Efficient Algorithms for Partitioning Circulant Graphs with Optimal Spectral Approximation
本文研究了循环图划分的多项式时间算法，提出一种针对生成元为等差数列的循环图的高效划分算法，实现最优谱近似误差，并扩展至特定Cayley图，同时证明了生成元远离等差数列时无法达到该误差匹配。
2025-09-14 cs.DS math.CO
On the maximum number of edges of outer k-planar graphs
研究平面上凸位置点集在每条线段最多与$k$条其他线段相交条件下的最大连接数，即外$k$-平面图的最大边数，得出上界为$(\sqrt{2}+\varepsilon)\sqrt{k}n$，并扩展探讨了二分图及循环图最大割问题。
2025-05-30 cs.DM math.CO
Enumeration of planar Tangles
平面Tangle是由具有常曲率的圆的象限分段定义的光滑的简单闭曲线。我们可以通过计算它们的对偶图来枚举缠结，它们由某个polysticks族组成。具有给定长度或面积的缠结的数量呈指数增长，我们通过比较缠结和两个polyominoes家族来证明它们的增长常数的存在。
2020-02-18 math.CO
On the number of perfect matchings in planar graphs
KU Leuven Campus Kulak-Kortrijk（荷语鲁汶大学库尔拉克-科特赖克校区）；Ghent University（根特大学）；Australian National University（澳大利亚国立大学）；Western Sydney University（西悉尼大学）
本文研究平面图中非零完美匹配的最小数量，证明在最小度为3的2连通平面图和3连通平面图中该数为常数，并给出无限族，最后构造反例反驳Zaks猜想。
2026-06-23 math.CO
On the Planar Split Thickness of Graphs
受图形绘制和信息可视化应用的启发，我们研究了一个图的平面分裂厚度，即最小的$k$，使该图是$k$ -可分裂成一个可平面图。$k$分裂操作用至多$k$新顶点来替换顶点$v$，使得$v$的每个邻居连接到至少一个新顶点。我们首先研究了完全图、完全二部图、多部图、有界度图和亏格1图的平面分裂厚度。然后，我们证明了它是NP-难识别的图是$2$ -可分裂成一个可平面图，并表明，一个可以近似的平面分裂厚度的一个常数的因素。如果树的宽度是有界的，那么我们甚至可以验证$k$ -可分裂性在线性时间，对于一个常数$k$。
2017-06-06 math.CO
Local fractional metric dimension of rotationally symmetric planar graphs arisen from planar chorded cycles
本文通过平面弦环的边并合构造新的旋转对称平面图族，确定其局部分数度量维数，并利用渐近行为证明存在常数或有界局部分数维数的图族。
2021-05-17 math.CO
Twin-width of Planar Graphs is at most 9, and at most 6 when Bipartite Planar
Bonnet等人在[FOCS 2020]中引入了结构参数双宽度，并且这第一篇论文已经包含了通过非显式常数限制可平面图双宽度的渐进论证。最近，我们首次看到Jacob和Pilipczuk [arXiv，2022年1月]的183、Bonnet等人[arXiv，2022年2月]的583和Bekos等人[arXiv，2022年4月]的37的小的显式上界。证明了可平面图的孪生宽度至多为9。此外，如果一个可平面图也是二部图，则它的孪生宽度至多为6。
2022-08-29 math.CO
Planarity can be Verified by an Approximate Proof Labeling Scheme in Constant-Time
Censor-Hillel、Paz和Perry \cite{CPP}提出了近似证明标记方案。粗略地说，如果在不依赖于图的大小的短时间段内，具有该属性的图的顶点可以确信它们具有属性$\cP$或者至少它们离具有属性$\cP$不远，则可以通过恒定时间的近似证明标记方案来验证图属性~ $\cP$。本文的主要结果是：有界度可平面图（以及外可平面图、有界亏格图、可嵌入图等）可以通过恒定时间的近似证明标签方案来验证。
2022-05-24 cs.DC math.CO
Trees and co-trees with constant maximum degree in planar 3-connected graphs
本文考虑Grünbaum的猜想：每个平面3-连通图都有一棵生成树$T$，使得$T$及其余树的最大度都不超过3.这里，$T$的余树是通过取非树边的顶点而获得的对偶的生成树。虽然Grünbaum的猜想仍然是开放的，我们证明了每个平面3-连通图有一个生成树$T$，使得$T$和它的共树的最大度最多为5。它可以在线性时间中找到。
2013-12-15 cs.DM math.CO
The maximum degree of planar graphs I. Series-parallel graphs
本文证明了具有$n$个顶点的随机串-并图的最大度$Δ_n$在概率上满足$Δ_n/\log n \to c$，并且对于可计算常数$c>0$，满足$\mathbb{E}\, Δ_n \sim c \log n$.同样的结果也适用于外平面图。
2010-08-31 math.CO
Flexibility of planar graphs without $C_4$ and $C_5$
设$G$是一个具有列表赋值$L$的无$\{C_4, C_5\}$可平面图.假设为某些顶点给定了首选颜色。我们证明，如果所有的列表的大小至少为4，那么存在一个$L$着色尊重至少一个常数的偏好。
2020-06-08 math.CO
On sufficient conditions for planar graphs to be 5-flexible
本文研究了两类平面图类$\mathcal{H}_1$，$\mathcal{H}_2$的柔性，其中$\mathcal{H}_1$，$\mathcal{H}_2$分别表示所有无跳可平面图和所有无屋可平面图的集合.设$G$是一个可平面图，其列表赋值为$L$ .假设为某些顶点给定了首选颜色。我们证明，如果$G\in \mathcal{H}_1$或$G\in \mathcal{H}_2$，使所有列表的大小至少$5$，那么存在一个$L$着色尊重至少一个常数的偏好。
2022-02-25 math.CO
Every signed planar graph without cycles of length from 4 to 7 is 3-colorable
Hu和Li研究了Erd $\ddot{\mathrm{o}}$问题的带符号图版本：是否存在常数$c$使得每个不含$k$ -圈的带符号可平面图，其中$4\leq k\leq c$，是$3$ -可着色的，并证明了每个不含长度为4到8的圈的带符号可平面图是3-可着色的.我们给出了这个结果的一个非常简短和简单的证明，并根据最近的观察改进了它。
2022-05-03 math.CO
Perfect matchings in planar 3-connected graphs: girth five and minimum degree five
Minnan Normal University（闽南师范大学）
该论文回答了Goedgebeur等人关于平面3-连通图完美匹配的两个问题，构造了围长5且完美匹配数为常数的无限族图，还证明了最小度≥5的此类图的完美匹配数下界。
2026-10-14 math.CO
The Book Thickness of 1-Planar Graphs is Constant
在书嵌入中，图的顶点被放置在书的书脊上，边被分配给页面，以便同一页面上的边不会交叉。在本文中，我们证明了每一个$1$ -平面图（即，一个图，可以画在平面上，使没有边是交叉超过一次）允许一个嵌入在一本书与常数页数。据我们所知，最好的非平凡先前上界是$O(\sqrt{n})$，其中$n$是图的顶点数。
2015-03-30 cs.DS math.CO
Degree distribution in random planar graphs
证明了对于任意的$k\ge0$，随机平面图的根顶点具有度$k$的概率趋于一个可计算常数$d_k$，使得度$k$的期望顶点数渐近地为$d_k n$，并且$\sum_k d_k =1$ .证明使用的工具开发的Gimenez和Noy在他们的解决方案的问题的渐近计数的可平面图，并基于一个详细的分析，涉及计数可平面图的生成函数。然而，为了跟踪根的程度，出现了新的技术困难。我们得到明确的，虽然相当复杂的表达式，系数的奇异扩展的生成函数的兴趣，这使我们能够使用转移定理，以得到一个明确的表达的概率母函数$p(w)=\sum_k d_k w^k$。由此，我们可以计算$d_k$到任何精度，并推导出$k$的大值的渐近估计$d_k \sim c\cdot k^{-1/2} q^k$，其中$q \approx 0.67$是解析定义的常数。
2009-11-23 math.CO
Dense circuit graphs and the planar Turán number of a cycle
本文证明稠密电路图含大近三角剖分，由此得到环的平面Turán数上界，并验证了关于$k\ge 11$时的一个猜想。
2023-10-10 math.CO
The k-planar crossing number of random graphs and random regular graphs
本文给出了Spencer关于Erdos-Renyi随机图$G(n,p)$的双平面交叉数的结果的一个显式推广。特别地，我们证明了$G(n,p)$的k-平面交叉数几乎必然是$Ω((n^2p)^2)$ .沿着同样的思路，我们证明了，对于任何固定的$k$，$k$ -平面交叉数的各种模型的随机$d$ -正则图是$Ω((dn)^2)$为$d > c_0$的某些常数$c_0=c_0(k)$。
2017-09-24 math.CO
On the diameter of random planar graphs
本文证明了n阶随机标号连通可平面图的直径D（G_n）依概率等于n^{1/4+o（1）}。更精确地说，存在一个常数c>0，使得当ε足够小且n>n_0（ε）时，D（G_n）位于区间（n^{1/4-ε}，n^{1/4+ε}）的概率大于1- \exp（-n^{cε}）。我们证明了2-连通和3-连通的可平面图和地图类似的陈述。
2014-01-10 math.CO
On Families of Planar DAGs with Constant Stack Number
本文研究平面有向无环图的栈数，改进多类图族的常数上界，并提供计算机辅助下界。
2023-09-05 cs.DM cs.DS math.CO
An Approximation Algorithm for Fully Planar Edge-Disjoint Paths
对于边不相交路径问题的最大化问题，如果供给图和需求边构成一个平面图，我们设计了一个常数因子的近似算法。通过平面对偶，这等价于平面图中的包装切割，使得每个切割仅包含一个需求边。我们还表明，自然的线性规划松弛有恒定的完整性差距，产生一个近似的最大多流最小多割定理。
2020-01-06 cs.DM cs.DS math.CO
Exact Flatness Constant for One-Point Convex Bodies and the Discrete Isominwidth Problem: The Planar Case
Brandenburg University of Technology Cottbus-Senftenberg（勃兰登堡理工大学科特布斯-森夫滕贝格）
研究整数规划中凸体最多含k个内格点时的最大格宽，证明平面凸体含至多一个内点时格宽不超过3，并导出等最小宽度不等式。
2026-06-19 math.CO math.MG math.OC
Non-positive curvature, and the planar embedding conjecture
平面嵌入猜想认为，任何平面度量都允许嵌入到L_1中，且具有常数失真。这是一个众所周知的开放问题，具有重要的算法含义，在过去的二十年中受到了广泛的关注。尽管作出了重大努力，但只对一些非常有限的情况进行了核查，而一般问题仍然难以捉摸。在本文中，我们取得进展，解决这个猜想。我们证明了每个非正曲率的平面度量都允许一个常畸变嵌入到L_1中。这证实了平面嵌入猜想的情况下，非正弯曲的度量。
2013-04-28 cs.CG cs.DS math.CO
The scaling limit of random cubic planar graphs
研究了顶点数为偶数的随机单连通三次可平面图$n$。我们表明，布朗映射出现的Gromov-Hausdorff-Prokhorov缩放极限的$\mathsf{C}_n$作为$n \in 2 \ndN$趋于无穷大，重新缩放距离由$γn^{-1/4} $为一个特定的常数$γ>0$。
2022-03-14 math.CO math.PR
Planar digraphs for automatic complexity
我们证明了一个非确定性的有限自动机见证了一个词的自动复杂性的有向图总是可以被认为是平面的。在Shallit和Wang研究的全转移函数的情况下，平面性可能失败。令$s_q(n)$为具有非确定性自动复杂度$A_N(x)=q$的长度为$n$的二进制字$x$的数目。我们表明，$s_q$最终是恒定的每个$q$和最终的恒定值的$s_q$是可计算的。
2019-02-02 cs.FL math.CO math.LO
Random planar maps and graphs with minimum degree two and three
我们找到精确的渐近估计的数量的平面地图和图形的条件上的最低程度，和这些类的随机图的性质。特别地，我们证明了随机可平面图的最大树的大小是c log（n）阶的，对于一个显式常数c。这些结果为随机可平面图的结构提供了新的信息。
2018-06-10 math.CO math.PR
Approximating branchwidth on parametric extensions of planarity
LIRMM, Univ Montpellier, CNRS（蒙彼利埃大学）；School of Computing, KAIST（韩国科学技术院）
本文提出了一种对平面性参数扩展图的分支宽度近似算法，通过构造特定子图实现常数加性近似。
2026-01-28 cs.DM math.CO
Flexibility of triangle-free planar graphs
设G是一个具有列表赋值L的可平面图。假设为某些顶点给定了首选颜色。我们证明了，如果G是三角免费的，所有的列表的大小至少为4，那么存在一个L-染色尊重至少一个常数部分的喜好。
2019-02-08 cs.DM math.CO
Flexibility of planar graphs of girth at least six
设G是一个具有列表赋值L的可平面图。假设为某些顶点给定了首选颜色。我们证明了，如果G的围长至少为6，所有列表的大小至少为3，那么存在一个L-染色尊重至少一个常数部分的偏好。
2019-02-11 cs.DM math.CO
The absence of efficient dual pairs of spanning trees in planar graphs
有限平面连通图G中的生成树T确定对偶图G中的对偶生成树T*，使得T和T* 不相交。我们证明了在G中并不总是能找到T，使得T和T* 的直径都在其周围图的直径的一致乘法常数（与G无关）内。
2006-09-07 math.CO math.GR
A tight Erdős-Pósa function for planar minors
令$H$为平面图。根据Robertson和Seymour的一个经典结果，存在一个函数$f:\mathbb{N} \to \mathbb{R}$，使得对于所有的$k \in \mathbb{N}$和所有的图$G$，要么$G$包含$k$顶点不相交的子图，每个子图包含$H$作为子图，要么存在一个至多包含$f(k)$顶点的子集$X$，使得$G-X$没有$H$ -子图.我们证明，这仍然是正确的与$f(k) = c k \log k$为某些常数$c=c(H)$。这个界限是最好的，直到$c$的值，并且改进了Chekuri和Chuzhoy的最近结果[STOC 2013]，他们用$f(k) = c k \log^d k$为一些通用常数$d$建立了这个界限。证明是建设性的，并产生一个多项式时间的$O(\log \mathsf{OPT})$ -近似算法的包装子图包含一个$H$ -子。
2019-10-23 cs.DM math.CO
Distributed Dominating Set Approximations beyond Planar Graphs
最小支配集（MDS）问题是分布式计算中最基本、最具挑战性的问题之一。虽然众所周知，最小控制集不能在一般图上局部近似，但在过去几年中，在稀疏图，特别是平面图上计算局部近似已经取得了很大进展。在本文中，我们研究了分布式和确定性的MDS近似算法的图形类平面图以外。特别地，我们证明了平面图的现有逼近界可以提升到有界亏格图，并给出了（1）一个局部常数时间，常数因子MDS近似算法和（2）一个局部$\mathcal{O}(\log^*{n})$ -时间逼近方案。我们的主要技术贡献是一个新的分析略有修改的现有算法的Lenzen等人。有趣的是，与现有的平面图的证明，我们的分析不依赖于直接的拓扑参数。
2019-04-16 cs.DC cs.DM cs.DS
Packing cycles in planar and bounded-genus graphs
我们设计的常数因子近似算法找到尽可能多的不相交的周期，从一定的家庭周期在一个给定的平面或有界属图。这里不相交可以指顶点不相交或边不相交，图可以是无向的或有向的。所考虑的圈族必须满足两个性质：它必须是不可交叉的，并且允许对给定的非负边权重在该族中找到一个权重最小的圈，或者（在可平面图中）在删除一个给定的边子集后，该族中所有剩余圈的并集。我们的设置概括了过去单独研究的许多问题。例如，满足上述性质的三个族是（i）有向图或无向图中的所有循环，（ii）无向图中的所有奇数循环，以及（iii）无向图中精确地包含一个需求边的所有循环，其中需求边形成边集合的子集。后者的家庭（iii）对应于经典的不相交路径问题在完全平面和有界属的情况下。虽然常数因子近似算法是已知的边缘不相交的路径在这种情况下，我们改进了常数在平面的情况下，并获得第一个这样的算法顶点不相交的路径。我们还获得了近似的最小-最大定理的Erdens-Pósa型。例如，平面有向图中的最小反馈顶点集至多是顶点不相交圈的最大数目的12倍。
2023-02-03 cs.DM cs.DS math.CO
Cutting Planarians: Planar Emulators for String Graphs
Dartmouth College（达特茅斯学院）；University of Minnesota（明尼苏达大学）；Institute of Science and Technology Austria（奥地利科学技术研究所）
针对平面中任意路径连通区域相交图（弦图），构建了常数和1+ε失真下的距离草图，且草图本身为平面图，并应用于树覆盖、距离预言和树宽嵌入。
2026-06-25 cs.CG cs.DM cs.DS
