The time of bootstrap percolation with dense initial sets for all thresholds
本文研究了离散环面$(\Z/n\Z)^d$上$r$ -近邻自举渗流模型的渗流时间.对于$t$至多是$n$的一个多对数函数，且初始感染概率在一定范围内依赖于$t$，我们证明了当$n$趋于无穷大时，环面的一个随机子集的渗流时间以高概率恰好等于$t$.我们的证明关键在于三个新的极值定理，共同建立一个几乎完整的理解的几何行为的$r$邻居引导过程中的密集设置。我们结果的特例$d-r=0$最近被Bollobás，Holmgren，Smith和Uzzell证明.
2013-08-14 math.CO math.PR
A Note on Bootstrap Percolation Thresholds in Plane Tilings using Regular Polygons
在\emph{$k$-bootstrap percolation}中，我们固定$p\in (0,1)$、整数$k$和平面图$G$。最初，我们以概率$p$独立地感染$G$的每个面。被感染的脸会永远被感染，如果一个健康的（未感染的）脸至少有$k$被感染的邻居，那么它就会被感染。对于固定的$G$和$p$，\emph{percolation threshold}是最大的$k$，使得最终所有面部都被感染，概率至少为$1/2$。对于一个大类的无限图，我们表明，这个阈值是独立的$p$。我们考虑了正多边形在平面上平铺时的自举渗流。这种平铺中的\emph{vertex type}是满足公共顶点的面的循环顺序。首先，我们确定每个阿基米德晶格的渗流阈值。更一般地，令$\mathcal{T}$通过正多边形表示平面平铺$T$的集合，使得如果$T$包含顶点类型的一个实例，则$T$包含该类型的无限多个实例。我们发现，没有平铺在$\mathcal{T}$具有阈值4或更多。此外，阈值为3的$\mathcal{T}$中仅有的镶嵌是四个阿基米德晶格。最后，我们描述了一个大的$\mathcal{T}$的阈值为2的子类。
2019-06-11 math.CO math.PR
Sharp threshold for $K_4$-percolation
University of California, Berkeley（加州大学伯克利分校）
本文确定了通过迭代补全缺边$K_4$副本从Erdős-Rényi图${\cal G}_{n,p}$得到完全图$K_n$的临界阈值$p_c$，改进了此前仅能将阈值界定在相差乘积常数范围内的相关工作。
2021-01-05 math.CO math.PR
Transitive closure in a polluted environment
University of California, Davis（加州大学戴维斯分校）；University of Oxford（牛津大学）
本文受已有渗流研究启发提出污染环境下的新传递渗流模型，刻画了线性图初始设定下的三类占据相区，证明有界度连通图下的相变临界概率，最后给出相关猜想与开放问题。
2024-04-29 math.CO math.PR
Noise sensitivity and Voronoi percolation
本文研究了$\mathbb{R}^2$上Poisson Voronoi渗流的噪声敏感性和阈值现象。在布尔函数的设置中，阈值现象和噪声敏感性都可以通过研究随机化算法来理解。连同一个简单的离散化参数，这样的技术也适用于连续设置。通过对算法的研究，我们证明了Voronoi逾渗中的越盒事件是噪声敏感的，并且在多项式窗口下呈现阈值现象。我们还研究了其他类型的扰动的影响，并强调了这样一个事实，即我们使用的技术适用于广泛的模型。
2018-11-10 math.CO math.PR
Percolation on the product graph of a regular tree and a line does not satisfy the triangle condition at the uniqueness threshold
本文研究了正则树与直线的乘积图上的伯努利键渗流问题。我们表明，三角形条件不成立的唯一性阈值。
2018-11-05 math.PR
Improved bounds on metastability thresholds and probabilities for generalized bootstrap percolation
推广和改进了Andrews，Gravner，Holroyd，Liggett和Romik关于广义二维自举渗流模型亚稳阈值的结果，并回答了他们的几个公开问题和解答.具体来说，我们证明了缓慢的收敛和本地化的界限Holroyd，Liggett和Romik的k-渗流模型，并在这个过程中提供了一个统一的和改进的处理现有的结果引导，修改后的引导，和Frobose渗流。此外，我们证明了改进的渐近界的生成函数的分区没有k-间隙，这也涉及到某些相关的无限概率过程，这些渗流模型。我们的一个关键技术概率结果也是独立的利益。我们证明了新的上界和下界的概率，一个序列的独立事件的单调增加的概率包含没有“k-间隙”模式，内插的一般马尔可夫链的解决方案中出现的情况下，所有的概率是相等的。
2010-02-26 math.CO math.NT math.PR
Bootstrap percolation on the Hamming torus with threshold 2
本文分析了$d$维Hamming环面上的自举渗流问题，其中每个节点以概率$p$开放，渗流阈值为2。对于每一个$d'<d$，我们发现的事件，一个$d'$维子环面成为开放的临界指数，并计算其概率在临界标度下的极限值。对于甚至$d'$，我们使用的陈斯坦方法表明，成为开放的$d'$维subtori的数量可以近似的泊松随机变量。
2017-11-01 math.PR
Percolation threshold for metric graph loop soup
本文证明了一大类暂态度量图（包括 $\mathbb{Z}^d$ 等）上度量图环路汤发生渗流的临界阈值为 $1/2$。
2024-01-03 math.PR
Characterization of the threshold for multi-range percolation on oriented trees
本文通过多型Galton-Watson过程，确定了有向树上多范围模型的渗透阈值为多项式第一个正根，并给出了k=2时的精确临界点。
2025-12-10 math.PR
On the critical threshold for continuum AB percolation
考虑$d$ -空间中两个独立的齐次Poisson点过程并上的二部随机几何图，距离参数为$r$，强度参数为$λ,μ$ .对于任何$λ>0$，我们考虑与参数$μ$相关的逾渗阈值$μ_c(λ)$。用$λ_c:= λ_c(2r)$表示半径为$r$的标准Poisson布尔模型的逾渗阈值，证明了当$c>0$为固定常数时，任意$λ>λ_c$的逾渗阈值的下界$μ_c(λ)\ge c\log(c/(λ-λ_c))$.特别地，当$λ$从上方趋于$λ_c$时，$μ_c(λ)$趋于无穷大。
2017-12-13 math.PR
Strong-majority bootstrap percolation on regular graphs with low dissemination threshold
考虑图上的强多数自助渗流模型。设r是某个正整数，p在[0，1]中。最初，每个顶点都以概率p活跃，独立于所有其他顶点。然后，在该过程的每一步，如果至少（deg（v）+r）/2个相邻顶点是活动的，则度为deg（v）的每个顶点v变为活动的。给定任意小的p>0和任意整数r，我们构造了一族d=d（p，r）-正则图，使得所有的顶点都有很高的概率最后成为活跃的.特别是，r=1的情况回答了一个问题，并反驳了Rapaport，Suchan，Todinca和Verstraete的猜想（Rummica，2011）。
2015-03-28 cs.DM math.CO math.PR
Sharp metastability transition for two-dimensional bootstrap percolation with symmetric isotropic threshold rules
本文证明二维临界自举渗流中所有具有凸对称邻域的各向同性阈值规则均发生尖锐亚稳态相变，推广了此前仅对特定规则成立的结果。
2024-06-05 math.PR
Percolation Threshold Results on \Erdos-\Renyi Graphs: an Empirical Process Approach
本文在Erdos-Renyi图上定义了一个有向渗流，并得到了所得到的随机过程的弱极限结果。
2017-12-05 math.PR math.ST stat.TH
A note on some critical thresholds of Bernoulli percolation
考虑局部有限连通图$G$上的Bernoulli键渗流，设$p_{\mathrm{cut}}$为对应于“一阶矩方法”下界的阈值。Kahn（\textit{Electron.\ Comm.\ Probab.\ Volume 8, 184-187.}（2003））对Lyons的$p_{\mathrm{cut}}=p_c$猜想构造了一个反例，并提出了一个修正。在这里，我们给出了一个肯定的回答卡恩的修改问题。关键的观察是，在Kahn的修正中，新的期望量也出现在单臂事件的微分不等式中。这将这个问题与Duminil-Copin和Tibet（\textit{Comm. Math. Phys. Volume 343, 725-745.}（2016））的引理联系起来。我们还研究了Bernoulli渗流在周期树上的一些应用。
2023-03-01 math.PR
Sharp metastability threshold for an anisotropic bootstrap percolation model
在过去的二十年中，自举渗流模型得到了广泛的研究。在这篇文章中，我们研究了以下的“各向异性”的自举渗流模型：一个点（m，n）的邻域是集合\[\{(m+2,n),(m+1,n),(m,n+1),(m-1,n),(m-2,n),(m,n-1)\}.\]在时间0，网站被占用的概率为p。在每个时间步，被占用的网站仍然被占用，而未被占用的网站成为被占用的当且仅当三个以上的网站在其邻域被占用。我们证明了它具有一个尖锐的亚稳阈值。这是各向异性自举逾渗模型的一个锐阈值的第一个数学证明。
2016-03-30 math-ph math.CO math.MP
Sharp threshold for two-dimensional majority dynamics percolation
在这项工作中，我们考虑的二维渗流模型所产生的多数动力学过程在一个给定的时间$t\in\mathbb{R}_+$。我们发现在临界概率参数$p_c(t)$处，窗口大小为多项式的越箱事件出现了一个尖锐的阈值现象。然后，我们使用这个结果，以获得拉伸指数界的单臂事件概率在亚临界阶段。我们的结果是基于微分不等式来自OSSS不等式，灵感来自Ahlberg，Broman，Griffiths，和Morris和Duminil-Copin，Raoufi，和Tendon最近的发展。我们还提供了类似的结果渗流的选举模型。
2022-06-10 math.PR
On the threshold of spread-out contact process percolation
我们研究的（展开）$d$ -维接触过程的平稳分布的观点的网站渗流。在此过程中，$\mathbb{Z}^d$的顶点可以是健康的（状态0）或被感染的（状态1）。感染点以1的速率恢复，以$λ$的速率将感染传播到在半径为$R$的球内均匀选择的其他顶点。经典的相变结果表明，存在一个临界值$λ_c(R)$，使得该过程具有非平凡平稳分布当且仅当$λ> λ_c(R)$。在从这个平稳分布采样的配置，我们研究了最近邻站点渗流的一组感染的网站，相关的渗流阈值表示为$λ_p(R)$。我们证明了$λ_p(R)$收敛到$1/(1-p_c)$的$R$趋于无穷大，其中$p_c$是伯努利网站渗流$\mathbb{Z}^d$的阈值。因此，我们证明了，$λ_p(R) > λ_c(R)$足够大的$R$，回答了一个公开的问题，Liggett和Steif的蔓延的情况下。
2021-07-29 math.PR
On the upper limit of percolation threshold in square lattice
研究了正方形格点上的渗流问题。有限簇的外部边界的轮廓的数量已估计使用几何考虑。该估计使得可以更精确地确定逾渗阈值的上限。
2002-04-02 math-ph math.MP math.PR
Metastability threshold for anisotropic bootstrap percolation in three dimensions
本文分析了几种三维各向异性自举渗流模型。我们提出了一个相当一般的一类模型的亚稳阈值的数量级。在我们的证明中，我们使用了降维技术的适应。我们发现，亚稳阈值的顺序一般是由模型中的“最容易的增长方向”。与二维各向异性自举渗流不同，三维各向异性自举渗流亚稳阈值的量级可以与各向同性自举渗流亚稳阈值的量级相等。
2011-10-04 cond-mat.stat-mech math-ph math.MP
Critical Point and Percolation Probability in a Long Range Site Percolation Model on $\Z^d$
考虑在$\Z^d,\ d\geq 2$上具有参数$p \in (0,1)$的独立位点逾渗模型，其中仅存在长度为$k$的最近邻键和长程键平行于每个坐标轴。我们证明了当$k$趋于无穷大时，该模型的渗流阈值收敛于$p_c(\Z^{2d})$，即$\Z^{2d}$上的普通（最近邻）渗流的渗流阈值.我们还推广了这一结果的模型，其长程键有几个长度。
2011-05-23 math.PR
Heavy Bernoulli-percolation clusters are indistinguishable
证明了拟传递非幺模图上的重簇对于Bernoulli渗流是不可区分的。作为应用，我们证明了任何拟传递图的唯一性阈值也是连通性衰减的阈值。这解决了Lyons和Schramm（1999）在Bernoulli渗流情况下的一个问题，并证实了Schonmann（2001）的一个猜想。我们还证明了在一个非顺从的拟传递图上的Bernoulli渗流的每一个无限簇几乎必定是瞬时的。
2019-08-26 math.PR
Revision of upper estimate of percolation threshold on square lattice
本文在簇分解的基础上，得到了二次格点${\Bbb Z}^2$上{ \it选址问题}逾渗阈值的更精确的上界估计.它是通过估计有限簇的外边界${\Bbb Z}^2$上的圈数来实现的
2002-04-16 math-ph math.MP math.PR
Sharp threshold for percolation on expanders
研究了任意大的有限图G=（V，E）的随机子图中巨连通分支的出现，证明了若G是一个顶点度有界的扩张子，则对任意c ∈ [] 0，1 [，随机子图中含有大小为c的巨连通分支|V|的性质有一个明显的阈值.
2012-09-25 math.PR
Asymptotics for the percolation threshold of finitary random interlacements in four and higher dimensions
School of Mathematical Sciences, Peking University（北京大学数学科学学院）；Faculty of Mathematics and Computer Science, Weizmann Institute of Science（魏茨曼科学学院数学与计算机科学学院）；Beijing International Center for Mathematical Research, Peking University（北京大学北京国际数学研究中心）；Center for Applied Statistics and School of Statistics, Renmin University of China（中国人民大学统计学院应用统计中心）
本文为四维及以上维数的有限随机交织模型建立了临界强度的尖锐渐近界，并揭示了其近临界簇构造与Galton-Watson过程的类比关系。
2025-10-16 math.PR
Gap at 1 for the percolation threshold of Cayley graphs
我们证明了Cayley图的渗流阈值$p_c$的可能值的集合在1处有一个间隙，在这个意义上，存在$\varepsilon_0>0$，使得对于每个Cayley图$G$，要么有$p_c(G)=1$，要么有$p_c(G) \leq 1-\varepsilon_0$。该证明建立在使用高斯自由场的Duminil-Copin，Goswami，Raoufi，Severo和Yadin对相变存在性的新方法上，结合Gromov关于Breuillard，Green和Tao的多项式增长群结构的定理的有限版本。
2021-10-31 math.GR math.PR
Percolation Thresholds in Hyperbolic Lattices
我们使用入侵渗透来计算双曲平面的细分$\{P,Q\}$的键渗透阈值和位点渗透阈值$p_c$（无限簇的存在性）和$p_u$（无限簇的唯一性）的数值，其中$Q$面在每个顶点处相交，并且每个面都是一个$P$ -gon。我们的值精确到小数点后六位或七位，使我们能够探索它们对$P$和$Q$的函数依赖性，并数值计算临界指数。我们还证明了严格的上限和下限为$p_c$和$p_u$，可以用来找到作为$P$和$Q$的函数的两个阈值的缩放。
2017-10-10 cond-mat.dis-nn cond-mat.stat-mech math.PR
Tight lower bound for percolation threshold on a quasi-regular graph
本文构造了拟正则树上的点渗流阈值pc的一个精确表达式，以及拟正则图的一个相关的精确下界。两者都是由用于计算非回溯行走的适当桥本矩阵的逆谱半径给出的。所得到的界总是超过原图的逆谱半径，并且在最大度方面也通常比现有界更紧。
2014-04-30 cond-mat.stat-mech math-ph math.MP
Polluted Bootstrap Percolation with Threshold Two in All Dimensions
在污染自举渗流模型中，图的顶点被独立地声明为初始以概率p被占据或以概率q被封闭。在随后的步骤中，如果一个顶点不是闭合的，并且它至少有r个被占用的邻居，则它被占用。在维数d>=3且阈值r=2的立方晶格Z^d上，我们证明了当p和q都趋近于0时，占据位置的最终密度收敛于1，而不管它们的相对标度如何。我们的结果部分地解决了Morris的一个猜想，并与d=2的情况形成了对比，在d=2的情况下，Gravner和McDonald证明了临界参数是q/{p^2}。
2017-05-03 math-ph math.MP math.PR
Scaling and Inverse Scaling in Anisotropic Bootstrap percolation
在自举逾渗中，已知临界逾渗阈值倾向于随着系统尺寸的增加而缓慢地收敛到零，或者相反地，临界尺寸在逾渗概率趋于零时快速发散。一般来说，要获得渗透阈值的高阶项（即，越来越尖锐的阈值）是一个困难的问题。在二维各向异性模型的情况下，有时可以通过相对简单的方式从反演中获得校正项。
2015-02-03 cond-mat.stat-mech math-ph math.MP
Minimal spanning trees at the percolation threshold: a numerical calculation
在$d$到$d=5$的维数范围内，估计了渗流簇上最小生成树的分形维数.一个强大的分析技术开发的相关数据，如在这样的树。这应该是一个强大的方法，适用于分析广泛的随机生成的分形结构。使用这些技术分析的树使用Prim和Kruskal的算法的组合来寻找最小生成树。这种组合减少了内存的使用，并允许模拟更大的系统，否则是可能的。发现临界逾渗团簇上的MST的路径长度分形维数$d_{s}$与T.S.Jackson和N.Read [T.S.Jackson和N.Read，Phys.\修订版本\ E \textbf{81}，021131（2010）]。
2013-06-28 cond-mat.dis-nn math.PR
Sharp Metastability Threshold for Two-Dimensional Bootstrap Percolation
在自举逾渗模型中，$L$乘$L$正方形中的站点最初以概率$p$独立地被宣布为活跃的。在每个时间步，如果一个非活动站点的四个邻居中至少有两个是活动的，则该非活动站点变为活动站点。我们研究的行为作为$p \to 0$和$L \to \infty$同时的概率$I(L,p)$，整个广场最终是活跃的。我们证明了$I(L,p) \to 1$如果$\liminf p \log L > λ$，和$I(L,p) \to 0$如果$\limsup p \log L < λ$，其中$λ= π^2/18$。我们证明了相同的行为，具有相同的阈值$λ$，概率$J(L,p)$，一个网站是活跃的时间$L$在无限晶格上的过程。同样的结果也适用于所谓的修改的自举渗滤模型，但具有阈值$λ' = π^2/6$。$λ,λ'$阈值的存在解决了Aizenman和Lebowitz的猜想，而它们的值的确定纠正了Adler，Stauffer和Aharony的数值预测。
2002-06-12 math-ph math.MP math.PR
The Metastability Threshold for Modified Bootstrap Percolation in d Dimensions
在改进的自举逾渗模型中，立方体{1，.，L}^d最初以概率p独立地被宣布为活跃的。在随后的步骤中，如果在d维中的每一个维中具有至少一个活跃的最近邻，则非活跃的位点变为活跃的，而活跃的位点永远保持活跃。我们研究整个立方体最终处于活动状态的概率。对于所有d>=2，我们证明了当L \to \infty和p \to同时为0时，如果L=exp^{d-1}（lambda+ λ）/p，则该概率收敛于1，如果L=exp^{d-1}（λ-λ）/p，则该概率收敛于0，对于任何λ>0。这里exp^n表示指数函数的第n个λ，对于所有d，阈值λ等于pi^2/6。
2006-04-03 math-ph math.MP math.PR
Disks, Surfaces, and Entanglement Percolation
该研究探讨了在立方格点上plaquette渗透中环可缩性的相变行为，揭示了纠缠渗透阈值与面积律、周长律之间的关系。
2025-12-17 math-ph math.AT math.MP
