Extremal function for rooted $K_5$ minors
Charles University, Prague, Czech Republic（布拉格查理大学）
本文证明了5-连通图边数达到4n-10时，任意五个顶点可收缩得到K_5 minor，且该界最优。
2026-09-15 math.CO
Rooted grid minors
直觉上，图中的大阶缠结是图的高连通部分，并且已知如果图具有大阶缠结，则它具有大网格子。本文证明了对任意k，如果G有一个高阶缠结，Z是一个基数为k的顶点集，且不能以任何小于k的阶距从缠结中分离出来，则G有一个包含Z的大网格子式，其中Z的成员都属于网格的外部.这是一个引理，将在后面的文章中使用。
2013-07-30 math.CO
A note on extendable sets of colorings and rooted minors
本文将 DeVos 和 Seymour 关于平面图中 3-着色可扩展集合的结果推广到无 $K_{k+2}$ 子式且以 $X$ 为根的无 $K_{k+1}$ 子式图上的 $k$-着色情形。
2025-04-10 math.CO
Finding large expanders in graphs: from topological minors to induced subgraphs
在本文中，我们考虑图的结构和几何性质，即存在大扩张。发现这种结构的问题首先由Krivelevich [SIAM J. Disc. 321（2018）]。在这里，我们表明，找到一个大的诱导子图，这是一个扩展的问题，可以减少到更简单的问题，找到一个拓扑子是一个扩展。我们的证明是建设性的，这是在算法设置有帮助。我们还表明，每个大的子图的扩展图包含一个大的子图，这本身是一个扩展。
2020-12-31 math.CO
The index of unbalanced signed complete graphs whose negative-edge-induced subgraph is ${K}_{2,2}$-minor free
本文研究负边诱导子图不含 $K_{2,2}$ 子式的符号完全图，刻画了其指数取得最大值与第二大值时的极值图结构。
2025-05-14 math.CO
Defective colouring of graphs excluding a subgraph or minor
Archdeacon（1987）证明了可嵌入到固定曲面上的图可以是$3$ -着色的，使得每一个着色类都导出一个有界最大度的子图。Edwards，Kang，Kim，Oum and Seymour（2015）证明了没有$K_{t+1}$ -子图的图可以是$t$ -着色的，使得每个颜色类都导出一个有界最大度的子图。我们证明了一个共同的概括，这些定理与较弱的假设排除子图。这一结果导致了几类图的新的缺陷着色结果，包括具有线性交叉数的图，具有给定厚度的图（与地球-月球问题相关），具有给定栈数或栈数的图，无链接或knockless可嵌入图，具有给定Colin de Verdière参数的图，以及排除完全二部图作为拓扑子图的图。
2017-04-04 math.CO
Induced subgraphs and tree decompositions XVI. Complete bipartite induced minors
Princeton University（普林斯顿大学）；University of Waterloo（滑铁卢大学）
该研究证明了具有足够大完全二分图诱导极小式的图要么包含大墙诱导极小式，要么包含大星座，并进一步将不可避诱导子图分为两种高度结构化的星座。
2026-02-18 math.CO
Fast counting of medium-sized rooted subgraphs
我们证明了任何图$F$在另一个图$G$中的副本计数可以通过对$G$的邻接矩阵进行基本矩阵运算来实现。此外，所得到的算法是中等大小的$F$的竞争力：我们的算法恢复了最有名的复杂度为根6团计数，并提高了最有名的9周期计数。支撑我们的证明是新的结果，对于一般类的图算子，矩阵运算是根图上的操作的同态。
2017-01-13 cs.DM cs.SI math.CO
A characterization of generalized cospectrality of rooted graphs with applications in graph reconstruction
本文通过矩阵刻画具有广义同谱删顶点子图的根图，并据此给出图可重构性的新条件，证明含几乎可控且具非平凡自同构删点子图的图可重构。
2024-08-05 math.CO
Large complete minors in random subgraphs
设$G$是最小度至少为$k$的图，$G_p$是$G$的随机子图，通过以概率$p$保持每条边独立而获得。我们感兴趣的是当$p = \frac{1+\varepsilon}{k}$与$\varepsilon >0$一起使用时，$G_p$包含的最大完全子式的大小。我们发现，以高概率$G_p$包含一个完整的未成年人的顺序$\tildeΩ(\sqrt{k})$，其中的$\sim$隐藏一个多对数因子。此外，在$G$的顺序的情况下，也有界以上的$k$的一个常数倍，我们表明，这个polylogarithmic项可以删除，给一个紧的约束。
2020-10-05 math.CO
Graphs and Their Associated Inverse Semigroups
有向图长期以来被用来理解半群的结构，最近人们研究了有向图半群的结构，得到了一个特征定理和一个类似于Fruct定理的结果.研究了由子图、顶点诱导子图、有根树诱导子图和根路诱导子图等概念构造的无向图上的四个逆半群.刻画了这四个逆半群的幂等元半格和理想格的结构。最后，我们证明了一个特征定理，说明每个图有一个唯一的关联逆半群同构。
2015-06-06 math.CO
Forbidding the subdivided claw as a subgraph or a minor
University of South Alabama（南阿拉巴马大学）；Vanderbilt University（范德堡大学）
本文研究了禁止细分爪作为子图或矿脉的图的性质，并探讨了其在Turán数、路径宽度和图增长常数中的应用。
2026-02-03 math.CO
Finding minors in graphs with a given path structure
给定图G和H，其中V（G）包含V（H），假设对于H中的每条边uv，我们在G中有一条u，v-路P_{uv}.有明显的附加条件，确保G包含H作为一个有根子图，细分，或浸入;我们寻求的条件，确保G包含H作为一个有根子或子。这自然会导致研究形成H-浸入的路径集，以及包含相同顶点的路径必须具有公共端点的附加属性。我们说$H$是可收缩的，如果只要G包含这样一个H-浸入，G也必须包含一个有根H-子式。例如，我们证明了森林、圈、K_4和K_{1,1,3}是可收缩的，但不是6-可着色的图和包含K_{2,3}的某些细分的图是不可收缩的。
2012-07-25 math.CO
Clustered Coloring of Graphs Excluding a Subgraph and a Minor
Texas A&M University（德克萨斯农工大学）；Monash University（莫纳什大学）
本文研究排除子图和/或子式的图的聚类着色问题，证明了多类图的有界聚类着色数最优界，改进了奇子式相关猜想的现有界值。
2021-12-04 math.CO
Partitioning $H$-minor free graphs into three subgraphs with no large components
本文证明了：对于任意的图$H$，如果一个图$H$没有（奇数）$H$子图，那么它的顶点集$V(G)$可以划分为三个集合$X_1$，$X_2$，$X_3$，使得对于每个$i$，在$X_i$上导出的子图没有大于$H$和$G$的最大度的函数的分支.这改进了Alon，Ding，Oporowski和Vertigan~（2003）的先前结果，即如果$G$没有$H$子式，则$V(G)$可以被划分为四个这样的集合。我们的定理推广了Esperet和Jaret ~（2014）的一个结果，他们证明了它对于可嵌入固定曲面上的图，并询问它是否对没有$H$子式的图成立。作为推论，我们证明了：对于每一个正整数$t$，如果图$G$没有$K_{t+1}$子图，那么它的顶点集$V(G)$可以被划分成$3t$集$X_1,\ldots,X_{3t}$，使得对于每一个~ $i$，在$X_i$上导出的子图没有大于~ $t$的一个函数的分支.这个推论改进了Wood~（2010）的一个结果，该结果指出$V(G)$可以划分成$\lceil 3.5t+2\rceil$这样的集合。
2017-08-29 math.CO
Implicit Enumeration of Topological-Minor-Embeddings and Its Application to Planar Subgraph Enumeration
给定图$G$和$H$，我们提出了一种方法，隐式枚举的拓扑子嵌入的$H$在$G$使用决策图。我们展示了一个有用的应用程序，我们的方法枚举子图的特征在于禁止拓扑未成年人，即，平面，outerplanar，串并联，仙人掌子图。计算实验表明，我们的方法可以找到所有平面子图在一个给定的图在最多五个数量级的速度比一个天真的回溯为基础的方法。
2019-11-18 cs.DS math.CO
Face covers and rooted minors in bounded genus graphs
本文研究有界亏格曲面上3-连通有根图的面覆盖问题，在无有根K_{2,t}子式且面宽足够大的条件下给出大小受g和t函数控制的面覆盖，并在平面情形得到无条件O(t^4)上界，改进已有结果。
2025-03-12 cs.DM math.CO
Universal graphs for the topological minor relation
本文证明可数平面图类中不存在拓扑子式万有图，回答了Diestel和Kühn的问题并加强了Pach的结果，同时刻画了细分星图T使得可数T-自由图类具有拓扑子式万有图的条件。
2023-05-28 math.CO
Erdős-Pósa property of rooted tree minors
Université libre de Bruxelles（布鲁塞尔自由大学）；Université Côte d’Azur, CNRS, Inria, I3S（尼斯蔚蓝海岸大学、法国国家科学研究中心、法国研究与计算机数学研究所、I3S）
本文证明了以顶点子集S为根的树子式仍满足带线性界的Erdős-Pósa性质，改进了此前的O(k²)上界，是Gallai经典S-路径定理的推广。
2026-07-30 cs.DM math.CO
Clique minors in graphs with a forbidden subgraph
经典的Hadwiger猜想可以追溯到20世纪40年代，它指出任何色数至少为$r$的图都有阶为$r$的团作为子图。Hadwiger猜想是一个很好的研究类问题的一个例子，问多大的团未成年人可以保证在一个图有一定的限制。这种类型的一个问题是问什么是最大规模的团子图的$n$顶点的独立数$α(G)$至多$r$。如果Hadwiger猜想成立，则意味着存在一个$n/α(G)$阶的团子。Kuhn和Osthus以及Krivelevich和Sudakov的结果表明，如果另外假设对于某个二部图$H$，$G$是$H$ -free的，那么可以找到一个多项式更大的团子式.这最近已扩展到三角形自由图的Dvokiák和Yepremyan，回答一个问题的诺林。我们完成的图片，并表明，同样是真实的任意图$H$，回答一个问题的Dvokiák和Yepremyan。特别地，我们证明了任何$K_s$ -free图都有一个阶为$c_s(n/α(G))^{1+\frac{1}{10(s-2) }}$的团子式，对于某个常数$c_s$，它只依赖于$s$ .该结果中的指数在$\frac{1}{s-2}$项之前紧到常数因子。
2021-02-08 math.CO
An Asymptotically Tight $t\log t$ Bound for $k$-Connected Subgraphs in Dense $K_t$-Minor-Free Graphs
Center for Discrete Mathematics, Fuzhou University（福州大学离散数学中心）；Fuzhou University（福州大学）
研究在稠密无 \(K_t\) 子图的图中 \(k\) - 连通子图的界，通过改进方法，将结构界从 \(O(t\log^3 t)\) 提升到 \(O(t\log^2 t)\)，优化了相关图的阶，从 \(O(t\log^4 t)\) 变为 \(O(t\log^3 t)\)。
2026-08-07 math.CO
Rooted $C_5$-Minors
本文应用 Thomas 和 Wollan 的方法证明了：若图 $G$ 是 $10$-连通的，则对于 $G$ 的任意五个互异顶点，均存在以这五个顶点为根的 $C_5$-minor。
2025-10-31 math.CO
$K_{4}$-Minor-Free Induced Subgraphs of Sparse Connected Graphs
我们证明了每一个具有$m$边的连通图$G$包含至多$\frac{3}{16}(m + 1)$顶点的集合$X$，使得$G-X$没有$K_4$子图，或者等价地，至多$2$有树宽.这个界限是最好的。连通性是必不可少的：如果$G$未连接，则只能保证$\frac{1}{5}m$的一个界限。
2016-05-17 cs.DM math.CO
Unavoidable cycle-contraction minors of large $2$-connected graphs
本文研究了大2连通图的不可避免循环收缩minors，通过收缩循环得到minors，建立了与诱导子图定理对偶的结论。
2025-11-22 math.CO
A sharp density bound for 5-connected graphs with no $\Ke$ minor
Guangdong University of Petrochemical Technology（广东石油化工学院）；Lingnan Normal University（岭南师范学院）；Fujian Institute of Education（福建教育学院）；China University of Geosciences（中国地质大学）
本文证明了5-连通图在边数至少4n-9时必含$\Ke$ minor，解决了相关猜想，并加强了根minor定理，该密度界是锐的。
2026-09-23 math.CO
Unavoidable substructures in large and infinite $2$-edge-connected graphs
University of South Alabama（南阿拉巴马大学）；Vanderbilt University（范德堡大学）
本文研究了大且无限2-边连通图中的不可避免诱导子结构，发现'pinched super-clean ladders'等结构在其中扮演关键角色，并推导出关于大子图、拓扑Minor、Minor、诱导拓扑Minor、诱导Minor及欧拉子图的相关结论。
2026-06-08 math.CO
Induced minors and well-quasi-ordering
图$H$是图$G$的导出子图，如果它可以通过收缩边从$G$的诱导子图得到。否则，$G$被认为是无$H$诱导的次要的。Robin Thomas证明了$K_4$诱导的无子图是由诱导子图良准序的[Graphs without $K_4$ and well-quasi-ordering，Journal of Combinatorial Theory，Series B，38（3）：240 - 247，1985]。本文给出了$H$ -诱导无子图的一个二分法，证明了一类$H$ -诱导无子图是由诱导子图关系良准序的当且仅当$H$是gem（4点上的路加一个控制点）或4点上的完全图加一个2度点所得到的图的诱导子图.为此，我们证明了两个分解定理是独立的利益。类似的二分性结果以前曾在丁国立的[Subgraphs and well-quasi-ordering，Journal of图论，16（5）：489- 502，1992]和Peter Damaschke的[诱导子图and well-quasi-ordering，Journal of图论，14（4）：427- 435，1990]中给出。
2018-01-22 cs.DM math.CO
Kempe Chains and Rooted Minors
一个划分的（最小）断面是一个集合，它只包含来自划分的每个成员的一个元素，没有其他元素。一个图的着色是将它的顶点集划分成若干个反顶点，即两两不相邻的顶点集。我们研究以下问题：给定某个图$G$的一个真染色$\mathfrak{C}$的横截$T$，是否存在将$V(G)$的子集划分为连通集的划分$\mathfrak{H}$，使得$T$是$\mathfrak{H}$，并且如果来自$T$的两组$\mathfrak{H}$的对应顶点在$G$中通过路径连接，仅使用两种颜色？第一作者曾建议研究以下问题：对于某个图$G$的$k$阶着色$\mathfrak{C}$的任何横截$T$，使得任何一对色类诱导连通图，是否存在这样一个具有成对相邻集的划分$\mathfrak{H}$（这将证明唯一最优可着色图类的Hadwiger猜想）？这对于小的$k \geq 5$是开放的，本文给出了$k=5$与由$T$导出的子图连通的证明.此外，我们还证明了对于$k\geq 7$，仅仅强制任意两个横截顶点通过一条2-色路连接是不足以使$\mathfrak{H}$存在的。
2022-11-29 math.CO
Generalizing Cographs to 2-Cographs
如果一个图的每个连通诱导子图都有一个不连通补图，则称之为上图。这样的图正是不具有作为诱导子图的4-顶点路径的图。我们定义了一个$2$ -余图，在这个图中，每个$2$ -连通诱导子图的补图都不是$2$ -连通的.我们表明，像上图，$2$ -上图可以递归定义。但是，与上图不同，$2$ -上图在诱导子式下是封闭的。刻画了一类非$2$ -余图，使得每一真导出子图都是$2$ -余图.我们进一步找到了这个类的100多个成员，其补图也是诱导-小-极小非$2$ -余图。
2022-03-10 math.CO
Rooted induced trees in triangle-free graphs
对于图$G$，令$t(G)$表示$G$的导出子图是树的最大顶点数。进一步地，对于顶点$v\in V(G)$，令$t^v(G)$表示$G$的导出子图中的顶点的最大数目，该导出子图是树，具有树必须包含$v$的额外条件。$t(G)$（分别为$t^v(G)$）在所有连通无三角形图$G$（和$n$顶点上的顶点$v\in V(G)$）上的最小值记为$t_3(n)$（$t_3^v(n)$）。显然，$t^v(G)\le t(G)$适用于所有$v\in V(G)$。在本文中，我们解决了极值问题的最大化$|G|$给定$t^v(G)$，给定$G$是连通的和三角形自由。我们证明了$|G|\le 1+\frac{(t_v(G)-1)t_v(G)}{2}$并确定了唯一的极值图。因此，我们得到了$t_3(n)\ge t_3^v(n)=\lceil {1/2}(1+\sqrt{8n-7})\rceil$作为推论，改进了Fox，Loh和Sudakov最近的一个结果.
2008-12-15 math.CO
Improper coloring of graphs with no odd clique minor
作为Hadwiger猜想的一个加强，Gerards和Seymour证明了任何没有奇数$K_t$子式的图都是$(t-1)$ -可着色的.我们证明了这个猜想的两个较弱的变种。首先，我们证明了对于每个$t \geq 2$，每个不含奇数$K_t$子图的图都有一个将其顶点集划分为$6t-9$集$V_1, \dots, V_{6t-9}$的划分，使得每个$V_i$诱导出一个最大度有界的子图.其次，我们证明了，对于每个$t \geq 2$，每个图没有奇数$K_t$子有一个分区的顶点集到$10t-13$集$V_1, \dots, V_{10t-13}$，使每个$V_i$诱导一个子图的组件有界大小。第二个定理改进了Kawarabayashi（2008）的结果，该结果指出顶点集可以划分为$496t$这样的集合。
2018-09-14 math.CO
Forcing finite minors in sparse infinite graphs by large-degree assumptions
进一步发展斯坦最近的概念，在无限图的相对端度，我们调查的程度假设可以迫使一个局部有限图包含一个给定的有限未成年人，或一个有限的子图给定的最低程度。这是一个更广泛的项目的一部分，该项目旨在发展稀疏无限图的极值理论。
2012-09-24 math.CO
Expansion, long cycles, and complete minors in supercritical random subgraphs of the hypercube
类似于二项式随机图$G(d+1,p)$的情况，已知$d$维超立方体的随机子图的行为，其中我们以概率$p$独立地包括每个边，我们用$Q^d_p$表示，在$p=\frac{1}{d}$的临界值附近经历相变。更准确地说，标准论证表明，显著低于$p$的这个值，概率趋于1，如$d \to \infty$（简称whp），这个图的所有分量都有$O(d)$阶，而Ajtai，Komlós和Szemerédi表明，显著高于这个值，在\emph{supercritical regime}中，whp有一个唯一的$Θ\left(2^d\right)$阶的“巨型”分量。在$G(d+1,p)$更多的是已知的复杂结构的随机图出现在这个超临界状态。例如，已知在该体系中，whp $G(d+1,p)$包含长度为$Ω(d)$的路径和圈，以及$Ω\left(\sqrt{d}\right)$阶的完全子式。本文在$Q^d_p$中得到了类似的结果。特别是，我们表明，对于超临界$p$，即，当$p=\frac{1+ε}{d}$为正常数$ε$时，whp $Q^d_p$包含长度为$Ω\left(\frac{2^d}{d^3(\log d)^3} \right)$的圈和$Ω\left(\frac{2^{\frac{d}{2}}}{d^3(\log d)^3 }\right)$阶的完全子式。为了证明这些结果，我们表明，whp的$Q^d_p$…
2021-12-01 math.CO
Saturation Numbers for Minors
饱和数$\text{sat}(n,\mathcal{F})$是任何不包含$\mathcal{F}$的成员作为子图的图中的最小边数，但如果添加任何边则会包含。我们给了一些上限和下界的饱和数的未成年人。特别地，我们将证明某些广义Petersen图对于$6\le r\le 8$是$K^r$ -小饱和的.
2020-12-06 math.CO
Upper tails for counting objects in randomly induced subhypergraphs and rooted random graphs
给出了固定超图H的随机导出子超图的边数的一般上尾估计，并通过矩估计给出了简单的证明。作为应用，我们考虑了整数随机子集上的等差数列和Schur三元组的个数.在本文的第二部分中，我们返回到随机图的子图计数，并在有根的情况下提供上尾估计。
2009-05-07 math.CO math.PR
Universal graphs with forbidden wheel minors
本文证明对任意禁止轮图子式的可数图类，存在一个泛图包含该类中所有图作为诱导子图。
2023-09-21 math.CO
Unavoidable induced subgraphs in graphs with complete bipartite induced minors
本文证明了包含特定完全二部图作为导出子式的图必然包含环或theta作为导出子图，并指出排除网格与完全二部图导出子式不足以保证树独立数或有界树宽。
2025-07-22 cs.DM math.CO
Positivity Rigidity for Grossman-Larson Characters and the Kingman Face of the Hoffman Rooted-Tree Graph
本文分类了 Grossman-Larson Hopf 代数在根树基上的非负实特征，揭示其由 Kingman paintbox 参数化，并刻画了 Hoffman 根树图上的中心测度面及 Martin 边界结构。
2026-09-28 math.CO
A strong nullity parameter for rooted graphs
Eindhoven University of Technology（埃因霍温理工大学）；Vrije Universiteit Brussel（布鲁塞尔自由大学）；Hall Labs LLC（霍尔实验室有限公司）；National Yang Ming Chiao Tung University（国立阳明交通大学）；University of Wyoming（怀俄明大学）
本文提出根图的强空秩参数，用于研究图的空秩对及其性质，并通过新工具表征具有特定空秩阈值的根图。
2026-03-01 math.CO
Eulerian-minors and a concise recursive characterization of 4-regular planar graphs
本文利用欧拉子式关系刻画欧拉图、平面欧拉图和外平面欧拉图，并给出4-正则平面图的简洁递归刻画。
2024-01-11 math.CO
Minor-excluded graphs and soficity
本文研究了随机根图的sofic性，证明了不包含特定有限图作为子式的单端单模随机根图必具sofic性，并指出在拟传递条件下可放宽端点数假设。
2025-10-11 math.CO math.GR math.LO
Rank-width and Tree-width of H-minor-free Graphs
本文证明了对任意固定的r>=2，不含K_r拓扑子式的图的树宽（分别为K_r = 0，K_r = 0）。作为子图）由线性（分别地，多项式）的函数。我们也给出了其他图类，如K_r-子自由图和有界亏格图的界的改进。
2009-10-01 math.CO
Defective coloring is perfect for minors
该研究证实了子式闭族缺陷色数等于标准构造下界的猜想，得到聚类色数与禁子式树深度的线性关系，改进了此前的指数界。
2023-11-22 math.CO
On tree decompositions whose trees are minors
在2019年，Dvotelák问是否每个连通图$G$都有树分解$(T, \mathcal{B})$，使得$T$是$G$的子图，并且$(T, \mathcal{B})$的宽度由$G$的树宽度的函数限定。我们证明，这是假的，即使当$G$有树宽$2$和$T$允许是一个未成年人的$G$。
2023-02-23 math.CO
A note on Hadwiger's conjecture: Another proof that every 4-chromatic graph has a $K_4$ minor
本文针对哈德维格猜想的第一个非平凡情形，给出一种新证明，通过利用图的子图的正常3-染色来构造$K_4$子式，从而证明每个色数至少为4的图都含有$K_4$子式。
2023-08-10 math.CO
Bipartite clique minors in graphs of large Hadwiger number
Hadwiger数$h(G)$是$G$中最大完全子式的阶数。足够的Hadwiger数是否意味着一个具有额外性质的子式？在[2]中，Geelen等人证明了$h(G)\geq (1+o(1))ct\sqrt{\ln t}$意味着对于某些显式$c\sim 1.276\dotsc$，$G$有一个Hadwiger数至少为$t$的二部子图.我们将其改进为$h(G) \geq (1+o(1))t\sqrt{\log_2 t}$，并提供了一个结构，表明这是紧的。我们还得到了改进的边界的拓扑小变量这个问题。
2021-07-14 math.CO
Faithful universal graphs for minor-closed classes
研究minor-闭类的忠实通用图，证明K_t-minor-无且含所有n顶点平面图的图需2^{Ω(n)}顶点，构造多项式大小的K_4-minor-无图（含所有n顶点树）和K_7-minor-无图（含所有n顶点K_4-minor-无图），回答相关问题并推广研究各类图的通用图阶。
2025-08-23 cs.DS math.CO
The covering threshold of a directed acyclic graph by directed acyclic subgraphs
设$H$是一个有向无圈图，不是一个根星图.已知存在常数$c(H)$和$C(H)$，使得以下对于完全有向图$D_n$成立。最多有$D_n$的$C\log n$有向无环子图覆盖$D_n$的每个$H$ -拷贝，而少于$c\log n$的$D_n$有向无环子图不覆盖所有$H$ -拷贝。在这里，这种二分法得到了相当大的加强。设${\vec G}(n,p)$表示随机有向图。$H$的{ \em分数荫度}是$a(H) = max \{\frac{|E(H')|}{|V(H')|-1}\}$，其中最大值在$H$的所有非单例子图上。如果$a(H) = \frac{|E(H)|}{|V(H)|-1}$，则$H$为{ \em完全平衡}。完全图，完全多部图，圈，树，事实上，几乎所有的图都是完全平衡的。证明了：1）设$H$是一个$h$顶点和$m$边都不是根星的dag.对于每个$a^* > a(H)$都存在$c^* = c^*(a^*,H) > 0$使得几乎必然$G \sim {\vec G}(n,n^{-1/a^*})$具有这样的性质：$G$的至多$c^*\log n$个有向无环子图的每个集合$X$不覆盖$G$的所有$H$ -拷贝.此外，存在$s(H) = m/2 + O(m^{4/5}h^{1/5})$，使得以下更强的断言对于任何这样的$X$成立：在$G$中存在$H$ -拷贝，其具有不超过$s(H)$的由$…
2022-05-22 math.CO
Polynomial expansion and sublinear separators
设$\mathcal{C}$是一类在取子图下闭的图.证明了：如果对固定的$0<δ\le 1$，$\mathcal{C}$的每个$n$ -顶点图都有一个阶为$O(n^{1-δ})$的平衡分离子，则$\mathcal{C}$中的任何深度- $k$子图（即半径至多为$k$的不交子图收缩得到的子图）都有平均度$O\big((k \text{ polylog }k)^{1/δ}\big)$ .这证实了德沃夏克和诺林的一个猜想。
2017-10-10 math.CO
Spectral conditions for forbidden subgraphs in bipartite graphs
一个图$G$是无$H$的，如果它不包含作为子图的$H$.一个图被称为\emph{$H$-minor free}，如果它不包含$H$作为子图。近年来，Nikiforov提出了一个问题：$n$阶的$H$-free图的最大谱半径是多少？本文研究了二部图上的Brualdi-Solheid-Turán型问题.在2015年，Zhai，Lin和Gong证明了如果$G$是具有$n \geq 2k+2$和$ρ(G)\geq ρ(K_{k,n-k})$阶的二部图，则$G$包含$C_{2k+2}$，除非$G \cong K_{k,n-k}$ [Linear Algebra Appl. 471（2015）]。首先，我们给出了上述定理的一个新的更简单的证明。其次，证明了如果$G$是一个二部图，其序为$n \geq 2k+2$和$ρ(G)\geq ρ(K_{k,n-k})$，则$G$包含除$G \cong K_{k,n-k}$之外的所有$T_{2k+3}$.最后证明了在所有$n>344569$顶点上的外平面二部图中，$K_{1,n-1}$达到最大谱半径.
2023-02-07 math.CO
Computing Treedepth Obstructions
本文提出算法计算树深度不超过k的图类的禁止 minor、子图和诱导子图，针对k=4和n=16得出完整障碍集。
2025-12-01 cs.DM cs.DS math.CO
Unique colorability and clique minors
对于图G，设h（G）表示使得G有k个两两不相交的两两相邻连通非空子图的最大k，设s（G）表示使得G有k个两两不相交的两两相邻连通大小为1或2的子图的最大k. Hadwiger猜想指出h（G）至少是c（G），其中c（G）是G的色数. Seymour证明了s（G）至少是|V（G）|/2，对所有不含反三角形的图，i. e.三个两两不相邻的顶点在这里，我们集中在图G的恰好一个c（G）-染色。我们证明了（i）如果c（G）至多为6且G恰好有一个c（G）-染色，则h（G）至少为c（G），这里的证明不使用四色定理;（ii）如果G没有反三角形且G恰好有一个c（G）-染色，则s（G）至少为|V（G）|/2.
2015-08-06 math.CO
Complete minors in digraphs with given dichromatic number
有向图$D$的二色数$\vecχ(D)$是允许$k$ -染色的最小$k$，其中每个色类诱导一个无圈子图。受Hadwiger关于无向图的猜想的启发，最近有几组作者研究了给定二色数的有向图中有向图子图的包含问题.在这个简短的说明中，我们改进了现有的几个边界，并证明几乎线性边界减少的问题，最近的结果波斯特尔Hadwiger猜想。
2021-01-12 math.CO
Shallow Minors, Graph Products and Beyond Planar Graphs
Dujmović，Jordet，Micek，Morin，Ueckerdt，and Wood [J. ACM 2020]的可平面图乘积结构定理指出，每个可平面图都是树宽有界的图和路的强乘积的子图，这个结果已经成为解决队列布局、非重复着色、中心着色和邻接标号方案等重要公开问题的关键工具。在本文中，我们扩展了这条线的研究，利用浅子证明类似的产品结构定理的几个超越可平面图类。驱动我们工作的关键观察是，许多超越可平面图可以被描述为可平面图与小完全图的强积的浅子图。特别地，我们证明了平面图、$k$ -平面图、$(k,p)$ -簇平面图、扇平面图和$k$ -扇丛可平面图的幂都具有这种浅子结构.利用新旧结果的结合，我们推出了这些类具有有界的色数、有界的非重复色数、多项式$p$ -中心色数、线性强色数和立方弱色数.此外，我们证明了$k$ -间隙可平面图至少有指数局部树宽，因此，不能被描述为一个有界树宽图和一条路的强积的子图。
2022-06-17 math.CO
