A simple formula for the $x$-$y$ symplectic transformation in topological recursion
本文针对拓扑递归中关联两组互换$x,y$角色的谱曲线对应关联函数的$x$-$y$辛变换，基于已有研究成果给出了直接联系两类关联函数的简洁公式，并借此推导出自由概率中矩与高阶自由累积量的简化关系。
2023-10-23 hep-th math-ph math.CO
The Laplace transform of the cut-and-join equation and the Bouchard-Marino conjecture on Hurwitz numbers
计算了Goulden，Jackson和Vakil的剪切-连接方程的拉普拉斯变换。其结果是一个多项式方程，其拓扑结构与有边双曲曲面的模空间的Weil-Petersson体积的Mirzakhani递推公式相同。我们发现这个Laplace变换方程通过Lambert W-函数的逆函数的直接映象就是Bouchard和Marino用拓扑弦理论给出的Hurwitz数的拓扑递推公式.
2010-11-20 math-ph math.AG math.CO
(Non)local Hamiltonian and symplectic structures, recursions, and hierarchies: a new approach and applications to the N=1 supersymmetric KdV equation
利用数学方法DG/0304245和[I. S. Krasil'shchik和P. H. M. Kersten，古典和超对称微分方程的对称性和递归算子，Kluwer，2000]，我们完成了N=1超对称Korteweg-de Vries方程的广泛研究。结果包括：描述当地和非当地的哈密顿和辛结构，五个层次的对称性，相应的层次的守恒定律，递归算子的对称性和生成函数的守恒定律。我们强调，本文的重点不仅仅是对super-KdV方程本身的结果，而仅仅是对几何方法和基于它的计算算法的有效性的阐述。
2004-04-23 hep-th math-ph math.DG
Symplectic duality for topological recursion
本文证明带任意有理函数与完备循环权重的双 Hurwitz 数所对应微分满足拓扑递归，利用新的 $(m,n)$-关联函数关系部分解决既有猜想，并以辛对偶推广 $x-y$ 对偶。
2023-06-16 hep-th math-ph math.AG
The Laplace transform, mirror symmetry, and the topological recursion of Eynard-Orantin
本文基于作者在2012年波兰比亚沃维耶扎举行的物理学中的几何方法研讨会上的发言。演讲的目的是向观众介绍Eynard-Orantin拓扑递归。该方法起源于随机矩阵理论。它已被预测，并在某些情况下，它已被证明，该理论提供了一个有效的机制来计算某些量子不变量和解决枚举几何问题，如开放的格罗莫夫-威滕不变量的复曲面卡-丘三倍，单和双赫维茨数，格点的数量上的模空间的光滑代数曲线，和量子结不变量。本文以任意亏格的广义Catalan数的拉普拉斯变换为例，给出了Eynard-Orantin递推式.我们研究的各个方面的理论，如镜像对称，格罗莫夫-威滕不变量，可积的层次，如KP方程，和薛定谔方程的关系。
2012-10-10 math-ph math.MP math.QA
Quantum Curves in the Context of Symplectic Duality
本文利用$x$-$y$对偶和辛对偶的最新进展，高效计算任意基点波函数的量子谱曲线算子，并概述了拓扑递归的最新推广。
2025-04-21 hep-th math-ph math.AG
A symplectic realization of the Volterra lattice
我们研究了多重哈密顿结构，并构造了Volterra模型的辛实现。我们重新发现的层次结构的不变量，泊松括号和主对称性通过使用递归运算符。有理Volterra括号使用负递归算子获得。
2008-06-07 math-ph math.DS math.MP
Topological recursion for the Poincare polynomial of the combinatorial moduli space of curves
证明了具有不同标记点的光滑代数曲线的模空间的轨道胞胞腔剖分所对应的Poincare多项式满足Eynard-Orantin型拓扑递推公式.递归唯一地从初始数据确定庞加莱多项式。我们的关键发现是，庞加莱多项式是拉普拉斯变换的Grothendieck的dessins d 'enfants的数量。
2010-09-21 math-ph math.AG math.CO
Geometrical interpretation of the topological recursion, and integrable string theories
在math-ph/0702045中引入的辛不变量可以计算任意光谱曲线。对于谱曲线的一些例子，这些不变量可以解决矩阵积分的循环方程，以及许多枚举几何问题，如地图，分区，Hurwitz数，交叉数，Gromov-Witten不变量......因此，问题是要理解它们计数什么，或者换句话说，给定一个谱曲线，构造一个枚举几何问题。这就是我们在本文中采用半启发式方法所做的。从谱曲线即可积系统出发，利用它的平坦联络和平坦坐标，定义了一族世界片，其计数实际上是用拓扑递归和辛不变量来解决的.换句话说，对于任何谱曲线，我们构造一个相应的弦论，其目标空间是雅可比矩阵的子流形。
2009-11-26 hep-th math-ph math.MP
The Kontsevich constants for the volume of the moduli of curves and topological recursion
给出了点光滑代数曲线的组合模空间的标准欧氏体积的Eynard-Orantin型拓扑递推公式。递归来自带状图空间上的去边操作。作为应用，我们得到了曲线模空间的欧氏体积与辛体积之比的Kontsevich常数的一个新证明。
2011-11-16 math-ph math.AG math.CO
Symplectic (Non-)Invariance of the Free Energy in Topological Recursion
本文利用拓扑递归中的x-y对偶理论，推导出自由能F_g与其对偶之差在g≥2时的留数公式，并应用于Gaiotto曲线、CDO曲线及负r-spin曲线，验证了Borot等人的猜想并给出显式结果。
2025-03-10 hep-th math-ph math.MP
Topological recursion and mirror curves
我们研究了通过应用于复曲面Calabi-Yau三重镜像的复杂曲线的拓扑递归获得的自由能的常数贡献。我们表明，递归精确地再现了相应的Gromov-Witten不变量，它可以被编码的MacMahon函数的权力。因此，我们将“重塑猜想”的范围扩展到全自由能，包括常数贡献。在此过程中，我们研究了镜像曲线的裤子分解如何在拓扑递归中发挥重要作用。我们还表明，自由能不是，严格地说，辛不变量，和递归建设的自由能不与一定限制的镜像曲线交换。
2011-05-10 hep-th math-ph math.AG
Topological Recursion Relations on $\bar{\cal M}_{3,2}$
本文给出了紧致辛流形的Gromov-Witten不变量的亏格3的泛方程。这些方程是通过研究2点亏格3稳定曲线的模空间重言式环中的新关系而得到的。我们搜索的genus-3方程的副产品是一个新的genus-2的Gromov-Witten不变量的通用方程。
2015-06-11 math-ph math.AG math.DG
A matrix model for simple Hurwitz numbers, and topological recursion
本文介绍了简单Hurwitz数的生成函数的一种新的矩阵模型表示。我们计算的谱曲线的模型和相关的辛不变量在[Eynard Orantin]。作为一个应用，我们证明了Bouchard和Marino提出的猜想，将Hurwitz数与Lambert曲线exp（x）= yexp（-y）的谱不变量联系起来.
2009-06-05 hep-th math-ph math.MP
CFT and topological recursion
研究了与复曲线相关的准经典展开。在更具体的上下文中，这是U（N）-不变矩阵积分的1/N展开。我们比较了两种方法，CFT方法和拓扑递归，并证明了它们的等价性。CFT方法重新制定的问题，在黎曼曲面上的共形场论，而拓扑递归是基于递归方程的观测值表示辛不变量的复杂曲线。这两种方法导致两种不同的图形扩展，其中一个可以作为另一个的部分重命名。
2010-10-25 hep-th math-ph math.MP
Topological Recursion and Quantum Path Signatures
University of Southampton（南安普顿大学）；Imperial College London（帝国理工学院）；QPerfect
本文引入非交换拉普拉斯变换，将其应用于量子路径特征，将环方程扩展为1/N亏格展开，得到路径空间上的积分方程层级。
2026-08-05 hep-th math-ph math.MP
A Simple Recursion for the Mirzakhani Volume and its Super Extension
本文推导带边界双曲曲面模空间Weil-Petersson体积的简单递推公式，证明其与原公式等价，还原相关恒等式，并得到超类比的对应结论。
2024-12-09 math-ph math.AG math.MP
Seiberg-Witten Theory and Topological Recursion
Kontsevich-Soibelman（2017）根据Airy结构重新表述了Eynard-Orantin拓扑递归（2007），这为曲线的模空间和拓扑递归之间的关系提供了一些几何见解。在这项工作中，我们调查的分析方法，这种关系使用的Seiberg-Witten家庭的曲线作为主要的例子。特别地，我们将证明Baraglia-Huang（2017）从拓扑递归的亏格零部分计算Hitchin系统的特殊Kahler预势的公式可以推广到嵌入叶辛曲面内的更一般的曲线族，包括Seiberg-Witten族。因此，我们得到了一个类似的公式，关系到Seiberg-Witten预势的亏格零部分的拓扑递归的Seiberg-Witten曲线。
2020-12-02 math-ph math.AG math.DG
A formula for symmetry recursion operators from non-variational symmetries of partial differential equations
利用变分积分因子和非变分对称性的新结果，得到了求解偏微分方程对称性递推算子的显式公式。该公式是由非梯度伴随对称产生预辛算子的一般公式的特例。这些公式的线性偏微分方程和可积的非线性偏微分方程的几个例子说明。此外，通过第一个公式，准线性二阶偏微分方程允许一个乘法对称递归算子的分类。
2021-04-03 math-ph math.MP
Topological recursion for spin enumeration of hypermaps
Center for Geometry and Physics, Institute for Basic Science (IBS)（基础科学研究院几何物理中心）；Hebrew University of Jerusalem（耶路撒冷希伯来大学）；HSE University（高等经济学院）；Skoltech（斯科尔科沃科学技术学院）；NRC “Kurchatov Institute” – ITEP（库尔恰托夫研究所国家研究中心–理论物理与实验物理研究所）；University of Amsterdam（阿姆斯特丹大学）
本文针对超图自旋计数建立拓扑递归，因谱曲线为椭圆型、含退化分歧点及移动极点等特性，需调整拓扑递归与回路方程，计算涉及BKP可积性等概念。
2026-10-15 hep-th math-ph math.AG
$N=1$ Supersymmetry, Weil-Petersson Volume Recursion, and a Spectral Curve
University of California, Santa Barbara（加州大学圣塔芭芭拉分校）
证明 Stanford-Witten-Norbury 体积递归可直接从谱曲线导出，并推导出另一种体积递归，区别在于 Ramond 信息位于初始数据或递归核中。
2026-09-24 hep-th math-ph math.AG
Quantum modularity in refined topological recursion
Laboratoire Mathématique d’Orsay, Université Paris Saclay（奥赛数学实验室，巴黎萨克雷大学）；Kobayashi–Maskawa Institute & Graduate School of Mathematics, Nagoya University（小林诚益川敏英研究所与名古屋大学数学研究科）
本文研究Weber型精细化谱曲线上精细化拓扑递归自由能的Borel可和性与量子模性，验证Stokes射线成对及Borel-Laplace和与Barnes双伽马函数一致，并证明Stokes常数生成函数为Jacobi量子模函数，暗示量子模性具有普遍性。
2026-10-01 hep-th math-ph math.AG
Painlev'e 2 equation with arbitrary monodromy parameter, topological recursion and determinantal formulas
本文的目的是证明Painlev 'e 2系统的行列式公式与由其谱曲线上的拓扑递归计算出的关联函数是一致的。该结果是建立在两个不同的拉克斯对与Painlev 'e 2系统，即Jimbo-Miwa拉克斯对和Harnad-Tracy-Widom拉克斯对，其光谱曲线不连接任何辛变换。给出了一种不使用插入算子证明拓扑类型性质的新方法。在这个过程中，取时间参数t为无穷大，给出了由Hermite-Weber曲线和Bessel曲线计算的辛不变量F（g）分别等于。这个结果推广了随机矩阵理论在θ = 0的特殊情况下的类似结果。我们相信，这种方法应该适用于所有6个Painlev 'e方程与任意monodromy参数。明确的计算g = 3提供沿文件作为结果的说明。
2017-04-10 math-ph math.AP math.CA
KP integrability of triple Hodge integrals. III. Cut-and-join description, KdV reduction, and topological recursions
本文研究满足 Calabi-Yau 条件的三重 Hodge 积分，通过 Heisenberg-Virasoro 约束与割接算子刻画其 tau 函数，并在 KdV 约化下建立其与相交数生成函数及 CEO 拓扑递归的联系。
2025-02-19 hep-th math-ph math.AG
Mirror symmetry for orbifold Hurwitz numbers
我们研究了Orbifold Hurwitz数的镜像对称性。证明了Orbifold Hurwitz数的拉普拉斯变换满足一个微分递推式，并证明了它等价于Eynard和Orantin的积分递推式，其谱曲线由r-Lambert曲线给出.我们认为r-Lambert曲线也出现在轨道Gromov-Witten理论[C3/（Z/rZ）]的无限框架极限中。最后，我们证明了轨道折叠Hurwitz数的镜像模型存在一条量子曲线.
2013-01-21 hep-th math-ph math.AG
Topological recursion for generalised Kontsevich graphs and r-spin intersection numbers
本文定义四类广义Kontsevich图并证明主要类型ciliated maps满足Tutte递归，从而可由拓扑递归计算，进而建立其与r-自旋相交数的恒等式，为组合理解Witten类及探索拓扑递归的辛不变性提供新工具。
2023-10-30 math-ph math.AG math.CO
Simple maps, Hurwitz numbers, and Topological Recursion
本文引入完全简单地图并研究其组合学，证明其生成级数由普通地图生成级数的函数反演给出，并与自由累积量、拓扑递归的辛变换及双重单调Hurwitz数建立联系，进而导出类似ELSV的公式。
2018-12-20 math-ph math.AG math.CO
Complete Integrability Of The Fifth-Order Mikhailov-Novikov-Wang system
给出了五阶Mikhailov-Novikov-Wang系统的辛Hamilton形式和递归算子。
2014-05-27 math-ph math.AP math.DS
Spectral curves and the Schroedinger equations for the Eynard-Orantin recursion
预言了B-模型拓扑弦论的配分函数的主特化满足Schroedinger方程，当代数K-理论障碍消失时，Schroedinger算子的特征簇给出了B-模型理论的谱曲线。在本文中，我们提出了两个具体的数学A模型的例子，其镜像对偶合作伙伴表现出这些预测功能的B模型侧。我们讨论的A-模型的例子是任意亏格的广义Catalan数和单个Hurwitz数。在每一种情况下，我们表明，拉普拉斯变换的计数函数满足Eynard-Orantin拓扑递归，B-模型配分函数满足KP方程，和主专门化的配分函数满足薛定谔方程的总符号正是拉格朗日浸入的Eynard-Orantin理论的谱曲线。
2012-11-28 hep-th math-ph math.MP
Topological recursion relations in non-equivariant cylindrical contact homology
Eliashberg在他的ICM 2006全体会议上指出，有理Gromov-Witten理论的可积系统非常自然地出现在辛域论（SFT）丰富的代数形式中。仔细地将引力子的定义从Gromov-Witten理论推广到SFT，我们可以给每个接触流形分配一个关于SFT同调的对称性的哈密顿系统，并且它的可积性问题出现了。虽然我们已经展示了著名的弦、弦子和除数方程是如何从Gromov-Witten理论转化为SFT的，但下一步是展示亏格零拓扑递归是如何转化为SFT的。与闭测地线的SFT的例子相兼容，证明了相应的局部化定理需要SFT的非等变版本，该版本由参数化而不是非参数化的闭合Reeb轨道生成。由于这个非等变的版本到目前为止只定义为圆柱接触同调，我们限制自己在这种特殊情况下。作为一个重要的结果，我们表明，在合理的Gromov-Witten理论，所有后裔不变量可以计算从主不变量，即没有后代。
2010-12-16 math-ph math.AG math.MP
The Laplace Transform and Quantum Curves
本文定义了一种将拓扑递归波函数映射至其交换对偶的拉普拉斯变换，并借此构造量子曲线，成功推导出包含镜像对称与纽结理论在内的复杂谱曲线量子化公式及新量子曲线。
2024-09-26 hep-th math-ph math.AG
Path probability density functions for semi-Markovian random walks
在随机游动中，格林函数的路径表示是路径概率密度函数（PDF）长度上的无限和。在这里，我们推导和解决，在拉普拉斯空间中，递归关系的n阶路径PDF的任何任意非齐次半马尔可夫随机游动的一维（1D）链的L状态。递归关系将n阶路径PDF与L/2（对于奇数L，向零舍入）较短路径PDF相关联，并且具有服从通用公式的n个独立系数。递归关系的z变换直接给出了路径概率密度函数的生成函数，由此我们得到了随机游动的格林函数，并导出了随机游动任意路径概率密度函数的显式表达式。这些表达式给出了一维任意非齐次半马尔可夫随机游动的最详细的描述。
2007-06-21 math-ph math.MP physics.bio-ph
$x-y$ duality in Topological Recursion for exponential variables via Quantum Dilogarithm
本文利用 Faddeev 量子二重对数修改 $n=1$ 部分，将拓扑递归的 $x-y$ 对偶公式从代数曲线推广到指数变量谱曲线，并应用于拓扑顶点曲线等 Gromov-Witten 不变量计算。
2023-11-20 hep-th math-ph math.AG
String and dilaton equations for counting lattice points in the moduli space of curves
证明了曲线xy-y^2=1的Eynard-Orantin辛不变量是亏格g曲线的模空间的轨道欧拉示性数.我们通过将xy-y^2=1的Eynard-Orantin不变量与一个计数三点上分支的双球面的覆盖的问题联系起来来做到这一点。这种观点产生了新的递归关系-字符串和Escherichon方程-之间的准多项式，枚举这样的封面。
2011-02-07 math-ph math.AG math.MP
On discrete surfaces: Enumerative geometry, matrix models and universality classes via topological recursion
在这篇论文中考虑的主要对象被称为地图，一类嵌入在表面上的图。我们的问题有一个强大的相对较新的工具，共同的，所谓的拓扑递归（TR）介绍了契诃夫，Eynard和Orantin。我们称一个地图完全简单，如果它有非自相交的不相交的边界，和普通的，如果没有这样的限制。我们研究了完全简单的和普通的映射与磁盘或圆柱体的拓扑结构，再现的时刻和自由累积量的自由概率的上下文中建立的关系之间的组合关系。我们提出了一个组合的解释TR的交换辛变换。通过外场作用下的形式厄米矩阵模型，给出了完全简单映射的矩阵模型解释，并推导出了完全简单映射的生成序列与普通映射的生成序列之间的普遍关系，其中包含了双单调Hurwitz数.特别地，我们得到了双$2$ -orbifold严格单调Hurwitz数的一个ELSV公式.我们认为普通的地图赋予了一个$O(\mathsf{n})$循环模型，这是一个经典的模型在统计物理学，并确定哪些形状更有可能发生的嵌套属性的循环装饰的地图。我们想研究当顶点数变得任意大时的极限对象，这可以通过研究在主导奇点处的生成级数来完成。我们分析了嵌套统计的随机地图上的任意拓扑结构的存在下，大小边界的$O(\mathsf{n})$循环模型，依赖于以前的结果，磁盘和圆柱体和TR为这个模型。我们研究了实现固定嵌套图的映射的生成序列，并刻画了它们在稠密相和稀疏相的临界行为。
2020-02-02 math-ph math.AG math.CO
Counting curves on surfaces
在本文中，我们考虑一个基本的，在很大程度上未探索，低维拓扑的组合问题。考虑一个实二维紧致曲面$S$，并在其边界上固定若干点$F$。我们问：在$S$上有多少个不相交弧的构形，它们的边界是$F$？我们发现，这个计数问题，计数曲线的表面上，有一个丰富的结构。例如，我们表明，曲线计数服从一个有效的递归，拓扑递归的一般框架。此外，它们表现出准多项式行为。这种“基本的曲线计数”实际上与代数几何或辛几何中更高级的“曲线计数”概念有关。该计数问题的渐近性与曲线模空间体积的渐近性密切相关，控制该计数问题的拟多项式在模空间上编码相交数。此外，在其他几个结果中，我们表明，这些曲线计数的生成函数和微分形式表现出的结构，是让人想起自由能，分拆函数，拓扑递归，和量子曲线的数学物理。
2016-01-28 math-ph math.CO math.GT
Application of Explicit Symplectic Algorithms to Integration of Damping Oscillators
在本文中的方法概述。用这种方法可以用一些显式算法求解$n-$维阻尼振子的初值问题。该方法基于以下结构：对任意非保守经典力学系统和任意初始条件，存在一个保守系统，两个系统共享且仅共享一条公共相曲线;并且，保守系统的哈密顿量的值直到一个加性常数为止等于上述相位曲线上的非保守系统的总能量，常数取决于初始条件。将显式辛算法应用于阻尼振子的一个关键方法是利用Newton-Laplace原理合理地假定非保守力等于广义坐标$q_i$沿相曲线的分量的函数，从而使阻尼力可以预先在数值上表示为类似于弹性回复力的函数。两个数值例子表明了算法的良好特性。
2011-03-08 math-ph math.MP
Airy structures and deformations of curves in surfaces
本文基于Kontsevich和Soibelman为辛曲面配备叶状结构的思想，在嵌入曲线的形变空间上构造取值于Airy结构的形式级数，从而生成Donagi-Markman三次型，推广了Baraglia和Huang的结果。
2020-12-01 math-ph math.AG math.MP
Random polymers via orthogonal Whittaker and symplectic Schur functions
本文研究了KPZ普适类中的几种$(1+1)$维晶格路径模型：具有反伽马权重的有向无规聚合物（称为log-gamma聚合物）及其零温退化，即具有几何或指数等待时间的最后一次通过逾渗模型。我们考虑三种路径几何：点到线，点到半线，和点到线的路径限制留在一个半平面。通过精确的公式，我们建立了新的可积概率模型和无处不在的Whittaker和Schur函数之间的联系。更详细地，通过使用A. N. Kirillov的几何Robinson-Schensted-Knuth（RSK）对应，我们用正交Whittaker函数计算了上述几何构型下聚合物分拆函数的拉普拉斯变换。在前两种几何的情况下，我们也提供了多个轮廓积分公式。对于相应的最后一个通道的渗流问题，我们得到新的公式辛Schur函数，直接通过RSK多边形阵列和通过零温度限制的log-gamma聚合物公式。作为具有指数等待时间的点到线和点到半线模型的标度极限，我们导出了GOE Tracy-Widom分布的Sasamoto弗雷德霍姆行列式公式，以及${\rm Airy}_{2\to1}$过程的一点边缘分布.
2019-05-23 math-ph math.CO math.MP
Generalized Christoffel-Darboux formula for classical skew-orthogonal polynomials
证明了关于Jacobi权$w_{a,b}(x)={(1-x)}^a{(1+x)}^b$，$a$，$b>-1$定义的斜正交函数，包括Laguerre权（$w_{a}(x)=x^{a}e^{-x}$，$a > -1$）和高斯权（$w(x)=e^{-x^2}$）的极限情形，在四元数空间中满足三项递归关系.由此，我们推导出了随机$2N\times 2N$矩阵正交系综和辛系综的核函数的广义Christoffel-Darboux（GCD）公式。我们用GCD公式计算了能级密度，证明了在适当的尺度下，在谱的大部分中，本征值关联是普适的。我们还提供了证据表明，存在着斜正交函数之间的映射所产生的正交和辛系综的随机矩阵的研究。
2008-09-30 math-ph math.MP
Intersection numbers of spectral curves
利用曲线模空间中特征类的积分，计算了具有一个分支点的任意谱曲线的辛不变量。我们的公式关联到任何光谱曲线，一个特征类，这是由光谱曲线的拉普拉斯变换。这暗示了拉普拉斯变换在镜像对称中的关键作用。当谱曲线为y= \sqrt{x}时，该公式给出Kontsevich-Witten相交数，当谱曲线为Lambert函数\exp{x} =y \exp{-y}时，该公式给出Hurwitz数的ELSV公式，当选择C^3的带框架f的镜像时，即\exp{-x} = \exp{-yf}（1- \exp{-y}），该公式给出了Marino-Vafa公式，即C ^3的Gromov-Witten不变量的生成函数。该公式在某种意义上推广了ELSV、Marino-Vafa公式和Mumford公式。
2011-06-09 hep-th math-ph math.MP
Invariants of spectral curves and intersection theory of moduli spaces of complex curves
对于任何谱曲线S，我们在给定拓扑（亏格g，n边界）的“b色”稳定黎曼曲面的模空间M^ b_{g,n}中关联一个拓扑类Λ（S），其积分与谱曲线S的拓扑递归不变量W_{g,n}（S）一致。这个公式可以看作是ELSV公式（其谱曲线是Lambert函数，相关类是Hodge类）或Marino-Vafa公式（其谱曲线是框架顶点的镜像曲线，相关类是3个Hodge类的乘积）的推广，但适用于任意谱曲线。换句话说，对于B模型（即谱曲线），我们系统地将镜像A模型（在“有色”黎曼曲面的模空间中的积分）联系起来。我们发现，镜像映射，即A-模型模量和B-模型模量之间的关系，是通过拉普拉斯变换实现的。
2011-10-13 hep-th math-ph math.MP
