Subcritical bootstrap percolation via Toom contours
在本说明中，我们提供了一个替代证据，证明亚临界自举渗透模型在任何维度上都具有正临界概率。证明依赖于最近扩展的经典框架的托姆。这种方法不仅比原来的多尺度重正化证明的结果在两个和更多的维度更简单，但也给出了显着更好的界限。作为一个副产品，我们提高了最知名的Toom的东北中心多数规则元胞自动机的稳定阈值的界限。
2022-10-07 math.CO math.PR
The Time of Bootstrap Percolation in High Dimensions
该研究针对d维环面上的d邻域bootstrap渗流过程，在初始感染概率特定范围、阈值为d的条件下，以高概率确定了渗流时间的常数因子阶结果，拓展了已有二维阈值为2的相关定理。
2025-05-16 math.CO math.PR
Maximum percolation time in two-dimensional bootstrap percolation
我们考虑一个经典的模型称为自举渗流的$n \times n$正方形网格。我们为网格的每个顶点分配一个初态，感染或健康，然后在连续的几轮中，我们感染每个健康的顶点，这些顶点至少有$2$已经感染的邻居。如果整个网格最终都被感染了，我们就说渗透发生了。在本文中，最近在这一领域的一系列极端的结果，我们证明了引导渗流过程可以采取最终感染整个顶点集的网格的最大时间是$13n^2/18+O(n)$。
2014-11-05 math.CO
On polluted bootstrap percolation in Cartesian grids
本文研究笛卡尔网格中的污染引导渗流，针对给定污染顶点数，建立了最小2-邻居渗流数的闭式公式，并给出另一极端情况的下界。
2025-06-23 math.CO math.PR
Dynamic Monopolies in Reversible Bootstrap Percolation
研究了（可逆）$r-$自举逾渗过程的一个极值问题。给定一个图和一个初始配置，其中每个顶点都是活动的或不活动的，在$r-$引导渗透过程中，以下规则在离散时间轮中应用：每个顶点如果至少有$r$活动邻居，则成为活动的，并且活动顶点永远保持活动。在可逆的$r$ -自举渗流中，如果每个顶点至少有$r$活动邻居，则每个顶点变为活动的，否则变为不活动的。我们考虑以下问题的$d$维环面：有多少顶点应该是最初活跃的，使整个图成为活跃的？我们的结果解决了Balister，Bollobás，Johnson和Walters的一个公开问题，并推广了Flocchini，Lodi，Luccio，Pagli和Santoro的结果。
2018-05-05 cs.DM cs.DS math.CO
Explosive appearance of cores and bootstrap percolation on lattices
Universite Claude Bernard Lyon 1, CNRS, Centrale Lyon, INSA Lyon, Université Jean Monnet（里昂第一大学、法国国家科学研究中心、中央里昂学院、里昂国立应用科学学院、让·莫内大学）
研究了二维格子上自激发渗透现象中核心大小的突然跃变及多种感染规则下的击中时间结果。
2026-01-22 math.CO math.PR
On $K_{2,t}$-bootstrap percolation
给定两个图$G$和$H$，如果可以按某种顺序连接$G$的所有不相邻的顶点对，使得每一步都创建一个新的$H$副本，则称$G$在$H$ -bootstrap过程中是并行的. Balogh，Bollobás和Morris在2012年研究了完全图$H$的Erdens-Rényi模型中$H$ -自举渗流的阈值，并提出了完全二部图$H=K_{s,t}$的类似问题。本文给出了$K_{2, t}$ -Bootstrap逾渗阈值的上、下界。此外，还导出了$K_{2, 4}$ -自举逾渗的门限函数.
2018-06-27 math.CO
The time of graph bootstrap percolation
图自举逾渗（Graph Bootstrap Percolation），由Bollobás于1968年提出，是一种元胞自动机，定义如下。给定一个“小”图$H$和一个“大”图$G = G_0 \subseteq K_n$，在连续的步骤中，我们通过向$G_t$添加所有新的边$e$来从$G_t$获得$G_{t+1}$，使得$G_t \cup e$包含$H$的新副本。我们说$G$表示如果对于某个$t \geq 0$，我们有$G_t = K_n$。对于$H = K_r$，关于最小可分解图的大小的问题在20世纪80年代由Alon，Frankl和Kalai独立回答。最近，Balogh，Bollobás和Morris考虑了$G = G(n,p)$的图自举渗流，并研究了图以高概率渗流的临界概率$p_c(n,K_r)$.在本文中，使用相同的设置，我们确定，对数因子，临界概率渗流时间$t$所有$1 \leq t \leq C \log\log n$。
2016-02-25 math.CO math.PR
Improved bounds on metastability thresholds and probabilities for generalized bootstrap percolation
推广和改进了Andrews，Gravner，Holroyd，Liggett和Romik关于广义二维自举渗流模型亚稳阈值的结果，并回答了他们的几个公开问题和解答.具体来说，我们证明了缓慢的收敛和本地化的界限Holroyd，Liggett和Romik的k-渗流模型，并在这个过程中提供了一个统一的和改进的处理现有的结果引导，修改后的引导，和Frobose渗流。此外，我们证明了改进的渐近界的生成函数的分区没有k-间隙，这也涉及到某些相关的无限概率过程，这些渗流模型。我们的一个关键技术概率结果也是独立的利益。我们证明了新的上界和下界的概率，一个序列的独立事件的单调增加的概率包含没有“k-间隙”模式，内插的一般马尔可夫链的解决方案中出现的情况下，所有的概率是相等的。
2010-02-26 math.CO math.NT math.PR
Linear algebra and bootstrap percolation
在$\HH$ -bootstrap渗流中，一组最初“感染”的顶点通过感染顶点进行传播，这些顶点是超图$A \subset V(\HH)$的边中唯一未感染的顶点。这种情况的一个特殊情况是$H$引导过程，其中$\HH$在图$G$中编码$H$的拷贝.当$G$和$H$是完全图的幂且$\HH$编码$G$中$H$的诱导拷贝时，我们找到了导致完全感染的集合$A$的最小尺寸.证明使用了线性代数，这是一种新的自举渗透技术，虽然在弱饱和图的研究中是标准的，但它等价于完全图上的（边）$H$ -自举渗透。
2012-02-25 math.CO
Smallest percolating sets in bootstrap percolation on grids
在本文中，我们填补了一个根本的差距，在极值引导渗流文献中，通过提供第一个证明的事实，即对于所有$d \geq 1$，最小的迭代集的大小在$d$ -邻居引导渗流$[n]^d$，$d$ -维网格的大小$n$，是$n^{d-1}$。此外，我们证明，这样的设置渗透在时间上最多$c_d n^2$，对于一些恒定的$c_d >0 $依赖于$d$。
2019-07-03 math.CO
High-order bootstrap percolation in hypergraphs
受图的自举渗流过程的启发，我们定义了一个新的，高阶推广$k$ -一致超图，其中我们感染$j$ -顶点集的一些整数$1\le j \le k-1$。我们研究了最初感染的集合的最小可能大小，该集合最终确定了几乎所有$k$和$j$病例的确切大小。
2022-01-24 math.CO
3-Neighbor bootstrap percolation on two-dimensional grids
Virginia Commonwealth University（弗吉尼亚联邦大学）；Czech Technical University in Prague（布拉格捷克理工大学）
该研究确定了矩形网格$P_m\square P_n$上3邻域自举渗流的最小渗流集大小，扩展了前人工作，还针对环面网格$C_m\square C_n$得到了相差不超过1的上下界及部分情形的精确解。
2026-08-07 math.CO math.PR
Bootstrap percolation and the geometry of complex networks
关于复杂网络的几何模型（由Krioukov等人介绍）我们研究了自举逾渗过程。该模型由双曲平面上具有$N$顶点的随机几何图组成，是Chung-Lu模型的依赖版本。该过程从感染率$p=p(N)$开始。至少有$\mathbf{r}\geq 1$感染邻居的每个未感染顶点都将被感染，并永远保持感染状态。我们确定一个函数$p_c(N)=o(1)$，使得a.a.s.\当$p\gg p_c(N)$时，感染扩散到正比例的顶点，而当$p\ll p_c(N)$时，过程不能发展。此外，这种行为在随机删除边缘的情况下是“鲁棒的”。
2015-08-22 math.CO math.PR
Deterministic bootstrap percolation in high dimensional grids
本文研究了d维网格[n]^d上的k-近邻自举渗流过程，证明了当d ≤ k ≤ 2d时，渗流的最小初始顶点数为（1-d/k）n^d + O（n^{d-1}）$.这证实了皮特的一个猜想。
2013-09-04 math.CO
Bootstrap percolation in random $k$-uniform hypergraphs
我们研究了在$n^{-1}\ll n^{k-2}p \ll n^{-1/r}$范围内的二项$k$ -均匀随机超图$H_k(n,p)$上，当从给定大小的所有集合中均匀随机地选择初始感染点集时，具有感染阈值$r> 1$的自举渗流问题.我们建立了一个阈值，如果有较少的顶点在初始的一组感染的顶点，那么只有少数额外的顶点被感染，而如果初始的一组感染的顶点超过阈值，那么几乎所有的顶点被感染。此外，对于$k=2$，我们表明，失败的概率呈指数下降。
2017-04-24 math.CO math.PR
Combinatorial Methods in Bootstrap Percolation Problems
本文使用纯组合方法研究超矩形图上的 bootstrap percolation 问题，解决了所有维度下的基础情形，并提出了剩余情形的开放问题。
2025-08-15 math.CO
Higher order corrections for anisotropic bootstrap percolation
研究了具有$(1,2)$ -邻域和阈值$r = 3$的二维各向异性自举渗流模型的亚稳相变的临界几率.第一和第二作者最近确定了临界概率的一阶渐近性。在这里，我们确定了以下尖锐的二阶和三阶渐近：\[ p_c\big( [L]^2,\mathcal{N}_{(1,2)},3 \big) \; = \; \frac{(\log \log L)^2}{12\log L} \, - \, \frac{\log \log L \, \log \log \log L}{ 3\log L} + \frac{\left(\log \frac{9}{2} + 1 \pm o(1) \right)\log \log L}{6\log L}. \]我们注意到，二阶和三阶项是如此之大，以至于一阶渐近无法近似$p_c$，即使对于尺寸远远超过$10^{10^{1000}}$的晶格。
2017-10-09 math.CO math.PR
Graph bootstrap percolation
图自举逾渗（Graph Bootstrap Percolation）是一种确定性的细胞自动机，由Bollobás在1968年提出，定义如下。给定一个图$H$和一组最初“感染”的边$G \subset E(K_n)$，如果在$K_n$中有一个$H$的拷贝，使得$e$是$H$的唯一未感染的边，则在每个时间步，我们感染一个新的边$e$。如果最终$K_n$的每个边缘都被感染，我们说$G$在$H$ -bootstrap过程中被感染。当$H$是完全图$K_r$时，这个模型的极值问题已经由Alon，Kalai和Frankl在大约30年前（独立地）解决了。本文研究了随机问题，确定了$K_r$ -过程的临界概率$p_c(n,K_r)$达到一个多对数因子.在$r = 4$的情况下，我们证明了一个更强的结果，并确定了$p_c(n,K_4)$的阈值。
2012-11-25 math.CO math.PR
A sharp threshold for a modified bootstrap percolation with recovery
自举逾渗（Bootstrap percolation）是一种图上的元胞自动机，作为一种简单的铁磁性动力学模型引入。图中的顶点可以处于两种状态之一：“健康”或“感染”，并且从状态的初始配置开始，健康顶点被局部规则感染。虽然通常的引导过程是单调的感染顶点的集合，在本文中，修改检查中，感染的顶点可以返回到一个健康的状态。顶点最初是随机独立感染的，中心问题是是否所有顶点最终都被感染。这里所研究的模型是一个正方形网格上的过程，其中至少有两个被感染的邻居的健康顶点被感染，而没有被感染的邻居的被感染顶点变得健康。尖锐的阈值给出了所有顶点最终被感染的初始感染的临界概率。
2015-05-29 math.CO math.PR
Bootstrap percolation on a generalized Hamming cube
Institute for Systems Research and Department of ECE, University of Maryland（马里兰大学系统研究所和电子与计算机工程系）
研究了在具有顶点集V={0,1}^n且边连接汉明距离为1,2,…,k的图上的r-邻居bootstrap渗流过程，确定了r=2,3时渗流临界概率的渐进行为，并在确定性设定下获得了k≥2时最小渗流集大小的多个结果。
2026-03-25 math.CO
Large deviations for subcritical bootstrap percolation on the random graph
针对Erdős-Rényi随机图上的亚临界bootstrap渗流，本文计算了小规模初始感染集感染异常多顶点事件的速率函数，确定了对应大偏差的最小代价轨迹。
2021-01-05 math.CO math.PR
A sharper threshold for bootstrap percolation in two dimensions
二维自举渗流是一种细胞自动机，其中站点通过与两个或更多个已感染的最近邻居接触而被“感染”。我们考虑这些动态，这可以被解释为一个单调版本的伊辛模型，在一个n × n的正方形，与网站最初感染独立的概率p。临界概率p_c是最小的p，其中的概率，整个广场最终被感染超过1/2。Holroyd确定了一阶近似：p_c \sim π^2/（18 log n）为n \to \infty。在这里，我们锐化了这个结果，证明了展开式中的第二项是-（log n）^{-3/2+ o（1）}，并且进一步确定了它的poly（log log n）-因子。指数-3/2修正了物理学文献中的数值预测。
2010-12-24 math.CO math.PR
Bootstrap percolation on G(n,p) revisited
具有感染阈值$r\in \mathbb{N}$的图上的Bootstrap渗流是一个感染过程，它从一组最初被感染的顶点开始，在每一步中，至少有$r$被感染邻居的每个顶点都被感染。我们考虑了二项随机图$G(n,p)$上的自举渗流，Janson，Turova和Valier（2012）等研究了这一点。我们通过加强过程结束时感染顶点数量的概率界限来改进他们的结果。
2016-05-10 math.CO
Bootstrap percolation on geometric inhomogeneous random graphs
几何非齐次随机图（GIRG）是一种具有底层几何的无标度网络模型。我们研究这些图上的自举渗流，这是一个过程建模的顶点开始在一个（小）局部区域内的感染的蔓延。我们表明，该过程中表现出的初始感染率在该地区的相变。我们确定的速度的过程中的超临界的情况下，低阶项，并表明其演变是从根本上影响的基本几何形状。对于给定的位置和期望度的顶点，我们确定的感染时间的低阶项。最后，我们展示了如何使用这些知识来包含本地的感染，从图中删除相对较少的边缘。这是第一次，几何形状的作用，自助渗流数学分析几何无标度网络。
2020-09-01 cs.SI math.CO math.PR
Sharp metastability threshold for an anisotropic bootstrap percolation model
在过去的二十年中，自举渗流模型得到了广泛的研究。在这篇文章中，我们研究了以下的“各向异性”的自举渗流模型：一个点（m，n）的邻域是集合\[\{(m+2,n),(m+1,n),(m,n+1),(m-1,n),(m-2,n),(m,n-1)\}.\]在时间0，网站被占用的概率为p。在每个时间步，被占用的网站仍然被占用，而未被占用的网站成为被占用的当且仅当三个以上的网站在其邻域被占用。我们证明了它具有一个尖锐的亚稳阈值。这是各向异性自举逾渗模型的一个锐阈值的第一个数学证明。
2016-03-30 math-ph math.CO math.MP
A modified bootstrap percolation on a random graph coupled with a lattice
本文介绍了一种随机图模型$G_{\mathbb{Z}^2_N,p_d}$，它是由$(\mathbb{Z}/N \mathbb{Z})^2$中的固定环面网格边和一些附加的随机网格边组合而成。随机边被称为长边，并且在环面网格上具有图距离$d$的顶点$u,v\in(\mathbb{Z}/N \mathbb{Z})^2$之间具有长边的概率是$p_d=c/Nd$，其中$c$是某个常数。我们证明了，{ \em whp}，直径$D(G_{\mathbb{Z}^2_N,p_d})=Θ(\log N)$。此外，我们考虑非单调的自举渗流$G_{\mathbb{Z}^2_N,p_d}$。我们证明了平均场近似相变的存在，并提供了相当尖锐的临界参数的误差界限。我们的模型解决了有趣的数学问题的非单调的自举渗流，它的动机是最近的大脑研究结果。
2018-12-14 math.CO math.PR
Complexity of 2D bootstrap percolation difficulty: Algorithm and NP-hardness
自举渗流是一类具有随机初态的细胞自动机。二维自举渗流模型有三个粗略的普遍性类，研究最多的是“关键”之一。对于这一类的规模的数量最大的利益-临界概率-是由Bollobás，杜米尼尔-科平，莫里斯和史密斯在一个简单定义的组合数量称为“困难”，所以这个问题似乎关闭找到更清晰的结果。然而，计算的难度，从来没有考虑过。在本文中，我们提供了第一个算法来确定这个数量，这是令人惊讶的，不那么容易的定义导致思考。该证明还提供了一些显式的上界，这些上界可用于引导渗透。另一方面，我们还证明了计算临界模型的难度是NP难的否定结果。这个二维图与巴利斯特、博略巴斯、莫里斯和史密斯即将得出的关于高维不可计算性的结果形成了对比。NP难的证明是通过对集合覆盖问题的技术简化来实现的。
2019-11-30 cs.CC cs.DM math.CO
A Sharp Threshold for Bootstrap Percolation in a Random Hypergraph
给定一个超图$\mathcal{H}$，$\mathcal{H}$引导过程从$\mathcal{H}$的初始感染顶点集开始，并且在每一步中，如果存在$\mathcal{H}$的超边，其中$v$是唯一的健康顶点，则健康顶点$v$被感染。如果$\mathcal{H}$的每个顶点最终都被感染，则我们说最初被感染的顶点的集合被感染。当$\mathcal{H}$是一个从满足一定温和度和余度条件的近似$d$ -正则$r$ -一致超图中随机抽取超边得到的超图时，我们证明了这个过程具有一个尖锐的阈值，这证实了Morris的一个猜想.作为推论，我们得到了一个尖锐的阈值严格$2$ -平衡图的图引导过程的一个变种，推广Korándi，Peled和Sudakov的结果。我们的方法涉及应用的微分方程方法。
2020-10-07 math.CO math.PR
Maximal Bootstrap Percolation Time on the Hypercube via Generalised Snake-in-the-Box
在$r$ -邻居引导渗流中，如果图$G$的$r$邻居已经被感染，则图$G$的顶点（站点）逐轮被感染。一旦被感染，他们就会被感染。如果每个网站最终都被感染，那么最初一组被感染的网站就会被渗透。我们确定的最大渗流时间$r$ -邻居引导渗流超立方体上的所有$r \geq 3$的尺寸$d$无穷大的对数因子。令人惊讶的是，它原来是$\frac{2^d}{d}$，这与$r=2$的值形成了很大的对比，后者在$d$中是二次的，正如Przykucki所建立的那样。此外，我们发现这个问题和一个普遍的著名的蛇在盒子里的问题之间的联系。
2018-06-07 math.CO
Bootstrap percolation in random geometric graphs
在Bradonjić和Saniee的基础上，我们研究了$2$ -维环面上Gilbert随机几何图的自举渗流模型.在这个模型中，图的期望顶点数是$n$，对于某个固定的$a>1$，一个顶点的期望度是$a\log n$。每个顶点以概率$p$添加到初始感染顶点的集合$A_0$。如果顶点具有至少$ θa \log n $感染的邻居，则顶点随后被感染。这里，将$p, θ\in [0,1]$视为固定常数。我们表明，如果$θ< (1+p)/2$，那么一个足够大的本地爆发导致感染蔓延全球的可能性很高，所有，但$o(n)$顶点最终被感染。另一方面，对于$ θ> (1+p)/2$，即使一个人对抗性地感染半径为$O(\sqrt{\log n} )$的球内的每个顶点，感染也很有可能仅扩散到最初被感染的那些顶点之外的$o(n)$顶点。此外，我们给出了一些界限上的$(a, p, θ)$地区，确保出现大的本地爆发或存在的岛屿的顶点，永远不会被感染。我们还给出了一个完整的图片（令人惊讶的复杂）的行为类似$1$ -维自举渗流模型上的圆。最后，我们提出了一些问题，特别是作出一个猜想上的“几乎没有渗流或几乎完全渗流”二分法，这可能是独立的利益。
2021-10-23 math.CO math.PR
A Note on Bootstrap Percolation Thresholds in Plane Tilings using Regular Polygons
在\emph{$k$-bootstrap percolation}中，我们固定$p\in (0,1)$、整数$k$和平面图$G$。最初，我们以概率$p$独立地感染$G$的每个面。被感染的脸会永远被感染，如果一个健康的（未感染的）脸至少有$k$被感染的邻居，那么它就会被感染。对于固定的$G$和$p$，\emph{percolation threshold}是最大的$k$，使得最终所有面部都被感染，概率至少为$1/2$。对于一个大类的无限图，我们表明，这个阈值是独立的$p$。我们考虑了正多边形在平面上平铺时的自举渗流。这种平铺中的\emph{vertex type}是满足公共顶点的面的循环顺序。首先，我们确定每个阿基米德晶格的渗流阈值。更一般地，令$\mathcal{T}$通过正多边形表示平面平铺$T$的集合，使得如果$T$包含顶点类型的一个实例，则$T$包含该类型的无限多个实例。我们发现，没有平铺在$\mathcal{T}$具有阈值4或更多。此外，阈值为3的$\mathcal{T}$中仅有的镶嵌是四个阿基米德晶格。最后，我们描述了一个大的$\mathcal{T}$的阈值为2的子类。
2019-06-11 math.CO math.PR
The Saturation Time of Graph Bootstrap Percolation
图$H$的$H$ -自举渗透过程是一个元胞自动机，其中，给定$K_n$的边的子集作为初始集合，如果边是通过该过程在时间$t-1$获得的图中的$H$的副本中唯一缺失的边，则在时间$t$添加边。讨论了$K_r$ -自举渗流时间的一个极值问题，即确定$n$ -顶点图在过程停止前的最大次数.我们确定$r=4$的精确值，并通过给出一个明确的结构找到$r \geq 5$的渐近下界。
2015-11-19 math.CO
Bootstrap Percolation, Connectivity, and Graph Distance
本文研究 Bootstrap Percolation 与图距离和连通性的关系，给出直径为 2 且 r=2 时存在基数为 2 的渗流集的充分条件，并建立渗流轮数关于图距离不变量的上下界。
2023-09-22 math.CO
A phase transition in the evolution of bootstrap percolation processes on preferential attachment graphs
本文的主题是分析由偏好连接生成的随机图上的自举渗流过程。这是一类感染过程，其中顶点有两种状态：它们要么被感染，要么易受感染。在每一轮中，至少有$r\geq 2$感染邻居的每个易感顶点都被感染，并永远保持感染状态。假设最初$a(t)$顶点被随机感染，其中$t$是图的顶点总数。还假设$r < m$，其中$2m$是平均度。我们确定了一个检验函数$a_c(t)$，当$a(t) \gg a_c(t)$，完全感染发生的概率很高的$t \rightarrow \infty$，但当$a(t) \ll a_c (t)$，然后以很高的概率，该过程只发展为一个有限的轮数和最终的一组感染的顶点是渐近等于$a(t)$。
2014-12-20 math.CO math.PR
Optimal and Near-Optimal Constructions for Bootstrap Percolation in Hypercubes
University of Victoria（维多利亚大学）
本文研究了超立方体中Bootstrap传播的最小初始感染集问题，针对r=4的情况，给出了精确的下界，并通过构造证明了该下界在无限多个维度下成立，同时提供了更一般的上界。
2026-04-16 cs.DM math.CO
Majority bootstrap percolation on the hypercube
在图G上的多数自举渗流中，感染根据以下确定性规则传播：如果顶点v的至少一半邻居已经被感染，则v也被感染，并且被感染的顶点永远被感染。如果最终每个顶点都被感染，则会发生渗透。初始感染顶点集A \subset V（G）的元素通常是独立随机选择的，每个元素的概率为p。这个过程已经在环面图序列[n]^d上得到了广泛的研究，其中n = 1，2，.，其中d = d（n）是固定的或者是n的非常缓慢增长的函数。例如，Cerf和Manzo表明，如果d（n）< log*（n），则临界概率为o（1），即，如果p = p（n）有界远离零，那么当n趋于无穷大时，[n]^d上的渗流概率趋于1。本文研究了当d增长到无穷大并不太慢时的情形;特别地，我们证明了当d >（loglog（n））^2 logloglog（n）时，临界概率为1/2 + o（1），并且在G是超立方体的情形下给出了更强的界，[2]^d。
2007-02-13 math.CO math.PR
Universal behaviour of majority bootstrap percolation on high-dimensional geometric graphs
Universidade de São Paulo（圣保罗大学）；University of Birmingham（伯明翰大学）；Graz University of Technology（格拉茨工业大学）
本文研究高维几何图（含网格、环面、汉明图及克内泽图等）上的多数引导渗流，证明其临界窗口位置与宽度与超立方体情形定量相似，揭示普适行为。
2026-09-17 math.CO math.PR
Lower bounds for graph bootstrap percolation via properties of polynomials
本文介绍一种简单的方法，证明了图的自举过程中最小化集的大小的下界。我们应用这种方法来确定多维环面和多维网格（特别是超立方体）中的最小映射集的大小。前者回答了Morrison和Noel的一个问题，后者为他们的一个主要结果提供了一个可供选择的、更简单的证明。
2021-05-08 math.CO
Minimal percolating sets in bootstrap percolation
在标准的自举渗流中，n × n网格的子集A最初被感染。如果一个新的站点至少有两个邻居被感染，那么它就会被感染，并且被感染的站点会永远被感染。如果最终整个网格都被感染，则集合A被称为渗透。如果一个集的子集都不渗透，则称它是极小集。通过讨论Bollobas的一个问题，我们证明了存在一个大小为4n^2/33 + o（n^2）的极小可解集，但不存在一个大于（n + 2）^2/6的可解集。
2008-10-14 math.CO
Bootstrap percolation with inhibition
Bootstrap percolation是研究图上活动传播的一个重要框架。我们从一组初始的活动顶点开始。然后，该过程在循环中进行，并且一旦其他顶点具有一定数量的活跃邻居，它们就变得活跃。自举渗流理论中一个反复出现的特征是"全有或全无"的现象：要么起始集的大小很小，以至于过程很快停止，要么它（几乎）完全消失。在各种类型的现实世界的网络中观察到的几个重要现象的动机，我们提出了在这项工作中的一个变种的自举渗流，表现出截然不同的行为。我们的图有两种类型的顶点：其中一些阻碍扩散，而其他的促进它。我们研究了这种设置的效果，通过分析的过程中Erdens-Rényi随机图。我们的主要发现有两个方面。首先，我们表明，顶点的存在阻碍扩散不会导致一个稳定的行为：微小的变化，在初始集的大小可以显着影响最终的活动集的大小。特别是，这个过程是非单调的：一个较大的起始集合可以导致一个较小的最终集合。在本文的第二部分中，我们表明，这种现象产生的轮为基础的方法：如果我们移动到一个连续时间模型，其中每个边缘随机绘制其传输时间，那么我们获得稳定性，并停止与一个活动集，其中包含一个非平凡的常数部分的所有顶点的过程。此外，我们表明，在连续时间模型渗流发生显着更快的经典轮为基础的模型相比。我们的研究结果与经验观察一致，并证明了在数学模型中引入各种类型的顶点行为的重要性。
2015-08-21 math.CO math.PR
The second term for two-neighbour bootstrap percolation in two dimensions
在图$G$上的$r$ -邻居引导过程中，如果顶点至少有$r$已经感染的邻居，则它们被感染（在每个时间步中）。由于它与统计物理模型的密切联系，例如铁磁性的伊辛模型和液体-玻璃转变的动力学约束自旋模型，最广泛研究的情况是二维网格$[n]^2$上的两个相邻的自举过程。大约15年前，在一次重大突破中，Holroyd确定了这个模型中渗流的临界值，随后Gravner和Holroyd以及Gravner，Holroyd和Morris进一步提高了他的边界。在本文中，我们加强了Gravner，Holroyd和Morris的下界，证明了在$[n]^2$上的两个邻居模型中渗流的临界概率$p_c\big( [n]^2,2 \big)$满足\[p_c\big( [n]^2,2 \big) = \frac{π^2}{18\log n} - \frac{Θ(1)}{(\log n)^{3/2}}\,.\]。这个结果的证明需要非常精确地理解临界液滴的典型生长，并涉及一些技术创新。我们希望这些有其他的应用，例如，更一般的二维细胞自动机的研究，并在更高的维度的$r$邻居过程。
2018-06-23 math.CO math.PR
Extremal Bounds for Three-Neighbour Bootstrap Percolation in Dimensions Two and Three
本文精确确定了三维网格中三邻居自举渗流的最小感染集合基数，并刻画了二维网格中基数为(ab+a+b)/3的渗流集合存在的整数条件，解决了Benevides等人提出的公开问题。
2023-05-31 math.CO math.PR
Contagious sets in a degree-proportional bootstrap percolation process
我们研究了如下的自举渗流过程：给定一个连通图$G$，一个常数$ρ\in [0, 1]$和一个初始$A \subseteq V(G)$的\emph{infected}顶点集，在每一步，一个顶点~ $v$成为感染，如果至少一个$ρ$ -的邻居已经被感染（一旦感染，一个顶点永远保持感染）。我们的重点是大小$h_ρ(G)$的最小初始集是\emph{contagious}，这意味着这个过程中的感染的每个顶点的$G$的结果。我们的主要结果表明，$n$顶点上的每个连通图$G$都有$h_ρ(G) < 2ρn$或$h_ρ(G) = 1$（注意，由于$ρ\leq\tfrac{1}{2n}$的情况，允许后一种可能性是必要的，因为每个传染集的大小至少为1）。这是这种形式的最佳可能界，并且改进了Chang和Lyuu以及Gentner和Rautenbach的先前结果。我们还提供了一个更强的边界，周长至少为5和足够小的$ρ$，这是渐近最好的可能的图。
2018-03-31 math.CO math.PR
Bootstrap percolation in three dimensions
通过自举渗透，我们指的是图$G$上的以下确定性过程。给定在时间0处“感染”的顶点的集合$A$，如果新顶点具有至少$r\in\mathbb{N}$先前感染的邻居，则在每个时间步长处，新顶点随后被感染。当随机选择集合$A$时，主要目的是确定可能发生渗流（感染整个图）的临界概率$p_c(G,r)$。这个引导过程在$d$维网格$[n]^d$上已经被广泛地研究过了：在$2\leq r\leq d$固定的情况下，Cerf和Cirillo（对于$d=r=3$）以及Cerf和Manzo（一般情况下）证明了\[p_c([n]^d,r)=Θ\biggl(\frac{1}{\log_{(r-1)}n}\biggr)^{d-r+1},\]，其中$\log_{(r)}$是$r$倍的迭代对数.然而，确切的阈值函数仅在$d=r=2$的情况下是已知的，其中Holroyd将其显示为$(1+o(1))\frac{π^2}{18\log n}$。在本文中，我们将确定在关键情况下的确切阈值$d=r=3$，并为解决所有固定的$d$和$r$的问题奠定了基础。
2009-08-31 math.CO math.PR
Bootstrap percolation on a generalized Hamming cube \MakeUppercase{\romannumeral 2}
University of Maryland, College Park（马里兰大学帕克分校）
本文扩展Balogh等人2009年的主定理，得到广义汉明立方体Q_{k,n}上阈值为N/2的自举渗流临界概率的一阶和二阶项。
2026-09-15 math.CO math.PR
Percolating sets in bootstrap percolation on the Hamming graphs
对于任意整数$r\geqslant0$，图上的$r$ -邻居自举渗流是顶点的激活过程.该过程从一些初始激活的顶点开始，然后在每一轮中，具有至少$r$活动邻居的任何非活动顶点变为激活的。一组初始激活的顶点导致所有顶点的激活被称为一个激活集。用$m(G, r)$表示图$G$上的$r$ -近邻自举渗流过程的最小集.本文给出了$m(K_n^d, r)$的上下界，其中$K_n^d$是完全图$K_n$的$d$拷贝的笛卡尔积，完全图称为Hamming图.在其他结果中，我们表明，当$r$和$d$都以$r<n$和$d=o(\!\sqrt{r})$趋于无穷大时，$m(K_n^d, r)=\frac{1+o(1)}{(d+1)!}r^d$。
2019-05-06 math.CO
Bootstrap percolation on the high-dimensional Hamming graph
本文研究高维Hamming图上的2-邻域随机bootstrap渗流，将超立方体上的相关临界概率渐近结果推广至该图，确定了特定k值范围下临界概率相差至多乘积常数的渐近行为。
2024-06-19 math.CO math.PR
Bootstrap Percolation and Partial Difference Equations
研究 Z^d 上由固定模式集合 A 驱动的 bootstrap 渗流过程，通过模式凸包的混合体积给出二维两模式的最小渗流种子大小，并导出二维两偏差分方程的一致性判据。
2026-06-16 math.CO
An Improved Upper Bound for Bootstrap Percolation in All Dimensions
在图$G$的顶点集上的$r$ -邻居自举渗流中，初始感染顶点的集合$A$通过在每个时间步用至少$r$先前感染的邻居感染所有未感染的顶点来传播。当$A$的元素以某种概率$p$被独立选择时，很自然地要研究临界概率$p_c(G,r)$，在该概率下，所有$V(G)$都可能最终被感染。本文改进了Balogh，Bollobás和Morris的一个结果，给出了当$G = [n]^d$和$d \geq r \geq 2$时临界概率展开式中第二项的界.我们发现，对于所有的$d \geq r \geq 2$存在一个常数$c_{d,r} > 0$，这样，如果$n$是足够大的，那么\[ p_c([n]^d, r) \leq \Biggl(\dfrac{λ(d,r)}{\log_{(r-1)}(n)} - \dfrac{c_{d,r}}{\bigl(\log_{(r-1)}(n)\bigr)^{3/2}}\Biggr)^{d-r+1}, \]其中$λ(d,r)$是一个确切的常数和$\log_{(k)}(n)$表示$k$ -倍迭代自然对数的$n$。
2018-06-22 math.CO math.PR
Bootstrap percolation on Galton-Watson trees
自举逾渗是一种元胞自动机，已被用于模拟各种物理现象，如铁磁性。对于每一个自然数$r$，$r$ -邻居引导过程是一个更新规则的顶点的两个状态之一：“感染”或“健康”。在连续的几轮中，至少有$r$感染邻居的每个健康顶点本身也会被感染。如果每个顶点最终都被感染，则称为发生渗透。通常，被感染顶点的起始集合是随机选择的，所有顶点最初都以概率$p$独立感染。在这种情况下，给定图$G$和感染阈值$r$，感兴趣的量是临界概率$p_c(G,r)$，在该临界概率下渗透变得可能发生。在本文中，我们研究无限树，并回答Balogh、Peres和Pete提出的问题，我们证明对于任何$b \geq r$和任何$ε> 0$，存在一棵树$T$，其分支数为$\br(T) = b$，临界概率为$p_c(T,r) < ε$。然而，如果我们把自己限制在研究得很好的高尔顿-沃森树家族中，这是错误的。本文证明了对每个$r \geq 2$都存在一个常数$c_r>0$，使得如果$T$是一个分支数为$\br(T) = b \geq r$的Galton-Watson树，则p_c（T，r）> \frac{c_r}{b} e^{- \frac{b}{r-1} }.我们还表明，这个界是尖锐的$O(b)$的一个因素，给出一个明确的家庭的高尔顿-沃森树的临界概率从上面有界的$C_r e^{-\frac{b}{r-1}}$为一些常数$C_r>0$…
2013-04-08 math.CO math.PR
Bootstrap percolation on the Hamming graphs
本文研究汉明图上的r-边bootstrap渗流，显式求出其最小渗流集大小，并借此推导r-邻域bootstrap渗流的最小渗流集渐近表达式，推广了超立方体上的已有结果。
2024-03-09 math.CO
Minimum Weakly Saturated Graphs and Bootstrap Percolation in General Host Graphs
Wesleyan College（卫斯理学院）；Auburn University（奥本大学）
本文研究最小弱饱和图类及其与H-自举渗流的关联，探讨一般宿主图下的弱饱和问题，明确了弱饱和数与最小弱饱和图的定义。
2026-09-03 math.CO
Extremal Bounds for Bootstrap Percolation in the Hypercube
图$G$上的$r$ -邻居引导渗透过程从“感染”顶点的初始集合$A_0$开始，并且在该过程的每个步骤中，如果健康顶点具有至少$r$感染的邻居，则健康顶点被感染（一旦顶点被感染，则它永远保持感染）。如果$G$的每个顶点最终都被感染了，那么我们说$A_0$感染了。本文证明了Balogh和Bollobás的一个猜想，即对于固定的$r$和$d\to\infty$，$d$维超立方体中的每一个增广集的基数至少为$\frac{1+o(1)}{r}\binom{d}{r-1}$ .我们还证明了一个类似的结果，多维矩形网格。我们的证明利用了自举渗流和相关过程之间的联系，称为弱饱和。此外，我们改进了超立方体中最著名的最小化集尺寸的上界。特别地，当$r=3$时，我们证明了$d$维超立方体中的一个分解集的最小基数对所有$d\geq3$都是$\left\lceil\frac{d(d+3)}{6}\right\rceil+1$.
2017-11-02 math.CO
