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有限传递图上渗流阈值的存在性

Existence of a percolation threshold on finite transitive graphs

Philip Easo

备注：
21 pages. Accepted version, published in IMRN
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AI总结：

本文刻画有限顶点传递图序列存在渗流阈值的充要条件，证明其等价于不存在特定稠密图病态子序列，并借助耦合相变锐性与巨型簇唯一性结果完成论证。

摘要：

设 $(G_n)$ 是一列体积趋于无穷的有限连通顶点传递图。如果参数序列 $(p_n)$ 对每个 $\varepsilon>0$，在键渗流 $\mathbb{P}_p^G$ 下最大簇中所含顶点的比例 $\left\lVert K_1\right\rVert$ 同时满足：存在某个 $\alpha>0$，使 $\lim_{n\to\infty}\mathbb{P}_{(1+\varepsilon)p_n}^{G_n}(\left\lVert K_1\right\rVert\geq\alpha)=1$；且对所有 $\alpha>0$，都有 $\lim_{n\to\infty}\mathbb{P}_{((1-\varepsilon)p_n}^{G_n}(\left\lVert K_1\right\rVert\geq\alpha)=0$，则称其为渗流阈值。我们证明，$(G_n)$ 存在渗流阈值，当且仅当 $(G_n)$ 不包含某一由稠密图构成的特殊病态子序列无穷集合。我们的论证采用了 Vanneuville 通过耦合给出的无限图相变锐性新证明的一种改编版本 [Van22]，并结合了我们最近与 Hutchcroft 关于巨型簇唯一性的工作 [EH21]。

英文摘要：

Let $(G_n)$ be a sequence of finite connected vertex-transitive graphs with volume tending to infinity. We say that a sequence of parameters $(p_n)$ is a percolation threshold if for every $\varepsilon > 0$, the proportion $\left\lVert K_1 \right\rVert$ of vertices contained in the largest cluster under bond percolation $\mathbb{P}_p^G$ satisfies both \[ \begin{split} \lim_{n \to \infty} \mathbb{P}_{(1+\varepsilon)p_n}^{G_n} \left( \left\lVert K_1 \right\rVert \geq α\right) &= 1 \quad \text{for some $α> 0$, and} \lim_{n \to \infty} \mathbb{P}_{(1-\varepsilon)p_n}^{G_n} \left( \left\lVert K_1 \right\rVert \geq α\right) &= 0 \quad \text{for all $α> 0$}. \end{split}\] We prove that $(G_n)$ has a percolation threshold if and only if $(G_n)$ does not contain a particular infinite collection of pathological subsequences of dense graphs. Our argument uses an adaptation of Vanneuville's new proof of the sharpness of the phase transition for infinite graphs via couplings [Van22] together with our recent work with Hutchcroft on the uniqueness of the giant cluster [EH21].

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

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