A free-boundary model of vascularized tumor growth with time-periodic coefficients
University of Tennessee（田纳西大学）
研究具有时间周期系数的血管化肿瘤生长自由边界模型，证明肿瘤半径的消失-持续二分性由平均系数决定，并分析周期解的线性稳定性。
2026-06-11 math.AP
Free boundary limit of tumor growth model with nutrient
可压缩和不可压缩多孔介质模型在文献中被用来描述生物组织的力学特性。这两类模型可以用刚性压力定律联系起来。在不可压缩极限下，可压缩模型产生Hele-Shaw型的自由边界问题，其中不可压缩性在饱和相保持。这里我们考虑一种营养素的情况。然后，一个严重的耦合系统方程描述了细胞密度数和营养浓度。由于这个原因，推导的自由边界（不可压缩）的限制是一个开放的问题，特别是一个困难是建立所谓的互补关系，允许恢复使用椭圆型方程的压力。为了建立极限，我们使用两个新的想法。第一个想法，最近也用于相关问题，是将$L^\infty$中通常的Aronson-Bénilan估计扩展到$L^2$设置。第二个想法是导出关于压力梯度的尖锐均匀的$L^4$估计，与空间维度无关。
2020-06-24 math.AP
Free boundary regularity for tumor growth with nutrients and diffusion
本文研究了受营养驱动且遵循Darcy定律膨胀的肿瘤生长模型，通过引入压力的HJB解释建立命中时间正则性，并利用障碍问题理论证明肿瘤斑块边界在时空上的正则性，确立了边界演化不稳定性不会放大任意高频。
2023-09-12 math.AP
On the long time behavior of a tumor growth model
本文研究了肿瘤生长扩散界面模型的长时间动力学问题。该模型描述了在存在营养物的情况下被宿主组织包围的肿瘤的生长，并且包括用于肿瘤阶段的Cahn-Hilliard型方程以及用于营养物浓度的反应扩散方程。我们证明了，在物理动机的假设下的参数和数据，相应的初边值问题产生的耗散动力系统，承认在适当的相空间的整体吸引子。
2018-10-29 math.AP
Analysis and Simulation on a Model for the Evolution of Tumors under the Influence of Nutrient and Drug Application
本文研究了肿瘤生长的非线性偏微分方程模型，分析了营养和药物在肿瘤进展中的作用，并提出了一种收敛的数值方法来近似非线性偏微分方程组的解。
2016-02-20 cs.NA math.AP math.NA
Analysis of a tumor model as a multicomponent deformable porous medium
我们提出了一个扩散界面模型来描述肿瘤作为一个多组分变形多孔介质。我们包括在模型中的机械效应耦合的质量平衡方程的肿瘤物种和营养动力学的机械平衡方程与相位相关的弹性系数。所得到的PDE系统耦合两个Cahn-Hilliard型方程的肿瘤阶段和健康阶段的PDE连接的演变的间质液的压力的系统，反应扩散型方程的营养比例，和准静态的动量平衡。本文证明了相应的初边值问题在适当的函数空间中有解。
2021-09-22 math.AP
A rigorous approach to the sharp interface limit for phase-field models of tumor growth
本文严格证明了肿瘤生长扩散界面模型在界面参数趋于零时的锐界面极限，证明其最终演化为与营养物方程耦合的 Mullins-Sekerka 型流的变分解。
2024-07-30 math.AP
Analysis of a nonlinear free-boundary tumor model with three layers
本文研究球对称三层肿瘤的非线性自由边界问题，通过开发非线性分析方法克服自由边界与营养消耗率不连续性困难，证明了径向稳态解的存在唯一性及其全局渐近稳定性。
2025-11-01 math.AP
Long-time Dynamics and Optimal Control of a Diffuse Interface Model for Tumor Growth
研究肿瘤生长扩散界面模型的长时间动力学与最优控制，通过 Cahn-Hilliard 型方程与反应扩散方程描述肿瘤与营养，证明了长时间治疗的全局解收敛性及有限时间治疗的最优控制存在性与一阶必要条件，并利用 Lyapunov 稳定性确保治疗后肿瘤不再生长。
2019-01-22 math.AP
Regularity Properties of Solutions of a Model for Morphoelastic Growth in the Presence of Nutrients in One Spatial Dimension
该研究证明了一维含营养场的应力调控形态弹性生长准稳态模型解的正则性，明确了纯生长构型、弹性变形与营养浓度反应扩散方程间的耦合依赖关系。
2025-07-30 math.AP
On a non-isothermal Cahn-Hilliard model for tumor growth
我们在这里介绍了一个新的扩散界面结晶一致的非等温肿瘤生长模型中存在的营养结构域$Ω\subset \mathbb{R}^3$。特别是，我们的系统描述了被健康组织包围的肿瘤的生长，考虑到温度的变化，细胞的增殖，营养消耗和细胞凋亡。我们的目的在于证明我们的模型的弱熵解的存在结果。
2022-12-16 math.AP q-bio.TO
Stationary solutions of a free boundary problem modeling the growth of vascular tumors with a necrotic core
在本文中，我们提出了一个严格的数学分析的自由边界问题模拟血管实体肿瘤的生长与坏死的核心。如果血管系统以速率$β$向肿瘤供应营养物浓度$σ$，则$\frac{\partialσ}{\partial\bf n}+β(σ-\barσ)=0$保持在肿瘤边界上，其中$\bf n$是向外垂直于边界的单位，而$\barσ$是肿瘤外部的营养物浓度。非坏死区的活细胞以$μ$速率增殖。我们证明了对于任意给定的$ρ>0$，存在唯一的$R\in(ρ,\infty)$，使得相应的径向对称解解求解具有坏死核边界$r=ρ$和外边界$r=R$的稳态坏死肿瘤系统;此外，存在正整数$n^{**}$和$μ_n$序列，对于每个$μ_n$（甚至是$n\ge n^{**})$），破缺稳态解从径向对称稳态解分叉.
2019-09-19 math.AP
On the vanishing viscosity approximation of a nonlinear model for tumor growth
我们研究了一个非线性系统的动力学建模肿瘤生长与药物的应用。肿瘤被认为是一种混合物，由增殖，静止和死亡细胞以及药物存在下的营养物组成。该系统由多相流模型给出：不同细胞的密度由一组输运方程控制，营养物的密度和药物的密度由相当一般的扩散方程控制，而肿瘤的速度由达西方程给出。在这种情况下，肿瘤占据的区域是具有边界$\partial Ω$的生长连续体$Ω$，两者都随时间演变。使用基于Brinkman正则化的粘性消失的方法获得了时间上的全局弱解。解和区域都是相当一般的，不需要对称性假设，结果适用于大的初始数据。
2017-05-19 math.AP
The existence and linear stability of periodic solution for a free boundary problem modeling tumor growth with a periodic supply of external nutrients
我们研究了一个自由边界问题，它模拟了T周期供应$Φ(t)$外部营养物的肿瘤生长。该模型包含两个参数$μ$和$\widetildeσ$。首先证明了：（i）零径向对称解是全局稳定的当且仅当$\widetildeσ\ge \frac{1}{T} \int_{0}^{T} Φ(t) d t$ ;（ii）若$\widetildeσ<\frac{1}{T} \int_{0}^{T} Φ(t) d t$，则存在唯一的以$T$为周期的径向对称正解$\left(σ_{*}(r, t), p_{*}(r, t), R_{*}(t)\right)$，且它是所有$μ>0$的所有正径向对称解的全局吸引子.这些结果是对Bai和Xu [Pac. 2013（5），217-223]。然后，考虑非径向对称扰动，我们证明了存在一个常数$μ_{\ast}>0$，使得$\left(σ_{*}(r, t), p_{*}(r, t), R_{*}(t)\right)$对$μ<μ_{\ast}$是线性稳定的，对$μ>μ_{\ast}$是线性不稳定的。
2020-09-28 math.AP math.FA
Local and nonlocal phase-field models of tumor growth and invasion due to ECM degradation
我们提出并分析了新的多物种相场数学模型的肿瘤生长和ECM入侵。局部和非局部数学模型描述了肿瘤细胞、活细胞（增殖和缺氧细胞）、坏死细胞的体积分数的演变，以及MDE和ECM的演变，以及趋化性、趋触性、凋亡、营养分布和细胞与基质的粘附。我们提供了一个严格的证明存在的耦合系统的梯度为基础的和基于粘附的haptotaxis效果的解决方案。此外，我们讨论了有限元离散化的模型，我们提出了数值实验的结果，旨在显示各种影响的相对重要性和作用，包括细胞的流动性，增殖，坏死，缺氧，营养浓度的MDES的产生和ECM的降解。
2019-06-18 math.AP
Analysis and computation of some tumor growth models with nutrient: from cell density models to free boundary dynamics
Duke University（杜克大学）；School of Mathematics and Institute of Natural Sciences, MOE-LSC, Shanghai JiaoTong University（上海交通大学数学学院与自然科学研究院）；Department of Mathematics, Computational and Data-Enabled Science and Engineering Program, State University of New York at Buffalo（纽约州立大学布法罗分校数学系、计算与数据驱动科学与工程计划）；Beijing International Center for Mathematical Research, Peking University（北京大学北京国际数学研究中心）
本文研究肿瘤生长模型与营养成分模型，揭示细胞密度模型在γ→∞时趋近于海勒-沙夫流模型，推导解析解并验证数值方案与自由边界动力学的联系。
2018-02-02 cs.NA math.AP math.NA
Asymptotic behavior of solutions of a free boundary problem modeling tumor spheroid with Gibbs-Thomson relation
本文研究了实体肿瘤球体生长的一个自由边界问题。它由两个椭圆型方程组成，分别描述肿瘤内营养物质的扩散和压力分布。新的特点是边界上的营养浓度小于外部供应，由于吉布斯-汤姆森关系，该问题有两个径向定态解，这不同于广泛研究的肿瘤球体模型与表面张力效应。首先，我们建立了局部适定性，使用功能的基础上傅立叶乘子方法和分析半群理论的方法。然后，我们研究每个径向平稳解的稳定性。利用广义线性化稳定性原理，证明了半径较小的径向定态解总是不稳定的，并且存在正的胞间扩散$γ$阈值$γ_*$，使得半径较大的径向定态解对$γ>γ_*$是渐近稳定的，对$0<γ<γ_*$是不稳定的.
2016-11-30 math.AP
Strong well-posedness and inverse identification problem of a non-local phase field tumor model with degenerate mobilities
我们扩展了Frigeri等人（2017）关于Hawkins-Daarud等人（2012）提出的弥散界面肿瘤模型的非局部变体的弱适定性结果。该模型由一个非本地的Cahn-Hilliard方程与退化的流动性和奇异位的相场变量，耦合到一个反应扩散方程的营养物的浓度。我们证明了该模型的强解的存在性，并建立了一些高阶连续相关估计，即使在存在浓度依赖的迁移率的营养变量在两个空间维度。然后，我们应用新的规律性结果来研究从终端时间的测量中识别初始肿瘤分布的反问题。将Tikhonov正则化反问题作为一个约束极小化问题，我们建立了极小值的存在性，并导出了一阶必要的最优性条件。
2021-01-19 math.AP
On a nonlinear model for tumor growth with drug application
我们研究了一个非线性系统的动力学建模肿瘤生长与药物的应用。肿瘤被认为是一种混合物，由增殖，静止和死亡细胞以及药物存在下的营养物组成。该系统由多相流模型给出：不同细胞的密度由一组输运方程控制，营养物的密度和药物的密度由相当一般的扩散方程控制，而肿瘤的速度由Brinkman方程给出。在这种情况下，肿瘤占据的区域是具有边界$\partial Ω$的生长连续体$Ω$，两者都随时间演变。在弱形式下，利用对边界表现、扩散和粘性进行惩罚的方法得到了时间上的全局弱解。解和区域都是相当一般的，不需要对称性假设，结果适用于大的初始数据。这篇文章是一个研究项目的一部分，其目的是调查药物应用对肿瘤生长的影响。
2015-03-23 math.AP
Analysis of a Cahn--Hilliard system with non-zero Dirichlet conditions modeling tumor growth with chemotaxis
我们考虑一个扩散界面模型的肿瘤生长组成的Cahn-Hilliard方程的源项耦合到一个反应扩散方程，该模型的肿瘤生长中存在的营养物质和周围的健康组织。配备Neumann边界条件的系统的适定性被发现需要二次增长的正规势。在这项工作中，Dirichlet边界条件被认为是，我们建立了系统的适定性与高次多项式增长的正规潜力和奇异潜力。由于更高的多项式增长，遇到了新的困难，但经常的潜力，我们保留了连续依赖于初始和边界数据的化学势和序参数在强规范建立在以前的工作。此外，我们推导出适定性的一个变体的模型与准静态营养严格通过的限制，其中的营养扩散时间尺度的肿瘤倍增时间尺度的比例是小的。
2017-05-03 math.AP q-bio.TO
Nonsymmetric traveling wave solution to a Hele-Shaw type tumor growth model
本文针对描述营养受限肿瘤生长的Hele-Shaw模型，在二维管状区域中证明了非对称行波解的存在性，从而揭示了肿瘤生长动力学中固有的边界不稳定性。
2025-05-10 math.AP
On a Cahn-Hilliard-Keller-Segel model with generalized logistic source describing tumor growth
我们提出了一种新型的扩散界面模型，描述了在化学物质（例如，营养物或药物）。该过程通过使用变量$φ$和$σ$来描述，变量$φ$是表示肿瘤细胞的局部比例的顺序参数，变量$σ$表示化学物质的浓度。假设序参量$φ$满足具有质量源和对数势的Flory-Huggins型Cahn-Hilliard方程的适当形式（或其推广形式）。化学浓度$σ$满足反应扩散方程，其中交叉扩散项具有与著名的Keller-Segel模型中相同的表达式。在这方面，我们提出的模型代表了一个新的耦合之间的Cahn-Hilliard方程和一个子系统的Keller-Segel模型。我们认为，与其他模型相比，这种选择在捕获肿瘤生长动力学（化学诱导的肿瘤演变和肿瘤细胞消耗营养/药物）中可能发生的趋化作用方面更有效。注意，为了防止$σ$的有限时间爆破，我们假设化学源项为逻辑类型。我们的主要数学结果致力于证明弱解的存在性在一个相当一般的设置，涵盖了二维和三维的情况。在更严格的假设下的系数和数据，并在某些情况下的空间维度，我们证明了各种规律性的结果。最后，在适当的类光滑的解决方案，我们证明了唯一性和连续依赖于初始数据在一些重要的情况下。
2022-02-22 math.AP
Long time dynamics of a phase-field model of prostate cancer growth with chemotherapy and antiangiogenic therapy effects
我们考虑了一个在[2]中引入的具有化疗和抗血管生成治疗效应的前列腺癌生长的相场模型。它由描述肿瘤生长的相场方程和描述肿瘤一般营养素的反应扩散方程组成。另外的方程耦合前列腺组织中前列腺特异性抗原（PSA）的浓度，并且其服从线性反应扩散方程。该系统完成与齐次Dirichlet边界条件的肿瘤变量和Neuman边界条件的营养和PSA的浓度。在这里，我们研究了模型的长时间动力学。首先证明了该初边值问题在适当的相空间上生成一个强连续半群，且该半群在适当的相空间中具有全局吸引子。此外，我们还讨论了解到单个平稳态的收敛性，并在一定的系数条件下得到了一个收敛速度估计。
2020-10-21 math.AP
Asymptotic Behavior of Solutions of a Free Boundary Problem Modelling the Growth of Tumors with Stokes Equations
我们研究一个自由边界问题，模拟非坏死肿瘤与流体样组织的生长。流体速度满足斯托克斯方程，其中源由肿瘤细胞的增殖速率确定，该增殖速率取决于营养物的浓度，受到具有受表面张力影响的应力张量的边界条件。很容易证明这个问题有唯一的径向对称稳态解。通过使用一个功能的方法，我们证明了存在一个门限值$γ_*>0$的表面张力系数$γ$，这样的情况下，$γ>γ_*$这种径向对称的固定的解决方案是渐近稳定的小的非径向扰动下，而在相反的情况下，它是不稳定的。
2008-06-08 math.AP
A nonlocal equation describing tumor growth
本文针对早期无坏死区域的多层无血管肿瘤，考虑趋化效应，从自由边界问题出发推导出一个单一的非局部非线性偏微分方程模型，并证明了该模型的适定性。
2025-04-14 math.AP physics.bio-ph physics.med-ph
Analysis of a nonlinear free boundary problem modeling the radial growth of two-layer tumors
该研究分析两层肿瘤径向生长的非线性自由边界问题，利用最大值原理证明全局适定性、唯一营养阈值及稳态解的存在性与全局渐近稳定性。
2025-01-08 math.AP
Sliding mode control for a phase field system related to tumor growth
本文研究了一个扩散界面肿瘤生长模型的滑模控制问题，该模型中相变量为粘性Cahn-Hilliard型方程，营养物为反应扩散方程.首先，我们证明了状态反馈控制律修正后的状态系统的适定性和一些正则性结果。然后，我们表明，所选择的SMC法迫使系统在有限时间内到达滑动流形（我们选择，以便肿瘤阶段保持恒定的时间）。在Cahn-Hilliard型方程中加入反馈控制律，使相位在有限时间内到达预定目标$ϕ^*$。
2017-09-25 math.AP
The Hele-Shaw asymptotics for mechanical models of tumor growth
目前常用的肿瘤生长模型在生物医学成分和数学描述方面都存在几个层次的复杂性。最简单的包含使用纯流体力学概念的空间竞争。另一个可能的成分是通过脉管系统供应营养。该模型可以在细胞密度水平或实体肿瘤的尺度上描述组织，在后一种情况下通过自由边界问题来描述。我们这里的第一个目标是制定一个自由边界模型的Hele-Shaw型，一个变种，包括生长条款，从描述在细胞水平，并通过一定的限制。这个纯粹的机械模型进行了详细的数学分析。事实上，我们能够证明强收敛通过限制，与各种一致的梯度估计，我们还证明了唯一性的渐近Hele-Shaw型问题。主要工具是某些多孔介质型方程的非线性正则化效应，Steklov正则化技术和唯一性的Hilbert对偶方法。与经典的Hele-Shaw问题不同，这里由压力控制的几何运动不足以完全描述动力学。完整的描述需要细胞数密度的方程。以这一理论为基础，我们继续考虑更复杂的模型，包括营养素。我们得到的耦合系统的极限方程，该方法依赖于一些BV界和空间/时间的先验估计。在这里，出现了新的技术困难，它们降低了结果在初始数据方面的通用性。最后，我们证明了系统的唯一性，这是一个主要的数学困难。
2013-01-11 math.AP
Optimal control theory and advanced optimality conditions for a diffuse interface model of tumor growth
本文研究了肿瘤生长扩散界面模型的分布式最优控制问题。该模型由Cahn-Hilliard型方程的相场变量耦合到反应扩散方程的营养和Brinkman型方程的速度。该系统配备了均匀的Neumann边界条件的肿瘤变量，化学势和营养素，以及一个“无摩擦”的速度边界条件。对照作为细胞毒性药物的药物，并进入相场方程。成本泛函是标准跟踪类型的，并且被设计为在演化期间和在某个固定的最终时间跟踪相场变量。我们证明了该模型满足变分法的基础知识，我们建立了一阶和二阶局部最优性条件。此外，我们提出了一个全局性条件的临界控制，我们表明，最优控制是唯一的小时间间隔。
2020-10-13 math.AP math.OC
Asymptotic stability for a free boundary tumor model with angiogenesis
在本文中，我们研究了一个自由边界问题模拟实体肿瘤生长的血管营养物质的肿瘤，这是其特征在于在罗宾边界条件。不久前，他成立了一个[编辑]动力学39（2019）2473-2510]，对于该模型，存在门限值$μ^\ast$，使得唯一的径向对称静止解对于$0<μ<μ^\ast$在非径向扰动下是线性稳定的，并且对于$μ>μ^\ast$是线性不稳定的。本文进一步研究了径向对称定常解的非线性稳定性，这就引入了一个重要的数学困难：由于模1项的扰动，极限球的中心事先是未知的。我们证明了一个新的不动点定理来解决这个问题，并最终得到了当忽略平移时，$0<μ<μ^\ast$的径向对称平稳解是非线性稳定的。
2020-07-14 math.AP
A parabolic-hyperbolic system modeling the growth of a tumor
本文考虑了一个肿瘤微环境模型，该模型包含营养密度、细胞外基质和基质降解酶，满足一个具有自由边界的耦合系统。对于这个耦合抛物-双曲自由边界问题，我们证明了在时间上存在唯一的全局径向对称解。定常问题涉及一个常微分方程系统，它被转化为一个奇异的积分微分方程。我们通过打靶法对这类一般类型的方程建立了一个适定定理，然后将该定理应用于我们的问题，以证明其定态解的存在性。此外，对于这个高度非线性问题，我们还证明了平稳解的唯一性，这是一个非平凡的结果。此外，数值模拟表明，平稳的解决方案是可能的局部渐近稳定的合理范围内的参数。
2018-08-22 math.AP
A free boundary analysis of tumor invasion driven by angiogenesis
The University of Western Australia（西澳大利亚大学）；Universidad de Granada（格拉纳达大学）
研究由血管生成驱动的肿瘤侵袭的自由边界模型，通过该模型描述肿瘤细胞扩散等情况，证明肿瘤能长期存活并得出相关表达式，还根据比率κ区分肿瘤发展的两种情况。
2026-08-05 math.AP
Well-posedness for a fourth-order nonisothermal tumor growth model of Caginalp type
本文提出并分析了一个Caginalp型四阶非等温肿瘤生长模型，通过两步逼近程序证明了弱解和强解的适定性，为热疗建模提供了数学基础。
2025-10-10 math.AP
The linear stability for a free boundary problem modeling multi-layer tumor growth with time delay
我们研究了一个自由边界问题，它模拟了具有小时间延迟$τ$的多层肿瘤生长，表示细胞完成复制过程所需的时间。该模型由两个椭圆方程组成，分别描述营养浓度和肿瘤组织压力，一个常微分方程描述细胞位置表征的时间延迟和偏微分方程的自由边界。在本文中，我们建立了问题的适定性，即，首先我们证明了存在唯一的平坦平稳解$(σ_*, p_*, ρ_*, ξ_* )$的所有$μ>0$。该固定溶液的稳定性应取决于肿瘤侵袭性常数$μ$。期望扰动是平坦的也是不现实的。证明了在非平坦扰动下，存在一个阈值$μ_*>0$，使得当$μ<μ_*$时，$(σ_*, p_*, ρ_*, ξ_*)$线性稳定，当$μ>μ_*$时，线性不稳定.此外，时间延迟增加了静止的肿瘤大小。这些有趣的结果具有数学和生物学意义。
2021-07-31 math.AP
Optimal distributed control of a diffuse interface model of tumor growth
本文研究了[A]中提出的肿瘤生长扩散界面模型的分布式最优控制问题。Hawkins-Daruud，K.G. van der Zee，JT Oden，化学相容四种群肿瘤生长模型的数值模拟，Int. J. Numer.数学生物医学工程师28（2011），3-24]。该模型由一个Cahn-Hilliard方程的肿瘤细胞的分数耦合到一个反应扩散方程的一个变量代表的营养丰富的细胞外水的体积分数。分布式控制监测作为右手侧的反应扩散方程，并且可以被解释为营养供应或药物，而标准跟踪类型的费用函数意味着在演变期间保持肿瘤细胞分数处于控制之下。我们证明了控制-状态算子在适当的巴拿赫空间之间是Frechet可微的，并利用包含伴随状态变量的变分不等式得到了一阶最优性必要条件.
2018-09-07 math.AP math.OC
Optimal treatment for a phase field system of Cahn-Hilliard type modeling tumor growth by asymptotic scheme
我们考虑一个特定的相场系统，其物理背景是肿瘤生长动力学。我们处理的模型包括一个Cahn-Hilliard型方程的演变相变量，其中考虑到肿瘤细胞的增殖与反应扩散方程的营养物质的组织耦合。这个模型已经从适定性、长时间行为和当某些参数趋于零时的渐近分析的观点进行了研究。从这些结果出发，我们的目标是面对一个相关的最优控制问题，采用适当的渐近格式。在这个方向上，还需要进一步的假设。主要的是，我们应该对所涉及的势施加一些相当一般的增长条件，并对我们将要面对的系统中出现的参数施加一个小的限制。给出了最优控制的存在性，并刻画了最优控制必须满足的一个必要条件。
2019-05-27 math.AP
Multiphase modeling and qualitative analysis of the growth of tumor cords
本文根据可变形多孔介质的数学理论，建立了肿瘤索生长的宏观模型。肿瘤被建模为增殖细胞、细胞外液和细胞外基质的饱和混合物，其占据靠近血管的空间区域，细胞从血管获得其生命功能所需的营养。肿瘤细胞的生长发生在健康的宿主组织内，而健康的宿主组织又被建模为非增殖细胞的饱和混合物。这两个区域之间的相互作用被认为是肿瘤块生长的重要机制。通过削弱细胞外基质的作用，这被认为是一个刚性的非重塑支架，系统的两个偏微分方程推导出，描述的演变的细胞体积比耦合到营养素的动力学，其较高和较低的浓度水平确定肿瘤细胞的增殖或死亡，分别。参考二维问题的数值模拟显示和评论，并提出了一些关键问题的定性数学分析。
2009-06-27 math-ph math.AP math.MP
Cahn-Hilliard-Brinkman model for tumor growth with possibly singular potentials
本文研究带奇异势的肿瘤生长Cahn-Hilliard-Brinkman相场模型，证明覆盖多类非线性势的弱解存在性，采用Dirichlet边界条件替代经典无通量条件，并提出依赖解变量的源项抽象生长条件。
2022-04-28 math.AP
On a nonlinear model for tumor growth in a cellular medium
我们研究了细胞介质中肿瘤生长的非线性模型的动力学。在这种情况下，“肿瘤”被视为由处于增殖期或静止期的癌细胞和在营养物存在下占“废物”和/或死细胞的细胞集合组成的多相流。在这里，肿瘤被认为是一个不断增长的连续体$Ω$与边界$\partial Ω$，两者都随着时间的推移而演变。本模型的关键特征是允许癌细胞的总密度变化，这通常是细胞介质内的情况。我们建议读者参考文章\cite{Enault-2010}，\cite{LiLowengrub-2013}，其中研究了可压缩型肿瘤生长模型。使用基于弱公式中的边界表现、扩散、粘性和压力的惩罚以及Lions \cite{Lions-1998}精神中的收敛性和紧致性参数的方法获得全局时间弱解（另见\cite{Feireisl-book, DT-MixedModel-2013}）。
2015-03-29 math.AP
Local asymptotics and optimal control for a viscous Cahn-Hilliard-Reaction-Diffusion model for tumor growth
本文研究肿瘤生长粘性Cahn-Hilliard-反应-扩散模型，证明非局部解收敛到局部解，并为局部模型（含趋化性）建立无需额外正则性假设的一阶最优性条件。
2023-11-17 math.AP
Analysis of a new multispecies tumor growth model coupling 3D phase-fields with a 1D vascular network
在这项工作中，我们提出并分析了一个数学模型的肿瘤生长纳入ECM侵蚀，间质流，血管流动和营养物质运输的影响。该模型是相场或扩散界面类型，其中细胞物种和其他成分的多个相被平滑的演化界面分离。该模型涉及达西定律的中尺度版本，以捕获组织基质中的流动机制。在供应健康和癌组织的脉管系统中建模流动和运输过程，考虑一维（1D）方程。由于管理的运输和流动过程的模型定义在一起的三维（3D）域上的细胞物种模型，我们得到一个3D-1D耦合模型。我们给出了关于弱解存在性的一些数学结果。此外，模拟结果说明肿瘤的演变和ECM侵蚀的影响。
2021-03-23 math.AP
Analysis of a mathematical model for the growth of cancer cells
本文提出了一个二维多层肿瘤生长模型。该模型由肿瘤细胞膜的自由边界问题组成，假设肿瘤由于细胞增殖或细胞死亡而生长或收缩。生长过程由扩散的营养物浓度$σ$引起，并由细胞内压$p$控制。我们假设肿瘤占据一个带状区域，在$y=0$上有一个固定边界和一个自由边界$y=ρ(x)$，其中$ρ$是一个$2π$ -周期函数。首先，我们证明了解决方案的存在性$(σ,p,ρ)$和该模型允许特殊的固定解决方案。作为主要结果，我们建立了这些平衡点在小扰动下局部渐近稳定。
2012-04-11 math.AP
Existence of weak solutions to multiphase Cahn-Hilliard-Darcy and Cahn-Hilliard-Brinkman models for stratified tumor growth with chemotaxis and general source terms
本文研究了具有一般源项的多相Cahn-Hilliard肿瘤生长模型。多相方法允许我们考虑肿瘤消耗的多种细胞类型和多种化学物质（氧气和/或营养物质）。与经典的两相肿瘤生长模型相比，多相模型可以用于描述呈现出几层组织的分层肿瘤（例如，增殖、静止和坏死组织）。我们的模型由对流Cahn-Hilliard型方程来描述肿瘤的演变，相关的体积平均速度场的速度方程，和对流反应扩散型方程来描述化学物质的密度。速度方程可以用达西定律或布林克曼方程表示。首先构造了多相Cahn-Hilliard-Brinkman模型的整体弱解。之后，我们证明了当粘度在某种适当的意义下趋于零时，该系统的这种弱解收敛于多相Cahn-Hilliard-Darcy系统的弱解。这意味着Cahn-Hilliard-Darcy系统整体弱解的存在性也被建立.
2022-06-21 math.AP
Well-posedness and regularity for a fractional tumor growth model
本文研究了三个演化算子方程的系统，方程中含有自伴的、单调的、无界的、具有紧预解式的线性算子的分数次幂。该系统构成了在Hawkins-Daarud等人（Int.J.Numer.数学生物医学Eng.28（2012），3-24），并在最近由本作者和E.罗卡该模型包括一个Cahn-Hilliard方程的肿瘤细胞分数，耦合到一个反应扩散方程的功能S代表的营养丰富的细胞外水的体积分数。忽略流体运动的影响。本文中研究的推广是由控制模型的不同成分的演化的扩散机制可能不同（例如，分数）类型。在相当一般的假设下，证明了其适定性和正则性。特别地，通过将控制化学势演化的方程写成一般的变分不等式的形式，还可以承认对数或双障碍型对能量密度的奇异或非光滑贡献。
2019-06-26 math.AP
A tumor growth model with autophagy: the reaction-(cross-)diffusion system and its free boundary limit
在本文中，我们提出了一个肿瘤生长模型，并调查自噬的空间效应。细胞分为两个阶段：正常细胞和自噬细胞，其动力学也与营养物质相耦合。首先，我们构建了一个反应-（交叉）扩散系统描述的细胞密度的演变，其中的漂移是由负梯度的联合压力，和反应项体现了独特的自噬机制。接下来，在不可压缩极限中，这样的细胞密度模型自然地连接到自由边界系统，描述肿瘤区域的几何运动。对特殊情况下的自由边界模型进行了分析，证明了细胞两相之比指数收敛到一个"良好混合"极限。在这个"良好混合"的限制下，我们得到了一个自由边界系统的解析解，它表明在自噬存在下肿瘤大小的指数增长与没有自噬的线性增长形成对比。数值模拟也提供了说明的分析性质，并探索更多的情况。
2021-08-28 math.AP
Asymptotic analyses and error estimates for a Cahn-Hilliard type phase field system modelling tumor growth
本文讨论了一个与肿瘤生长模型有关的Cahn-Hilliard型相场系统，它由三个以序参量、化学势和营养浓度为变量的方程组成。最近的论文arXiv：1401.5943 [math.AP]和arXiv：1501.07057 [math.AP]从适定性、长时间行为和两个正粘性系数同时趋于零时的渐近收敛的角度研究了这个系统。在这里，我们继续arXiv：1501.07057 [math.AP]中执行的分析，显示两组独立的结果，因为只有一个系数趋于零，另一个保持不变。我们证明了收敛性结果，两个极限问题的解决方案的唯一性，以及适当的误差估计。
2015-03-03 math.AP
Well-posedness and stability analysis for a moving boundary problem modelling the growth of nonnecrotic tumors
我们研究了一个移动边界问题，描述了在不同制度的血管化的非坏死性肿瘤的增长。该模型由两个解耦的狄利克雷问题组成，一个是营养物添加到肿瘤区域的速率，另一个是肿瘤内部的压力。这些变量通过描述边界动态的关系耦合。通过重新表达的问题作为一个抽象的发展方程，我们证明了局部适定性在小Hoelder空间的背景下。在此基础上，我们利用线性化稳定性原理证明了该问题唯一径向对称平衡点的稳定性。
2010-03-04 math.AP math.DS
On a diffuse interface model of tumor growth
本文考虑A.~ Hawkins-Daruud等。该模型由肿瘤细胞部分$φ$的Cahn-Hilliard方程与$ψ$的反应扩散方程非线性耦合组成，后者代表富含营养的细胞外水体积分数。偶联通过合适的增殖函数$p(φ)$乘以$φ$和$ψ$的化学势差来表示。该系统配备了无通量边界条件，需要守恒的总质量，即空间平均的$φ+ψ$。在这里，我们证明了一个弱解的存在性相关的柯西问题，提供的潜在的$F$和$p$满足足够一般的条件。然后，我们证明了弱解是唯一的，并连续依赖于初始数据，只要$p$满足稍强的增长限制。另外，我们证明了一个强解的存在性和任何弱解在有限时间正则化。最后，我们证明了全局吸引子的存在性在一个相空间的特征是一个先验有界的能量。
2014-12-04 math.AP
Analysis and computations of a stochastic Cahn-Hilliard model for tumor growth with chemotaxis and variable mobility
本文建立含趋化、主动输运与 Wiener 噪声的可变迁移率随机 Cahn-Hilliard 肿瘤生长模型，证明弱解存在及常迁移率下强适定性，并给出有限元与半隐式 Euler-Maruyama 数值格式。
2023-12-11 math.AP math.PR q-bio.QM
Analysis of a diffuse interface model of multispecies tumor growth
我们考虑了最近在[Y. Chen，S.M.明智的，V.B. Shenoy，J.S. Lowengrub，带弹性膜的非线性多相肿瘤生长模型的稳定方案，Int. J. Numer.方法生物医学。工程师：30（2014），726-754]。在这种新方法中，尖锐的界面被由于细胞物种之间的粘附力而产生的狭窄过渡层所取代。因此，一个连续介质的一致性模型的介绍。所得到的PDE系统耦合四种不同类型的方程：Cahn-Hilliard型方程的肿瘤细胞（其中包括增殖和死细胞），达西定律的组织速度场，其分歧可能不同于0，并取决于其他变量，运输方程的增殖（活）的肿瘤细胞，和准静态反应扩散方程的营养浓度。在适当的初边值条件下，我们证明了该偏微分方程组的弱解的存在性。特别地，假设边界处的增殖函数在速度${\bf u}$满足${\bf u}\cdotν>0$的集合上是非负的，其中$ν$是域边界的外法线。我们还研究了扩散界面系数趋于零时的奇异极限。
2015-07-28 math.AP
Asymptotic Stability of Stationary Solutions of a Free Boundary Problem Modeling the Growth of Tumors with Fluid Tissues
本文旨在证明一个模拟非坏死性流体肿瘤生长的自由边界问题的径向定常解的渐近稳定性。在前一篇文章中，我们考虑了营养盐浓度$σ$满足定态扩散方程$Δσ=f(σ)$的情况，并证明了表面张力系数$γ$存在一个阈值$γ_*>0$，使得径向定态解在$γ>γ_*$情况下是渐近稳定的，而在$γ<γ_*$情况下是不稳定的.本文将这一结果推广到$σ$满足非定常扩散方程$\epsln\partial_tσ=Δσ-f(σ)$的情形。我们证明，对于相同的阈值$γ_*$如上所述，对于每个$γ>γ_*$有一个相应的常数$\epsln_0(γ)>0$，使任何$0<\epsln<\epsln_0(γ)$的径向固定的解决方案是渐近稳定的足够小的非径向扰动，而对于$0<γ<γ_*$和$\epsln$足够小的非径向扰动下是不稳定的。
2008-06-09 math.AP
On the hyperbolic relaxation of the chemical potential in a phase field tumor growth model
Università di Pavia（帕维亚大学）；Humboldt-Universität zu Berlin（柏林洪堡大学）；Weierstrass Institute for Applied Analysis and Stochastics（魏尔斯特拉斯应用分析与随机性研究所）
本文研究了相场肿瘤生长模型中化学位的双曲松弛，证明了问题的良性和解的连续依赖性，并分析了渐进行为及正则性性质。
2026-02-13 math.AP
On a multi-species Cahn-Hilliard-Darcy tumor growth model with singular potentials
我们考虑一个模型，该模型描述了宿主组织内肿瘤的演变，参数分别为$φ_p$、$φ_d$（增殖细胞和死亡细胞）、$u$（细胞速度）和$n$（营养浓度）。变量$φ_p$、$φ_d$满足具有非零强迫项的Cahn-Hilliard型系统（意味着它们的空间平均值在时间上不守恒），而$u$服从达西定律的形式，$n$满足准静态扩散方程。本工作的主要新颖之处在于，我们能够考虑奇异型的配置潜力，这意味着浓度矢量$(φ_p,φ_d)$被限制在物理允许的值的范围内。另一方面，鉴于非零强迫项的存在，这种选择引起了一些数学困难，特别是涉及到控制$φ_p$和$φ_d$的平均值。对于所得到的数学问题，通过施加适当的初边值条件，我们的主要结果是在适当的正则类中存在弱解。
2017-09-05 math.AP
Vanishing parameter for an optimal control problem modeling tumor growth
讨论了以肿瘤生长为物理背景的相场系统的分布式最优控制问题。我们要考虑的系统包括一个用于相变量（肿瘤的相对浓度）的Cahn-Hilliard方程，以及一个用于营养物的反应扩散方程。成本函数是标准跟踪类型的，并且控制变量对可能分配药物的强度进行建模。我们处理的模型提出了两个小的和积极的参数，在以前的贡献作为松弛项。在这里，从已经研究的放松模型的最优控制问题，我们的目标是确认存在的最优控制和特征的一阶最优性条件，通过渐近方案，当两个发生的参数之一趋于零。
2019-05-20 math.AP math.FA
