Dominating Induced Matchings for $P_8$-free Graphs in Polynomial Time
设$G=(V,E)$是一个有限无向图。边集$E' \subseteq E$是支配诱导匹配（d.i.m.）如果$E$中的每条边都恰好被$E'$的一条边所包围，则在$G$中。支配诱导匹配（DIM）问题要求存在D.I.M.。在$G$中，这个问题也被称为有效边支配问题。DIM问题涉及到并行资源分配问题、编码理论和网络路由。即使对于非常有限的图类（例如最大度为三的平面二分图），它也是NP完全的，并且对于无$P_7$的图，它在线性时间内是可解的。然而，它的复杂性对于任何$k \ge 8$的无$P_k$图是开放的; $P_k$表示具有$k$顶点和$k-1$边的无弦路径.本文证明了无$P_8$图的加权DIM问题在多项式时间内是可解的。
2016-05-13 cs.DM
Maximum matchings and minimum dominating sets in Apollonian networks and extended Tower of Hanoi graphs
阿波罗网络显示出显着的幂律和小世界性质，在大多数现实的网络系统中观察到的。它们的对偶图是推广的Tower of Hanoi图，它是由Tower of Hanoi图通过添加一个特殊的顶点连接到它的所有三个极端顶点而得到的。本文研究了Apollonian网络及其对偶图中的最大匹配和最小控制集，这两个问题在复杂网络的结构可控性等领域有着广泛的应用。对于这两个网络，我们确定它们的匹配数，控制数，最大匹配数，以及最小控制集的数量。
2017-09-13 cs.DM math.CO
Some Algorithmic Results on Restrained Domination in Graphs
图$G=(V,E)$的一个集合$D\subseteq V$称为$G$的一个约束控制集，如果每个不在$D$中的顶点都与$D$中的一个顶点相邻，并且与$V \setminus D$中的一个顶点相邻. \textsc{Minimum Restrained Domination}问题是寻找一个具有最小基数的约束控制集。给定一个图$G$和一个正整数$k$，\textsc{Restrained Domination Decision}问题是判定$G$是否有一个基数最大为$k$的约束控制集. \textsc{Restrained Domination Decision}问题是弦图的NP完全问题。在本文中，我们加强了这个NP-完全性的结果表明，\textsc{Restrained Domination Decision}问题仍然是NP-完全的双弦图，弦图的一个子类。我们还提出了一个多项式时间算法来解决块图，双弦图的子类中的\textsc{Minimum Restrained Domination}问题。\textsc{Restrained Domination Decision}问题也被认为是分裂图的NP完全问题。我们提出了一个多项式时间算法来计算分裂图的一个子类阈值图的最小约束控制集。此外，我们还提出了多项式时间算法来解决\textsc{Minimum Restrained Domination…
2016-06-07 cs.DM
Tropical Dominating Sets in Vertex-Coloured Graphs
给定一个顶点着色图，如果图的每一种颜色在一个支配集中至少出现一次，则称该配集是热带的。在这里，我们研究最小热带控制集的结构和算法的观点。首先，我们证明了热带支配集问题即使在简单路的情况下也是NP-完全的，然后，我们建立了与图的各种参数如最小度和边数有关的上界.我们还给出了随机图的上界。最后，我们给出了一般图类和限制图类的可逼近性和不可逼近性结果，并建立了区间图的FPT算法。
2016-01-18 cs.DM
The Minimum-Weight Mixed Dominating Set on Threshold Graphs
LAMSADE, CNRS UMR 7243, Université Paris Dauphine–PSL（拉姆萨德实验室，法国国家科学研究中心联合研究单位第7243号，巴黎第九大学-巴黎文理研究大学）；Institut Polytechnique de Paris（巴黎理工学院）
本文针对阈值图的最小权混合支配集问题，通过权重简化、归约为最小权边覆盖，提出O(n⁵)时间算法，解决了该问题的高效求解需求。
2026-09-03 cs.DM cs.DS
Complexity and Algorithms for Semipaired Domination in Graphs
对于一个没有孤立点的图$G=(V,E)$，如果$(i)$ $D$是图$G$的一个控制集，并且$(ii)$ $D$可以被划分为两个元素子集，使得每两个元素集中的顶点之间的距离至多为2，则称一个集合$D\subseteq V$为G的半配对控制集. $G$的半成对控制集的最小基数称为$G$的半成对控制数，记为$γ_{pr2}(G)$。\textsc{Minimum Semipaired Domination}问题是寻找基数为$γ_{pr2}(G)$的$G$的半成对控制集。在本文中，我们开始了\textsc{Minimum Semipaired Domination}问题的算法研究。我们表明，决策版本的\textsc{Minimum Semipaired Domination}问题是NP-完全的二分图和分裂图。在积极的一面，我们提出了一个线性时间算法来计算区间图和树的最小基数半配对控制集。我们还提出了一个$1+\ln(2Δ+2)$ -近似算法的\textsc{Minimum Semipaired Domination}问题，其中$Δ$表示的最大程度的图，并表明，\textsc{Minimum Semipaired Domination}问题不能近似在$(1-ε) \ln|V|$的任何$ε> 0$，除非NP $\subseteq$ DTIME $(|V|^{O(\log\log|V|)})$…
2019-04-01 cs.DM
An $O^*(1.1939^n)$ time algorithm for minimum weighted dominating induced matching
假设图$G$的一条边支配它自己和与它相邻的所有边，图$G=(V,E)$的一个边支配集是支配$G$的所有边的边的子集$E' \subseteq E$。特别地，如果$G$的每条边恰好被$E'$的一条边支配，则$E'$是支配诱导匹配。已知不是每个图都允许支配诱导匹配，而判定它是否允许支配诱导匹配的问题是NP-完全的。本文研究了带权边图的最小权控制诱导匹配的求法和控制诱导匹配的计数问题。我们描述了一个精确的算法，运行在$O^*(1.1939^n)$时间和多项式（线性）空间的一般图形。这改进了任何现有的精确算法的问题考虑。
2013-03-06 cs.DM cs.DS
Simultaneously Dominating all Spanning Trees of a Graph
研究了同时支配给定图的所有生成树的问题。我们证明了在2-连通图上，一个顶点子集支配图的所有生成树当且仅当它是一个顶点覆盖。利用这一事实，我们提出了一个精确的算法，找到一个同时控制集的最小尺寸使用的甲骨文找到一个最小的顶点覆盖。该算法可以在多项式时间内运行在几个图形类，如二分图或弦图。我们证明了，没有多项式时间算法，找到一个完美的图上的最小同时控制集，除非P=NP。最后，我们给出了一个求最小同时控制集的2-近似算法。
2020-12-16 cs.DM math.CO
On Redundant Locating-Dominating Sets
图G中的定位支配集是表示“检测器”的顶点的子集，其可以定位“入侵者”，假定每个检测器覆盖其封闭邻域并且可以将其自身的位置与其邻居区分开。我们探索了一个容错的变种定位支配集称为冗余定位支配集，它可以容忍一个检测器故障（离线或被删除）。特别地，我们刻画了冗余定位控制集，证明了确定冗余定位控制集的最小基数问题是NP-完全的。我们还确定了紧界的最小密度的冗余定位控制集在几类图，包括道路，循环，梯子，k-叉树，和无限的六边形和三角形网格。我们发现严格的下限和上界的大小最小冗余定位支配集的顺序$n$的所有树木，并描述了家庭的树木，实现这两个极值，随着多项式时间算法分类树最小极值或没有。
2022-09-09 cs.DM math.CO
New Results on Vertices that Belong to Every Minimum Locating-Dominating Code
University of Turku（图尔库大学）
本文研究了图中所有最小定位支配码必含的顶点，证明其数量上限及比值，并展示该比值可达2/5，同时确定路径图中不同最小定位支配码的数量。
2026-04-27 cs.DM math.CO
Learning-Based Heuristic for Combinatorial Optimization of the Minimum Dominating Set Problem using Graph Convolutional Networks
Vanderbilt University（范德堡大学）；Information Technology University（信息技术大学）
针对 NP-hard 的最小支配集问题，提出用图卷积网络学习启发式选择策略，并结合迭代贪心算法，在随机图和真实图上优于经典贪心近似并具备跨数据集与规模泛化能力。
2023-06-06 cs.DM cs.LG
Counting Dominating Sets in Directed Path Graphs
一个图的支配集是一个顶点的集合，使得每个不在这个集合中的顶点至少有一个邻居在这个集合中。弦图的控制集计数问题是P-完全的，而其子类区间图的控制集计数问题是多项式时间可解的。有向路径图是一类介于弦图和区间图之间的著名图，其相应问题的复杂性状态仍未确定。本文揭示了有向路图的控制集计数问题仍然是P-完全的，但根有向路图的严格约束允许多项式时间的解决方案。
2022-07-01 cs.DM
A Polynomial Delay Algorithm for Enumerating Minimal Dominating Sets in Chordal Graphs
图的最小控制集列表的输出多项式算法是一个具有挑战性的开放问题，并且已知等价于著名的Transmittance问题，该问题要求输出多项式算法来列出超图的最小碰集。我们给出了一个多项式延迟算法列出弦图，一个重要的和研究得很好的一类图，这样的算法是开放的一段时间的最小控制集的集合。
2014-07-08 cs.DM cs.DS
Greedy domination on biclique-free graphs
近似控制集的贪心算法是一种简单的方法，已知它可以计算任何具有$n$顶点的图上的最小支配集的$(\ln n+1)$ -近似。我们表明，一个小的修改的贪心算法可以用来计算一个$O(t^2\cdot \ln k)$ -近似，其中$k$是一个最小的支配集的大小，不包括完整的二分图$K_{t,t}$作为一个子图的图形。
2019-01-17 cs.DM
An Efficient Matheuristic for the Minimum-Weight Dominating Set Problem
Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro（里约热内卢天主教大学）
一个图的最小支配集是一个顶点的最小集合，使得图的每个顶点都属于它，或者与这个集合的一个顶点相邻。该数学对象在与社交网络分析、无线网络设计、编码理论和数据采掘等相关的许多应用中具有高度相关性。当顶点权重给定时，最小化支配集的总权重会产生称为最小权重支配集问题的问题变体。为了解决这个问题，我们引入了一个混合数学结合禁忌搜索与整数规划求解器。后者是用来解决子问题，其中只有一小部分的决策变量，选择相对于搜索历史，是免费的，而其他人是固定的。此外，我们引入了自适应惩罚，以促进探索中间不可行的解决方案在搜索过程中，增强算法的扰动和节点消除程序，并利用更丰富的邻域类。大量的实验分析的各种实例类证明了该算法的良好性能，并在搜索成功的每个组件的贡献进行了分析。
2018-08-28 cs.AI cs.DM
A New Approximation Algorithm for Minimum-Weight $(1,m)$--Connected Dominating Set
考虑一个节点权重非负的图。一个顶点子集称为连通支配集（CDS），如果每隔一个节点至少有一个邻居的子集，并导致一个连通子图。此外，如果每隔一个节点在子集中至少具有$m$个邻居，则该节点子集被称为$(1,m)$ CDS。最小权值$(1,m)$ CDS问题的目标是找到一个具有最小总节点权值的$(1,m)$ CDS。本文对这一问题提出了一个新的多项式时间近似算法，其近似比为$2H(δ_{\max}+m-1)$，其中$δ_{\max}$是给定图的最大度，$H(\cdot)$是调和函数，即，$H(k)=\sum_{i=1}^k \frac{1}{i}$。
2023-02-21 cs.DM cs.DS
Efficient Dominating and Edge Dominating Sets for Graphs and Hypergraphs
设G=（V，E）是一个图.一个顶点支配它自己和它的所有邻居，即，V中的每个顶点v支配它的闭邻域N[v]。G中的一个顶点集D是一个有效控制（e. d.）如果对于V中的每个顶点v，D中恰好有一个d控制v，则边集M是有效边控制（e.e.d.）如果它是图G的线图L（G）中的有效支配集，则称它是G的配集. ED问题（EED问题，分别）要求存在一个e.d.设置（e.e.d.）在给定的图形中分别设置）。我们给出了一个统一的框架，调查这些问题的复杂性，各类图。特别是，我们解决了一些公开的问题，并给出了线性时间算法的ED和EED的对偶弦图。我们将这两个问题推广到超图，证明了ED在α-无圈超图上是NP-完全的，在超树上是多项式时间可解的，而EED在α-无圈超图上是多项式的，在超树上是NP-完全的.
2012-07-06 cs.DM
Algorithmic Aspects of Semitotal Domination in Graphs
对于图$G=(V,E)$，如果$D$是$G$的一个控制集，且$D$中的每一个顶点都在$D$的另一个顶点的距离~ $2$之内，则称集合$D \subseteq V$为$G$的一个完全控制集. \textsc{Minimum Semitotal Domination}问题是寻找一个具有最小基数的完全控制集。给定一个图$G$和一个正整数$k$，\textsc{Semitotal Domination Decision}问题是判定$G$在至多$k$处是否有一个基数的完全控制集. \textsc{Semitotal Domination Decision}问题对于一般图来说是NP完全的。在本文中，我们证明了\textsc{Semitotal Domination Decision}问题对于平面图，分裂图和弦二部图仍然是NP-完全的。给出了求解区间图上的\textsc{Minimum Semitotal Domination}问题的多项式时间算法。我们表明，\textsc{Minimum Semitotal Domination}问题在一个图的最大程度~ $Δ$承认一个近似算法，实现了近似比$2+3\ln(Δ+1)$，表明该问题是在类日志APX。我们还表明，\textsc{Minimum Semitotal Domination}问题不能近似$(1 - ε)\ln |V| $内的任何$ε> 0…
2017-11-29 cs.DM
An Explicit Construction of Optimal Dominating Sets in Grid
图$G$中的控制集是顶点$D$的子集，使得$V\setminus D$中的每个顶点都是$D$中某个顶点的邻居。$G$的控制数是$G$的控制集的最小尺寸，用$γ(G)$表示。如果图$G$的每个顶点$v \in V \setminus D$与$D$中的一个或两个顶点相邻，并且$G$的$[ 1 , 2 ] $ -支配集的最小基数记为$γ_{[1,2]}(G)$，则图$G$的子集$D$是$[ 1 , 2 ] $ -集. Chang的猜想说，对于每个$16 \leq m \leq n$，$γ(G_{m,n})= \left \lfloor\frac{(n+2)(m+2)}{5}\right \rfloor-4$，这个猜想已经被Goncalves等人证明.本文给出了一个明确的构造方法，以寻找格图$G_{m,n}$的最优控制集，其中$m,n\geq 16$在$O(\text{size of answer})$中.此外，我们将表明，$γ(G_{m,n})=γ_{[1,2]}(G_{m,n})$，其中$m,n\geq 16$持有在回应Chellali等人提出的一个开放性问题。
2018-03-15 cs.DM
Finding Dominating Induced Matchings in $P_9$-Free Graphs in Polynomial Time
设$G=(V,E)$是一个有限无向图.边子集$E' \subseteq E$是{ \em支配诱导匹配}（{ \em d.i.m.}）在$G$中，如果$E$中的每条边都恰好被$E'$的一条边包围。\emph{Dominating Induced Matching}（\emph{DIM}）问题要求存在d.i.m.\在$G$中。DIM问题是\NP -完全的，即使是非常有限的图形类，如平面二分图与最大程度3，但解决了线性时间为$P_7$ -免费的图形和多项式时间为$P_8$ -免费的图形。在本文中，我们解决了它在多项式时间的$P_9$ -自由图。
2020-04-01 cs.DM math.CO
Convex and isometric domination of (weak) dominating pair graphs
图$G$中的顶点集$D$是控制集，如果$G$的每个不在$D$中的顶点在$D$中都有邻居。$G$中的一组顶点$D$是凸的（分别是等距的），如果$D$中任意两个顶点之间的所有最短路径中的所有顶点（分别是最短路径之一中的所有顶点）位于$D$中。本文从算法的角度考虑了求最小凸控制（等距控制）集的问题。对于弱控制对图类（即~图的控制对是一对顶点$x,y\in V(G)$，使得$x$和$y$之间的任意路径的顶点形成一个控制集），我们提出了一个有效的算法来寻找这样的图的最小等距控制集.另一方面，我们证明了即使限制到弱控制对图也是弦图，判定是否存在以给定的任意正整数为界的凸控制集的问题也是NP-完全的。通过进一步将图类限制为弦控制对图（即~弦图，其中每个连通的诱导子图具有控制对），我们能够找到确定这种图的凸控制集的最小尺寸的多项式时间算法。
2017-04-27 cs.DM math.CO
Linear algorithms on Steiner domination of trees
连通图$G$中的一个顶点集$W$称为Steiner控制集，如果$W$既是Steiner控制集又是Steiner控制集. Steiner控制数$γ_{st}(G)$是$G$的Steiner控制集的最小基数。本文提出了一个求树$T$的最小Steiner控制集的线性算法。
2020-02-28 cs.DM math.CO
Locating-dominating sets and identifying codes in graphs of girth at least 5
定位控制集和识别码是分离系统领域中两个密切相关的概念。粗略地说，它们存在于图的控制集中，使得每个顶点在控制集中由其邻域唯一标识。本文研究了围长至少为5的给定最小度图的最小定位控制集或识别码的大小。我们使用顶点不相交路径的技术来提供这样的集合的最小尺寸的上界，并构造接近满足这些界限的图。
2015-11-24 cs.DM math.CO
Weighted domination models and randomized heuristics
本文研究加权图中的最小权及最小权最小规模支配集问题，通过整数线性规划归约双目标模型，并用概率方法给出上界与随机算法，在两类随机图上验证。
2024-01-22 cs.DM math.CO
Optimized Degree Realization: Minimum Dominating Set & Maximum Matching
本文研究度序列的优化实现问题，针对最小支配集和最大匹配两个开放问题提出多项式时间算法，并给出最小支配集大小的序列简洁刻画。
2025-10-26 cs.DM cs.DS
Generating All Minimal Edge Dominating Sets with Incremental-Polynomial Delay
对于任意m边无向简单图G，给出了一个运行时间为O（m^4 |L| ^2）的生成G的所有极小边控制集的集合L的算法.对于二部图，我们得到了一个更好的结果，我们证明了它们的最小边控制集可以在O（m^4 |L|）的时间内计数。事实上，我们的结果更强;当L是已经生成的最小边控制集的集合时，这两个算法分别以增量多项式延迟O（m^5 |L|）和O（m^4 |L|）生成下一个最小边控制集。我们的算法是量身定制的，并解决了等价的问题，枚举最小（顶点）控制集的线图和线图的二分图，递增多项式延迟，因此在输出多项式时间。图的最小控制集的计数最近被证明是等价于超图的最小断面的计数。超图的最小断面是否能在输出多项式时间内计数是输出敏感计数中一个基本而又具有挑战性的问题，它已经公开了几十年，并引发了该领域的广泛研究。
2012-10-23 cs.DM cs.DS math.CO
New results on variants of covering codes in Sierpinski graphs
本文研究了Sierpinski图的识别码、定位控制码和全控制码。我们计算Sierpinski图中此类代码的最小尺寸。
2012-01-05 cs.DM
Fast algorithms for min independent dominating set
我们首先设计了一个分支算法，该算法在多项式空间和运行时间为O*（2^0.424 n）的情况下计算任意图上的最小独立支配集。这将O*（2^0.441n）结果改进为（S. Gaspers和M. Liedloff，一种寻找图中最小独立支配集的分支-归约算法，Proc. WG'06）。证明了对于任意r>3，在时间O*（2^（nlog_2（r）/r））内，可以计算出最小独立支配集的r-（（r-1）/r）log_2（r）-近似解.
2009-05-13 cs.CC cs.DM cs.DS
Fault-Tolerant Locating-Dominating sets with Error-correction
定位支配集是表示图G中的“检测器”的顶点的子集;每个检测器监视其闭合邻域并且可以将其自身的位置与其邻居区分开，并且给定所有传感器输入，系统可以在图中的任何地方定位“入侵者”。我们探讨了一个容错的变种定位主导集，纠错定位主导（ERR：LD）集，它可以容忍一个不正确的信号从一个单一的检测器。特别地，我们刻画了纠错定位控制集，并得到了它的存在性准则。我们还证明了在任意图中确定ERR：LD集的最小基数的问题是NP-完全的。此外，我们建立了无限网格和三次图中ERR：LD集的最小密度的上下界，并证明了三次图的最小密度的下界是尖锐的。
2022-12-15 cs.DM math.CO
Approximation Algorithm for Minimum Weight Connected $m$-Fold Dominating Set
利用连通支配集（CDS）作为无线网络的虚拟骨干网，可以节省能量和减少干扰。由于节点可能由于意外损坏或能量耗尽而失效，因此期望虚拟骨干网具有一定的容错性。图$G$的$k$ -连通$m$ -折叠支配集（$(k,m)$-CDS）是一个节点集$D$，使得$V\setminus D$中的每个节点在$D$中至少有$m$个邻居，并且由$D$诱导的$G$的子图是$k$ -连通的.使用$(k,m)$ -CDS可以容忍$\min\{k-1,m-1\}$节点的故障。本文研究了最小权$(1,m)$-CDS问题（$(1,m)$-MWCDS），给出了一个$(H(δ+m)+2H(δ-1))$ -近似算法，其中$δ$是图的最大度，$H(\cdot)$是调和数.请注意，$(1,1)$ -MWCDS问题有一个$1.35\ln n$近似算法，其中$n$是图中的节点数。虽然我们在$O(\ln \cdot)$中的常数大于1.35，但$n$被$δ$取代。这样的替换使我们能够获得单位圆盘图上的$(1,m)$-MWCDS问题的$(6.67+\varepsilon)$ -近似.
2017-03-13 cs.DM cs.DS
Finding Dominating Induced Matchings in $S_{1,1,5}$-Free Graphs in Polynomial Time
设$G=(V,E)$是一个有限无向图。边集$E' \subseteq E$是{ \em支配诱导匹配}（{ \em d.i.m.}）在$G$中，如果$E$中的每条边都恰好被$E'$的一条边包围。\emph{Dominating Induced Matching}（\emph{DIM}）问题要求存在d.i.m.\在$G$中;这个问题也被称为\emph{Efficient Edge Domination}问题;它是线图的有效控制问题。DIM问题是\NP -完全的，即使是非常有限的图类，如平面二分图，最大程度为3，但在线性时间内可解的$P_7$ -自由的图，和在多项式时间内为$S_{1,2,4}$ -自由的图，以及为$S_{2,2,2}$ -自由的图和为$S_{2,2,3}$ -自由的图。在本文中，结合两种不同的方法，我们解决了它在多项式时间的$S_{1,1,5}$ -自由图。
2020-03-18 cs.DM math.CO
Edge Domination Number and the Number of Minimum Edge Dominating Sets in Pseudofractal Scale-Free Web and Sierpiński Gasket
最小边支配集（MEDS）问题作为一个基本的研究对象，具有重要的理论和实际意义。然而，确定一般图中MEDS的大小和所有MEDS的数量是NP困难的，因此找到可以精确解决MEDS问题的特殊图是有意义的。本文研究了顶点数和边数相同的伪分形无标度网和Sierpienski垫片上的MEDS问题。对于这两个图，我们得到精确的表达的边控制数，以及递归的解决方案，不同的MEDS的数量。在伪分形无标度网中，边控制数是边数的九分之一，是Sierpienski gasket边控制数的五分之三。此外，在伪分形无标度网络中的所有MED的数量也是小于对应的Sierpienski垫片。我们认为，所研究的两个图之间MED的大小和数量的差异在于无标度拓扑。
2021-06-10 cs.DM math.CO
Domination number and minimum dominating sets in pseudofractal scale-free web and Sierpiński graph
最小支配集（MDS）问题是理论计算机科学的一个基本课题，在传感器网络、蛋白质相互作用网络、结构可控性等领域有着广泛的应用。然而，在一般网络中确定MDS的大小和所有MDS的数量是NP困难的，因此寻找可以解析地解决MDS问题的特定图是有意义的。本文研究了顶点数和边数相同的伪分形无标度网和Sierpienski图上的MDS问题。对于这两个网络，我们明确确定的支配数，以及不同的MDS的数量。我们证明了伪分形无标度网具有唯一的MDS，并且它的控制数只有Sierpienski图的一半，Sierpienski图有许多MDS。我们认为，无标度拓扑是负责的大小和数量的差异之间的MDS研究的两个图，这反过来又表明，幂律度分布起着重要的作用，MDS问题及其应用在无标度网络。
2017-03-27 cs.DM cs.SI
Enumeration With Nice Roman Domination Properties
Universität Trier（特里尔大学）
本文提出了一种基于nice罗马支配性质的算法，用于高效枚举最小罗马支配函数，适用于多种图类型。
2025-11-25 cs.CC cs.DM
On the Enumeration of Minimal Dominating Sets and Related Notions
图中的支配集$D$是其顶点集的子集，使得每个顶点要么在$D$中，要么在$D$中有邻居。在本文中，我们感兴趣的（包含明智的）图中的最小控制集的计数，称为Dom-Enum问题。众所周知，这个问题可以多项式地简化为超图中的Trans-Enum问题，即，在超图中枚举所有最小断面的问题。首先，我们证明了跨枚举问题可以多项式减少到Dom-Enum问题。因此，存在一个输出多项式时间算法的跨枚举问题，当且仅当存在一个Dom-Enum问题。其次，我们研究了一些图类中的Dom-Enum问题。本文给出了分裂图中Dom-Enum问题的一个输出多项式时间算法，并引入图的完备化，得到了分裂图的一个恰当超类$P_6$ -free弦图中Dom-Enum问题的一个输出多项式时间算法.最后，我们研究了图的最小连通控制集和最小全控制集的计数的复杂性。我们证明了存在一个输出多项式时间算法的Dom-Enum问题（或等价的trans-Enum问题）当且仅当存在一个以下枚举问题：最小全控制集，最小全控制集在分裂图，最小连通控制集在分裂图，最小控制集在co-bipartite图。
2014-07-08 cs.DM cs.DS math.CO
Enumerating minimal dominating sets and variants in chordal bipartite graphs
针对弦二部图极小支配集枚举的公开问题，提出多项式延迟与空间的枚举算法，并解决其全支配、连通支配变体的枚举复杂度问题，同时证明相关技术无法直接推广到一般二部图。
2025-08-04 cs.DM cs.DS math.CO
Disjoint Total Dominating Sets in Near-Triangulations
我们证明了每个最小度至少为3的简单平面近三角剖分包含两个不相交的全控制集。这个类包括除三角形以外的所有简单平面三角剖分。这证实了Goddard和Henning的猜想[Throughly dispersed colorings，J.图论，88（2018）174-191]。
2022-05-13 cs.DM math.CO
Semipaired Domination in Some Subclasses of Chordal Graphs
本文研究弦图子类中的半配对支配问题，证明其在分裂图上仍为NP完全，提出块图的线性时间算法，并证明最大度为3的图是APX完全的。
2021-07-03 cs.CC cs.DM
On some optimization problems for star-free graphs
证明了无星图中的最大独立集问题、最小支配集问题和最小独立支配集问题都可由任意的最大独立集逼近到常数因子.
2001-06-25 cs.CC cs.DM
Dominating induced matchings in graphs containing no long claw
一个图$G$中的导出匹配$M$是支配的，如果不是在$M$中的每条边与$M$中的一条边恰好共享一个顶点。支配诱导匹配问题（也称为有效边支配）询问图$G$是否包含支配诱导匹配。这个问题一般是NP-完全的，但对于具有某些特殊性质的图是多项式时间可解的。特别地，对于无爪图，它在多项式时间内是可解的。本文研究了不含长爪的图的诱导子图问题，即不存在由长爪的每条边细分一次而得到的诱导子图。为了解决这类问题，我们把它归结为以下问题：给定一个图$G$和它的顶点的子集，$G$是否包含一个使子集的所有顶点饱和的匹配？我们证明了这个问题可以在多项式时间内得到解答，从而为解决不含长爪的图的主导诱导匹配问题提供了一个多项式时间算法。
2015-05-11 cs.DM cs.DS math.CO
Open-locating-dominating sets with error correction
本文研究了开放定位支配集的容错变体——纠错开放定位支配集，证明了在任意图中寻找其最小集是NP完全问题，刻画了存在准则，并探讨了极图与无限网格中的情况。
2023-07-30 cs.DM math.CO
Independent dominating sets in planar triangulations
本文研究了平面三角剖分中独立支配集大小的最小上界问题，证明了近平面三角剖分的$ε$范围为$2/7 \leq ε\leq 5/12$，并在特定条件下进一步改进了上界。
2023-08-05 cs.DM math.CO
Enumerating minimal dominating sets in $K_t$-free graphs and variants
图的最小控制集能否在输出多项式时间内计数是一个长期存在的问题。在本文中，我们研究这个问题，在图类定义的禁止诱导子图。特别是，我们提供了输出多项式时间算法的$K_t$自由图和变种。这回答了康德等人关于二分图中计数的一个问题。
2020-03-05 cs.DM cs.DS
Neighborhood inclusions for minimal dominating sets enumeration: linear and polynomial delay algorithms in $P_7$-free and $P_8$-free chordal graphs
在[M. M. Kanté，V. Limouzy，A.玛丽和L.诺琳关于极小控制集的计数及相关概念。SIAM Journal on Discrete Mathematics，28（4）：1916-1929，2014]中，作者给出了一种基于邻域包含的$O(n+m)$延迟算法，用于分裂和无$P_6$弦图中最小控制集的枚举。在本文中，我们调查推广这种技术$P_k$ -自由弦图的大整数$k$。特别地，我们在无$P_8$和无$P_7$弦图类中给出了$O(n+m)$和$O(n^3\cdot m)$延迟算法.对于无$P_k$弦图的$k\geq 9$，我们给出了证据，这种技术是低效的算法的关键步骤，即无冗余扩展问题，成为NP-完全。
2019-09-28 cs.DM cs.DS math.CO
The Directed Dominating Set Problem: Generalized Leaf Removal and Belief Propagation
有向图的最小支配集是指顶点的最小集合，使得每个顶点都属于这个集合或者至少有一个父顶点在这个集合中。我们解决了这个困难的组合优化问题近似的广义叶删除的局部算法和信念传播的消息传递算法。这些算法可以为随机有向图和现实世界的有向图实例构造近优控制集甚至精确最小控制集。我们进一步发展了核渗流理论和复制对称的自旋玻璃理论。我们的算法和理论的结果可能会促进支配集的各种网络问题，涉及有向相互作用的应用。
2015-05-13 cond-mat.dis-nn cs.DM cs.DS
New polynomial case for efficient domination in $P_6$-free graphs
在图$G$中，{ \it有效控制集}是顶点的子集$D$，使得$D$是独立集，并且$D$外部的每个顶点在$D$中恰好有一个邻居。{ \textsc{Efficient Dominating Set} }问题（EDS）要求给定图$G$中存在有效控制集.对于无$P_7$的图，EDS是$NP$ -完全的;对于无$P_5$的图，EDS是多项式时间可解的.然而，EDS问题的计算复杂性是未知的$P_6$ -自由图。在本文中，我们证明了EDS问题可以解决的一个子类的$P_6$ -自由图，即（$P_6$，横幅）-自由图的多项式时间。
2014-09-05 cs.DM math.CO
Enumerating minimal dominating sets in the (in)comparability graphs of bounded dimension posets
CNRS, LaBRI, Université de Bordeaux（法国国家科学研究中心，LaBRI，波尔多大学）；LIS, Aix-Marseille Université（LIS，艾克斯-马赛大学）；LIMOS, Université Clermont Auvergne（LIMOS，克莱蒙奥弗涅大学）；Theoretical Computer Science Department, Faculty of Mathematics and Computer Science, Jagiellonian University（雅盖隆大学数学与计算机科学学院理论计算机科学系）
本文提出在有限维偏序的不可比图中，通过flashlight搜索方法实现输出多项式时间算法，并改进翻转方法以减少空间需求，从而提升极小支配集的枚举效率。
2025-11-26 cs.DM cs.DS math.CO
On distance r-dominating and 2r-independent sets in sparse graphs
Dvorak（2013）利用距离为2 r的独立集的最大尺寸和广义着色数给出了距离为r的控制集的最小尺寸的界，从而得到了任意类有界扩张图的参数的常数因子逼近算法。我们使用受Bansal和Umboh（2017）工作启发的基于LP的论点来改进和澄清这种依赖性。
2017-10-27 cs.DM math.CO
Algorithmic Aspects of Secure Connected Domination in Graphs
设$G = (V,E)$是一个简单的无向连通图.一个连通控制集$S \subseteq V$是$G$的一个安全连通控制集，如果对于每个$ u \in V\setminus S$，存在$v\in S$使得$(u,v) \in E$和集合$(S \setminus \{ v \}) \cup \{ u \} $是$G$的一个连通控制集.用$ γ_{sc} (G)$表示$G$的安全连通控制集的最小尺寸，称为$G$的安全连通控制数。给定一个图$ G$和一个正整数$ k,$，安全连通支配（SCDM）问题是检验$ G $是否有一个大小不超过$ k.$的安全连通支配集.本文证明了对于弦图的一个子类--双弦图，SCDM问题是NP-完全的.我们调查这个问题的复杂性，一些子类的二部图，即，星凸二部，梳凸二部，弦二部和链图。最小安全连通支配集（MSCDS）问题是在输入图中寻找一个最小尺寸的安全连通支配集。我们提出了一个$ (Δ(G)+1) $ -近似算法MSCDS，其中$ Δ(G) $是输入图$ G $的最大程度，并证明了MSCDS不能近似$ (1 -ε) ln(| V |)$内的任何$ ε> 0 $，除非$ NP \subseteq DTIME(| V |^{O(log log | V |)})$，即使是二分图。最后，我们证明了MSCDS是APX-完全的$Δ(G)=4$图。
2020-01-30 cs.CC cs.DM
Approximating Minimum Dominating Set on String Graphs
本文给出了\emph{string}图及其子类上的\textsc{Minimum Dominating Set (MDS)}问题的近似算法。\emph{path}是由水平和垂直线段交替组成的简单曲线。\emph{$k$-bend path}是最多由$k + 1$线段组成的路径。\textsc{L} -路径是具有“\textsc{L}”形状的$1$ -弯曲路径. \emph{vertically-stabbed-\textsc{L} graph}是\textsc{L} -路径与公共垂直线相交的交集图。我们给出了一个多项式时间$8$近似算法，用于解决垂直刺\textsc{L}图上的\textsc{MDS}问题，Bandyapadhyay等人（\textsc{MFCS}，2018）证明了其APX硬度。为了证明上述结果，我们需要研究Katz等人提出的\emph{Stabbing segments with rays}（\textsc{SSR}）问题（\textsc{Comput. Geom. 2005}）。在\textsc{SSR}问题中，输入是一组（不相交的）向左射线和一组（不相交的）垂直线段。目标是选择与所有垂直段相交的最小数量的射线。我们给出了一个$O((n+m)\log (n+m))$ -时间$2$ -近似算法的\textsc{SSR}的问题，其中$n$和$m$是在输入的射线和段的…
2018-09-29 cs.CG cs.DM
$m$-Eternal Dominating Set Problem on Subclasses of Chordal Graphs
Department of Mathematics, IIT Delhi（德里理工学院数学系）
研究m-永恒支配集问题在弦图子类中的计算复杂性，揭示不同图类中支配集与永恒支配集的复杂性差异。
2026-02-02 cs.CC cs.DM
Rainbow Connection Number and Connected Dominating Sets
连通图G的彩虹连通数rc（G）是使G的每对顶点至少有一条路连通，且没有两条边的颜色相同所需的最小颜色数.本文证明了对每个最小度至少为2的连通图G，彩虹连通数的上界为γ c（G）+ 2，其中γ c（G）是G的连通控制数.对于许多特殊的图类，直径（G）\leq rc（G）\leq直径（G）+ c，1 \leq c \leq 4形式的界作为这个结果的简单推论。这包括区间图、无AT图、圆弧图、阈值图和链图，所有这些图的最小度至少为2并且是连通的。我们还证明了每一个无桥弦图G都有rc（G）\leq 3.radius（G）.在大多数情况下，我们还证明了边界的紧密性。将这一思想推广到两步控制集上，证明了对任意n阶最小度为δ的连通图，彩虹连通数的上界为3 n/（δ + 1）+ 3.这解决了Schiermeyer（2009）的一个公开问题，改进了Krivelevich和Yuster（2010）以前最著名的20 n/δ的界限。此外，通过Caro et al.（2008）的构建，该界限被认为是紧到加性因子。
2010-10-12 cs.DM math.CO
Enumerating Connected Dominating Sets
在时间上显著小于$2^n$的$n$阶图中，如何枚举出所有包含-最小连通控制集的问题是一个在很多地方都被提出的公开问题.我们肯定地回答这个问题，通过提供一个枚举算法，运行在时间$\mathcal{O}(1.9896^n)$，只使用多项式空间。这个结果的关键是考虑这个计数问题的2-退化图，这被证明是可能的时间$\mathcal{O}(1.9767^n)$。我们还显示了新的下界结果，通过构建一个家庭的图的顺序$n$与$Ω(1.4890^n)$最小连通支配集，而以前的例子实现了$Ω(1.4422^n)$。我们的建设结果在一些特殊的图形类的下界。我们还解决有关输出敏感枚举的基本问题。也就是说，我们给出的原因，我们的算法不能变成一个枚举算法，保证多项式延迟没有太多的努力。更准确地说，我们证明了它是NP-完全决定，给定一个图$G$和顶点集$U$，如果存在一个最小连通支配集$D$与$U\subseteq D$，即使$G$是2-退化。我们的减少还表明，即使是任何次指数延迟是不容易实现枚举最小连通控制集。另一个减少表明，没有FPT算法，可以预期这个扩展问题的最小连通支配集，参数化$|U|$。我们还涉及到我们的枚举问题著名的开放的命中集transmitting问题，这可以在我们的上下文中措辞的问题，枚举所有的最小控制集的图与多项式延迟的多项式延迟枚举算法的最小连通支配集意味着一个肯定的算法解决方案的命中…
2022-04-29 cs.CC cs.DM cs.DS
Local Constant Approximation for Dominating Set on Graphs Excluding Large Minors
针对排除 $K_{2,t}$ minor 的图，提出最小支配集的 $f(t)$ 轮 50-近似确定性分布式算法，并扩展至最小顶点覆盖，利用渐近维数实现与禁子图大小无关的常数近似。
2025-05-13 cs.DC cs.DM
