Constructing Dominating Sets in Circulant Graphs
Igor E. Shparlinski
给出了循环图中关于$n$注记和$k$不同弦长的一个合理小的控制集的有效构造.这个结果是基于一些双指数和的界。.
We give an efficient construction of a reasonably small dominating set in a circulant graph on $n$ notes and $k$ distinct chord lengths. This result is based on bounds on some double exponential sums. .
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Optimal bounds on codes for location in circulant graphs
近年来，$C_n(1,2,3,\dots, r)$型循环图的识别和定位控制码得到了广泛的研究。在2013年，Ghebleh和Niepel研究了$d=3$循环图$C_n(1,d)$中的位置控制码和识别码，并提出了$d > 3$的情况作为一个开放问题。本文研究了图$C_n(1,d)$、$C_n(1,d-1,d)$和$C_n(1,d-1,d,d+1)$中的可识别码、定位控制码和自识别码。我们给出了一种新的方法来研究这三个代码在循环图中使用适当的网格的下界。此外，我们表明，这些边界达到无穷多个参数$n$和$d$。此外，还提出了新的方法，给出了$C_n(1,3)$和$C_n(1,4).$中最佳自识别码的精确值
On exponential domination of the consecutive circulant graph
对于一个图$G,$，如果对于每个$v \in V(G),$都有$1\le \sum_{d \in D}$ $\left( \frac{1}{2} \right)^{\text{dist}(d,v) -1}$，其中dist $(d,v)$表示最小$dv$路的长度，则认为$D \subset V(G)$是一个多孔指数控制集。$D \subset V(G)$是无孔指数控制集，对于每个$v \in V(G),$是$1\le \sum_{d \in D} \left( \frac{1}{2} \right)^{\overline{\text{dist}}(d,v) -1}$，其中$\overline{\text{dist}}(d,v)$表示在$D.$中没有内部顶点的最短$dv$路径的长度。表示为$γ_e^*(G)$和$γ_e(G),$的$G,$的多孔指数控制数分别是多孔和非多孔指数控制集的最小基数。连续循环图$C_{n, [\ell]},$是$n$顶点的集合，使得对于每个$i \in [\ell].$，$v$与$v \pm i \mod n$相邻。本文证明了$γ_e(C_{n, [\ell]}) = γ_e^*(C_{n, [\ell]}) = \left\lceil \tfrac{n}{3\ell +1} \right\rceil.$
A feasibility approach for constructing combinatorial designs of circulant type
在这项工作中，我们提出了一种优化方法，用于构建各类循环组合设计，可以定义在自相关。该问题被制定为一个所谓的可行性问题，有三个集，道格拉斯-Rachford投影算法应用。该方法被示出三个不同类别的循环组合设计：循环加权矩阵，D-最优矩阵，和阿达玛矩阵与两个循环核心。此外，我们明确地构建两个新的循环加权矩阵，$CW(126,64)$和$CW(198,100)$，其存在以前标记为未解决的最新版本的斯特拉斯勒的表。
Locating and Identifying Codes in Circulant Networks
一个图G的顶点集S称为G的控制集，如果G的每个顶点u要么在S中，要么在S中有一个邻点。换句话说，S是支配的，如果集合S \cap N[u]，其中u \in V（G）和N[u]表示u在G中的闭邻域，都是非空的。一个集合S \subseteq V（G）称为G中的定位码，如果集合S \cap N[u]，其中u \in V（G）\setminus S都是非空且不同的.一个集合S \subseteq V（G）称为G中的一个识别码，如果集合S \cap N[u]，其中u \in V（G）都是非空且不同的.研究了循环网络C_n（1，3）中码的定位和识别问题.对于n>6，图C_n（1，3）有顶点集Z_n和边xy，其中x，y \in Z_n和|X-Y| \in {1，3}。证明了C_n（1，3）中的最小定位码的大小为\lceil n/3 \rceil + c，其中c \in {0，1}; C_n（1，3）中的最小识别码的大小为\lceil 4 n/11 \rceil + c '，其中c' \in {0，1}.
A method for constructing quaternary Hermitian self-dual codes and an application to quantum codes
本文提出四元修正四 μ-循环 Hermitian 自对偶码的构造方法，首次得到两个 [56,28,16] 码，改进已知下界并导出量子 [[56,0,16]] 码。
Graphs with three and four distinct eigenvalues based on circulants
该研究针对谱含3或4个不同特征值的循环图刻画的公开问题，给出素数阶循环图、任意阶酉凯莱图的刻画，构造多种合数阶循环图，还刻画了酉凯莱图的迭代线图并证明其非循环性。
Searching for Large Circulant Graphs
我们解决了具有给定度和直径的大型无向循环网络的构造问题。首先，我们讨论了理论上的上界和他们的渐近，然后我们描述和实现了一个基于计算机的方法来找到大循环图与给定的参数。对于度和直径的几种组合，我们的算法产生了已知最大的循环图。我们总结了我们的研究结果在一个表中，高达度15和直径10，我们执行此表的统计分析，这可以是有用的，以评估我们的方法的性能，以及其他建设在未来。
Some combinatorial aspects of constructing bipartite-graph codes
我们提出了几何方法来构造正方形01-矩阵，每行和每列的单位数n相同，并且矩阵的任何两行最多包含一个共同的单位。这些矩阵等价于不含4-圈的n-正则二部图，因此可用于构造有效的二部图码，使得其顶点的两个类都与局部约束相关联.我们显著地扩展了参数m，n的区域，使其存在一个2 m个顶点的n-正则二部图而不含4-圈.这样，我们基本上增加了相应的二部图码的长度和速率的区域。许多新的矩阵是循环的或由循环子矩阵组成：这提供了由循环子矩阵组成的码奇偶校验矩阵，因此提供了具有简单实现的准循环二部图码。
Stability of circulant graphs
图$Γ$的标准双覆盖$\mathrm{D}(Γ)$是$Γ$和$K_2$的直积。如果是$\mathrm{Aut}(\mathrm{D}(Γ))=\mathrm{Aut}(Γ)\times\mathbb{Z}_2$，则$Γ$被称为稳定;否则$Γ$被称为不稳定。一个不稳定图是非平凡不稳定的，如果它是连通的，非二部的和不同的顶点有不同的邻域。本文证明了每一个奇素数阶循环图都是稳定的，并且不存在弧传递的非平凡不稳定循环图。后者回答了威尔逊在2008年提出的一个问题。通过构造一族具有相容邻接矩阵的稳定循环图，我们还对Marušien-Scapellato和Zagaglia Salvi在1989年提出的一个猜想给出了无穷多个反例.
Quaternary Hermitian self-dual codes of lengths 26, 32, 36, 38 and 40 from modifications of well-known circulant constructions
本文利用$λ$ -循环矩阵给出了三种在具有非平凡对合自同构的交换弗罗贝尼乌斯环上构造Hermitian自对偶码的新方法。新的结构是作为各种著名的循环自对偶码的结构的修改而得到的。应用这些构造和构造方法，我们构造了许多新的长度为26，32，36，38和40的四元Hermitian自对偶码。
Solving Two Conjectures regarding Codes for Location in Circulant Graphs
本文证明了Ghebleh和Niepel关于循环图$C_n(1,3)$中定位控制码和识别码最小基数下界的两个猜想，采用利用码与图全局性质的新方法。
Independent Dominating Sets in Directed Graphs
本文研究了最近由Cary，Cary和Prabhu提出的有向图的独立控制问题。我们提供了一个简短的算法证明，所有有向无圈图包含一个独立的控制集。利用线性代数工具，证明了任意偶数周期的强连通图至少有两个独立的控制集，推广了Cary，Cary和Prabhu的一些结果.通过构造几个无限图族的例子，证明了确定图的周期不足以确定独立控制集的存在性。通过给出两个无限图族，证明了Vizing猜想的直接类比对有向图的独立控制数不成立。首次研究了有向图的独立控制的时间复杂性，证明了有向无圈图和偶周期强连通图的独立控制集的存在性属于时间复杂性类$P$ .对于周期大于$1$的有向图，我们还给出了一个判定独立控制集存在性的算法。
Two families of circulant nut graphs
本文构造了两类新的循环nut图族，分别针对奇数t和偶数t的情况，完全或部分解决了4t-正则循环nut图的阶-度存在性问题。
Hypo-efficient domination and hypo-unique domination
对于图$G$，设$γ(G)$为其控制数。定义图G为（i）次有效控制图（或次$\mathcal{ED}$图），如果$G$没有有效控制集（EDS），但通过从$G$中移除单个顶点形成的每个图都具有至少一个EDS，以及（ii）次唯一控制图（一个次$\mathcal{UD}$图），如果$G$至少有两个最小支配集，但$G-v$对每个$v\in V(G)$都有唯一的最小支配集。我们证明了每一个次$\mathcal{UD}$图$G$的阶至少为$3$是连通的，并且对所有的$v \in V(G)$都是$γ(G-v) < γ(G)$.利用图的控制数和最大度得到了次$\mathcal{P}$图的阶的一个紧上界，其中$\mathcal{P} \in \{\mathcal{UD}, \mathcal{ED}\}$。家庭的循环图，实现这些界限。我们还证明了任何次$\mathcal{UD}$图的束缚数不大于最小度加1。
On Mixed Domination in Generalized Petersen Graphs
给定一个图$G = (V, E)$，如果不包含在$S$中的每个顶点和边恰好与$S$中的一个成员相邻或关联，则称一个顶点和边的集合$S \subseteq V \cup E$为混合支配集。图的混合控制数$γ_{md}(G)$是图$G$的最小混合支配集的大小。我们提出了一个明确的方法来构造最佳的混合控制集的彼得森图$P(n, k)$ $k \in \{1, 2\}$。我们的方法也为其他Petersen图提供了一个新的上界。
On the maximum number of minimal connected dominating sets in convex bipartite graphs
众所周知，一般图的最小连通控制集的计数是非常困难的。目前，只知道集合的枚举速度比$\mathcal{O}^{*}(2^n)$稍快，并且算法非常重要。此外，在构造枚举算法时，似乎很难使用二分性作为结构辅助。因此，据我们所知，没有已知的输入敏感算法枚举最小支配集，或其相关的集合之一，在二分图比一般的图。本文给出了二部图的一些非平凡子类，即凸图的第一个输入敏感计数算法。给出了一个计算凸二部图在时间上的所有最小连通控制集的算法$\mathcal{O}(1.7254^{n})$，其中$n$是输入图的顶点数.我们的算法意味着一个相应的上界的最小连通支配集的数量为这个图类。我们通过提供一个凸二部图来补充这个结果，这个凸二部图至少有$3^{(n-2)/3}$最小连通控制集。
Domination and location in twin-free digraphs
有向图中的控制集$D$是一组顶点，使得每个顶点要么在$D$中，要么在$D$中有一个内邻点。有向图的控制集$D$是位置控制的，如果每个不在$D$中的顶点在$D$中有唯一的内邻集.有向图$G$的位置控制数$γ_L(G)$是$G$的位置控制集的最小大小。我们根据$G$的阶研究了$γ_L(G)$的上界.我们刻画了位置控制数等于阶数或阶数减1的有向图。这样的有向图总是有许多孪生：顶点具有相同的（开或闭）内邻域。因此，我们研究了在没有孪生子的情况下$γ_L(G)$的值，并给出了利用特殊控制集构造小定位控制集的一般方法。证明了对每一个$n$阶的无孪生有向图$G$，$γ_L(G)\leq\frac{4n}{5}$成立，并且存在有$γ_L(G)=\frac{2(n-2)}{3}$阶的无孪生有向图$G$.此外，如果$G$是竞赛图或非循环的，则界改进为$γ_L(G)\leq\lceil\frac{n}{2}\rceil$，这在两种情况下都是紧的。
On $(r,c)$-constant, planar and circulant graphs
本文研究$(r,c)$-常数图，完全确定了$(r,c)$-平面图的存在性及最小阶，给出$(r,c)$-循环图的存在性条件，还明确了小参数范围内$(r,c)$-常数图的存在情况并搭建了公开数据库。
Connected k-Dominating Graphs
对于图G=（V，E），G的k-控制图（记为$D_{k}(G)$）的顶点对应于G的基数最大为k的控制集，其中$D_{k}(G)$的两个顶点相邻当且仅当其中一个顶点对应的控制集可以从第二个顶点对应的控制集通过添加或删除一个顶点得到。我们用$d_{0}(G)$表示对于所有大于或等于$d_{0}(G)$的k，$D_{k}(G)$连接的最小整数。已知$d_{0}(G)$介于$Γ(G)+1$和$|V|$之间，其中$Γ(G)$是G的上控制数，但是构造图G使得$d_{0}(G)>Γ(G)+1$似乎是困难的。我们提出了两个相关的结构。第一种构造表明，对于每个大于或等于3的整数k和从1到k-1的每个整数r，存在图$G_{k,r}$使得$Γ(G_{k,r})=k, γ(G_{k,r})=r+1$和$d_{0}(G_{k,r})=k+r=Γ(G)+γ(G)-1$。第二种构造表明，对于每个大于或等于3的整数k和从1到k-1的每个整数r，存在图$Q_{k,r}$，使得$Γ(Q_{k,r})=k, γ(Q_{k,r})=r$和$d_{0}(Q_{k,r})=k+r=Γ(G)+γ(G)$。
Faster Algorithms For Vertex Partitioning Problems Parameterized by Clique-width
许多NP难问题，如支配集问题，都是以宽度为参数的FPT问题。对于给定了$k$ -表达式的图，其控制集可以在$4^k n^{O(1)}$时间内求出.然而，没有已知的FPT算法用于计算最优的$k$表达式。对于秩宽$k$的图，如果我们依靠已知的算法通过秩宽计算$(2^{3k}-1)$ -表达式，然后使用$(2^{3k}-1)$ -表达式求解支配集，则上述算法只会给出$4^{2^{3k}} n^{O(1)}$的运行时间。已经有克服这种指数跳跃的结果;最著名的算法可以通过避免构建$k$表达式来及时求解支配集$2^{O(k^2)} n^{O(1)}$ [Bui-Xuan，Telle和Vatshelle.快速动态规划求解局部可检查顶点子集和顶点划分问题。理论计算。科学，2013. doi：10.1016/j.tcs.2013.01.009]。我们将其改进为$2^{O(k\log k)}n^{O(1)}$。事实上，我们表明，对于一个图的candle-width $k$，一大类的支配和分区问题（LC-VSP），包括支配集，可以解决$2^{O(k\log{k})} n^{O(1)}$。我们的主要工具是一个变体的秩宽度使用的秩的$0$ - $1$矩阵的有理域，而不是二进制字段。
New Algorithms for Weighted $k$-Domination and Total $k$-Domination Problems in Proper Interval Graphs
给定一个正整数$k$，图$G$中的$k$ -支配集是一个顶点集，使得每个不在集合中的顶点在集合中至少有$k$邻居。全$k$ -支配集，也称为$k$ -元组全支配集，是一个顶点集合，使得图的每个顶点在该集合中至少有$k$邻居。在给定的图中，分别求$k$ -控制集和全$k$ -支配集的最小尺寸的问题称为$k$ -控制集和全$k$-控制集.这些经典控制和全控制问题的推广在弦图类中是NP-困难的，更具体地说，甚至在分裂图类（两个问题）和无向路图类（在全$k$ -控制的情况下）中也是NP-困难的。另一方面，它遵循Kang等人最近的工作。（2017），这两个家庭的问题是可解的时间$\mathcal{O}(|V(G)|^{6k+4})$在类的区间图。我们开发了更快的算法$k$ -支配和总$k$ -支配类的适当的区间图，通过减少到一个最短路径计算在一个派生的有向无环图的$\mathcal{O}(|V(G)|^{2k})$节点和$\mathcal{O}(|V(G)|^{4k})$弧。我们表明，一个合适的实现，这避免了构建所有的弧的有向图，导致运行时间的$\mathcal{O}(|V(G)|^{3k})$。该算法也适用于加权的情况。
Relation between broadcast domination and multipacking numbers on chordal and other hyperbolic graphs
该研究揭示弦图与δ-双曲图中广播支配数和多重装填数的量化关系，构造反例说明二者差值可任意大，并给出δ-双曲图多重装填的多项式时间构造算法。
The maximum number of connected sets in regular graphs
本文通过构造基于Moore图的图族并结合线性代数方法，改进了正则图中连通集与支配连通集最大数量的指数行为下界，确定了小阶三次和四次图的精确最大值，并在特定猜想下改进了上界。
Identifying open codes in trees and 4-cycle-free graphs of given maximum degree
本研究针对最大度不超过固定值Δ≥3的无4-环无开放孪生点连通图，给出了识别开放码最小规模的上界公式，指出唯一例外图类，并构造紧例证明上界最优。
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