Decremental Optimization of Dominating Sets Under the Reconfiguration Framework
给定一个支配集，通过初等运算我们能找到小多少的支配集？在这里，我们进行迭代顶点添加和删除，同时保持的属性，该集形成一个支配集的大小有界。这可以被视为支配集重新配置问题的优化变体，其中给出了两个支配集，问题只是是否可以通过基本运算从另一个支配集到达它们。我们表明，这个问题是PSPACE完全的，即使输入图是一个二分图，分裂图，或有界的路宽。在积极的一面，我们给出了线性时间算法的共图，树和区间图。我们还研究了这个问题的参数化复杂性。更准确地说，我们表明，当通过中间支配集大小的上界进行参数化时，该问题是W[2]-困难的。另一方面，我们给出了关于顶点覆盖最小尺寸的固定参数算法，即$d+s$，其中$d$是退化度，$s$是输出解的上界。
2020-05-05 cs.DM
Generating All Minimal Edge Dominating Sets with Incremental-Polynomial Delay
对于任意m边无向简单图G，给出了一个运行时间为O（m^4 |L| ^2）的生成G的所有极小边控制集的集合L的算法.对于二部图，我们得到了一个更好的结果，我们证明了它们的最小边控制集可以在O（m^4 |L|）的时间内计数。事实上，我们的结果更强;当L是已经生成的最小边控制集的集合时，这两个算法分别以增量多项式延迟O（m^5 |L|）和O（m^4 |L|）生成下一个最小边控制集。我们的算法是量身定制的，并解决了等价的问题，枚举最小（顶点）控制集的线图和线图的二分图，递增多项式延迟，因此在输出多项式时间。图的最小控制集的计数最近被证明是等价于超图的最小断面的计数。超图的最小断面是否能在输出多项式时间内计数是输出敏感计数中一个基本而又具有挑战性的问题，它已经公开了几十年，并引发了该领域的广泛研究。
2012-10-23 cs.DM cs.DS math.CO
On the Enumeration of Minimal Dominating Sets and Related Notions
图中的支配集$D$是其顶点集的子集，使得每个顶点要么在$D$中，要么在$D$中有邻居。在本文中，我们感兴趣的（包含明智的）图中的最小控制集的计数，称为Dom-Enum问题。众所周知，这个问题可以多项式地简化为超图中的Trans-Enum问题，即，在超图中枚举所有最小断面的问题。首先，我们证明了跨枚举问题可以多项式减少到Dom-Enum问题。因此，存在一个输出多项式时间算法的跨枚举问题，当且仅当存在一个Dom-Enum问题。其次，我们研究了一些图类中的Dom-Enum问题。本文给出了分裂图中Dom-Enum问题的一个输出多项式时间算法，并引入图的完备化，得到了分裂图的一个恰当超类$P_6$ -free弦图中Dom-Enum问题的一个输出多项式时间算法.最后，我们研究了图的最小连通控制集和最小全控制集的计数的复杂性。我们证明了存在一个输出多项式时间算法的Dom-Enum问题（或等价的trans-Enum问题）当且仅当存在一个以下枚举问题：最小全控制集，最小全控制集在分裂图，最小连通控制集在分裂图，最小控制集在co-bipartite图。
2014-07-08 cs.DM cs.DS math.CO
On Redundant Locating-Dominating Sets
图G中的定位支配集是表示“检测器”的顶点的子集，其可以定位“入侵者”，假定每个检测器覆盖其封闭邻域并且可以将其自身的位置与其邻居区分开。我们探索了一个容错的变种定位支配集称为冗余定位支配集，它可以容忍一个检测器故障（离线或被删除）。特别地，我们刻画了冗余定位控制集，证明了确定冗余定位控制集的最小基数问题是NP-完全的。我们还确定了紧界的最小密度的冗余定位控制集在几类图，包括道路，循环，梯子，k-叉树，和无限的六边形和三角形网格。我们发现严格的下限和上界的大小最小冗余定位支配集的顺序$n$的所有树木，并描述了家庭的树木，实现这两个极值，随着多项式时间算法分类树最小极值或没有。
2022-09-09 cs.DM math.CO
On Error-detecting Open-locating-dominating sets
本文研究错误检测开定位支配集，证明其NP完全性，给出极值图并刻画允许此类集合的三次图。
2023-06-21 cs.DM math.CO
An Explicit Construction of Optimal Dominating Sets in Grid
图$G$中的控制集是顶点$D$的子集，使得$V\setminus D$中的每个顶点都是$D$中某个顶点的邻居。$G$的控制数是$G$的控制集的最小尺寸，用$γ(G)$表示。如果图$G$的每个顶点$v \in V \setminus D$与$D$中的一个或两个顶点相邻，并且$G$的$[ 1 , 2 ] $ -支配集的最小基数记为$γ_{[1,2]}(G)$，则图$G$的子集$D$是$[ 1 , 2 ] $ -集. Chang的猜想说，对于每个$16 \leq m \leq n$，$γ(G_{m,n})= \left \lfloor\frac{(n+2)(m+2)}{5}\right \rfloor-4$，这个猜想已经被Goncalves等人证明.本文给出了一个明确的构造方法，以寻找格图$G_{m,n}$的最优控制集，其中$m,n\geq 16$在$O(\text{size of answer})$中.此外，我们将表明，$γ(G_{m,n})=γ_{[1,2]}(G_{m,n})$，其中$m,n\geq 16$持有在回应Chellali等人提出的一个开放性问题。
2018-03-15 cs.DM
Disjoint Total Dominating Sets in Near-Triangulations
我们证明了每个最小度至少为3的简单平面近三角剖分包含两个不相交的全控制集。这个类包括除三角形以外的所有简单平面三角剖分。这证实了Goddard和Henning的猜想[Throughly dispersed colorings，J.图论，88（2018）174-191]。
2022-05-13 cs.DM math.CO
Fault-Tolerant Locating-Dominating sets with Error-correction
定位支配集是表示图G中的“检测器”的顶点的子集;每个检测器监视其闭合邻域并且可以将其自身的位置与其邻居区分开，并且给定所有传感器输入，系统可以在图中的任何地方定位“入侵者”。我们探讨了一个容错的变种定位主导集，纠错定位主导（ERR：LD）集，它可以容忍一个不正确的信号从一个单一的检测器。特别地，我们刻画了纠错定位控制集，并得到了它的存在性准则。我们还证明了在任意图中确定ERR：LD集的最小基数的问题是NP-完全的。此外，我们建立了无限网格和三次图中ERR：LD集的最小密度的上下界，并证明了三次图的最小密度的下界是尖锐的。
2022-12-15 cs.DM math.CO
Locating-dominating sets and identifying codes in graphs of girth at least 5
定位控制集和识别码是分离系统领域中两个密切相关的概念。粗略地说，它们存在于图的控制集中，使得每个顶点在控制集中由其邻域唯一标识。本文研究了围长至少为5的给定最小度图的最小定位控制集或识别码的大小。我们使用顶点不相交路径的技术来提供这样的集合的最小尺寸的上界，并构造接近满足这些界限的图。
2015-11-24 cs.DM math.CO
On the vertices belonging to all, some, none minimum dominating set
我们刻画了顶点属于所有最小控制集，属于某些最小控制集但不是全部，以及不属于最小控制集。我们完善这个特性的一些研究的子类图：弦，无爪，三角形自由。我们还展示了一些图回答一些开放的问题的文献上的最小控制集。
2019-09-06 cs.DM math.CO
Deterministic enumeration of all minimum cut-sets and $k$-cut-sets in hypergraphs for fixed $k$
考虑了给定超图中任意固定$k$的最小$k$-割集的确定性计数问题。这里的输入是具有非负超边成本的超图$G = (V, E)$。超边的子集$F$是$k$-割集，如果$G - F$中连通分支的个数至少为$k$，如果它在所有$k$-割集中具有最小代价，则它是最小$k$-割集.对于固定的$k$，我们把寻找最小$k$-割集的问题称为Hypergraph-$k$-Cut，把枚举所有最小$k$-割集的问题称为Enum-Hypergraph-$k$-Cut。Hypergraph-$k$-Cut和Enum-Hypergraph-$k$-Cut限制于图输入的特殊情况是众所周知的，可以在（随机的和确定的）多项式时间内求解。相比之下，Hypergraph-$k$-Cut的多项式时间算法只是最近才被开发出来。Hypergraph-$k$-Cut的随机多项式时间算法于2018年设计（Xu和Yu，SODA 2018）表明超图中最小$k$-割集的数量是$O(n^{2k-2})$，其中$n$是输入超图中的顶点数量，并且它们都可以在随机多项式时间内枚举，从而在随机多项式时间内求解Enum-Hypergraph-$k$-Cut。Hypergraph-$k$-Cut的确定性多项式时间算法随后在2020年被设计出来（Anatrasekaran和Chekuri，FOCS 2020），但不能保证枚举所有最小$k$-割集。在这项…
2021-10-29 cs.DM cs.DS
Eternal dominating sets on digraphs and orientations of graphs
研究了有向图的永恒控制数和m-永恒控制数。我们将已知的图的结果推广到有向图。我们还考虑了问题“定向（m-）永恒的统治”，包括在寻找一个方向的图，最大限度地减少其永恒的支配数。我们证明了计算定向永远控制数是NP-困难的，并刻画了定向m-永远控制数为2的图。我们还研究了树、圈、完全图、完全二部图、平凡完美图以及各种格和积图上的这两个参数。
2018-05-24 cs.DM math.CO
Linear transformations between dominating sets in the TAR-model
给定图$G$和整数$k$，大小至多为$k$的两个控制集$D_{\sf s}$和$D_{\sf t}$之间的令牌添加和移除（简称{ \sf TAR}）重构序列是$G$的控制集的序列$S= \langle D_0 = D_{\sf s}, D_1 \ldots, D_\ell = D_{\sf t} \rangle$，使得任何两个连续的控制集相差一个顶点的添加或删除，并且没有控制集的大小大于$k$。我们首先改进了Haas和Seyffarth的一个结果，证明了如果$k=Γ(G)+α(G)-1$（其中$Γ(G)$是最小控制集的最大尺寸，$α(G)$是独立集的最大尺寸），则在任意一对控制集之间存在线性{ \sf TAR}重构序列.然后，我们改进了这些结果的几个图形类显示，同样适用于$K_{\ell}$ -小自由图只要$k \ge Γ(G)+O(\ell \sqrt{\log \ell})$和平面图每当$k \ge Γ(G)+3$。最后，证明了如果$k=Γ(G)+tw(G)+1$，则任意一对控制集之间也存在线性变换.
2020-06-30 cs.DM cs.DS
On Minimum Dominating Sets in cubic and (claw,H)-free graphs
给定一个图$G=(V,E)$，如果每个$v\in V\setminus S$都与$S$的一个元素相邻，则$S\subseteq V$是一个控制集。最小控制集问题要求一个具有最小基数的控制集。众所周知，即使当$G$是无爪图时，它的决策版本也是$NP$ -完全的.当$H$至多有6个顶点时，我们给出了一类无$(claw, H)$图的最小控制集问题的复杂性二分法.在一个中间步骤中，我们证明了最小支配集问题是$NP$ -完全的三次图。
2020-02-27 cs.DM math.CO
Constructing Dominating Sets in Circulant Graphs
给出了循环图中关于$n$注记和$k$不同弦长的一个合理小的控制集的有效构造.这个结果是基于一些双指数和的界。.
2016-03-02 cs.DM math.CO math.NT
Characterizations of minimal dominating sets and the well-dominated property in lexicographic product graphs
本文通过引入不可约支配集概念，刻画了字典序乘积图的最小支配集，并给出良支配图的特征刻画，包括支配数为2时的多项式可检验条件，以及支配数有界图类中的多项式时间识别算法。
2017-08-18 cs.DM math.CO
Maximum matchings and minimum dominating sets in Apollonian networks and extended Tower of Hanoi graphs
阿波罗网络显示出显着的幂律和小世界性质，在大多数现实的网络系统中观察到的。它们的对偶图是推广的Tower of Hanoi图，它是由Tower of Hanoi图通过添加一个特殊的顶点连接到它的所有三个极端顶点而得到的。本文研究了Apollonian网络及其对偶图中的最大匹配和最小控制集，这两个问题在复杂网络的结构可控性等领域有着广泛的应用。对于这两个网络，我们确定它们的匹配数，控制数，最大匹配数，以及最小控制集的数量。
2017-09-13 cs.DM math.CO
On distance r-dominating and 2r-independent sets in sparse graphs
Dvorak（2013）利用距离为2 r的独立集的最大尺寸和广义着色数给出了距离为r的控制集的最小尺寸的界，从而得到了任意类有界扩张图的参数的常数因子逼近算法。我们使用受Bansal和Umboh（2017）工作启发的基于LP的论点来改进和澄清这种依赖性。
2017-10-27 cs.DM math.CO
Asymptotic growth rate of square grids dominating sets: a symbolic dynamics approach
在本文中，我们证明了有限矩形网格上的控制集（和变量）的数量的渐近增长率的存在性，当网格的维数增长到无穷大。此外，我们提供，为每个变种，一个算法，计算的增长率。我们还给出了这些速度的界限由计算机程序。
2019-08-12 cs.DM math.CO
Dominating sets reconfiguration under token sliding
设$G$是一个图，$D_s$和$D_t$是大小为$k$的$G$的两个控制集.是否存在$G$的控制集序列$\langle D_0 = D_s, D_1, \ldots, D_{\ell-1}, D_\ell = D_t \rangle$使得$D_{i+1}$可以从$D_i$通过用它的一个邻居替换一个顶点而得到？在本文中，我们研究了这个决策问题的复杂性。我们首先证明，这个问题是PSPACE-完全的，即使限制分裂，二分或有界树宽图。另一方面，我们证明了它可以解决在多项式时间的对偶弦图（一个超类的树和区间图）或余图。
2021-05-20 cs.CC cs.DM
Open-locating-dominating sets with error correction
本文研究了开放定位支配集的容错变体——纠错开放定位支配集，证明了在任意图中寻找其最小集是NP完全问题，刻画了存在准则，并探讨了极图与无限网格中的情况。
2023-07-30 cs.DM math.CO
Asymptotically Enumerating Independent Sets in Regular $k$-Partite $k$-Uniform Hypergraphs
本文将聚合物模型与团簇展开截断方法应用于满足自然扩展性质的正则 $k$-部 $k$-一致超图，渐近确定了其独立集数量，并给出了仅依赖局部结构的高效计算公式及线性超图的闭式表达式。
2024-12-19 cs.DM math.CO
A Tight Upper Bound on the Average Order of Dominating Sets of a Graph
本文研究了图的控制集的平均阶，即图的控制集的平均阶$\operatorname{avd}(G)$ .像其他平均图参数一样，极值图也是有趣的。Beaton和Brown（2021）证明了对于所有不含孤立点的$n$阶的图$G$，有$\operatorname{avd}(G) \leq 2n/3$ .最近，Erey（2021）证明了无孤立点森林的猜想。本文证明了猜想，并对具有$\operatorname{avd}(G) = 2n/3$的图进行了分类.我们还使用我们的边界来证明Vizing猜想的平均版本。
2022-11-14 cs.DM math.CO
Enumerating minimal dominating sets in $K_t$-free graphs and variants
图的最小控制集能否在输出多项式时间内计数是一个长期存在的问题。在本文中，我们研究这个问题，在图类定义的禁止诱导子图。特别是，我们提供了输出多项式时间算法的$K_t$自由图和变种。这回答了康德等人关于二分图中计数的一个问题。
2020-03-05 cs.DM cs.DS
On the maximum number of minimal connected dominating sets in convex bipartite graphs
众所周知，一般图的最小连通控制集的计数是非常困难的。目前，只知道集合的枚举速度比$\mathcal{O}^{*}(2^n)$稍快，并且算法非常重要。此外，在构造枚举算法时，似乎很难使用二分性作为结构辅助。因此，据我们所知，没有已知的输入敏感算法枚举最小支配集，或其相关的集合之一，在二分图比一般的图。本文给出了二部图的一些非平凡子类，即凸图的第一个输入敏感计数算法。给出了一个计算凸二部图在时间上的所有最小连通控制集的算法$\mathcal{O}(1.7254^{n})$，其中$n$是输入图的顶点数.我们的算法意味着一个相应的上界的最小连通支配集的数量为这个图类。我们通过提供一个凸二部图来补充这个结果，这个凸二部图至少有$3^{(n-2)/3}$最小连通控制集。
2019-08-06 cs.DM cs.DS math.CO
Independent Dominating Sets in Directed Graphs
本文研究了最近由Cary，Cary和Prabhu提出的有向图的独立控制问题。我们提供了一个简短的算法证明，所有有向无圈图包含一个独立的控制集。利用线性代数工具，证明了任意偶数周期的强连通图至少有两个独立的控制集，推广了Cary，Cary和Prabhu的一些结果.通过构造几个无限图族的例子，证明了确定图的周期不足以确定独立控制集的存在性。通过给出两个无限图族，证明了Vizing猜想的直接类比对有向图的独立控制数不成立。首次研究了有向图的独立控制的时间复杂性，证明了有向无圈图和偶周期强连通图的独立控制集的存在性属于时间复杂性类$P$ .对于周期大于$1$的有向图，我们还给出了一个判定独立控制集存在性的算法。
2019-10-12 cs.DM math.CO
Characterizing and decomposing classes of threshold, split, and bipartite graphs via 1-Sperner hypergraphs
一个超图称为$1$ -Sperner，如果对每两个超边，它们的两个集合差中最小的是1.给出了$1$ -Sperner超图及其结构在图中的几个应用.特别是，我们认为阈值和domishold图的经典特征，并使用它们来获得进一步的特征，这些类的$1$ -Spernernerness，阈值，和$2$ -求和的顶点覆盖，团，支配集，闭邻域超图。此外，我们应用$1$ -Sperner超图的分解性质，得到了两类分裂图、一类二部图和一类余二部图的分解定理。这些分解定理是基于某些矩阵分区的相应的图形，从而产生新的类的图形有界的连续宽度和新的多项式可解的情况下，几个控制问题。
2018-05-29 cs.DM cs.DS math.CO
On the dualization in distributive lattices and related problems
本文研究了分配格上的对偶问题，这是超图对偶问题的推广。我们特别提出了等价的配方的问题，在图，超图和偏序集。超图对偶化是指生成超图的所有最小横截或图的所有最小控制集。在这个新的框架中，顶点上的偏序集与输入（超）图一起给出，并生成最小的“理想解”。这特别使我们能够研究的复杂性下的各种组合的限制图类和偏序集类型，包括二分，分裂，和co-bipartite图，和变体的邻域包含偏序集。例如，我们表明，虽然枚举的最小控制集是可能的线性延迟分裂图，问题，在同一类，得到一般图时，推广到这个框架。更令人惊讶的是，即使偏序集只比较图中包含的邻域的顶点，这个结果也成立。如果偏序集和图类都有足够的限制，我们表明，依赖于现有的算法从文献中的对偶是易处理的。
2020-05-25 cs.DM cs.DS math.CO
Enumerating minimal dominating sets and variants in chordal bipartite graphs
针对弦二部图极小支配集枚举的公开问题，提出多项式延迟与空间的枚举算法，并解决其全支配、连通支配变体的枚举复杂度问题，同时证明相关技术无法直接推广到一般二部图。
2025-08-04 cs.DM cs.DS math.CO
TS-Reconfiguration of Dominating Sets in circle and circular-arc graphs
研究了基于令牌滑动规则的控制集重构问题。它包括给定图G=（V，E）和G的两个控制集D_s和D_t，判定是否存在序列S=<D_1：=D_s，.，D_l：=D_t>，使得对于任意两个相邻的控制集D_r和D_{r+1}，当r<t时，D_{r+1} =（D_r\ u）U v，其中uv是G的一条边.在最近的一篇论文中，Bonamy等人研究了这个问题，并提出了以下问题：圆弧图上这个问题的复杂性是什么？在圆图上？在本文中，我们回答了这两个问题，证明了该问题是多项式的圆弧图和PSPACE完全的圆图。
2021-02-21 cs.CC cs.DM math.CO
Linear separation of connected dominating sets in graphs
图的连通控制集是指导出连通子图的顶点的控制集。继类似的研究在文献中有关的独立集，控制集，和总控制集，本文研究的一类图，其中的连通控制集可以从其他顶点子集的线性权函数。更确切地说，我们说一个图是连通支配的，如果它允许与它的顶点相关的非负实权重，使得一个顶点集是连通支配集当且仅当相应的权重之和超过某个阈值。我们刻画了在这个非遗传类的图的最小割集的集合的性质。我们给出了遗传情况下的几个刻画，即当每个连通诱导子图都要求是连通域的时候。用禁止诱导子图刻画这类图意味着它适当地推广了两类著名的弦图：块图和平凡完美图。最后，我们研究了连通域图的某些算法方面。建立在与最小割集和性质的超图和布尔函数的连接，我们表明，我们的方法导致新的多项式可解的情况下的加权连通支配集问题。
2018-06-11 cs.DM cs.DS math.CO
A Perfect Sampler for Hypergraph Independent Sets
重新讨论了超图独立集的均匀抽样问题。在类似于非对称Lovász局部引理的条件下，我们设计了一个有效的完美采样器。当应用于$d$ -正则$k$ -一致超图的$n$顶点时，我们的采样器终止于期望的$O(n\log n)$时间，该时间提供了$d\le c\cdot 2^{k/2}/k$，对于某个常数$c>0$。如果超图是线性的，则对于某个常数$c>0$，该条件可以减弱为$d\le c\cdot 2^{k}/k^2$，与Hermon，Sly和Zhang [HSZ 19]中Glauber动力学的快速混合条件相匹配。
2022-09-13 cs.DM cs.DS
Independent dominating sets in planar triangulations
本文研究了平面三角剖分中独立支配集大小的最小上界问题，证明了近平面三角剖分的$ε$范围为$2/7 \leq ε\leq 5/12$，并在特定条件下进一步改进了上界。
2023-08-05 cs.DM math.CO
Fault-tolerant Locating-Dominating Sets on the Infinite King Grid
本文研究了无限王格上三种容错定位-支配集（冗余、错误检测和错误纠正），确定了其最小密度的上下界。
2024-12-19 cs.DM math.CO
Hypergraph regularity and higher arity VC-dimension
推广了VC维数小的图可以用矩形来近似的事实，证明了VC维数小的超图（等价地，省略了固定的有限（k+1）部（k +1）一致超图）可以用k元柱集来近似.在超图正则性的语言中，这表明当H是k '-一致超图且对于某些k<k'具有小VC_k-维数时，由超图正则性给出的H的分解仅需要前k层-可以使用顶点集、对集等直到k元组集来近似H-并且在大多数所得的k元圆柱集上，H的密度要么接近0要么接近1。我们还证明了一个适当的逆：具有大VC_k-维数的k ′-一致超图在顶点上的所有测度下不可能有这样的一致逼近。
2020-10-01 cs.DM math.CO math.LO
Shortest Dominating Set Reconfiguration under Token Sliding
针对令牌滑动模型下树与区间图的支配集最短重构问题，本文首次提出多项式时间算法，填补了该优化变体的算法研究空白。
2023-07-20 cs.DM cs.DS math.CO
Enumerating Connected Dominating Sets
在时间上显著小于$2^n$的$n$阶图中，如何枚举出所有包含-最小连通控制集的问题是一个在很多地方都被提出的公开问题.我们肯定地回答这个问题，通过提供一个枚举算法，运行在时间$\mathcal{O}(1.9896^n)$，只使用多项式空间。这个结果的关键是考虑这个计数问题的2-退化图，这被证明是可能的时间$\mathcal{O}(1.9767^n)$。我们还显示了新的下界结果，通过构建一个家庭的图的顺序$n$与$Ω(1.4890^n)$最小连通支配集，而以前的例子实现了$Ω(1.4422^n)$。我们的建设结果在一些特殊的图形类的下界。我们还解决有关输出敏感枚举的基本问题。也就是说，我们给出的原因，我们的算法不能变成一个枚举算法，保证多项式延迟没有太多的努力。更准确地说，我们证明了它是NP-完全决定，给定一个图$G$和顶点集$U$，如果存在一个最小连通支配集$D$与$U\subseteq D$，即使$G$是2-退化。我们的减少还表明，即使是任何次指数延迟是不容易实现枚举最小连通控制集。另一个减少表明，没有FPT算法，可以预期这个扩展问题的最小连通支配集，参数化$|U|$。我们还涉及到我们的枚举问题著名的开放的命中集transmitting问题，这可以在我们的上下文中措辞的问题，枚举所有的最小控制集的图与多项式延迟的多项式延迟枚举算法的最小连通支配集意味着一个肯定的算法解决方案的命中…
2022-04-29 cs.CC cs.DM cs.DS
Progress towards the two-thirds conjecture on locating-total dominating sets
本文研究无孤立点的无孪生图中定位全支配集的三分之二上界猜想，并证明其对共二部图、分裂图、块图和次三次图成立。
2024-08-07 cs.DM math.CO
Reconfiguration of Dominating Sets
我们探讨了一个重新配置版本的支配集问题，在图$G$的支配集是一组$S$的顶点，使每个顶点是在$S$或有一个邻居在$S$。在重构问题中，目标是确定是否存在连接给定可行解$s$和$t$的可行解序列，使得每对连续解根据指定的邻接关系相邻。两个控制集是相邻的，如果一个可以通过添加或删除一个顶点而形成另一个。对于各种值的$k$，我们认为属性的$D_k(G)$，图形组成的一个顶点，每个控制集的大小最多$k$和边缘指定的邻接关系。解决一个开放的问题所提出的哈斯和Seyffarth，我们证明，$D_{Γ(G)+1}(G)$不一定是连接的，为$Γ(G)$的最大基数的最小支配集$G$。即使当图被约束为平面的、有界树宽的或对于$b \ge 3$为$b$ -partite时，该结果也成立。此外，我们构造了一个无限图族，使得$D_{γ(G)+1}(G)$具有指数直径，其中$γ(G)$是控制集的最小尺寸。在积极的一面，我们表明，$D_{n-m}(G)$是连通的，线性直径的任何图$G$上的$n$顶点至少有$m+1$独立的边缘。
2014-01-30 cs.DM math.CO
Novel ways of enumerating restrained dominating sets of cycles
设$G = (V, E)$是一个图。一个集合$S \subseteq V$是一个约束支配集（RDS），如果每个不在$S$中的顶点都与$S$中的一个顶点相邻，并且与$V - S$中的一个顶点相邻. $G$的约束控制数（$γ_r(G)$）是$G$的约束控制集的最小基数。对于二部图和弦图，求约束控制数是NP-困难的。设$G_n^i$是$n$阶图$G$的约束控制集族，基数为$i$，$d_r(G_n, i)=|G_n^i|$ .定义$G_n$，$D_r(G_n, x)$的约束控制多项式（RDP）为$D_r(G_n, x) = \sum_{i=γ_r(G_n)}^{n} d_r(G_n,i)x^i$ .本文主要研究了圈的RDP，并由此介绍了几种计算$d_r(C_n, i)$的新方法，其中$C_n$是$n$阶圈.在第一种方法中，我们使用一个递归公式为$d_r(C_n,i)$，而在另一种方法中，我们构造一个生成函数来计算$d_r(C_n,i)$。
2022-11-21 cs.DM math.CO
Shallow Hitting Edge Sets in Uniform Hypergraphs
本文研究 $r$-一致超图中浅击中边集的存在性与最大规模，针对正则、高最小度及 $r$-部情形给出界，并通过构造证明多数界最优。
2023-07-07 cs.DM math.CO
Neighborhood inclusions for minimal dominating sets enumeration: linear and polynomial delay algorithms in $P_7$-free and $P_8$-free chordal graphs
在[M. M. Kanté，V. Limouzy，A.玛丽和L.诺琳关于极小控制集的计数及相关概念。SIAM Journal on Discrete Mathematics，28（4）：1916-1929，2014]中，作者给出了一种基于邻域包含的$O(n+m)$延迟算法，用于分裂和无$P_6$弦图中最小控制集的枚举。在本文中，我们调查推广这种技术$P_k$ -自由弦图的大整数$k$。特别地，我们在无$P_8$和无$P_7$弦图类中给出了$O(n+m)$和$O(n^3\cdot m)$延迟算法.对于无$P_k$弦图的$k\geq 9$，我们给出了证据，这种技术是低效的算法的关键步骤，即无冗余扩展问题，成为NP-完全。
2019-09-28 cs.DM cs.DS math.CO
Counting and enumerating optimum cut sets for hypergraph $k$-partitioning problems for fixed $k$
本文研究了两个超图$k$ -划分问题--超图- $k$ -割和超图-极小-超图- $k$ -划分的最优解的计数问题。超图$k$ -划分问题的输入是一个超图$G=(V, E)$，它具有正的超边代价以及一个固定的正整数$k$。目标是找到$V$到$k$非空部分$(V_1, V_2, \ldots, V_k)$的划分--称为$k$划分--以便最小化感兴趣的目标。1.如果目标函数是各部分的最大割值，则该问题称为最小超图- $k$ -划分问题。如果一个超边子集是极小极大超图-$k$-划分的最优$k$-划分的超边子集，则它是极小极大- $k$-割集. 2.如果目标是通过$k$ -划分的超边的总代价，则该问题称为Hypergraph- $k$ -Cut。超边子集是一个最小$k$割集，如果它是通过超图- $k$ -割的最优$k$ -划分的超边子集.本文给出了超图中minmax- $k$ -割集个数的第一多项式界，并给出了一个多项式时间算法来计算每一个固定的$k$的超图中所有的minmax-$k$-割集。我们的技术是强大的，也使$n^{O(k)}p$时间确定性算法，以枚举所有的最小$k$ -割集超图，从而提高了以前已知的$n^{O(k^2)}p$时间确定性算法，其中$n$是顶点的数量和$p$是超图的大小。我们的枚举方法的正确性分析依赖于一个结构的结果，这是一个强大的和统一的推广超图- $k$ -割和最…
2023-03-07 cs.DM cs.DS
A new characterization of $P_k$-free graphs
在$k$顶点上不包含导出路径的图的类，$P_k$ -free图，在算法图论中起着突出的作用。这激发了对$P_k$ -free图的特殊结构性质的研究，包括替代性的刻画。设$G$是一个连通的无$P_k$图，$k \ge 4$ .我们证明了$G$允许一个连通控制集，其导出子图要么是$P_{k-2}$ -free的，要么同构于$P_{k-2}$。令人惊讶的是，事实证明，$G$的每个最小连通支配集都具有这个性质。这就给出了$P_k$ -free图的一个新的刻画：图$G$是$P_k$ -free的当且仅当$G$的每个连通导出子图都有一个连通控制集，其导出子图要么是$P_{k-2}$ -free的，要么是与$C_k$同构的.这改进和推广了以前的几个结果; $k=7$的特殊情况解决了van 't Hof和Paulusma提出的问题[A new characterization of $P_6$ -free graphs，COCOON 2008]。本文的第二部分给出了一个有效的算法，即给定一个$G$的$n$顶点和$m$边的连通图，计算$G$的连通控制集$X$，该连通控制集具有以下性质：对于最小$k$，使得$G$是$P_k$ -free的，由$X$诱导的子图是$P_{k-2}$ -free的或同构于$P_{k-2}$ .作为应用，我们证明了对于顶点超边关联图是$P_7$ -free的超图，超图2-着色…
2014-02-28 cs.DM math.CO
Graphs with unique Grundy dominating sets
研究图$G$中Grundy支配集的唯一性条件，在自同构映射下刻画四种变体中具有唯一Grundy支配集的图与森林，并为森林类提出高效识别算法。
2025-04-03 cs.DM math.CO
The complexity of blocking (semi)total dominating sets with edge contractions
考虑了通过收缩边使图的（半）全控制数减1的问题。已知的是，这总是可以用最多三个边收缩来完成，并且确定一个边收缩是否足够是$\mathsf{NP}$困难问题。我们发现，对于每一个固定的$k \in \{2,3\}$，决定是否完全$k$边收缩是必要的是$\mathsf{NP}$ -硬，并进一步提供$k=2$完全复杂性二分法的单演图类。
2022-05-25 cs.CC cs.DM cs.DS
Domination Cover Number of Graphs
图$G=(V, E)$的一个集合$D \subseteq V$称为支配集，如果任何顶点$v\in V\setminus D$在$D$中至少有一个邻居。Fomin等人[9]给出了一个在$O(1.7159^n)$时间内枚举所有具有$n$顶点的极小控制集的算法。已知$n$顶点上的区间图和树的最小控制集的个数至多为$3^{n/3} \approx 1.4422^n$。本文引入控制覆盖数作为判定图的控制集的一个新准则。支配集$D$的控制覆盖数，记作$\mathcal{C}_D(G)$，是$D$中顶点的度之和。最大化或最小化这个参数在所有的最小支配集有有趣的应用在许多现实世界的问题，如画廊问题。此外，我们研究了不同图类的控制覆盖数的概念，并提出了一些算法来寻找树，块图的控制覆盖数。
2018-05-07 cs.DM math.CO
On edge-sets of bicliques in graphs
图的最大导出完全二部子图称为偶团。本文研究了图中双李线的边集的交结构。具体地说，我们研究了关联边双方超图，其超边恰好是所有双方的边集。我们刻画了边双方超图是共形的图（即，它是它的2-截面的团超图）通过一个单一的禁止诱导障碍物，三棱柱。利用这一结果，我们刻画了边双方超图为Helly的图，并给出了一个多项式时间的识别算法。我们进一步研究了这个属性的遗传版本，并表明，它也承认多项式时间识别，事实上，其特征在于由一个有限集禁止诱导子图。最后，我们描述了一些有趣的性质的2-部分图的边双方超图。
2013-07-17 cs.DM math.CO
Below all subsets for Minimal Connected Dominating Set
图$G$中的顶点子集$S$是支配集，如果不包含在$S$中的每个顶点在$S$中都有邻居.如果由$S$导出的子图$G[S]$是连通的，则支配集$S$是连通支配集。连通控制集$S$是极小连通控制集，如果没有$S$的真子集也是连通支配集.证明了存在一个常数$\varepsilon > 10^{-50}$，使得$n$顶点上的图$G$至多有$O(2^{(1-\varepsilon)n})$最小连通控制集.对于同样的$\varepsilon$，我们也给出了一个具有运行时间的算法$2^{(1-\varepsilon)n}\cdot n^{O(1)}$来枚举输入图$G$中的所有最小连通支配集.
2016-11-02 cs.DM cs.DS math.CO
Hyperbolicity Computation through Dominating Sets
双曲性是与图在距离方面与树的相似程度相关的图参数。它的计算是具有挑战性的，因为主要的方法包括扫描图的所有四元组或使用快速矩阵乘法作为构建块，这两种方法对于大型图都不实用。在本文中，我们提出和评估的方法，使用一个层次的距离-k支配集，以减少搜索空间。与之前最好的实用算法相比，这种技术使我们能够计算具有前所未有的大小（高达一百万个节点）的图的双曲性，并将之前可实现的图的计算速度提高了高达3个数量级，同时减少了内存消耗高达23倍以上。
2021-11-22 cs.DM cs.DS cs.NI
Enumerating minimal dominating sets in the (in)comparability graphs of bounded dimension posets
CNRS, LaBRI, Université de Bordeaux（法国国家科学研究中心，LaBRI，波尔多大学）；LIS, Aix-Marseille Université（LIS，艾克斯-马赛大学）；LIMOS, Université Clermont Auvergne（LIMOS，克莱蒙奥弗涅大学）；Theoretical Computer Science Department, Faculty of Mathematics and Computer Science, Jagiellonian University（雅盖隆大学数学与计算机科学学院理论计算机科学系）
本文提出在有限维偏序的不可比图中，通过flashlight搜索方法实现输出多项式时间算法，并改进翻转方法以减少空间需求，从而提升极小支配集的枚举效率。
2025-11-26 cs.DM cs.DS math.CO
The Directed Dominating Set Problem: Generalized Leaf Removal and Belief Propagation
有向图的最小支配集是指顶点的最小集合，使得每个顶点都属于这个集合或者至少有一个父顶点在这个集合中。我们解决了这个困难的组合优化问题近似的广义叶删除的局部算法和信念传播的消息传递算法。这些算法可以为随机有向图和现实世界的有向图实例构造近优控制集甚至精确最小控制集。我们进一步发展了核渗流理论和复制对称的自旋玻璃理论。我们的算法和理论的结果可能会促进支配集的各种网络问题，涉及有向相互作用的应用。
2015-05-13 cond-mat.dis-nn cs.DM cs.DS
Blocking dominating sets for $H$-free graphs via edge contractions
本文考虑了如下问题：给定一个连通图$G$，能否仅用一条边收缩使$G$的控制数减1？我们证明了这个问题是$\mathsf{NP}$ -硬时，限制到$\{P_6,P_4+P_2\}$ -自由图，它是$\mathsf{coNP}$ -硬时，限制到次立方无爪图和$2P_3$ -自由图。因此，当$H$连通时，我们能够在无$H$图上建立问题的复杂性二分法。
2019-08-04 cs.CC cs.DM math.CO
On the Parameterized Complexity of Reconfiguration of Connected Dominating Sets
在优化问题$\mathcal{Q}$的重新配置版本中，输入是$\mathcal{Q}$的实例和两个可行解$S$和$T$。目的是确定$S$和$T$之间是否存在逐步转换，使得所有中间步骤也构成可行的解决方案。在这项工作中，我们研究了参数化的复杂性的\textsc{Connected Dominating Set Reconfiguration}问题（\textsc{CDS-R)}。在以前的工作中，\textsc{Dominating Set Reconfiguration}问题（\textsc{DS-R}）参数化的$k$，在一个重新配置序列中的控制集的最大允许的大小，是固定的参数易处理的所有图，不包括一个biclique $K_{d,d}$作为一个子图，对于一些常数$d \geq 1$。我们发现，额外的连接约束使问题更加困难，即，\textsc{CDS-R}是\textsf{W} $[1]$ -硬参数化的$k+\ell$，最大允许的大小的支配集加上长度的重新配置序列，已经在$5$ -退化图。在积极的一面，我们表明，\textsc{CDS-R}参数化的$k$是固定参数易处理的，事实上承认一个多项式核平面图。
2019-10-01 cs.CC cs.DM cs.DS
