以通过反映持久性的生灭描述的“边缘表示”来指定。一个合冲定理刻画了模编码为允许适当的有限表示和分解。几何和代数理论的重点是模在真正的多面体群（真正的向量空间与多面体正锥）和平行理论在离散多面体群（阿贝尔群与正锥生成）。准素分解的存在性证明了任意多面体偏序阿贝尔群，但真正的和离散的情况下进行足够的几何和，至关重要的是，在真正的情况下，拓扑诱导完整的理论，最小的初级和次级分解，相关和附加的面，最小的发电机和cogenerates，socles和顶部，最小的翻转盖和下降壳，Matlis对偶，和最小的边缘介绍。实半代数性质的数据保持函的建设。Tops和socles成为多参数持久化模块的函子生灭空间。他们产生函子的“QR码”和“长老态射”的模块在真正的和离散的多面体群，推广和分类的条形码和长老规则的持续同源性在一个参数。QR码和旧态射模型条形码的不同方式在一个参数中合并为函子条形码。
2020-08-12 math.AC math.AT math.CO
A fractal dimension for measures via persistent homology
我们使用持久的同源性，以定义一个家庭的分形维数，表示为$\mathrm{dim}_{\mathrm{PH}}^i(μ)$为每个同调维数$i\ge 0$，分配给一个概率测度$μ$的度量空间。$0$ -维同调（$i=0$）的情况与Michael J. Steele（1988）研究随机抽样点上的最小生成树的总长度的工作有关。事实上，如果$μ$是支持在一个紧凑的子集上的欧几里德空间$\mathbb{R}^m$的$m\ge2$，那么斯蒂尔的工作意味着，如果绝对连续部分的$μ$有积极的质量，$\mathrm{dim}_{\mathrm{PH}}^0(μ)=m$，否则$\mathrm{dim}_{\mathrm{PH}}^0(μ)<m$。实验表明，类似的结果可能是正确的高维同源$0<i<m$，虽然这是一个悬而未决的问题。我们的分形维数是通过考虑一个极限来定义的，当点$n$的数量趋于无穷大时，从i.i.d.中的$μ$中选择的$n$随机点的$i$维持久同源区间长度的总和。时尚.对于某些措施$μ,$，我们能够分配一个更精细的不变量，一条曲线测量的限制分布持久的同源区间长度的点的数量趋于无穷大。证明了当$μ$是单位区间上的均匀分布时，在$0$维同调的情形下，该极限曲线存在;并猜想当$μ$是欧氏空间中紧致集的重标度概率测度且Lebesgue测度为正时，该极限曲线存在.
2019-01-30 math.AT math.DS math.PR
Fast Minimal Presentations of Bi-graded Persistence Modules
多参数持久同调是拓扑数据分析的一个新的分支。在这一领域，数据集的调查，通过镜头的同源性相对于两个或两个以上的尺度参数。许多算法的高计算成本要求预处理步骤以减少输入大小。一般来说，最小表示是持久化模块的最小可能表示。Lesnick和Wright最近提出了一种基于矩阵约简的最小表示计算算法（LW-算法）。在这项工作中，我们提出，实施和基准几个改进的LW算法。最值得注意的是，我们提出了使用优先排队，以避免广泛的扫描矩阵列，这构成了计算瓶颈的LW算法，我们结合了他们的算法的思想，从多参数块算法Fugacci和Kerber。我们广泛的实验表明，我们的算法优于LW算法和计算的最小表示的数据集与数以百万计的简单在几秒钟内。我们的软件是公开的。
2020-10-29 cs.SC math.AC math.AT
Weighted Persistent Homology Sums of Random Čech Complexes
研究了\begin{equation*} E_α^i\left(x_1,\ldots,x_n\right)=\sum_{\left(b,d\right)\in \mathit{PH}_i\left(x_1,\ldots,x_n\right)} \left(d-b\right)^α \end{equation*}型随机变量的渐近行为，其中$\left\{x_j\right\}_{j\in\mathbb{N}}$是独立同分布的.样本来自可三角化度量空间上的概率测度，而$\textit{PH}_i\left(x_1,\ldots,x_n\right)$表示$\left\{x_1,\ldots,x_n\right\}.$的Čech复形的$i$维约化持久同调。这些量是最小生成树的$α$加权和的高维推广;我们试图证明Steele（1988）和Aldous and Steele（1992）定理在此上下文中的类似物。作为我们的主要定理的一个特例，我们证明了：如果$\left\{x_j\right\}_{j\in\mathbb{N}}$独立均匀地分布在$m$维欧氏球面上，则存在实数$α<m,$和$0\leq i <n,$，使得概率为\begin{equation*} γ\leq \lim_{n\rightarrow\infty} n^{-\frac{m-α}{m}} E_i^α\left(x_1,\…
2018-09-06 math.AT math.CO math.PR
Fibrewise Orbifold Resolutions with Applications to $\mathrm{G}_2$-Moduli Spaces
The University of Melbourne（墨尔本大学）
通过扭曲爆破族解消定制轨道流形的奇点，构造流形丛，并利用实同伦理论证明这些丛在$\pi_2(B\mathrm{hAut}(M)_0)$中生成自由子群，进而证明广义Kummer构造得到的无挠$\mathrm{G}_2$结构模空间的第二同伦群包含正秩自由子群。
2026-08-12 math.AT math.DG math.GT
