Rotor-routing and spanning trees on planar graphs
有限图G的沙堆群Pic ^0（G）是黎曼曲面雅可比矩阵的离散模拟，它在算术几何、自组织临界性、随机游动和算法的背景下被多次重新发现。给定一个带状图G，Holroyd等人使用“转子路由”模型定义了Pic^0（G）在G的生成树集合上的自由传递作用。然而，它们的构造先验地依赖于基点顶点的选择。Ellenberg问这个动作是否实际上取决于基点的选择。我们通过证明Pic^0（G）的作用与基点无关当且仅当G是平面带状图来回答这个问题。
2014-01-30 math.CO
Plane Triangulations Without Spanning 2-Trees
2-树是一个图，它可以通过从一个三角形开始，迭代使一个新顶点与现有图的两个相邻顶点邻顶点相邻的操作来形成。1995年，蔡雷真提出了一个问题：是否每个极大可平面图都包含一棵生成2-树。我们通过构造一个没有生成2-树的极大可平面图的无限类来否定地回答这个问题。
2022-03-19 math.CO
On spanning tree edge denpendences of graphs
设$τ(G)$和$τ_G(e)$为连通图$G$的生成树个数和包含边$e$的$G$的生成树个数。比率$d_{G}(e)=τ_{G}(e)/τ(G)$称为$e$的生成树边密度，或简称为$e$的密度。最大密度$\mbox{dep}(G)=\max\limits_{e\in E(G)}d_{G}(e)$被称为$G$的生成树边依赖，或简称为$G$的依赖。给定一个有理数$p/q\in (0,1)$，如果存在一个图$G$和一条边$e\in E(G)$使得$d_{G}(e)=p/q$，则我们说密度$p/q$是可构造的.更特别地，如果存在图$G$使得$\mbox{dep}(G)=p/q$，则我们说依赖$p/q$是可构造的。在2002年，费拉拉、古尔德和萨菲尔提出了一个公开的问题，其中合理的密度和依赖是可构造的。在2016年，Kahl提供了证明所有有理密度和依赖都是可构造的构造。此外，他表明，所有的合理密度是可构造的，即使$G$是限制在二分图或平面图。因此，他证明了所有的理性依赖也是可构造的，即使$G$仅限于二分图（猜想1）或平面图（猜想2）。本文利用组合网络和电网络的方法，首先证明了所有的有理依赖都可以通过二部图来构造，从而证实了Kahl的第一个猜想。其次，我们证明了平面重图的所有有理依赖都是可构造的，从而证实了Kahl关于平面重图的第二个猜想。然而，对于（简单）平面图，我们证明了Kahl的第二个猜…
2022-03-28 math.CO
Trees and co-trees with constant maximum degree in planar 3-connected graphs
本文考虑Grünbaum的猜想：每个平面3-连通图都有一棵生成树$T$，使得$T$及其余树的最大度都不超过3.这里，$T$的余树是通过取非树边的顶点而获得的对偶的生成树。虽然Grünbaum的猜想仍然是开放的，我们证明了每个平面3-连通图有一个生成树$T$，使得$T$和它的共树的最大度最多为5。它可以在线性时间中找到。
2013-12-15 cs.DM math.CO
Eulerian-spanning set and coboundary operator: An investigation of maxcut beyond planar graphs
Peking University（北京大学）；Beijing International Center for Mathematical Research, Peking University（北京大学北京国际数学研究中心）
通过引入欧拉生成集和上边界算子，将平面图上的最大割问题推广到一般非负权图，并针对k-收缩顶点图提出固定参数可解算法，在交叉数k的图上达到O(2^k(n+k)^{3/2} log(n+k))时间复杂度。
2026-05-30 cs.DS math.CO
Some NP-complete edge packing and partitioning problems in planar graphs
图包装和分区问题已经在许多情况下进行了研究，包括从算法复杂性的角度。考虑确定图是否包含不共享边的生成树和圈的包装问题。Bernáth和Király证明了这个判定问题是NP-完全的，并问当限制到可平面图时是否也有同样的结果。类似地，他们证明了具有生成树和两个不同顶点之间的路径的装箱问题是NP完全的。他们还建立了划分问题的NP完全性，即确定图的边集是否可以划分为生成树和（不一定是生成）树。我们证明了这三个问题仍然是NP-完全的，即使限制到可平面图。
2014-09-08 cs.CC math.CO
One-way infinite 2-walks in planar graphs
证明了3-连通2-不可分无限可平面图有1-路无限2-游动。（一个图是2-不可分的，如果删除100个顶点最多只剩下一个无限分支，2-行走是一个使用每个顶点最多两次的生成行走。这改进了Timar的一个假设局部有限性的结果。我们的证明使用Tutte子图，并允许我们也提供其他结果时，图是二分的或一个无限模拟的三角形：那么在图上的棱镜有一个跨越1路无限路径。
2015-08-27 math.CO
On the algorithmic complexity of finding hamiltonian cycles in special classes of planar cubic graphs
众所周知，平面三次图的Hamilton性是一个NP完全问题。这意味着即使仅限于平面3连通欧拉图，平面欧拉图中A-迹的存在性也是一个NP-完全问题。本文通过G/Q中的面的（拟）生成树来研究具有2-因子Q的平面三次图G的Hamilton性，并研究了求这种面的（拟）生成树的算法复杂性。我们表明，特别是，如果Barnette的猜想是假的，然后在3-连通平面立方二部图的哈密顿是一个NP-完全问题。
2018-06-15 math.CO
Trees and Matchings
在这篇文章中，Temperley的双射之间的生成树的正方形网格的一方面，和完美匹配（也称为二聚体覆盖）的正方形网格的另一方面，被扩展到设置一般平面有向（和无向）图，其中的边缘进行非负的权重，诱导一组的生成树的权重。我们证明了任何可平面图G的加权有向生成树（通常称为树状图）可以与相关可平面图H的完美匹配一一保持权对应.这个结果的一个特例是六边形蜂窝格的完美匹配和三角格的有向生成树之间的双射。另一种特殊情况给出了“正方形-八边形”格的完美匹配和有向加权生成树在有向加权版本的Carnival格上的对应关系。结合Kenyon的结果，我们的主要定理允许我们计算任意（有向，加权）可平面图上随机生成树的所有圆柱事件的测度。相反，在完美匹配模型来自树模型的情况下，Wilson算法允许我们快速生成完美匹配的随机样本。
2000-04-03 math.CO
Directed distances in spanning-tree-decorated planar maps: exact exponent, scaling limit and universality
MIT（麻省理工学院）；University of Chicago（芝加哥大学）
本文定义生成树装饰平面图的自然定向，研究有向距离，证明其典型阶为n^{1/3}，Busemann函数标度收敛至3/2-稳定Lévy过程，并推广至√2-LQG普适类，给出有向度量的标度维数。
2026-09-22 math-ph math.CO math.MP
Sandpiles, spanning trees, and plane duality
设G是连通的无环重图。G的沙堆群是一个有限的阿贝尔群，它的阶等于G中生成树的个数。Holroyd等人在图上使用了一个称为转子路由的动态过程来定义G的沙堆群在其生成树集合上的简单传递作用。它们的定义取决于两个辅助数据：G上的带状图结构的选择，以及根顶点的选择。Chan，Church和Grochow证明，如果G是平面带状图，则它具有与之相关联的规范转子路由动作，即，转子路由动作实际上与根顶点的选择无关。众所周知，可平面图G的生成树与其平面对偶图G* 的生成树是标准双射，而且G和G* 的沙堆群是同构的.因此，人们可以问：是两个转子路由行动，G的沙堆组在其生成树，和沙堆组G* 在其生成树，兼容下平面对偶？本文对Baker提出的这一问题给出了肯定的回答。
2014-06-19 math.CO
Spanning Forests on Random Planar Lattices
格点上生成森林的生成函数与q-态Potts模型在某个q -> 0极限下相关，并扩展了生成树或密集自避免支化聚合物的类似概念。最近的工作发现了一个组合扰动等价也与（二次作用）O（n）模型在极限n ->-1，扩展参数t计数的组件在森林中的数量。我们给出了一个随机矩阵制定的这个模型的集成度k随机平面晶格。当k = 3时，我们发现了与回路气体问题的Kostov解的对应关系，这是在n =-2时对（对数作用）O（n）模型的重新表述。然后，我们展示如何围绕t = 0理论进行展开。在热力学极限下，在t的任意阶，我们都有有限维柯西积分的有限和。主要的贡献来自一类特殊的条款，其中一个remation可以准确地执行。
2009-03-25 cond-mat.stat-mech hep-lat hep-th
Decomposing planar cubic graphs
3-分解猜想指出，每一个连通的三次图都可以分解成一个生成树、一个2-正则子图和一个匹配。我们证明了这个猜想对连通平面三次图类成立。
2017-10-27 math.CO
Elementary proof for the bounds of the complexity of a planar multigraph and the size of a prime rectangular squaring
两个结果（连同他们的相对初级的证明）。第一个给出了有限平面多重图的生成树个数的上界，证明了具有$n$边的平面多重图的复杂度（生成树个数）不超过$τ^n$，其中$τ\approx 1.8637$ .这个结果很可能是已知的和/或已发布的-我的快速网络搜索没有发现任何东西，但这并不能真正证明什么。这个不等式对于$τ^* \approx 1.7916$的“最佳可能”值实际上是正确的，这似乎也是合理的。第二个结果利用上述定理改进了著名的关于素数矩形平方中瓦片个数的Conway不等式。
2021-03-18 math.CO
The Bernardi process and torsor structures on spanning trees
设G是带状图，即，一个连通的有限图G连同围绕每个顶点的边的循环排序。通过对O. Bernardi，我们将由顶点v和与v相邻的边e组成的任何对（v，e）关联到G的生成树与G上g度因子类的集合Pic^g（G）的元素之间的双射，其中g是G的亏格。利用Picard群Pic^0（G）在Pic^g（G）上的自然作用，证明了Bernardi双射在生成树集上产生Pic^0（G）的一个单传递作用β v，它不依赖于e的选择.一个平面图有一个自然的带状结构（来自平面的逆时针方向），在这种情况下，我们证明了β v也与v无关。因此，对于平面图，生成树的集合自然是Picard群的torsor。反之，如果β v与v无关，则G及其带状结构是平面的.我们还证明了Pic^0（G）在平面图的生成树上的自然作用与平面对偶相容。这些发现在形式上与Holroyd等人和Chan-Church-Grochow的结果非常相似，他们使用旋转路由在带状图G的生成树上构造了Pic^0（G）的作用r_v，他们证明了当且仅当G是平面图时，作用r_v与v无关。因此，很自然地要问这两种结构是如何联系在一起的。证明了当G是平面带状图时，对于G的所有顶点v，β v = rv，即生成树集合上的两个torsor结构（Bernardi和Rotor-routing）重合.特别是，它遵循的转子路由torsor是兼容的平面对偶。我们猜想，对于每个非平面带状图G…
2017-02-06 math.AG math.CO
Critical Behaviour of Spanning Forests on Random Planar Graphs
在前人工作的基础上，我们分析了随机平面图上随机生成森林的统计力学模型。特别强调的是临界行为的分析。利用一个精确的关系与模型的O（-2）-循环和二聚体，以前解决了Kostov和Staudacher，我们确定的关键和多关键位点，并发现他们一致的最近的结果Bousquet-Mélou和Courtiel。这也与KPZ关系和Saleur预测的周期晶格上Potts模型的反铁磁区中的Berker-Kadanoff相一致。据我们所知，这是第一个已知的KPZ出现明确的Berker-Kadanoff相内工作的例子。我们建立方程的生成函数，在值t=-1的逸度，这是组合的兴趣，我们调查所得的数值序列，托尼古特曼的最喜欢的问题。
2016-12-16 cond-mat.stat-mech hep-th math-ph
On enumeration of tree-rooted planar cubic maps
我们考虑平面三次映射，即嵌入平面的连通三次图，具有标记的生成树和标记的有向边（不在这棵树中）。具有$2n$顶点的此类对象的数量为$C_{2n}\cdot C_{n+1}$，其中$C_k$是第$k$个加泰罗尼亚数。
2016-08-08 math.CO
Perfect matchings and spanning trees: squarishness, bijections and independence
本文提出一类仅含一条对称轴、完美匹配数为类平方数的平面图，通过图族完美匹配间的滑动双射推广Temperley经典双射，解决公开问题，并推导均匀生成树独立性相关新结果。
2024-04-15 math.CO
Maximal Planar Subgraphs of Fixed Girth in Random Graphs
1991年，Bollobás和Frieze证明了$G_{n,p}$包含生成极大平面子图的阈值非常接近于$p = n^{-1/3}$。在本文中，我们计算类似的阈值范围$G_{n,p}$包含一个最大的二部平面子图和$G_{n,p}$包含一个最大的平面子图固定围长$g$。
2017-06-19 math.CO
Spanning embeddings of arrangeable graphs with sublinear bandwidth
Böttcher，Schacht和Taraz的带宽定理[Mathematische Annalen 343（1），175-205]给出了具有小带宽和有界最大度的生成图H包含的最小度条件。我们把这个结果推广到α-可交换图H，其中Δ（H）<sqrt（n）/log（n），n是H的顶点数.我们的结果意味着最小度至少为（3/4+γ）n的足够大的n-顶点图G几乎包含所有n个顶点上的可平面图作为子图.使用技术开发的艾伦，Brightwell和Skokan [Combinatorica，出现]我们也可以应用我们的方法来表明，几乎所有的可平面图H的拉姆齐数最多为12 |H|。对于可嵌入到不同可定向曲面上的图，我们得到了相应的结果。
2013-05-09 math.CO
The rotor-routing torsor and the Bernardi torsor disagree for every non-planar ribbon graph
设$G$为带状图。Matthew Baker和Yao Wang证明了当$G$为平面时，$G$的Rotor-Routing Torsor和Bernardi Torsor（它们是$G$的Picard群的生成树集合上的两个Torsor结构）重合.我们证明了他们提出的猜想，即当$G$是非平面的时候，两个Torsors不一致。
2021-09-27 math.CO
On the Hamiltonian Number of a Planar Graph
连通图的哈密尔顿数是图中闭生成路的最小长度。1968年，Grinberg发表了可平面图中存在哈密顿圈的一个必要条件，用它的面圈的长度来表示。我们展示了如何格林伯格定理可以适应提供一个可平面图的哈密尔顿数的下界。
2015-08-27 math.CO
Effective resistance in planar graphs and continued fractions
本文解决了平面图有效电阻的逆问题，确定了具有给定有效电阻的最小简单平面图的大小（相差常数），并关联了生成树数目的逆问题。
2025-05-25 math.CO math.NT
Spanning forests in regular planar maps
本文用纯组合方法研究带生成森林的 p 价平面地图计数，将生成函数表示为双超几何方程组隐式定义的级数，证明其微分代数性，并揭示随参数 u 变化在 n^{-5/2}、n^{-3} 与 n^{-3}(\ln n)^{-2} 之间的新相变和普适类。
2013-06-19 math.CO
Trees and co-trees in planar 3-connected graphs An easier proof via Schnyder woods
本文通过Schnyder woods为Biedl关于3连通平面图包含余树同为5树的5树的结论提供了更简单的证明。
2024-06-04 cs.DM math.CO
Kasteleyn cokernels and perfect matchings on planar bipartite graphs
Kasteleyn的行列式方法给出了平面二部图的完美匹配数的计算方法。另外，Bernardi的结果还证明了平面二部图的生成树与其雅可比矩阵的元素之间的双射.在本文中，我们探讨了类似的Bernardi的结果，提供了一个典型的简单传递群作用的Kasteleyn上核的平面二部图的完美匹配集，当平面二部图的问题是的形式$G^+$，定义的Kenyon，Propp和Wilson。
2018-08-29 math.CO
A counterexample to prism-hamiltonicity of 3-connected planar graphs
图$G$上的棱柱是$G$与完全图$K_2$的笛卡儿积。一个图$G$是哈密尔顿图，如果$G$中存在一个生成圈;如果$G$上的棱柱是哈密尔顿图，则$G$是棱柱-哈密尔顿图.在[M.~ Rosenfeld，D.~ Barnette，Hamiltonian circuits in certain prismers，Discrete Math.5（1973），389- 394]作者证明了每个3-连通可平面图都是棱镜-哈密尔顿图。我们构造一个反例来证明这个猜想。
2019-06-16 math.CO
A few words about maps
在本文中，我们调查的一些性质，编码，和双射涉及组合映射，双现字，和弦图。我们特别研究准树从一个纯粹的组合的角度来看，并得出一个拓扑表示的地图与一个给定的生成准树使用两个基本的多边形，它扩展了表示的平面地图的基础上与二分圆图的等价性。然后，我们专注于深度优先搜索树和他们的连接与偏序集，我们定义的生成拟树的地图。我们将第一节中得到的双射应用于无环根映射的计数问题。最后，我们回到平面的情况下，并讨论了分解的平面有根无环映射及其后果的平面有根无环映射枚举。
2022-11-15 math.CO
The absence of monochromatic triangle implies various properly colored spanning trees
Northwestern Polytechnical University（西北工业大学）
研究探讨了在无单色三角形的完全图中存在适当着色生成树的条件，证明了星型树的猜想，并探讨了相关Ramsey数的量化估计。
2024-04-15 math.CO
Spanning trees and continued fractions
本文利用连分数、“thin orbits”和Zarembu猜想，证明了n顶点简单（及平面）图生成树数量集合基数的指数增长，解答了1969年Sedláček提出的问题。
2025-06-30 math.CO math.NT
Another proof of the result on rotation compatible planar covers
Niigata University（新潟大学）
本文通过基于基图中生成树的结构分析，给出了旋转兼容平面覆盖定理的一个组合证明。
2026-06-29 math.CO
Drawing Graphs as Spanners
本文研究了图在平面上的嵌入问题，把它看作是一个好的几何空间。也就是说，对于图$G$，目标是在平面中构造$G$的直线绘图$Γ$，使得对于$G$的任何两个顶点$u$和$v$，从$u$到$v$的任何路径的最小长度与$u$和$v$之间的欧几里得距离之间的比率小。在$G$的所有顶点对上的最大这样的比率是$Γ$的生成比率。首先，我们表明，决定是否允许一个图的直线图的生成比$1$，一个适当的直线图的生成比$1$，和一个平面的直线图的生成比$1$是NP-完全，$\exists \mathbb R$ -完全，线性时间可解的问题，分别是，如果没有两个顶点重叠，没有边重叠的顶点，绘图是适当的。其次，我们表明，从生成比$1$到生成比$1+ε$，我们可以绘制每个图。也就是说，我们证明了，对于每一个$ε>0$，每一个（平面）图允许一个适当的（分别）。平面）直线图，跨度比小于$1+ε$。第三，跨度比小于$1+ε$的图具有大的边长比，即最长边的长度与最短边的长度之比是指数的。我们表明，这有时是不可避免的。更一般地说，我们确定有界韧性的标准，区分图表，承认直线图纸与常数跨度比和多项式边长比的图表，需要指数边长比在任何直线图纸与常数跨度比。
2020-02-13 cs.CG cs.DM cs.DS
Tree-decorated planar maps
引入了（非生成）树装饰平面映射集，并证明了它们是树集与具有简单边界的映射集之间的笛卡儿积的双射。因此，我们计算了树装饰三角形和四边形与给定数量的面和给定大小的树。最后，我们推广了双射来研究其他类型的装饰平面映射，并得到了它们的显式计数公式。
2019-04-04 math.CO math.PR
The Laplacian on planar graphs and graphs on surfaces
这些是2011年11月在哈佛举行的数学会议的讲义。我们讨论的拓扑，概率和组合方面的拉普拉斯算子上的一个图嵌入在一个表面上。主要讨论三个问题：（1）对于“圆形”平面网络，Colin de Verdière对Dirichlet-to-Neumann算子的刻画;（2）与随机生成树模型的联系;（3）环形和环面上拉普拉斯算子的特征多项式。
2012-03-06 math.CO math.PR
The minimum stretch spanning tree problem for typical graphs
最小拉伸生成树问题在配电系统和通信网络中有广泛的应用，它是指求图G的一棵生成树T，使得T中两个邻顶点之间的最大距离最小。该问题已被证明是NP-难的，并对某些特殊的图类得到了固定参数多项式算法。在本文中，我们集中在典型的图类的最优性特征。我们确定了Petersen图、完全k-部图、分裂图、广义凸图和几种平面网格（包括矩形网格、三角形网格和三角矩形网格）的精确最优性表示。
2017-12-10 math.CO
Rooted Minors and Locally Spanning Subgraphs
本文提出一套通用机制，将关于 $k$-连通图（$1 \leq k \leq 4$）的结构命题加强为局部生成版本，通过引入以 $X$ 为根的 minor 概念，并结合 Tutte 路径理论，导出了度受限树、哈密顿路径与圈及 $2$-连通子图等六个著名结果的局部生成版本。
2023-04-05 math.CO
On finding hamiltonian cycles in Barnette graphs
本文通过面的拟生成树研究平面三次图的哈密顿性，并证明若Barnette猜想不成立，则相关哈密顿性问题为NP完全。
2022-12-13 math.CO
The Number of Spanning Trees in some Special Self-Similar Graphs
该研究构建了两类具有小世界特性的平面自相似图族，推导得到两类模型生成树数量的显式公式及部分拓扑参数的显式表达式，可应用于网络理论与理论化学领域。
2024-04-18 math.CO
Toward Grünbaum's Conjecture
针对 Grünbaum 猜想，本文利用 Schnyder 树的新结构，证明了平面 3-连通图存在生成树及其余树最大度至多为 4，改进了 Biedl 的 5 度界。
2024-02-08 cs.DM math.CO
The spanning tree spectrum: improved bounds and simple proofs
本文研究 n 顶点图中生成树数目 τ(G) 的可能取值个数，给出简洁组合证明将下界从 1.1103^n 改进到 1.55^n，并证明正则图可实现指数增长，同时建立了生成树数目的模对偶结果。
2025-08-23 math.CO
Torsor Structures on Spanning Trees
研究了（度0）Picard群在有限带状图的生成树集合上的两个作用.已知这两个动作分别表示为$β_q$和$ρ_q$，当且仅当带状图是平面的时，它们独立于基顶点$q$。Baker和Wang证明了在无重边的非平面带状图中，总存在一个点$q$，使$ρ_q\neqβ_q$ .证明了这个猜想，并将其推广到一类具有重边的带状图。我们也给出明确的例子，探索在非平面的情况下，两个torsor结构之间的关系。
2021-03-18 math.CO
The Number of Spanning Trees in Apollonian Networks
在本文中，我们找到了一个精确的解析表达式的生成树的数目在阿波罗网络。该参数可以与网络的重要拓扑和动力学性质相关，包括渗流、流行病传播、同步和随机游动。由于阿波罗网络是一类有趣的极大可平面图，它们同时具有小世界、无标度、欧氏空间和空间填充性，并且是高度聚集的，因此对它们的生成树的研究具有特殊的意义。我们的结果还允许计算的生成树熵的阿波罗网络，然后我们与其他图具有相同的平均度进行比较。
2014-01-20 cs.DM math.CO
Spanning trees with nonseparating paths
我们考虑的问题与存在的生成树的图形的属性，删除后的任何路径的树的图形仍然连接。我们证明，对于可平面图，具有此性质的树的存在性与图的Hamilton性密切相关。对于具有1-或2-顶点割的图，哈密尔顿性也起着中心作用。我们还处理生成树满足这一属性限制的路径所产生的基本周期。图的圈空间可以由任意生成树的基本圈生成，Tutte证明了，对于3-连通图，它可以由非分离圈生成。我们也对由非分离圈组成的基本基的存在感兴趣。
2014-09-15 math.CO
Outerplanar and planar oriented cliques
无向图$G$的团数是$G$的完全子图的最大阶，也是$G$的色数的一个下界. $G$的每一个正确的$k$ -染色都可以看作是$G$到$k$阶完全图的同态（保边顶点映射）。通过考虑定向图（不含长度不超过2的圈的有向图）的同态，得到了定向图的（定向）染色和定向色数的自然概念。定向团则是顶点数与定向色数一致的定向图。然而，有向集团的结构比无向集团的结构更难理解。本文研究了外平面和平面定向团的结构。我们首先提供了一个11个图的列表，并证明了一个外平面图可以定向为定向团当且仅当它包含这些图之一作为一个生成子图。Klostermeyer和MacGillivray证明了平面定向团的阶数至多为15，这一点后来被Sen [S.一个平面斜方的最大阶数是15。IWOCA'2012. { \em Lecture Notes Comput. Sci.} 7643：130- 142]。证明了任意15个顶点的平面定向团必含有一个特定的定向图作为生成子图，从而证明了上述猜想。我们还提供了严格的上限的顺序的平面定向集团周长$k$的所有$k \ge 4$。
2014-11-26 cs.DM math.CO
Toughness and spanning trees in $K_4$-minor-free graphs
对于整数$k$，$k$ -树是最大度至多为$k$的树。更一般地，如果$f$是顶点上的整数值函数，则$f$树是其中每个顶点$v$具有至多$f(v)$的度的树。令$c(G)$表示图$G$的分支数。证明了如果$G$是一个连通的$K_4$ -minor-free图，且$$ c(G-S) \;\le\; \sum_{v \in S} (f(v)-1) \quad\hbox{for all $S \subseteq V(G)$ with $S \ne \emptyset$} $$有生成$f$ -树.因此，如果$G$是一个$\frac{1}{k-1}$ -tough $K_4$ -minor-free图，则$G$有一个生成$k$ -树。这些结果是强于一般的图，由于赢（$k$ -树）和Ellingham，Nam和Voss（$f$ -树）的结果。无$K_4$ -minor图是平面图的一个子类，与树宽至多为$2$的图相同，也与块串并联的图相同.我们提供的例子表明，上面的不等式不能放松，通过添加$1$的右手边，也表明我们的结果并不适用于一般的平面图。我们的证明使用了一种技术，我们将韧性相关的信息与顶点和割集相关的权重。
2019-07-01 math.CO
Decomposing $4$-connected planar triangulations into two trees and one path
改进了Whitney的经典证明，证明了任何$4$连通的平面三角剖分都可以分解为一条Hamilton路径和两棵树.因此，每个$4$ -连通可平面图分解成三个森林，其中一个森林的最大度至多为$2$。利用这个结果，我们证明了任何Hamilton平面三角剖分都可以分解为两棵树和一棵最大度的生成树，最大度至多为$3$。这些分解改进了Gonçalves [Covering可平面图with forests，one having bounded maximum degree. J. Comb. Theory，Ser. B，100（6）：729- 739，2010]，每个可平面图可以被分解成三个森林，其中一个森林的最大度至多为$4$。我们还表明，我们的结果是最好的可能。
2018-04-20 cs.DM math.CO
Edge Partitions of Complete Geometric Graphs (Part 2)
最近，第二和第三作者表明，在$2n$顶点上的完全几何图一般不能划分成$n$平面生成树。在此基础上，本文研究了划分成超平面子图的问题，即划分成$k$ -平面和$k$ -准平面子图，并得到了这种情况下所需子图个数的第一界.
2021-12-15 cs.CG math.CO
Circular Backbone Colorings: on matching and tree backbones of planar graphs
给定一个图$G$和$G$的一个生成子图$H$，$(G,H)$的一个循环$q$ -主干$k$-染色是$G$的一个真$k$ -染色$c$，使得对于每条边$uv\in E(H)$，都有$q\le \lvert c(u)-c(v)\rvert \le k-q$. $(G,H)$的循环$q$ -主干色数，记为$CBC_q(G,H)$，是存在$(G,H)$的循环$q$ -主干$k$ -染色的最小整数$k$.四色定理意味着只要$G$是平面的，我们就有$CBC_2(G,H)\le 8$。证明了当$H$是树时，该上界可以改进为7，当$H$是匹配时，该上界可以改进为6。本文证明了：1）若$G$是平面图且没有$C_4$作为子图，且$H$是$G$的线性生成森林，则有$CBC_2(G,H)\leq 7$ ; 2）若$G$是平面图且没有两个3-面共享一条边，且$H$是$G$的匹配，则有$CBC_2(G,H)\leq 6$ ; 3）若$G$是平面的，且没有$C_4$和$C_5$作为子图，且$H$是$G$的一个匹配，则有$CBC_2(G,H)\leq 5$ .这些结果部分回答了Broersma，Fujisawa和Yoshimoto（2003）以及Broersma，Fomin和Golovach（2007）提出的问题。这也为斯坦伯格猜想提供了一个肯定的答案。
2016-04-20 cs.DM math.CO
Weighted enumeration of spanning subgraphs with degree constraints
关于（单变量）匹配多项式的Heilmann-Lieb定理指出多项式$\sum_k m_k(G) y^k$只有实非正零点，其中$m_k(G)$是图$G$的$k$ -边匹配的数目。这个定理有一个更强的多元版本。我们提供了一个通用的方法，通过该方法可以证明各种各样的多项式附着到图$G$的“Heilmann-Lieb型定理”。这些多项式是$G$的生成子图的多元生成函数，并具有一定的权重和约束条件，定理指定了这些多项式为非零的区域。这样的定理有后果的情况下，在某些概率模型的生成子图的$G$的相变。
2008-03-11 math.CO
Hamiltonian cycles in planar cubic graphs with facial 2-factors, and a new partial solution of Barnette's Conjecture
研究了具有面2-因子Q的平面三次图G中哈密顿圈的存在性。从而G中的Hamilton性转化为收缩G/Q中面的（拟）生成树的存在性。特别地，我们研究了G是蛙跳扩展（在（Discrete Math.，309（14）：4793-4809，2009））。作为结果，我们证明了平面三次循环4-边连通二部图的蛙跳扩张的Hamilton性。本文的这一结果和其他结果建立了巴内特猜想的部分解，根据巴内特猜想，每个3连通三次平面二部图都是汉密尔顿的。这些结果大大超过了Goodey关于这个主题的结果（Israel J. Math.，22：52-56，1975）。
2019-11-27 math.CO
Minimal $L^p$-congestion spanning trees on weighted graphs
本文将生成树拥塞推广为 L^p 拥塞，给出若干图族的显式估计，并提出针对一般加权图和加权平面图的多项式时间近似算法。
2025-05-09 cs.DM math.CO
Packing Trees into 1-planar Graphs
我们引入并研究了1-平面填充问题：给定一个$k$图，其顶点为$G_1, \dots, G_k$，找到一个1-平面图，其中包含给定的图作为边不相交的生成子图。我们主要关注的情况下，每个$G_i$是一棵树和$k=3$。我们证明了由三个毛毛虫或两个毛毛虫和一个路径组成的三元组可能不允许1-平面填充，而两个路径和一个特殊类型的毛毛虫总是有一个。然后，我们研究了1-平面包装与少数交叉，并证明了三个路径（分别。循环）允许具有最多七个（分别地，十四）交叉口。最后，我们证明了一个四元组由三个路径和一个完美匹配的$n \geq 12$顶点承认1-平面包装，而这样的包装不存在，如果$n \leq 10$。
2019-11-05 cs.CG math.CO
Dirac's Condition for Spanning Halin Subgraphs
设$G$是一个具有$n\ge 3$的$n$ -顶点图. Dirac在1952年的一个经典结果断言$G$是哈密顿的，如果$δ(G)\ge n/2$ .狄拉克定理是哈密顿性研究中最有影响力的结果之一，到目前为止，已有许多相关的已知结果，（参见，例如，J. A. Bondy，基本图论：路径和电路，{ \it Handbook of Combinatorics Vol.1}中的第1章）。一个{ \it Halin图}是由两个边不相交的子图组成的平面图：一个至少有4个顶点且没有2度顶点的生成树，以及在生成树的叶子集合上诱导的一个圈。Halin图具有丰富的哈密尔顿性，如哈密尔顿图、哈密尔顿连通图和几乎泛圈图。作为Dirac定理的一个连续推广，本文证明了存在正整数$n_0$，使得任何具有$n\ge n_0$顶点和$δ(G)\ge (n+1)/2$的图$G$都包含一个生成Halin子图.特别地，它包含一个生成Halin子图，这也是泛圈的。
2017-07-14 math.CO
Proper Orientations of Planar Bipartite Graphs
如果图$G$的任意两个邻顶点具有不同的度，则图的定向是正确的.图$G$的真方向数$\overrightarrowχ(G)$是在图$G$的所有真方向上取的最大入度的最小值。在本文中，我们表明，一个连接的二部图可能是适当的定向，即使我们只允许控制一组特定的边缘，即，边的生成树和所有的边缘事件到它的叶子。作为这个结果的一个推论，我们证明了3-连通平面二部图的真方向数至多为6。此外，我们给出了一个简短的证明，$\overrightarrowχ(G) \leq 4$，当$G$是一棵树，这个证明导致一个多项式时间算法，以适当的方向树在此范围内。
2016-09-21 math.CO
