The Time of Bootstrap Percolation in High Dimensions
该研究针对d维环面上的d邻域bootstrap渗流过程，在初始感染概率特定范围、阈值为d的条件下，以高概率确定了渗流时间的常数因子阶结果，拓展了已有二维阈值为2的相关定理。
2025-05-16 math.CO math.PR
On polluted bootstrap percolation in Cartesian grids
本文研究笛卡尔网格中的污染引导渗流，针对给定污染顶点数，建立了最小2-邻居渗流数的闭式公式，并给出另一极端情况的下界。
2025-06-23 math.CO math.PR
Explosive appearance of cores and bootstrap percolation on lattices
Universite Claude Bernard Lyon 1, CNRS, Centrale Lyon, INSA Lyon, Université Jean Monnet（里昂第一大学、法国国家科学研究中心、中央里昂学院、里昂国立应用科学学院、让·莫内大学）
研究了二维格子上自激发渗透现象中核心大小的突然跃变及多种感染规则下的击中时间结果。
2026-01-22 math.CO math.PR
The time of graph bootstrap percolation
图自举逾渗（Graph Bootstrap Percolation），由Bollobás于1968年提出，是一种元胞自动机，定义如下。给定一个“小”图$H$和一个“大”图$G = G_0 \subseteq K_n$，在连续的步骤中，我们通过向$G_t$添加所有新的边$e$来从$G_t$获得$G_{t+1}$，使得$G_t \cup e$包含$H$的新副本。我们说$G$表示如果对于某个$t \geq 0$，我们有$G_t = K_n$。对于$H = K_r$，关于最小可分解图的大小的问题在20世纪80年代由Alon，Frankl和Kalai独立回答。最近，Balogh，Bollobás和Morris考虑了$G = G(n,p)$的图自举渗流，并研究了图以高概率渗流的临界概率$p_c(n,K_r)$.在本文中，使用相同的设置，我们确定，对数因子，临界概率渗流时间$t$所有$1 \leq t \leq C \log\log n$。
2016-02-25 math.CO math.PR
3-Neighbor bootstrap percolation on two-dimensional grids
Virginia Commonwealth University（弗吉尼亚联邦大学）；Czech Technical University in Prague（布拉格捷克理工大学）
该研究确定了矩形网格$P_m\square P_n$上3邻域自举渗流的最小渗流集大小，扩展了前人工作，还针对环面网格$C_m\square C_n$得到了相差不超过1的上下界及部分情形的精确解。
2026-08-07 math.CO math.PR
Subcritical $\mathcal{U}$-bootstrap percolation models have non-trivial phase transitions
我们证明了在$\mathbb{Z}^2$上存在具有非平凡临界概率的经典Bootstrap渗流模型的自然推广，并且我们刻画了所有具有此性质的齐次、局部、单调模型. Van Enter（在$d=r=2$的情况下）和Schonmann（对于所有的$d \geq r \geq 2$）证明了$r$ -近邻自举渗流模型对于每一个参数$d \geq r \geq 2$的选择都有关于$\mathbb{Z}^d$的平凡临界概率：也就是说，初始密度集$p$几乎必然对每一个$p>0$都是$\mathbb{Z}^d$。这些结果有效地结束了无限格点上自举渗流的研究。最近，Bollobás，Smith和Uzzell介绍了一类广泛的渗流模型称为$\mathcal{U}$ -引导渗流，其中包括$r$ -邻居引导渗流作为一个特殊情况。他们将二维$\mathcal{U}$ -自举渗流模型分为三类-亚临界，临界和超临界-他们证明，像经典的2-邻居自举渗流，临界和超临界$\mathcal{U}$ -自举渗流模型在$\mathbb{Z}^2$上具有平凡的临界概率。他们留下了一个未解决的问题，即在亚临界家庭的情况下会发生什么。在本文中，我们回答这个问题：我们表明，每个亚临界$\mathcal{U}$ -自举渗流模型有一个非平凡的临界概率$\mathbb{Z}^2$。这是新的，除了一定的'退化'子类的对称模型，可以从下面与定向…
2014-09-08 math.PR
Bootstrap percolation and the geometry of complex networks
关于复杂网络的几何模型（由Krioukov等人介绍）我们研究了自举逾渗过程。该模型由双曲平面上具有$N$顶点的随机几何图组成，是Chung-Lu模型的依赖版本。该过程从感染率$p=p(N)$开始。至少有$\mathbf{r}\geq 1$感染邻居的每个未感染顶点都将被感染，并永远保持感染状态。我们确定一个函数$p_c(N)=o(1)$，使得a.a.s.\当$p\gg p_c(N)$时，感染扩散到正比例的顶点，而当$p\ll p_c(N)$时，过程不能发展。此外，这种行为在随机删除边缘的情况下是“鲁棒的”。
2015-08-22 math.CO math.PR
Bootstrap percolation in random $k$-uniform hypergraphs
我们研究了在$n^{-1}\ll n^{k-2}p \ll n^{-1/r}$范围内的二项$k$ -均匀随机超图$H_k(n,p)$上，当从给定大小的所有集合中均匀随机地选择初始感染点集时，具有感染阈值$r> 1$的自举渗流问题.我们建立了一个阈值，如果有较少的顶点在初始的一组感染的顶点，那么只有少数额外的顶点被感染，而如果初始的一组感染的顶点超过阈值，那么几乎所有的顶点被感染。此外，对于$k=2$，我们表明，失败的概率呈指数下降。
2017-04-24 math.CO math.PR
Higher order corrections for anisotropic bootstrap percolation
研究了具有$(1,2)$ -邻域和阈值$r = 3$的二维各向异性自举渗流模型的亚稳相变的临界几率.第一和第二作者最近确定了临界概率的一阶渐近性。在这里，我们确定了以下尖锐的二阶和三阶渐近：\[ p_c\big( [L]^2,\mathcal{N}_{(1,2)},3 \big) \; = \; \frac{(\log \log L)^2}{12\log L} \, - \, \frac{\log \log L \, \log \log \log L}{ 3\log L} + \frac{\left(\log \frac{9}{2} + 1 \pm o(1) \right)\log \log L}{6\log L}. \]我们注意到，二阶和三阶项是如此之大，以至于一阶渐近无法近似$p_c$，即使对于尺寸远远超过$10^{10^{1000}}$的晶格。
2017-10-09 math.CO math.PR
Graph bootstrap percolation
图自举逾渗（Graph Bootstrap Percolation）是一种确定性的细胞自动机，由Bollobás在1968年提出，定义如下。给定一个图$H$和一组最初“感染”的边$G \subset E(K_n)$，如果在$K_n$中有一个$H$的拷贝，使得$e$是$H$的唯一未感染的边，则在每个时间步，我们感染一个新的边$e$。如果最终$K_n$的每个边缘都被感染，我们说$G$在$H$ -bootstrap过程中被感染。当$H$是完全图$K_r$时，这个模型的极值问题已经由Alon，Kalai和Frankl在大约30年前（独立地）解决了。本文研究了随机问题，确定了$K_r$ -过程的临界概率$p_c(n,K_r)$达到一个多对数因子.在$r = 4$的情况下，我们证明了一个更强的结果，并确定了$p_c(n,K_4)$的阈值。
2012-11-25 math.CO math.PR
Metastable Behavior of Bootstrap Percolation on Galton-Watson Trees
我们分析了Galton-Watson树上的自举逾渗临界附近的亚稳态。我们发现，根据后代分布的确切选择，有可能有几个不同的亚稳态，其持续时间不同的缩放，而接近临界。
2018-04-17 math.PR
A sharp threshold for a modified bootstrap percolation with recovery
自举逾渗（Bootstrap percolation）是一种图上的元胞自动机，作为一种简单的铁磁性动力学模型引入。图中的顶点可以处于两种状态之一：“健康”或“感染”，并且从状态的初始配置开始，健康顶点被局部规则感染。虽然通常的引导过程是单调的感染顶点的集合，在本文中，修改检查中，感染的顶点可以返回到一个健康的状态。顶点最初是随机独立感染的，中心问题是是否所有顶点最终都被感染。这里所研究的模型是一个正方形网格上的过程，其中至少有两个被感染的邻居的健康顶点被感染，而没有被感染的邻居的被感染顶点变得健康。尖锐的阈值给出了所有顶点最终被感染的初始感染的临界概率。
2015-05-29 math.CO math.PR
Large deviations for subcritical bootstrap percolation on the random graph
针对Erdős-Rényi随机图上的亚临界bootstrap渗流，本文计算了小规模初始感染集感染异常多顶点事件的速率函数，确定了对应大偏差的最小代价轨迹。
2021-01-05 math.CO math.PR
A sharper threshold for bootstrap percolation in two dimensions
二维自举渗流是一种细胞自动机，其中站点通过与两个或更多个已感染的最近邻居接触而被“感染”。我们考虑这些动态，这可以被解释为一个单调版本的伊辛模型，在一个n × n的正方形，与网站最初感染独立的概率p。临界概率p_c是最小的p，其中的概率，整个广场最终被感染超过1/2。Holroyd确定了一阶近似：p_c \sim π^2/（18 log n）为n \to \infty。在这里，我们锐化了这个结果，证明了展开式中的第二项是-（log n）^{-3/2+ o（1）}，并且进一步确定了它的poly（log log n）-因子。指数-3/2修正了物理学文献中的数值预测。
2010-12-24 math.CO math.PR
Improved bounds on metastability thresholds and probabilities for generalized bootstrap percolation
推广和改进了Andrews，Gravner，Holroyd，Liggett和Romik关于广义二维自举渗流模型亚稳阈值的结果，并回答了他们的几个公开问题和解答.具体来说，我们证明了缓慢的收敛和本地化的界限Holroyd，Liggett和Romik的k-渗流模型，并在这个过程中提供了一个统一的和改进的处理现有的结果引导，修改后的引导，和Frobose渗流。此外，我们证明了改进的渐近界的生成函数的分区没有k-间隙，这也涉及到某些相关的无限概率过程，这些渗流模型。我们的一个关键技术概率结果也是独立的利益。我们证明了新的上界和下界的概率，一个序列的独立事件的单调增加的概率包含没有“k-间隙”模式，内插的一般马尔可夫链的解决方案中出现的情况下，所有的概率是相等的。
2010-02-26 math.CO math.NT math.PR
A modified bootstrap percolation on a random graph coupled with a lattice
本文介绍了一种随机图模型$G_{\mathbb{Z}^2_N,p_d}$，它是由$(\mathbb{Z}/N \mathbb{Z})^2$中的固定环面网格边和一些附加的随机网格边组合而成。随机边被称为长边，并且在环面网格上具有图距离$d$的顶点$u,v\in(\mathbb{Z}/N \mathbb{Z})^2$之间具有长边的概率是$p_d=c/Nd$，其中$c$是某个常数。我们证明了，{ \em whp}，直径$D(G_{\mathbb{Z}^2_N,p_d})=Θ(\log N)$。此外，我们考虑非单调的自举渗流$G_{\mathbb{Z}^2_N,p_d}$。我们证明了平均场近似相变的存在，并提供了相当尖锐的临界参数的误差界限。我们的模型解决了有趣的数学问题的非单调的自举渗流，它的动机是最近的大脑研究结果。
2018-12-14 math.CO math.PR
Majority Bootstrap Percolation on $G(n,p)$
图$G$上的多数自举逾渗是按以下方式定义的流行病过程。首先，选择初始感染的顶点集。然后逐步感染比未感染邻居更多的顶点。如果最终$G$中的所有顶点都被感染，我们说发生了渗透。本文研究了连通度阈值以上的Erdens-Rényi随机图$G(n,p)$上的多数自举渗流问题.也许令人惊讶的是，小$p$得到的结果与Balogh，Bollobás和Morris（2009）得到的超立方体结果相当。
2015-08-11 math.PR
A Sharp Threshold for Bootstrap Percolation in a Random Hypergraph
给定一个超图$\mathcal{H}$，$\mathcal{H}$引导过程从$\mathcal{H}$的初始感染顶点集开始，并且在每一步中，如果存在$\mathcal{H}$的超边，其中$v$是唯一的健康顶点，则健康顶点$v$被感染。如果$\mathcal{H}$的每个顶点最终都被感染，则我们说最初被感染的顶点的集合被感染。当$\mathcal{H}$是一个从满足一定温和度和余度条件的近似$d$ -正则$r$ -一致超图中随机抽取超边得到的超图时，我们证明了这个过程具有一个尖锐的阈值，这证实了Morris的一个猜想.作为推论，我们得到了一个尖锐的阈值严格$2$ -平衡图的图引导过程的一个变种，推广Korándi，Peled和Sudakov的结果。我们的方法涉及应用的微分方程方法。
2020-10-07 math.CO math.PR
Bootstrap percolation in random geometric graphs
在Bradonjić和Saniee的基础上，我们研究了$2$ -维环面上Gilbert随机几何图的自举渗流模型.在这个模型中，图的期望顶点数是$n$，对于某个固定的$a>1$，一个顶点的期望度是$a\log n$。每个顶点以概率$p$添加到初始感染顶点的集合$A_0$。如果顶点具有至少$ θa \log n $感染的邻居，则顶点随后被感染。这里，将$p, θ\in [0,1]$视为固定常数。我们表明，如果$θ< (1+p)/2$，那么一个足够大的本地爆发导致感染蔓延全球的可能性很高，所有，但$o(n)$顶点最终被感染。另一方面，对于$ θ> (1+p)/2$，即使一个人对抗性地感染半径为$O(\sqrt{\log n} )$的球内的每个顶点，感染也很有可能仅扩散到最初被感染的那些顶点之外的$o(n)$顶点。此外，我们给出了一些界限上的$(a, p, θ)$地区，确保出现大的本地爆发或存在的岛屿的顶点，永远不会被感染。我们还给出了一个完整的图片（令人惊讶的复杂）的行为类似$1$ -维自举渗流模型上的圆。最后，我们提出了一些问题，特别是作出一个猜想上的“几乎没有渗流或几乎完全渗流”二分法，这可能是独立的利益。
2021-10-23 math.CO math.PR
A Note on Bootstrap Percolation Thresholds in Plane Tilings using Regular Polygons
在\emph{$k$-bootstrap percolation}中，我们固定$p\in (0,1)$、整数$k$和平面图$G$。最初，我们以概率$p$独立地感染$G$的每个面。被感染的脸会永远被感染，如果一个健康的（未感染的）脸至少有$k$被感染的邻居，那么它就会被感染。对于固定的$G$和$p$，\emph{percolation threshold}是最大的$k$，使得最终所有面部都被感染，概率至少为$1/2$。对于一个大类的无限图，我们表明，这个阈值是独立的$p$。我们考虑了正多边形在平面上平铺时的自举渗流。这种平铺中的\emph{vertex type}是满足公共顶点的面的循环顺序。首先，我们确定每个阿基米德晶格的渗流阈值。更一般地，令$\mathcal{T}$通过正多边形表示平面平铺$T$的集合，使得如果$T$包含顶点类型的一个实例，则$T$包含该类型的无限多个实例。我们发现，没有平铺在$\mathcal{T}$具有阈值4或更多。此外，阈值为3的$\mathcal{T}$中仅有的镶嵌是四个阿基米德晶格。最后，我们描述了一个大的$\mathcal{T}$的阈值为2的子类。
2019-06-11 math.CO math.PR
A phase transition in the evolution of bootstrap percolation processes on preferential attachment graphs
本文的主题是分析由偏好连接生成的随机图上的自举渗流过程。这是一类感染过程，其中顶点有两种状态：它们要么被感染，要么易受感染。在每一轮中，至少有$r\geq 2$感染邻居的每个易感顶点都被感染，并永远保持感染状态。假设最初$a(t)$顶点被随机感染，其中$t$是图的顶点总数。还假设$r < m$，其中$2m$是平均度。我们确定了一个检验函数$a_c(t)$，当$a(t) \gg a_c(t)$，完全感染发生的概率很高的$t \rightarrow \infty$，但当$a(t) \ll a_c (t)$，然后以很高的概率，该过程只发展为一个有限的轮数和最终的一组感染的顶点是渐近等于$a(t)$。
2014-12-20 math.CO math.PR
Bootstrap percolation on the product of the two-dimensional lattice with a Hamming square
图上的自举渗透是一个确定性的过程，它通过邻接至少有$θ$占据的邻居的点来迭代地扩大一组占据的站点。初始占用集是随机的，由具有低密度$p$的均匀积测度给出。我们主要关注的是产品图$\mathbb{Z}^2\times K_n^2$上的这个过程，其中$K_n$是一个完全图。我们调查如何$p$规模与$n$，使一个典型的网站最终被占领。在临界标度下，偶$θ$的动力学表现出尖锐的相变，而奇$θ$产生一个渐进的渗流转变。我们还建立了一个逐步过渡的自举渗流$\mathbb{Z}^2\times K_n$。主要工具是$\mathbb{Z}^2$上的非均质自举渗流。
2018-07-26 math.PR
Majority bootstrap percolation on the hypercube
在图G上的多数自举渗流中，感染根据以下确定性规则传播：如果顶点v的至少一半邻居已经被感染，则v也被感染，并且被感染的顶点永远被感染。如果最终每个顶点都被感染，则会发生渗透。初始感染顶点集A \subset V（G）的元素通常是独立随机选择的，每个元素的概率为p。这个过程已经在环面图序列[n]^d上得到了广泛的研究，其中n = 1，2，.，其中d = d（n）是固定的或者是n的非常缓慢增长的函数。例如，Cerf和Manzo表明，如果d（n）< log*（n），则临界概率为o（1），即，如果p = p（n）有界远离零，那么当n趋于无穷大时，[n]^d上的渗流概率趋于1。本文研究了当d增长到无穷大并不太慢时的情形;特别地，我们证明了当d >（loglog（n））^2 logloglog（n）时，临界概率为1/2 + o（1），并且在G是超立方体的情形下给出了更强的界，[2]^d。
2007-02-13 math.CO math.PR
Universal behaviour of majority bootstrap percolation on high-dimensional geometric graphs
Universidade de São Paulo（圣保罗大学）；University of Birmingham（伯明翰大学）；Graz University of Technology（格拉茨工业大学）
本文研究高维几何图（含网格、环面、汉明图及克内泽图等）上的多数引导渗流，证明其临界窗口位置与宽度与超立方体情形定量相似，揭示普适行为。
2026-09-17 math.CO math.PR
Bootstrap percolation with inhibition
Bootstrap percolation是研究图上活动传播的一个重要框架。我们从一组初始的活动顶点开始。然后，该过程在循环中进行，并且一旦其他顶点具有一定数量的活跃邻居，它们就变得活跃。自举渗流理论中一个反复出现的特征是"全有或全无"的现象：要么起始集的大小很小，以至于过程很快停止，要么它（几乎）完全消失。在各种类型的现实世界的网络中观察到的几个重要现象的动机，我们提出了在这项工作中的一个变种的自举渗流，表现出截然不同的行为。我们的图有两种类型的顶点：其中一些阻碍扩散，而其他的促进它。我们研究了这种设置的效果，通过分析的过程中Erdens-Rényi随机图。我们的主要发现有两个方面。首先，我们表明，顶点的存在阻碍扩散不会导致一个稳定的行为：微小的变化，在初始集的大小可以显着影响最终的活动集的大小。特别是，这个过程是非单调的：一个较大的起始集合可以导致一个较小的最终集合。在本文的第二部分中，我们表明，这种现象产生的轮为基础的方法：如果我们移动到一个连续时间模型，其中每个边缘随机绘制其传输时间，那么我们获得稳定性，并停止与一个活动集，其中包含一个非平凡的常数部分的所有顶点的过程。此外，我们表明，在连续时间模型渗流发生显着更快的经典轮为基础的模型相比。我们的研究结果与经验观察一致，并证明了在数学模型中引入各种类型的顶点行为的重要性。
2015-08-21 math.CO math.PR
Bootstrap percolation on the Hamming torus with threshold 2
本文分析了$d$维Hamming环面上的自举渗流问题，其中每个节点以概率$p$开放，渗流阈值为2。对于每一个$d'<d$，我们发现的事件，一个$d'$维子环面成为开放的临界指数，并计算其概率在临界标度下的极限值。对于甚至$d'$，我们使用的陈斯坦方法表明，成为开放的$d'$维subtori的数量可以近似的泊松随机变量。
2017-11-01 math.PR
The second term for two-neighbour bootstrap percolation in two dimensions
在图$G$上的$r$ -邻居引导过程中，如果顶点至少有$r$已经感染的邻居，则它们被感染（在每个时间步中）。由于它与统计物理模型的密切联系，例如铁磁性的伊辛模型和液体-玻璃转变的动力学约束自旋模型，最广泛研究的情况是二维网格$[n]^2$上的两个相邻的自举过程。大约15年前，在一次重大突破中，Holroyd确定了这个模型中渗流的临界值，随后Gravner和Holroyd以及Gravner，Holroyd和Morris进一步提高了他的边界。在本文中，我们加强了Gravner，Holroyd和Morris的下界，证明了在$[n]^2$上的两个邻居模型中渗流的临界概率$p_c\big( [n]^2,2 \big)$满足\[p_c\big( [n]^2,2 \big) = \frac{π^2}{18\log n} - \frac{Θ(1)}{(\log n)^{3/2}}\,.\]。这个结果的证明需要非常精确地理解临界液滴的典型生长，并涉及一些技术创新。我们希望这些有其他的应用，例如，更一般的二维细胞自动机的研究，并在更高的维度的$r$邻居过程。
2018-06-23 math.CO math.PR
Bootstrap percolation on geometric inhomogeneous random graphs
几何非齐次随机图（GIRG）是一种具有底层几何的无标度网络模型。我们研究这些图上的自举渗流，这是一个过程建模的顶点开始在一个（小）局部区域内的感染的蔓延。我们表明，该过程中表现出的初始感染率在该地区的相变。我们确定的速度的过程中的超临界的情况下，低阶项，并表明其演变是从根本上影响的基本几何形状。对于给定的位置和期望度的顶点，我们确定的感染时间的低阶项。最后，我们展示了如何使用这些知识来包含本地的感染，从图中删除相对较少的边缘。这是第一次，几何形状的作用，自助渗流数学分析几何无标度网络。
2020-09-01 cs.SI math.CO math.PR
Extremal Bounds for Three-Neighbour Bootstrap Percolation in Dimensions Two and Three
本文精确确定了三维网格中三邻居自举渗流的最小感染集合基数，并刻画了二维网格中基数为(ab+a+b)/3的渗流集合存在的整数条件，解决了Benevides等人提出的公开问题。
2023-05-31 math.CO math.PR
Sharp metastability transition for two-dimensional bootstrap percolation with symmetric isotropic threshold rules
本文证明二维临界自举渗流中所有具有凸对称邻域的各向同性阈值规则均发生尖锐亚稳态相变，推广了此前仅对特定规则成立的结果。
2024-06-05 math.PR
Contagious sets in a degree-proportional bootstrap percolation process
我们研究了如下的自举渗流过程：给定一个连通图$G$，一个常数$ρ\in [0, 1]$和一个初始$A \subseteq V(G)$的\emph{infected}顶点集，在每一步，一个顶点~ $v$成为感染，如果至少一个$ρ$ -的邻居已经被感染（一旦感染，一个顶点永远保持感染）。我们的重点是大小$h_ρ(G)$的最小初始集是\emph{contagious}，这意味着这个过程中的感染的每个顶点的$G$的结果。我们的主要结果表明，$n$顶点上的每个连通图$G$都有$h_ρ(G) < 2ρn$或$h_ρ(G) = 1$（注意，由于$ρ\leq\tfrac{1}{2n}$的情况，允许后一种可能性是必要的，因为每个传染集的大小至少为1）。这是这种形式的最佳可能界，并且改进了Chang和Lyuu以及Gentner和Rautenbach的先前结果。我们还提供了一个更强的边界，周长至少为5和足够小的$ρ$，这是渐近最好的可能的图。
2018-03-31 math.CO math.PR
Bootstrap percolation in three dimensions
通过自举渗透，我们指的是图$G$上的以下确定性过程。给定在时间0处“感染”的顶点的集合$A$，如果新顶点具有至少$r\in\mathbb{N}$先前感染的邻居，则在每个时间步长处，新顶点随后被感染。当随机选择集合$A$时，主要目的是确定可能发生渗流（感染整个图）的临界概率$p_c(G,r)$。这个引导过程在$d$维网格$[n]^d$上已经被广泛地研究过了：在$2\leq r\leq d$固定的情况下，Cerf和Cirillo（对于$d=r=3$）以及Cerf和Manzo（一般情况下）证明了\[p_c([n]^d,r)=Θ\biggl(\frac{1}{\log_{(r-1)}n}\biggr)^{d-r+1},\]，其中$\log_{(r)}$是$r$倍的迭代对数.然而，确切的阈值函数仅在$d=r=2$的情况下是已知的，其中Holroyd将其显示为$(1+o(1))\frac{π^2}{18\log n}$。在本文中，我们将确定在关键情况下的确切阈值$d=r=3$，并为解决所有固定的$d$和$r$的问题奠定了基础。
2009-08-31 math.CO math.PR
Bootstrap percolation on a generalized Hamming cube \MakeUppercase{\romannumeral 2}
University of Maryland, College Park（马里兰大学帕克分校）
本文扩展Balogh等人2009年的主定理，得到广义汉明立方体Q_{k,n}上阈值为N/2的自举渗流临界概率的一阶和二阶项。
2026-09-15 math.CO math.PR
Metastability threshold for anisotropic bootstrap percolation in three dimensions
本文分析了几种三维各向异性自举渗流模型。我们提出了一个相当一般的一类模型的亚稳阈值的数量级。在我们的证明中，我们使用了降维技术的适应。我们发现，亚稳阈值的顺序一般是由模型中的“最容易的增长方向”。与二维各向异性自举渗流不同，三维各向异性自举渗流亚稳阈值的量级可以与各向同性自举渗流亚稳阈值的量级相等。
2011-10-04 cond-mat.stat-mech math-ph math.MP
Strong-majority bootstrap percolation on regular graphs with low dissemination threshold
考虑图上的强多数自助渗流模型。设r是某个正整数，p在[0，1]中。最初，每个顶点都以概率p活跃，独立于所有其他顶点。然后，在该过程的每一步，如果至少（deg（v）+r）/2个相邻顶点是活动的，则度为deg（v）的每个顶点v变为活动的。给定任意小的p>0和任意整数r，我们构造了一族d=d（p，r）-正则图，使得所有的顶点都有很高的概率最后成为活跃的.特别是，r=1的情况回答了一个问题，并反驳了Rapaport，Suchan，Todinca和Verstraete的猜想（Rummica，2011）。
2015-03-28 cs.DM math.CO math.PR
Bootstrap percolation on the high-dimensional Hamming graph
本文研究高维Hamming图上的2-邻域随机bootstrap渗流，将超立方体上的相关临界概率渐近结果推广至该图，确定了特定k值范围下临界概率相差至多乘积常数的渐近行为。
2024-06-19 math.CO math.PR
Sharp metastability threshold for an anisotropic bootstrap percolation model
在过去的二十年中，自举渗流模型得到了广泛的研究。在这篇文章中，我们研究了以下的“各向异性”的自举渗流模型：一个点（m，n）的邻域是集合\[\{(m+2,n),(m+1,n),(m,n+1),(m-1,n),(m-2,n),(m,n-1)\}.\]在时间0，网站被占用的概率为p。在每个时间步，被占用的网站仍然被占用，而未被占用的网站成为被占用的当且仅当三个以上的网站在其邻域被占用。我们证明了它具有一个尖锐的亚稳阈值。这是各向异性自举逾渗模型的一个锐阈值的第一个数学证明。
2016-03-30 math-ph math.CO math.MP
An Improved Upper Bound for Bootstrap Percolation in All Dimensions
在图$G$的顶点集上的$r$ -邻居自举渗流中，初始感染顶点的集合$A$通过在每个时间步用至少$r$先前感染的邻居感染所有未感染的顶点来传播。当$A$的元素以某种概率$p$被独立选择时，很自然地要研究临界概率$p_c(G,r)$，在该概率下，所有$V(G)$都可能最终被感染。本文改进了Balogh，Bollobás和Morris的一个结果，给出了当$G = [n]^d$和$d \geq r \geq 2$时临界概率展开式中第二项的界.我们发现，对于所有的$d \geq r \geq 2$存在一个常数$c_{d,r} > 0$，这样，如果$n$是足够大的，那么\[ p_c([n]^d, r) \leq \Biggl(\dfrac{λ(d,r)}{\log_{(r-1)}(n)} - \dfrac{c_{d,r}}{\bigl(\log_{(r-1)}(n)\bigr)^{3/2}}\Biggr)^{d-r+1}, \]其中$λ(d,r)$是一个确切的常数和$\log_{(k)}(n)$表示$k$ -倍迭代自然对数的$n$。
2018-06-22 math.CO math.PR
Bootstrap percolation on Galton-Watson trees
自举逾渗是一种元胞自动机，已被用于模拟各种物理现象，如铁磁性。对于每一个自然数$r$，$r$ -邻居引导过程是一个更新规则的顶点的两个状态之一：“感染”或“健康”。在连续的几轮中，至少有$r$感染邻居的每个健康顶点本身也会被感染。如果每个顶点最终都被感染，则称为发生渗透。通常，被感染顶点的起始集合是随机选择的，所有顶点最初都以概率$p$独立感染。在这种情况下，给定图$G$和感染阈值$r$，感兴趣的量是临界概率$p_c(G,r)$，在该临界概率下渗透变得可能发生。在本文中，我们研究无限树，并回答Balogh、Peres和Pete提出的问题，我们证明对于任何$b \geq r$和任何$ε> 0$，存在一棵树$T$，其分支数为$\br(T) = b$，临界概率为$p_c(T,r) < ε$。然而，如果我们把自己限制在研究得很好的高尔顿-沃森树家族中，这是错误的。本文证明了对每个$r \geq 2$都存在一个常数$c_r>0$，使得如果$T$是一个分支数为$\br(T) = b \geq r$的Galton-Watson树，则p_c（T，r）> \frac{c_r}{b} e^{- \frac{b}{r-1} }.我们还表明，这个界是尖锐的$O(b)$的一个因素，给出一个明确的家庭的高尔顿-沃森树的临界概率从上面有界的$C_r e^{-\frac{b}{r-1}}$为一些常数$C_r>0$…
2013-04-08 math.CO math.PR
Bootstrap percolation, probabilistic cellular automata and sharpness
本文通过建立渗流、自举渗流与概率及确定性元胞自动机之间的新联系，证明了吸引吸收型概率元胞自动机等模型相变的锐利性，并恢复和推广了 Toom 关于噪声稳定性的经典结果。
2022-03-26 cond-mat.stat-mech math.PR nlin.CG
Finite-size effects for anisotropic bootstrap percolation: logarithmic corrections
本文分析了Gravner和Griffeath提出的各向异性二维自举渗流模型。我们提出了有限尺寸效应的上界和下界。我们讨论的相似之处，半定向模型介绍了杜阿尔特。
2007-02-06 cond-mat.stat-mech math-ph math.MP
Graph bootstrap percolation -- a discovery of slowness
Universitat Politècnica de Catalunya (UPC)（加泰罗尼亚理工大学）；Freie Universität Berlin（柏林自由大学）
本文探讨图bootstrap渗透过程的最长持续时间问题，分析了感染规则H的影响，揭示了其在加法、极值和概率组合学中的广泛联系。
2026-03-16 math.CO math.PR
Sharp Fuss-Catalan thresholds in graph bootstrap percolation
本文研究了图bootstrap渗透中的精确Fuss-Catalan阈值，通过分析K_r-树见证图确定了r≥5时的临界阈值及边密度变化规律。
2025-12-10 math.CO math.PR
Scaling and Inverse Scaling in Anisotropic Bootstrap percolation
在自举逾渗中，已知临界逾渗阈值倾向于随着系统尺寸的增加而缓慢地收敛到零，或者相反地，临界尺寸在逾渗概率趋于零时快速发散。一般来说，要获得渗透阈值的高阶项（即，越来越尖锐的阈值）是一个困难的问题。在二维各向异性模型的情况下，有时可以通过相对简单的方式从反演中获得校正项。
2015-02-03 cond-mat.stat-mech math-ph math.MP
Bootstrap percolation on the random graph $G_{n,p}$
随机图$G_{n,p}$上的自举渗透是一个在具有给定数量的初始活动节点的图的给定实现上传播“激活”的过程。在每个步骤中，那些没有被激活但至少具有$r\geq2$激活邻居的顶点也变为激活的。我们研究了最终活动集的大小$A^*$。该模型的参数除了$r$（固定）和$n$（趋向于$\infty$）之外，还有初始活动集的大小$a=a(n)$和图中边的概率$p=p(n)$。我们发现，该模型表现出尖锐的相变：根据模型的参数，具有高概率的激活的最终大小是$n-o(n)$或它是$o(n)$。我们提供了一个完整的描述模型的参数空间上的相图。特别是，我们发现的相变和计算渐近（概率）为$A^*$，我们还证明了中心极限定理$A^*$在某些范围内。此外，我们提供了渐进的步骤，直到该过程停止的数量。
2012-10-19 math.CO math.PR
Behavioral Intervention and Non-Uniform Bootstrap Percolation
Bootstrap渗流是一种常用的模型，用于研究疾病，谣言和稀疏随机图上的信息的传播。逾渗过程显示出临界值，使得基于初始种子大于或小于该临界值，该图几乎完全受影响或几乎完全不受影响。为了分析干预策略，我们提供了第一个分析确定的临界值的基本引导渗流在随机图的顶点阈值是不均匀的，并提供了一个有效的算法。这一结果也有助于解决当感染过程不确定时的“硬币翻转渗流”问题，这一直是对模型的批评。我们还将结果扩展到聚类随机图，从而扩展了所考虑的图类。在这些图中，顶点被分组在少量的簇中，簇模拟固定的通信网络，并且如果顶点在近簇或远簇中，则边概率是依赖的。我们提出了模拟基本渗流和干预，支持我们的理论结果。
2015-12-02 cs.SI math.PR
Polluted Bootstrap Percolation in Three Dimensions
在污染的自举逾渗模型中，立方晶格$\mathbb{Z}^3$的顶点被独立地声明为最初以概率$p$被占据或以概率$q$被关闭。在标准（相应地，修改的）引导规则下，如果顶点不是闭合的并且它至少具有$3$被占用的邻居（相应地，每个坐标中的被占用的邻居），则顶点在后续步骤中被占用。我们研究了最终的密度为$p,q\to 0$的占用顶点。我们表明，如果$q \ll p^3(\log p^{-1})^{-3}$的标准和修改后的规则，这个密度收敛到$1$。我们的主要结果是修改后的模型的一个互补的约束与匹配的权力：存在$C$，使最终的密度收敛到$0$，如果$q > Cp^3$。对于标准模型，我们在更强的条件$q>Cp^2$下建立收敛到$0$。
2017-06-22 math.PR
Anisotropic bootstrap percolation in three dimensions
考虑离散立方体$[L]^3$中初始感染顶点的随机子集$p$-$A$，并假设每个顶点的邻域由每个$i \in \{1,2,3\}$的$\pm e_i$ -方向上的$a_i$最近邻居组成，其中$a_1\le a_2\le a_3$。假设我们感染任何健康的顶点$x\in [L]^3$，该顶点已经有$a_3+1$感染的邻居，并且感染的站点永远保持感染状态。在本文中，我们确定的临界长度为一个常数因子的指数，所有的三元组$(a_1,a_2,a_3)$的渗流。要做到这一点，我们引入了一个新的算法，称为梁过程，并证明了一个家庭的亚临界二维自助过程的指数衰减属性。
2019-08-30 math.PR
Two Phase Transitions in Two-way Bootstrap Percolation
考虑图$G$和初始随机配置，其中每个节点独立地以概率$p$为黑色，否则为白色。在离散时间轮中，如果每个节点至少有$r$黑色邻居，则每个节点变为黑色，否则为白色。我们证明了这个基本过程具有两个相变的阈值行为时，底层图形是一个$d$维环面，并确定门限值。
2019-04-23 cs.DM math.PR
Sensitive bootstrap percolation second term
本文研究二维修正型两邻点自助渗流模型，证明其感染时间渐近展开第二项含对数因子，标度行为异于经典两邻点模型，给出了$p$趋于0时感染时间的高概率上界。
2023-06-19 math.PR
The critical activation density in graph bootstrap percolation
University of Warwick（华威大学）；LMU Munich（慕尼黑大学）；University of Canterbury（坎特伯雷大学）；University of Nebraska–Lincoln（内布拉斯加大学林肯分校）；Toronto Metropolitan University（多伦多都会大学）；University of Sheffield（谢菲尔德大学）
研究确定了图自启动渗流中临界阈值p_c(n,H)，并探讨了图H的临界密度ρ(H)对激活效率的影响，改进了多项已有结果。
2026-08-11 math.CO math.PR
Bootstrap Percolation on Random Geometric Graphs
自举渗滤已经被有效地用于模拟各种现象，如材料中磁性的出现，感染的传播，计算机网络中软件病毒的扩散，新技术的采用，以及人类社会中集体行动和文化时尚的出现。它是定义在一个（任意）网络的互动代理，其状态是由他们的邻居的状态根据阈值规则。在典型的设置中，自举渗透开始于具有固定概率$p$的节点的随机且独立的“激活”，随后是基于每个邻域中的活动节点（$θ$激活的节点）的密度的用于附加激活的确定性过程。在这里，我们研究引导渗流随机几何图形的政权时，后者（几乎肯定）连接。随机几何图提供了一个适当的模型，在设置中，每个节点的邻域结构是由地理距离，如在无线{ \it ad hoc}和传感器网络，以及在传染。我们推导出的临界阈值$p_c', p_c"$的界限，使所有$p > p"_c(θ)$充分渗透发生，而$p < p'_c(θ)$，它没有。我们得出结论，比较数值阈值与分析得到的模拟。
2012-06-14 cs.DM math.PR
Locality approach to the bootstrap percolation paradox
本文通过局部方法解决Bootstrap渗透模型中的悖论，实现了数值与理论结果在第三阶展开的一致性，并提出新的预测。
2024-10-02 cond-mat.stat-mech math.PR
Bootstrap percolation in high dimensions
在图G上的r-邻居自举渗流中，随机地独立地选择一组初始感染的顶点A \subset V（G），密度为p，并且如果新的顶点具有至少r个感染的邻居，则它们随后被感染。如果最终所有顶点都被感染，则称集合A是渗滤的。我们的目标是理解网格上的这个过程，[n]^d，对于任意函数n = n（t），d = d（t）和r = r（t），因为t ->无穷大。主要问题是确定临界概率p_c（[n]^d，r），在该概率下，渗流变得可能，并给出临界窗口大小的界限。本文研究了当r = 2时，对所有满足d \gg log n的函数n和d，这个问题.当d为固定常数且2 \leq r \leq d时，在[n]^d上的自举过程已被广泛研究，在这些情况下，p_c（[n]^d，r）最近已被确定为1 + o（1）的因子，因为n ->无穷大。在尺度的另一端，Balogh和Bollobas确定了p_c（[2]^d，2）直到一个常数因子，而Balogh、Bollobas和Morris确定了p_c（[n]^d，d）的渐近性，如果d >（log log n）^{2+ \eps }，并且给出了超立方体的更清晰的边界。本文证明了如下结果：设λ是方程\sum_{k=0}^\ infty（-1）^k λ^k /（2^{k^2-k} k！）= 0，因此λ \approx为1.166。然后（16λ/ d^2）（1 +（log d / \sqrt{…
2010-07-14 math.CO math.PR
