Note On Endomorphism Algebras Of Separable Monoidal Functors
我们回顾了某些类型的分裂monoidal函子到Vect_{k}的Tannaka结构，并取消了对域的紧性限制。
2009-07-19 math.CT math.QA
A note on the definition of derived functors
本文详细探讨了导出函子的构造，澄清了经典构造方法，并证明其可在ZFC中形式化，且适用于余域为任意Grothendieck范畴的更一般背景。
2025-04-01 math.CT math.LO
A Note on Commuting Reflection Functors for Calabi-Yau d-folds
研究了Calabi-Yau簇上层的导出范畴中的交换反射函子集。我们表明，这样的集合是由一组相互正交的球形对象。我们还表明，当球形物体是局部自由层，然后内核的复合变换parametrizes正确扭转免费与零维奇异集，相反，这样的内核产生一个相互正交的球形向量丛的集合。我们通过更详细地分析为什么球面扭曲给出等价性来做到这一点。
2012-06-26 math.AG math.CT
Exponentiable functors between quantaloid-enriched categories
在类量子富集范畴之间的指数函子的特征在于在初等条款。证明如下：一个给定函子的基本条件转化为服从某种松弛交换性的某些伴随的存在性陈述;这反过来又恰恰是证明与该函子的部分乘积的存在性所需要的;因此函子的指数性可以从Niefield [1980]和Dyckhoff和Tholen [1987]的工作中得到。
2006-08-25 math.CT
A note on separable functors and monads
对于伴随函子对$(F, G)$，我们证明了$G$是可分函子当且仅当定义的单子是可分的，并且相关联的比较函子是收缩的等价.在这种情况下，在幂等完备性条件下，伴随对$(F, G)$是一元的。这适用于阿贝尔范畴中的等变对象范畴的导出范畴与阿贝尔范畴的导出范畴中的等变对象范畴之间的比较。
2014-03-06 math.CT math.RA math.RT
A note on images of cover relations
对于范畴$\mathbb{C}$、小范畴$\mathbb{I}$和$\mathbb C$上的预覆盖关系$\sqsubset$，在$\mathbb C$上的完备性假设下，证明了：当$g$的每个分量允许关于$\sqsubset$的象时，函子范畴$\mathbb {C}^{\mathbb I}$中的态射$g: B\to C$允许关于$\sqsubset$诱导的$\mathbb C^{\mathbb I}$上的预覆盖关系的象.然后，我们应用这个证明，如果一个指向范畴$\mathbb{C}$是：（i）代数Carnitarian封闭的;（ii）精确原模和行动可达的;或（iii）承认正规化，那么同样的是每个函子范畴$\mathbb{C}^{\mathbb I}$与$\mathbb{I}$有限。此外，我们的结果给出了明确的构造图像函子范畴中使用的限制和图像的基础类别。特别是，它们可以用来给出函子范畴中的中心化子和规范化子的显式构造，它们分别使用底层范畴中的极限和中心化子或规范化子。
2020-11-13 math.CT
A note on coring extensions
定义了一个核扩张的概念，它与通过遗忘函子分解的余模范畴之间的加性函子的存在有关。核扩张和可因子分解函子之间的这种对应关系通过下降数据类别之间的函子来说明。还引入了一个范畴，其中对象是核，态射是核扩张。
2008-07-31 math.CT math.RA
A note on cohomological localization
给定一个从三角范畴到阿贝尔范畴的上同调函子，在适当的假设下，我们对阿贝尔范畴的任何局部化函子构造了到三角范畴的局部化函子的提升.这种讨论的Bousfield本地化的基本介绍本地化的概念，任意类别相结合。
2006-11-04 math.CT math.KT
A Very Short Introduction to Topos Theory (adapted from Prof. Pettigrew's notes)
本文基于Richard Pettigrew的笔记，快速概述了范畴论与Topos理论的核心概念，涵盖切片范畴、极限、子对象分类子及伴随函子等关键内容。
2024-06-13 math.CT
Joyal's Suspension Functor on $Θ$ and Kan's Combinatorial Spectra
在[Joyal]的类别$Θ$是第一次定义它指出，尺寸转移对$Θ$建议一个优雅的介绍未减少悬浮细胞集。在这篇文章中，我们证明了约化纬垂与该表示是左Quillen关于Cisinski模型范畴结构表示的$\left(\infty,1\right)$ -范畴的点空间，并享有正确的泛性质。此外，我们继续描述如何，在即将开展的工作，灵感来自组合谱中所描述的[Kan]，这种悬挂函子需要一个描述的谱，反映了较弱形式的同伦假设，我们描述了发展的介绍谱作为局部有限弱$\mathbf{Z}$ -群胚。
2022-06-28 math.CT
Applied Categories and Functors for Undergraduates
这些是一学期本科课程（计算机科学，数学，物理，工程，化学或生物学）的应用分类元语言的课堂讲稿。要全面阅读这些笔记，唯一必要的背景知识是一年级微积分和线性代数。
2009-06-16 math.CT math.HO
A note on Frobenius-Eilenberg-Moore objects in dagger 2-categories
我们定义Frobenius-Eilenberg-Moore对象的匕首Frobenius单子在任意匕首2范畴，并扩展到匕首上下文的一个著名的泛性质的单子的形式理论。我们表明，自由完成的2-范畴下的Eilenberg-Moore对象扩展到匕首的上下文中，提供一个愿意与这样的匕首Frobenius单子的endofunctor部分适当地与他们的单位交换。最后，我们定义了匕首宽松函子和匕首宽松限制，这样的函子，并表明Frobenius-Eilenberg-Moore对象是这样的限制的例子。
2021-01-13 math.CT
Ricci flow as functor
St. Petersburg State University（圣彼得堡国立大学）
本文提出一个范畴框架，将Ricci流视为连接Riemannian度量堆栈与几何分解的函子，并展示了其分层结构。
2026-01-24 math.CT
A Note on "Extensional PERs"
在P.Freyd、P.Mulry、G. Rosolini和D. Scott，引入了一个由“点完全可拓PER”和可计算映射构成的范畴$\mathcal{C}$，给出了一个相对于有限函子类的\emph{algebraically compact category}的实例.代数紧性是范畴上的一个综合条件，它保证了包含该范畴内函子的递归方程的解。我们扩展的结果，包括所有内部函子$\mathcal{C}$时，$\mathcal{C}$被视为一个完整的内部范畴的有效拓扑。这是使用两个一般性的结果：一个是关于一般的内部函子，另一个是关于有效拓扑中的内部函子。
2010-09-20 math.CT math.LO
Notes on Beilinson's "How to glue perverse sheaves"
贝林森的名义上的基础性工作不仅给出了一种粘合反常层的技术，而且还隐含地包含了反常层的邻近圈和消失圈函子的构造。这些建设是完全基本的，并表明，这些函子保持反常和尊重Verdier对偶反常层。这项工作还定义了一个新的，“最大扩张”函子，这是离开神秘的作用，除了在胶合定理。在这些笔记中，我们提出了所有这些结构和定理的完整细节。
2010-07-11 math.AG math.CT
Continuity is an adjoint functor
对于拓扑空间$X$和$Y$，一个（不一定是连续的）函数$f:X \rightarrow Y$自然地将一个函子从$X$的闭子集范畴（带有由包含给出的态射）导出到$Y$的闭子集范畴。函数$f$也自然地从$Y$的闭子集范畴导出一个函子到$X$的闭子集范畴。我们的目的是证明函数$f$是连续的当且仅当上述两个函子中的第一个是第二个函子的左伴随。因此，我们获得了伴随对的基本例子（显然）不是这个问题的标准介绍性治疗的一部分。
2014-08-12 math.CT
On the Existence of an Orthogonal Factorization System on 1-Cob and 2-Cob
我们组合地定义了范畴2-Cob，并利用这个定义证明了正交分解系统的存在性。在论文的后半部分，我们类似地定义了定向1-Cob，并定义了从定向1-Cob到2-Cob的函子。在定义了这个函子之后，利用2-Cob上的正交分解系统，证明了定向1-Cob上的正交分解系统的存在性。
2015-06-09 math.CT
Some aspects of semi-abelian homology and protoadditive functors
本文简要介绍了半阿贝尔范畴中同调研究的一些新进展。特别是在研究的Hopf公式的同源性的作用的protoadditive函子进行了解释。
2015-10-12 math.AT math.CT
Lax Functors, Cospans, and the Center Construction
中心结构不是（经典的）函子结构。本文将Jacob Lurie的一个泛构造特殊化到环的范畴中，并将经典中心提升为Lax函子。特别是，我们发现宽松函子的森田范畴和范畴的cospans。
2021-11-20 math.CT math.RA
Non-existence of fiberwise localization for crossed modules
我们证明了局部化函子的交叉模块的群体并不总是承认fiberwise（或相对）版本。要做到这一点，我们的特点是存在的纤维本地化的一定的正规性条件和计算明确的例子和反例。事实上，一些无效函子不表现良好，我们还证明了纤维的某些无效函子，称为acyclization函子在其他设置，如组或空间，是不是非循环的。
2022-10-28 math.AT math.CT
Notes on Operator Categories
W*-范畴之间的正规函子的双范畴与W*-双模的双范畴么半群等价。
2002-12-10 math.CT math.OA
Noncommutative geometry as a functor
本文把非交换几何解释为一个函子，其值域是一个算子代数族。文中给出了一些算例，并编制了程序框图.
2009-03-03 math.CT math.OA
Comparison of Cubical and Simplicial Derived Functors
本文证明了由Tierney和Vogel [TV 69]引入的单纯导出函子与作者在[P09]中引入的三次导出函子自然同构.我们还解释了这一结果如何推广了一个众所周知的事实，即拓扑空间的单纯同调和三次奇异同调是自然同构的。
2010-11-22 math.AT math.CT math.KT
Gray-categories model algebraic tricategories
Lack在Gray-范畴和Gray-函子的范畴GrayCat上描述了一个Quillen模型结构，其中弱等价是弱3-等价.本文采用Gurski，Johnson和Osorno的方法证明了GrayCat在弱等价上的局部化等价于代数三范畴和弱3-函子的伪自然等价类范畴.
2022-03-07 math.CT
Limits of small functors
对于一个在适当的幺半范畴V上富集的小范畴K，K在余极限下的自由完备化是预层范畴[K*，V].如果K是大的，则它在上极限下的自由完备化是K上小预层的V-范畴PK，其中一个预层是小的，如果它是一个具有小Domain的预层的左Kan扩张。我们研究了PK上极限的存在性和么半群闭结构的存在性。
2006-10-13 math.CT
Cartesian closed categories are distributive
范畴论中的一个民间传说的结果是，一个具有有限余积的（弱）笛卡尔闭范畴是分配的。通常，这个小结果的证明是利用指数函子与乘积函子右伴随的事实来进行的。而且，由于函子有一个右伴随保持余极限，结果如下立即。但是，当我们试图明确地构造箭头时，事情变得有点复杂。在极少数情况下，拥有使这种同构成立的确切箭头是非常有用的。这篇笔记的目的是发展显式证明，所有涉及的箭头都以显式的方式构造。
2014-06-13 math.CT
Functors on Posets Left Kan Extend to Cosheaves: an Erratum
本文给出偏序集上余层研究中一个基本命题的完备证明。具体地说，如果一个函子的定义域是偏序集，上定义域是余完备范畴，则该函子沿着定义域偏序集嵌入到其下集偏序集中的左Kan扩张是余层。这个证明是为了取代在作者的论文和一篇关于对偶交换细胞层和上层的文章中发表的错误证明。
2019-07-22 math.AT math.CT
Adjoint functors and tree duality
有向图族T是有向图H的完全障碍集，如果对任意有向图G，存在从G到H的同态等价于不存在从T的任何成员到G的同态。一个有向图H称为树对偶，如果存在由树的方向组成的完全障碍集T。我们证明了如果H具有树对偶，那么它的弧图delta H也具有树对偶，并且我们从delta H的树障碍导出了delta H的树障碍族。此外，我们将我们的结果推广到关系结构范畴上的右伴随函子。我们表明，这些函子总是保持树的对偶性，以及多项式CSP和存在的近距离功能。
2009-05-06 math.CO math.CT
On endomorphism algebras of functors with non-compact domain
作为[2]和[3]的发展，我们对从合适的幺半范畴范畴C到Vect_k的每个k-线性分裂半群函子构造了Vect_k中的“VN-双代数”.这里的主要目的是避免对定义域范畴C的生成元的习惯紧性假设（参见图1）。[3]）。请注意，这里定义的Vect_k中的VN-双代数不一定是通常意义上的k-代数那样的von Neumann正则，前缀“VN-”来自von Neumann正则半群的基于集合的情况。
2011-08-15 math.CT math.QA
What is Applied Category Theory?
这是一个关于应用范畴论的介绍性、简要性笔记的集合，灵感来自2018年应用范畴论研讨会，在这些笔记中，我们悠闲地漫步在该领域的两个主题（函子语义和组合性）、两个构造（幺半范畴和装饰cospans）和两个例子（化学反应网络和自然语言处理）中。
2018-10-03 math.CT
Duality and small functors
小函子同伦理论是研究同伦理论中各种问题的一个有用工具。本文将小函子的同伦理论从谱发展到谱，并研究了它与Spanier-Whitehead对偶的相互作用以及在谱的对偶范畴中的丰富表示性.我们注意到Spanier-Whitehead对偶函子$D\colon \mathrm{Sp}\rightarrow \mathrm{Sp}^{\mathrm{op}}$通过小函子范畴从谱分解到谱，并在小函子范畴上构造了一个新的模型结构，它是Quillen与$\mathrm{Sp}^{\mathrm{op}}$的等价.在这个新的Spanier-Whitehead对偶框架中，$\mathrm{Sp}$和$\mathrm{Sp}^{\mathrm{op}}$是小函子范畴的满子范畴，对偶化在我们的新模型结构中只是一个简单的替换.
2014-12-22 math.AT math.CT
Generalized Lens Categories via functors $\mathcal{C}^{\rm op}\to\mathsf{Cat}$
透镜有着丰富的历史，最近受到了应用范畴理论家的极大关注。我们推广了镜头的概念，定义一个范畴$\mathsf{Lens}_F$为任何范畴$\mathcal{C}$和函子$F\colon \mathcal{C}^{\rm op}\to\mathsf{Cat}$，使用Grothendieck结构的变体。本笔记中的所有数学都很简单;目的只是在更广泛的背景下看到透镜，其中可以包括一些密切相关的例子，如戴环空间和开放连续动力系统。
2022-03-17 cs.LO math.CT
Non Standard Analysis as a Functor, as Local, as Iterated
本说明有几个目的。首先，它将非标准分析描述为一个函子，即一个将任何集合A映射到其非标准元的集合 *A的函子 *。这个函子，从集范畴到它自身，被假定为在有限集合的满子范畴到它自身上的等价，并且保持有限的投射极限（等价地，保持有限的乘积和均衡器）。其次，“局部”非标准分析被引入作为一种结构，我称之为lim-rim，特别是精确lim-rims。这些之间的相互作用，和超过滤器和ultrapowers，也基数关系和概念取决于基数，如饱和度和我所谓的“禁闭”和“精确度”，进行了研究。特别是，人们构建非标准的分析，与“好”种lim-rims。在这些人可以说，*A -“所有可能的限制从A的附加”-发挥类似的作用，代数闭包的领域-“的附加所有根的多项式”。然后，在与后者相同的精神下，只要有足够的一般连续统假设，就有直到同构的唯一性，也有普遍性和同质性。*A的基数将类似于$2^{2^{|A|}}$，并且具有高饱和度。此外，我们注意到函子 * 可以再次应用于 *A，给出 **A，*A，等等。特别是，我专注于 *A到 **A的两种不同的嵌入，并证明了它们的一些性质，以及一些应用。
2016-01-04 math.CT math.LO
A note on abelian quotient categories
设C是具有Serre函子S的三角范畴，X是C的非零反变有限刚性子范畴。则X是簇倾斜的当且仅当商范畴C/X是阿贝尔范畴且S（X）=X[2].作为一个应用，这个结果推广了Bkillannis的工作。
2019-04-09 math.CT math.RT
Six-Functor Formalisms
本文介绍了六 functor 形式主义的理论发展、2-范畴及其在对偶性结果中的应用，以及与几何环的关系和实例。
2026-01-22 math.AG math.AT math.CT
Determinant functors on triangulated categories
研究了定义在三角范畴上取值于Picard范畴的行列式函子。两个主要的结果是存在一个泛行列式函子的每一个小的三角范畴，和一个比较定理的行列式函子的三角范畴具有一个非退化的有界t-结构和行列式函子的心脏。对于小三角范畴T，我们利用T上的泛行列式函子给出了群K_0（T）和K_1（T）的自然定义，并证明了：当i=0和1时，若T具有心为E的非退化有界t-结构，则K_1（T）= K_1（E）.
2006-10-13 math.CT math.KT
Cotorsion pairs and adjoint functors in the homotopy category of $N$-complexes
本文首先从$\mathcal{G}$中的两个给定的余扭对出发，构造了Grothendieck范畴$\mathcal{G}$的无界$N$ -复形范畴$\mathbb{C}_N(\mathcal{G})$上的一些完备余扭对.接下来作为应用，我们集中在特定的同伦范畴和它们之间的伴随函子的存在。这些是尼曼在普通络合物范畴中所示结果的$N$ -络合物版本。
2019-06-17 math.CT math.RT
Functors and morphisms determined by subcategories
我们研究了各种范畴中极小右决定子的存在性和唯一性。特别是在具有足够射影的Hom-有限遗传阿贝尔范畴中，我们证明了极小右决定子的Auslander-Reiten-Smalten-Ringel公式仍然成立.作为应用，我们给出了强局部有限箭图的可展表示范畴中的极小右决定子的一个公式。
2017-10-24 math.CT math.RT
Uniqueness of fiber functors and universal Tannakian categories
本文的主要目的是给出Tannakian范畴的任何两个纤维函子是局部同构的一个初等证明。这是建立在一个想法德利涅关于标量扩展的Tannakian类别，并实现了证明策略德利涅属性格罗滕迪克。除了范畴的一般性，证明仅仅依赖于外幂的基本性质和主理想整环上有限生成模的分类。使用相关的想法（但不太基本的手段），我们也提出了一个更一般的弱Tannakian范畴之间的Tannakian范畴的另一种表征。作为这一结果的应用，我们可以从任意具有单单位对象的右正合对称monoidal阿贝尔范畴中构造出一个泛Tannakian范畴。
2018-05-09 math.AG math.CT
Generators and representability of functors in commutative and noncommutative geometry
给出了一个极限有限三角范畴饱和的充分条件。饱和性是指向量空间的每一个有限型逆变上同调函子都是可表示的。条件是存在一个强生成元。证明了光滑真交换簇和非交换簇上相干层的有界导出范畴具有强生成元，从而饱和。与此相反，光滑紧致解析曲面的相似范畴是不饱和的。
2002-07-17 math.AG math.CT
Notes on Moduli theory, Stacks and 2-Yoneda's Lemma
这篇笔记是对模理论的基本方面的一个调查，并附有一些例子。在这方面，本文档的目的之一是理解栈的引入如何通过使用栈的2-范畴来规避对应模函子$\mathcal{F}$的不可表示性问题。为此，我们将简要地回顾2-范畴论的基础知识，并提出米田引理的2-范畴版本。
2022-02-14 math.AG math.CT
Representations are adjoint to endomorphisms
如果我们还记得阿贝尔群的遗忘函子，那么把一个环带到它的模范畴的函子有一个伴随：线性自然变换的自同态环。这利用了阿贝尔群范畴的自充实。如果考虑到对称序列或甚至双对称序列的丰富，可以产生一个自同态操作或自同态prop。在这篇文章中，我们证明了更一般地，给定一个在幺半范畴V中丰富的范畴C，与V中的幺半群相关联的函子，其在C中的表示范畴，是伴随于计算任何具有域C的函子的自同态幺半群的函子。在描述了理论的第一个结果之后，我们给出了几个应用的例子。
2020-03-06 math.AT math.CT
Functor calculus via non-cubes
本文将Goodwillie函子微积分推广到非立方体索引图，构造了更广图类的万有切除逼近并扩展Taylor塔，同时证明其极限与原Taylor塔一致，并探讨了新切除概念与经典概念的重合条件。
2025-05-07 math.AT math.CT
Products, Homotopy Limits and Applications
本文讨论了无穷乘积的导出函子和同伦极限。$QC(X)$是Deligne-Mumford栈$X$上的拟凝聚层范畴，通常具有乘积的导出函子在有限阶段后为零的性质.我们利用这一事实来研究某些同伦极限的收敛性，并应用它比较了$QC(X)$的导出范畴与某些其他密切相关的三角范畴。
2009-02-23 math.AG math.CT
Internal Homs via extensions of dg functors
我们提供了一个简单的证明存在的内部霍姆斯在本地化的范畴的dg范畴的所有准等价和他们的一些主要性质，如所谓的派生森田理论。这一点最初在Toën的一篇开创性论文中得到了证明。
2022-11-28 math.AG math.CT
Epitopological and pseudotopological fundamental group functors
在这些注记中，我们引入了外延和伪拓扑基本群函子。这些函子分别从指向的外延空间和伪拓扑空间的范畴到它们各自的群对象的范畴。它们对拓扑空间满子范畴的限制是[Daniel K. Biss，The topological基本群and generalized covering spaces，Topology and its Applications，124（3）：355-371，2002]，从而保留其信息。同时，它们表现出更大的规律性，继承自EpiTop和PsTop的方便属性。此外，使用这些方便的范畴，原则上允许应用来自丰富同伦理论的一般技术。我们的方法应该与[Jeremy Brazas，The基本群as a拓扑群，Topology and its Applications，160（1）：170-188，2013]中在拓扑设置内开发的Biss函子的替代改进进行比较。几个开放的问题，包括那些旨在了解确切的关系，以布拉萨斯的方法，分散在整个文本。
2017-07-18 math.AT math.CT math.GN
A derivability criterion based on the existence of adjunctions
在本文中，我们引入了一个可导性准则的函子的基础上的存在性，而不是存在的决议。它是Quillen-Maltsiniotis导出的伴随定理的逆定理。我们提出了我们的可导性准则的两个后果。一方面，我们证明了对应于Grothendieck导子和Quillen模型范畴的同伦上极限的两个概念是等价的。另一方面，我们推导出B。Toen确实是dg-范畴的内hom的右导出函子。
2014-05-10 math.AG math.AT math.CT
A note on Tannakian categories and mixed motives
我们解释了为什么在域F上的混合动机的三角范畴上的每个非平凡正合张量函子都有零核，如果假设“所有”动机的话。换句话说，每一个非零的动机生成整个范畴，直到张量三角结构。在同样的假设下，我们还根据F的特征和序，给出了F上整系数三角化的三角化的三角形基模的完全分类，直至张量三角化结构.
2020-11-12 math.AG math.CT math.KT
