On homotopy continuation based singularity distance computations for 3-RPR manipulators
并联机器人具有奇异位形的特点。评估给定配置与最接近的奇异配置之间的距离对于工业应用（例如，无奇异路径规划）。对于Stewart-Gough型并联机器人，几何意义的距离措施是已知的，这是用于计算的奇异性距离作为全局最小的优化问题。在六足动物和线性五足动物的情况下，由于未知数的次数和数量，相应的多项式拉格朗日函数的临界点不能通过Grobner基方法找到。但是这个多项式方程组可以通过数值代数几何的软件工具依赖于同伦延拓来求解。为了获得经验的治疗提到的空间机械臂，本文试图找到最小的多齐次Bezout数同伦连续的奇异距离计算相对于各种代数运动表示的平面欧氏/同构运动学。基于3-RPR操作器，对所研究的齐次和非齐次表示进行了比较和讨论。
2020-04-17 cs.CG
On the geometrical properties of the coherent matching distance in 2D persistent homology
在本文中，我们研究了一个新的度量比较贝蒂数功能的二维持久的同源性，相干匹配的基础上，即家庭的匹配，在一个连续的方式。我们证明了一些新的结果，包括它的稳定性。特别是，我们表明，这个距离的计算是密切相关的适当的过滤功能与线的斜率1，所以强调这些线在二维持久性的研究中的关键作用。为了证明这些结果，我们介绍和研究的概念，扩展的Pareto网格的正常过滤功能，以及运输的匹配。作为一个副产品，我们获得了一个理论框架，用于管理在二维持久同源性的单值现象。
2018-05-25 cs.CG math.AT
A Robust and Efficient Method for Solving Point Distance Problems by Homotopy
点距离解决问题的目标是找到已知一些点对之间距离的点的2D或3D放置。通常的指导方针是通过数值迭代法（\emph{e.g.} Newton-Raphson方法）来求解它们。一个唯一的解决方案，而存在许多。然而，解决方案的数量可以是指数级的，方法应该提供接近用户绘制的草图的解决方案。几何推理可以通过改变几个方程并将其三角化来帮助简化底层方程系统。这种三角化是解决方案的几何构造，称为构造计划。我们的目标是找到几个解决方案接近草图上的一个一维路径定义的全球参数同伦使用建设计划。由于特定的几何构型，可能会遇到一些数值不稳定性。通过实时改变施工计划来解决这一问题，数值结果表明该混合方法是有效的和鲁棒的。
2016-07-26 cs.CG
On Homotopy Types of Vietoris-Rips Complexes of Metric Gluings
研究了度量楔和与度量胶合的Vietoris-Rips复形。我们证明了具有自然度量的楔形和的Vietoris-Rips复形同伦等价于Vietoris-Rips复形的楔形和。我们还提供了推广时，两个度量空间粘在一起沿一个共同的等距子集。作为我们的主要例子，我们推导出的同伦类型的Vietoris-Rips复杂的两个度量图粘在一起，沿着一个足够短的路径（相比，在输入图中的某些循环的长度）。因此，我们可以描述持久的同源性，在所有的同调维数，Vietoris-Rips复合物的广泛的一类度量图。
2019-08-12 cs.CG math.MG
Stability of multidimensional persistent homology with respect to domain perturbations
在计算机视觉和计算机图形学中处理不完整或不精确的数据采集的问题的动机，我们扩展的结果有关的稳定性持久的同源性函数扰动的结果有关的稳定性域扰动。域扰动可以以多种不同的方式测量。比较域的一个重要方法是Hausdorff距离。我们证明了通过使用距离函数对集合进行编码，持久同调群的秩不变量之间的多维匹配距离总是由集合之间的Hausdorff距离上界。此外，我们证明，我们的建设保持信息的原始集。其他著名的方法比较集被认为是，如经典集之间的对称差距离和模糊集之间的超距离。此外，在这些情况下，我们提出的结果表明，持久的同调群的秩不变量之间的多维匹配距离的上限由这些距离。一个实验表明，我们的方法的潜力总结的文件。
2010-05-10 cs.CG cs.IT math.AT
Dimensionality Reduction for $k$-Distance Applied to Persistent Homology
给定一个n点的集合P和一个常数k，我们有兴趣计算P的Cech滤子对于k-距离的持久同调，并研究降维对这个问题的有效性，回答Sheehy的一个公开问题[Proc. SoCG，2014]。我们证明了任何线性变换，保持成对距离（1 +/- e）乘法因子，必须保持持久的同源性的Cech过滤（1-e）^（-1）的一个因素。我们的结果还表明，Vietoris-Rips和Delaunay过滤的k-距离，以及Cech过滤的近似k-距离的Buchet等人。Geom.，2016]被保存到（1 +/- e）因子。我们还证明了我们的主要定理的扩展，为点集（i）躺在一个区域的有界高斯宽度或（ii）在一个低维子流形，获得嵌入的Lotz [Proc。索科，2019]和Clarkson [Proc. SoCG，2008]。我们的结果也适用于终端降维设置，其中原始环境空间中的任何点到P中的任何点的距离需要近似保持。
2021-10-12 cs.CG cs.NA math.AT
Computing the Bottleneck Distance between Persistent Homology Transforms
Institute of Geometry, Graz University of Technology（格拉茨工业大学几何研究所）；Department of Informatics, University of Fribourg（弗里堡大学信息学系）
本文提出计算持久同调变换之间瓶颈距离的方法，改进积分目标至O(n^5)，并为最大目标提供O(n^3)和O(n^5)的算法。
2026-04-09 cs.CG
Non-isotropic Persistent Homology: Leveraging the Metric Dependency of PH
RWTH Aachen University（亚琛工业大学）
提出非各向同性持久同调方法，通过改变底层空间距离函数并分析持久性图偏移，提取点云的方向、方差和缩放等额外拓扑几何信息。
2023-10-25 cs.CG cs.LG math.AT
Persistent Homology of Music Network with Three Different Distances
Department of Mathematics, Pohang University of Science & Technology（POSTECH数学系）；POSTECH Mathematical Institute for Data Science (MINDS)（POSTECH数据科学数学研究所）；Korea Institute for Advanced Study (KIAS)（韩国高级研究院）
本研究探讨了三种不同距离定义在音乐网络持续同调中的应用，揭示了不同距离定义对持续条形码和持续图的影响，并通过真实音乐数据验证了结果。
2025-06-16 cs.CG cs.SD eess.AS
Categorification of persistent homology
我们从范畴的角度重新开发持久同源性（拓扑持久性）。主要研究对象是在某个目标范畴内由实数偏序集索引的图。这组图有一个交织距离，我们发现，概括了以前研究的瓶颈距离。为了说明这种方法的实用性，我们大大推广了以前的稳定性结果的持久性，扩展持久性，内核，图像和cokernel持久性。我们给出了一个自然的结构，这些图的一个类别的交织，并表明，如果目标类别是阿贝尔，所以是这个类别的交织。
2014-01-08 cs.CG math.AT math.CT
Dimensionality Reduction for Persistent Homology with Gaussian Kernels
使用高斯核计算持久同源性在拓扑数据分析和机器学习领域非常有用，如Phillips，Wang和Zheng所示[SoCG 2015]。然而，与使用欧几里德距离甚至$k$ -距离计算持久同源性的情况相反，不知道如何使用高斯核计算高维数据的持久同源性。在本文中，我们考虑了幂距离版本的高斯核距离（GKPD）的菲利普斯，王和郑，并显示出持久的同源性的$P$计算使用GKPD的Čech过滤近似保持。对于$d$维欧氏空间中的数据集，在$\varepsilon \in [0,1]$的相对误差界下，我们得到了$n$点数据集的$(i)$ $O(\varepsilon^{-2}\log^2 n)$的维数和直径为$r$（直到一个比例因子）的数据集的$(ii)$ $O(D\varepsilon^{-2}\log (Dr/\varepsilon))$的维数.我们使用两种主要成分。第一个是一个新的分解的平方半径的Čech单形使用核功率距离，在成对的GKPD的顶点之间，我们的状态和证明。第二个是Rahimi和Recht的随机傅立叶特征（RFF）图[NeurIPS 2007]，如Chen和Phillips [ALT 2017]所用。
2023-01-09 cs.CG math.GN
Persistent Homology of Geospatial Data: A Case Study with Voting
分析持久同源性的关键步骤是将数据转换为适当的拓扑对象（在我们的例子中，是单纯复形）。现代的持久同源性软件包通常在点云上构造Vietoris-Rip或其他基于距离的单纯复形，因为它们相对容易计算。我们研究了替代方法构建这些复杂的和相关的选择在单纯复杂的建设持续同源算法的输出的影响。我们提出了两种新的方法，从二维地理空间数据（如地图）构建单纯形复合体。我们将这些方法应用于加州选区级投票数据集，证明我们的新结构可以捕获基于距离的结构所错过的几何特征。因此，我们的新构造可以为地理空间数据产生更多可解释的持久化模块和条形码。特别是，它们能够区分仅在很窄的距离尺度范围内出现的短持续性特征（例如，在人口稠密的城市中的投票行为）从短持久性噪声通过合并关于选区之间的其他空间关系的信息。
2019-09-16 cs.CG cs.SI math.AT
Uniqueness of models in persistent homology: the case of curves
我们考虑R^2中的一般曲线，即从S^1到R^2的一般C^1函数f。我们通过f在S^1上诱导的过滤的持久同调群来分析这些曲线。特别地，我们考虑这些持久同调群是否唯一地刻画f的问题，至少直到S ^1的重新参数化。我们对这个问题给出了部分肯定的回答。更精确地说，我们证明了f=goh，其中h：S^1-> S^1是C^1-同素射，当且仅当sof和sog的持久同调群重合，对于每个s属于由坐标轴上的反射生成的群Sigma_2.此外，对于一组较小的通用功能，我们表明，f和g是接近对方的最大范数（重新参数化）当且仅当，对于每个s属于Sigma_2，持久的贝蒂数功能的sof和sog是接近对方，相对于一个合适的距离。
2010-12-28 cs.CG math.AT
The Vietoris-Rips complexes of a circle
给定一个度量空间X和一个距离阈值r>0，Vietoris-Rips单纯复形有X的直径小于r的有限子集作为它的单纯形。Jean-Claude Hausmann的一个定理指出，如果X是一个黎曼流形且r足够小，则Vietoris-Rips复形同伦等价于原始流形。关于Vietoris-Rips复合物在较大r值下的行为知之甚少，即使这些复合物在使用持久同源性的应用中自然出现。我们证明了随着r的增加，圆的Vietoris-Rips复形得到圆的同伦类型，3-球面，5-球面，7-球面，...，直到最后它可以收缩。作为我们的主要工具，我们引入了一个有向图不变量，缠绕分数，这在某种意义上是对偶的循环色数。使用缠绕分数，我们分类的同伦类型的Vietoris-Rips复杂的任意（可能是无限的）子集的圆，我们研究的预期同伦类型的Vietoris-Rips复杂的均匀随机样本从圆。此外，我们还证明了随着距离参数的增加，圆的环境Cech复形也得到了圆的同伦类型，3-球面，5-球面，7-球面，.直到最后它可以收缩。
2017-02-05 cs.CG math.AT math.CO
A derived isometry theorem for constructible sheaves on $\mathbb{R}$
持久同调最近由Kashiwara和Schapira在导出的环境中用层理论的工具进行了研究，在J. Curry首次将持久同调与层联系起来之后。我们证明了等距定理，在这个派生的设置，从而表示层的卷积距离作为一个匹配的组合对象之间的距离与他们相关联，我们称之为分级条形码。这允许考虑层理论的结构组合，稳定的拓扑描述符的数据，并概括的情况下，持久性与一个参数。为了实现这一点，我们显式地计算$D^b_{\mathbb{R} c}(\textbf{k}_\mathbb{R})$中的所有态射，这使我们能够计算不可分解对象之间的距离。然后，我们适应Bjerkevik的稳定性证明，这个派生的设置。作为等距定理的一个副产品，我们证明了卷积距离是封闭的，给出了$D^b_{\mathbb{R} c}(\textbf{k}_\mathbb{R})$的连通分量的精确描述，并提供了一些计算卷积距离的显式例子。
2023-01-24 cs.CG math.AT
Dimension Reduction of Two-Dimensional Persistence via Distance Deformations
本文源于我在海德堡大学数学与信息科学学院的硕士论文的应用部分，由PD博士Andreas Ott监督。针对具有持续同源性的RNA病毒数据集的时间序列分析，提出了一种通过将时间信息转换为距离，将二维持续性降为一维持续性的新方法.
2022-07-07 cs.CG math.AT
Denoising 3D images: robustness of persistent homology measures
New Jersey Institute of Technology（新泽西理工学院）
研究计算3D图像持久同调时噪声影响，通过分析多孔介质合成3D图像在噪声下的持久同调，比较多种拓扑测度，评估其对噪声和去噪过程的稳健性。
2026-07-28 cs.CG cs.CV math.AT
Persistent Homology as Stopping-Criterion for Voronoi Interpolation
本文利用Voronoi插值在拓扑空间中插值具有更高同调群的数据集，通过每次迭代计算持久同调以捕捉数据拓扑变化，利用Bottleneck和Wasserstein距离评估质量，当距离范数超过阈值时终止算法。
2026-03-23 cs.CG cs.LG math.AT
Robust Topological Inference: Distance To a Measure and Kernel Distance
设P是一个具有支集S的分布。S的显著特征可以用持续同调来量化，它总结了距离函数（任何点x到S的距离）的子水平集的拓扑特征。给定来自P的样本，我们可以使用距离函数的经验版本来推断持久同源性。然而，经验距离函数对于噪声和离群值是高度非鲁棒的。即使是一个离群值也是致命的。由Chazal等人（2011）引入的距离测量（DTM）和由Phillips等人（2014）引入的核距离是光滑函数，其提供有用的拓扑信息，但对噪声和离群值具有鲁棒性。Chazal等人（2014）推导出DTM的浓度界限。基于这些结果，我们得到了极限分布和置信集，我们提出了一种选择调谐参数的方法。
2014-12-22 cs.CG math.AT math.ST
Adversarially Robust Topological Inference
University of California San Diego（加利福尼亚大学圣迭戈分校）；The Pennsylvania State University（宾夕法尼亚州立大学）；The Institute of Statistical Mathematics（统计数学研究所）
针对持续同调对异常值敏感的问题，提出基于中位数均值的距离函数变体 MoM Dist，在对抗设置下实现一致估计与近最优性能。
2025-03-28 cs.CG cs.LG math.AT
Introduction to the R package TDA
我们提供了一个简短的教程和介绍使用R包TDA，它提供了一些拓扑数据分析的工具。特别地，它包括函数的实现，给定一些数据，提供关于底层空间的拓扑信息，例如距离函数，到测量的距离，kNN密度估计器，核密度估计器和核距离。这些函数的子级集（或上级集）的显著拓扑特征可以用持久同调量化。我们提供了一个R接口的C++库GUDHI，狄俄尼索斯和PHAT的有效算法，包括一个功能的持久同源性的RIP过滤，和一个持久的同源性的子级集（或上级集）的任意功能评估网格点。结果持久性图中的特征的重要性可以用实现最近开发的统计方法的函数来分析。R软件包TDA还包括密度聚类算法的实现，它允许我们识别与密度函数相关的概率质量的空间组织，并通过树状图（聚类树）将其可视化。
2015-01-29 cs.CG cs.MS stat.CO
