On Factor-Invariant Graphs With Two Cycles
Brian Alspach, Ted Dobson, Afsaneh Khodadadpour, Primoz Šparl
我们对边集划分为2个圈组成的2-因子和在自同构群作用下不变的1-因子的三价点传递图进行了分类。
We classify trivalent vertex-transitive graphs whose edge sets have a partition into a 2-factor composed of two cycles and a 1-factor that is invariant under the action of the automorphism group.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
On the number of Hamiltonian cycles and polynomial invariants of graphs
首先，对于一般图，我们得到了一个关于哈密顿圈个数的递推公式和一个关于圈个数的递推公式。利用这个结果，我们给出了一些新的多项式不变量。其次，我们给出了一个判别由边递归定义的多项式是否为不变量的条件。然后，我们给出了Tutte多项式的一个推广。最后，我们尝试用这些多项式来区分不同的图。
Graph Invariants and Large Cycles - a Catalog of Pure Links
图的不变量为研究图的抽象结构提供了一个强有力的分析工具。它们以方便的关系结合在一起，携带着关于图及其各种子结构的全局和一般信息，如圈结构、因子、匹配、着色、覆盖等，这些子结构的发现是图论的首要问题。本文的主要目的是列出图的基本不变式与图的大圈结构（Hamilton圈、最长圈和控制圈）之间的所有纯关系及其推广。基本图不变量和纯关系允许专注于没有先行者的结果。这些最简单的“祖先”形成了一个源泉，几乎所有可能的哈密顿结果都可以通过各种额外的新思想、推广、扩展、限制和结构限制得到进一步的发展，同时也帮助研究人员对该领域“复杂”的发展机制做出清晰而简单的想象。
Cubic factor-invariant graphs of bialternating cycle quotient type
本文分类了双交替环商类型的图，证明其属于一个未知的无限参数族图，且为三个自逆元的Cayley图。
A product of invariant random permutations has the same small cycle structure as uniform
我们利用矩方法来理解独立不变置换的合成的循环结构。我们证明了在不动点和长度为2的圈的良好控制下，小圈数的极限联合分布与一致情况下相同，即对任意正整数k，长度为k的圈数收敛于参数为1/k的泊松分布，并且与长度为k'的圈数无关.
The Hamilton-Waterloo problem for Hamilton cycles and C4k-factors
本文给出了Hamilton圈和C4 k-因子对所有正整数k的Hamilton-Waterloo问题的完全解。
Cyclic $m$-cycle systems of complete graphs minus a 1-factor
本文给出了当$m$和$n$是偶数且$m \mid n$时，$m$-$K_n-I$的循环系统存在的充要条件.
Long Cycle Factorizations : Bijective Computation in the General Case
本文研究了对称群中长圈的有序分解数的计算问题，其中因子的个数是任意的，并且给出了因子的圈结构。Jackson（1988）利用对称群的不可约特征标理论导出了这些数的生成级数的第一个封闭形式表达式。由于一个直接双射，我们计算出一个类似的公式，并提供了第一个纯粹的组合评价这些生成系列。
The Directed Uniform Hamilton-Waterloo Problem Involving Even Cycle Sizes
本文研究完全对称有向图的均匀分解问题，推广无向Hamilton-Waterloo问题，证明除少数例外，可分解为两个非同构均匀因子，涉及有向偶圈。
Cycle tilings and $H$-factors in directed graphs
该研究提出了有向图中循环覆盖和H-因子的最小度数条件，并证明了关于传递竞赛因子的渐近精确Ore型结果。
The Hamilton-Waterloo Problem with $C_4$ and $C_m$ Factors
具有均匀圈大小的Hamilton-Waterloo问题要求完全图$K_v$（对于奇数{ \em v}）或$K_v$减去$1-$因子（对于偶数{ \em v}）的$2-$因子分解，其中因子的$r$由$n-$圈组成，因子的$s$由具有$r+s=\left \lfloor \frac{v-1}{2} \right \rfloor$的$m-$圈组成。本文研究了具有$4-$循环和$m-$循环因子的Hamilton-Waterloo问题，其中$m\geq 3$为奇数$m\geq 3$，并确定了除少数例外情况外的所有可能解.
Bounds on metric dimensions of graphs with edge disjoint cycles
在图G中，区分V（G）中每个元素的最小有序顶点集的基数是G的（顶点）度量维数。类似地，这样的集合的基数是G的边度量维数，如果它区分E（G）。在本文中，这些不变量被认为是第一单圈图，它表明，顶点和边的度量尺寸从两个特定的连续整数，这可以确定从图的结构获得的值。特别是，作为一个结果，我们得到，这两个不变量可以不同的最多一个相同的单圈图。接下来，我们将结果扩展到具有边不相交圈的图，表明两个不变量最多可以相差c，其中c是这样的图中的圈数。最后，我们总结了一个猜想，概括了前面提到的后果，图与规定的圈数c声称的差异不变的仍然是有界的c。
Some adjacency-invariant spaces on products of short cycles
我们研究了Cayley图上对应于整数模m组的N重乘积的顶点函数的某些空间，其中m= 3，4或5，在将给定顶点的值映射到其每个邻居的邻接算子下是不变的。空间光谱限制，时间和频带限制的模拟的应用程序，也进行了讨论。
Cubic factor-invariant graphs of cycle quotient type -- the alternating case
本文研究了三次顶点传递图的交替类型，通过分类和确定2-因子的不变性，引入了一个新的无限图家族，扩展了广义佩特森图和蜂窝扭态图。
Generating the cycle space of planar graphs
证明了平面可分3-连通图$G$的圈空间是由一个${\rm Aut}(G)$ -不变圈套集生成的。我们还讨论了在较小的连通性的情况下的情况。
Small cycle structure for words in conjugation invariant random permutations
本文研究独立且共轭不变的随机置换中字的小圈结构，在字经循环简化后仍含至少两个不同字母的条件下，得到了其小圈的通用极限联合律，推广了置换乘积与一致置换的相关先前结果。
Minimal transitive factorizations of permutations into cycles
我们介绍了一种新的方法来计数问题密切相关的几何分支覆盖，也就是说，我们研究的方式可以被分解成一个产品的一个给定数量的2-循环，3-循环等的置换与一定的极小性和传递性条件施加的因素。该方法是将这种分解编码为具有某种“下降结构”的平面映射，并应用一种新的组合分解使其枚举更易于管理。我们应用我们的技术来计算置换的一个或两个部分的因式分解，扩展了古尔登和杰克逊的早期工作。我们还展示了如何容易地修改这些方法来计算不等价的因子分解，其中等价性是通过允许相邻不相交因子的交换来定义的。我们的技术允许一个实质性的概括最近的工作古尔登，杰克逊和拉图尔，同时允许一个相当大的简化他们的分析。
Bijections and symmetries for the factorizations of the long cycle
研究了置换$(1,2,...,n)$到给定循环类型的$k$因子的分解.利用表示论，杰克逊为每个$k$得到了一个根据每个因子的循环数来计算这些因子分解的优雅公式。在案件$k=2,3$谢弗和瓦西里耶娃给出了组合证明杰克逊的公式，和莫拉莱斯和瓦西里耶娃获得更完善的公式表现出令人惊讶的对称性。这些计数结果表明，一个丰富的组合理论，这仍然是难以捉摸的这一点，这是本文的目标，以建立一系列的双射揭示了一些组合性质的因子分解的$(1,2,...,n)$到$k$因素的所有$k$。因此，我们得到改进的杰克逊的公式，延长的情况下，$k=2,3$处理Morales和Vassilieva。我们的双射描述的“星座”，这是嵌入在表面编码的置换的传递因式分解的图形。
On degree sum conditions for 2-factors with a prescribed number of cycles
对于图$G$的顶点子集$X$，设$Δ_{t}(X)$是大小为$t$的$X$的子集的度和的最大值。本文证明了如下结果：设$k$为正整数，$G$为$n \ge 5k - 2$阶的$m$ -连通图.如果对于$G$中大小为$\lceil m/k \rceil+1$的每个独立集合$X$，$Δ_{2}(X) \ge n$，则$G$具有恰好为$k$循环的2-因子。这是Brandt等人[Degree conditions for 2-factors，J. Graph Theory 24（1997）165-173]和Yamashita [On degree sum conditions for long cycles and cycles through specified vertices，Discrete Math.308（2008）6584-6587]分别获得的结果的共同推广。
On the Directed Hamilton-Waterloo Problem with Two Cycle Sizes
有向Hamilton-Waterloo问题要求完全对称有向图$K_v^*$的有向$2$ -因子分解，其中有两个非同构的$2$ -因子.在问题的统一版本中，因子由有向$m$ -圈或$n$ -圈组成。本文给出了该问题有解的必要条件，并用$(m, n)\in \{(4,6),(4,8),(4,12),(4,16),(6,12)$，$(8,16),(3,5),(3,15),(5,15)\}$求解了因子问题。
1-factor and cycle covers of cubic graphs
设$G$是一个无桥三次图.考虑$G$的$k$ 1-因子列表。设$E_i$是包含在$k$ 1-因子的精确$i$成员中的边的集合。令$μ_k(G)$是在$G$的$k$ 1-因子的所有列表上的最小的$|E_0|$。任何三个1-因子的列表都导出一个三次图的核。我们使用结果的结构的核心证明充分条件的Berge覆盖和存在的三个1-因子与空的交集。此外，如果$μ_3(G) \not = 0$，则$2 μ_3(G)$是$G$围长的上界。我们还证明了无桥三次图的最短圈覆盖长度的一些新的上界。具有$μ_4(G) = 0$的三次图有一个长度为$\frac{4}{3} |E(G)|$的4圈覆盖和一个5圈双覆盖。这些图也满足张的两个定理。对张的一个问题也作了否定的回答。
Cycle spaces: invariant projections and applications to transportation cost
本文探讨了圈空间在运输成本中的应用，研究了相应 $\ell_1$-空间中到圈空间的极小投影与不变投影，并揭示了其与图自同构群表示性质的联系，重点聚焦于离散环面和 Hamming 图。
Improved asymptotic upper bounds for the minimum number of pairwise distinct longest cycles in regular graphs
本文改进正则哈密顿图中两两不同最长圈数量的渐近上界，证明 Haythorpe 猜想在渐近意义上不成立，并证明非哈密顿 2-连通正则图的该不变量可被常数界定。
Hamilton cycles in regular graphs perturbed by a random 2-factor
本文证明同一顶点集上d-正则图与均匀随机2-因子的并以大概率为哈密顿图，解决了Draganić和Keevash关于所有d值的猜想。
Sunlet factors for Cartesian products of cycles
本文研究二部环面网格图 $C_{2n} \Box C_{2n}$ 的 sunlet 因子分解，利用 sunlet 拷贝不交并的边双射同态，构造了 $s=1,n,n^2$ 时的分解。
Short cycle covers on cubic graphs using chosen 2-factor
证明了每一个具有$m$边的无桥三次图$G$都有一个长度至多为$1.6 m$的圈覆盖.此外，如果$G$不包含任何长度为$5$的交叉回路，则$G$具有长度为$212/135 \cdot m \approx 1.570 m$的循环覆盖，并且如果$G$不包含$5$ -回路，则它具有长度至多为$14/9 \cdot m \approx 1.556 m$的循环覆盖。为了证明我们的结果，我们证明了每个$2$ -边连通三次图$G$的$n$顶点有一个$2$ -因子包含最多$n/10+f(G)$电路长度$5$，其中$f(G)$的值只取决于存在的几个子图所产生的彼得森图。作为推论，我们得到每个$n$顶点上的$3$ -边连通三次图都有一个$2$ -因子，它包含最多个长度为$5$的$n/9$圈;每个$n$顶点上的$4$ -边连通三次图都有一个$2$ -因子，它包含最多个长度为$5$的$n/10$圈.
Hamiltonian cycles in Cayley graphs whose order has few prime factors
证明了如果Cay（G; S）是n阶连通Cayley图，且n的素因子分解很小，则Cay（G;S）有一个哈密顿圈.更精确地说，如果p、q和r是不同的素数，那么n可以是kp的形式，其中k < 32且k不等于24;或者是kpq的形式，其中k < 6;或者是pqr的形式;或者是kp^2的形式，其中k < 5;或者是kp^3的形式，其中k < 3。
Polychromatic colorings of complete graphs with respect to 1-,2-factors and Hamiltonian cycles
如果G是一个图，H是G的一组子图，则G的一个边染色称为H-多色的，如果从H出发的每一个图都在其边上得到G中存在的所有颜色。G的H-多色数，记为poly_H（G），是H-多色染色中最大的颜色数。当G是完全图，H是所有1-因子的族时，本文精确地确定了polyH（G）.此外，当G是完全图且H是所有2-因子族或所有哈密顿圈族时，还得到了直到一个可加常数项的polyH（G）.
Counting invertible Schrödinger Operators over Finite Fields for Trees, Cycles and Complete Graphs
我们计算有限域上树、圈和完全图的可逆薛定谔算子（由邻接矩阵的对角矩阵引起的扰动）。对于树，这是通过定义和使用局部不变量（可能独立的代数结构）来实现的。圈和完全图是用特别的方法处理的。
A complete solution to the directed Oberwolfach problem of order $2 \pmod{4}$ with cycles of even lengths
本文解决了阶数为2 mod 4的有向奥伯沃尔夫ach问题，通过偶数长度循环的有向2-因子分解提供完整解法。
Tropical Normal Functions -- Higher Abel-Jacobi Invariants of Tropical cycles
我们认为热带霍奇结构（TVHS）的变化与热带品种的家庭。相关热带霍奇结构的热带中间雅可比行列式族定义了一个热带雅可比行列式丛，我们称其截面为热带正规函数。我们定义这些功能的基础上，就自然的高斯-马宁连接的霍奇理论不变量检测热带循环的纤维正式序列衍生物。归纳定义的相关不变量是热带范畴中的高阶Abel-Jacobi不变量。他们自然地确定了热带的布洛赫-贝林森过滤对热带的周族。为了研究$\mathcal{M}_{g,n}^{\text{trop}}$的重言式环中的重言式类，我们在带有标记点的热带曲线的模上研究了这一构造。期望这些周期的非平凡性可以在热带类别中以较低的复杂性进行检查。该构造与模式范畴上的热带化函子相容，并且上述过程也将提供一种检验模式范畴中$\mathcal{M}_{g,n}$重言式环中关系的另一种方法.
Decomposing hypergraphs into cycle factors
Rödl，Rucirobski和Szemerédi的一个著名结果保证了$k$ -一致超图$H$在$n$顶点上的（紧）Hamilton圈具有最小$(k-1)$ -度$δ_{k-1}(H)\geq (1/2+o(1))n$，从而将Dirac的结果从图推广到超图。对于图，我们知道的更多;每个在$n$顶点上具有$δ(G)\geq (1/2+o(1))n$的图都包含$(1-o(1))r$边不相交的Hamilton圈，其中$r$是最大整数，使得$G$包含一个生成$2r$ -正则子图，这显然是渐近最优的。费伯、克里维列维奇和苏达科夫在回答库恩、拉平斯卡斯和奥斯托斯提出的问题时证明了这一点。我们将这个结果推广到超图;每个$k$ -一致超图$H$的$n$顶点与$δ_{k-1}(H)\geq (1/2+o(1))n$包含$(1-o(1))r$边不相交（紧）的Hamilton圈，其中$r$是最大的整数，使得$H$包含一个生成子图，每个顶点属于$kr$边。特别是，这产生了一个问题的格洛克，库恩和奥斯托斯的渐近解。事实上，我们的主要结果适用于近似顶点正则$k$ -均匀超图的弱拟随机属性，并提供近似分解成周期因子没有太短的周期。
A note on the number of non-cycle components in a pseudo 2-factor of graphs
本文推广了图伪2-因子的非圈分支数量上界，证明每个图G存在非圈分支数至多为f(G)的伪2-因子，统一了Bekkai-Kouider与作者先前的2-因子存在性结果。
2-factors with k cycles in Hamiltonian graphs
狄拉克定理的一个著名的推广是：如果一个图$G$在$n\ge 4k$顶点上的最小度至少为$n/2$，那么$G$包含一个$2$ -因子，该因子恰好由$k$圈组成。很容易看出，这在最小度的界限方面是紧的。然而，如果另外假设$G$是哈密尔顿算子，则已经证明，最小度上的界限可以放宽。事实证明，这是真的。在随后的论文中，最小度界得到了改进，最近由DeBiasio，Ferrara和Morris改进为$(2/5+\varepsilon)n$。另一方面，没有接近这一点的下界是已知的，所有关于这个主题的论文都在问最小度是否需要线性。我们回答了这个问题，通过证明在$n.$中，大哈密顿图具有由固定圈数组成的$2$ -因子所需的最小度是次线性的
Hamiltonian cycles and 1-factors in 5-regular graphs
证明了对任意整数$g \ge 0$和$k \in \{ 0, \ldots, 10 \}$，存在无穷多个含1-因子分解的亏格为$g$的5-正则图，其中恰好有$k$对1-因子是完美的，即构成一个哈密顿圈.对于$g = 0$，这解决了1964年的Kotzig问题。受Kotzig和Labelle的“婚姻”操作的启发，我们讨论了两种胶合技术，旨在产生高循环边连通图。证明了存在无穷多个平面5-连通5-正则图，其中每个1-因子分解都有零个完美对。另一方面，利用四色定理和Brinkmann与第一作者的一个结果，证明了每个平面4-连通5-正则图在其哈密顿圈上满足一个条件时，都有线性数目的1-因子分解，每个分解至少包含一个完美对.我们还证明了满足更强条件的平面5-连通5-正则图包含最多9个完美对的1-因子分解，由此，每一个允许最多10个完美对的1-因子分解的平面5-连通5-正则图至少有两个边Kempe等价类.最后给出了平面5-正则图的边Kempe等价类的进一步结果。
The Hamilton-Waterloo Problem with even cycle lengths
Hamilton-Waterloo问题HWP $(v;m,n;α,β)$要求将完全图$K_v$或$K_v-I$（去掉1-因子的边的完全图）2-因子分解为$α$ $C_m$ -因子和$β$ $C_n$ -因子，其中$3 \leq m < n$ .在$m$和$n$都是偶数的情况下，除了可能当$1 \in \{α,β\}$或当$α$和$β$都是奇数时（在这种情况下必须是$v \equiv 2 \pmod{4}$）之外，问题已经解决。在本文中，我们开发了一个新的结构，在一定的条件下，从现有的因式分解创建更大的循环因式分解。这种构造使我们能够证明，只要明显的必要条件成立，除了可能是$β=1$ ; $β=3$和$\gcd(m,n)=1$ ; $α=1$ ;或$v=2mn/\gcd(m,n)$之外，对于奇数$α$和$β$，存在HWP $(v;2m,2n;α,β)$的解。这个结果几乎完全解决了偶数循环的存在性问题，除了上面提到的可能的例外。
The j-invariant of a plane tropical cubic
热带几何中的一些结果将亏格为1的代数平面曲线的j-不变量与亏格为1的热带曲线的圈长联系起来。本文证明了：对于Puixix级数域上的平面三次曲线，如果存在圈，则$j$ -不变量的通有赋值的负值等于曲线的热带化的圈长.
Induced paths and cycles in factor graphs of split graphs
本文研究了因子图中诱导路径和环的结构特性，证明诱导环长度不超过4，并给出了因子图直径的上界。
Cycle factors in randomly perturbed graphs
本文研究了随机扰动图模型中$\ell$ -顶点圈$C_\ell$的两两点不相交副本问题，该模型是确定性$n$ -顶点图$G$和二项随机图$G(n,p)$的结合.对于$\ell \ge 3$，我们证明了渐近几乎必然$G \cup G(n,p)$包含$\min \{δ(G), \lfloor n/\ell \rfloor \}$成对顶点不相交的循环$C_\ell$，提供$p \ge C \log n/n$ $C$足够大。此外，当$δ(G) \geαn$与$0<α\le 1/\ell$和$G$不“接近"完全二部图$K_{αn,(1-α) n}$时，则$p \ge C/n$足以得到相同的结论。这提供了我们结果的稳定性版本。特别是，我们得出结论，$p \ge C/n$足以当$α>1/\ell$寻找$\lfloor n/\ell \rfloor$周期$C_\ell$。我们的结果是渐近最优的。它们可以被看作是$C_\ell$ -因子的Johanson-Kahn-Vu定理和Abbasi对$C_\ell$ -因子的El-Zahar猜想的解决之间的插值。
Cycle factorizations and one-faced graph embeddings
考虑对称群S_n中n-圈的转置分解。对于每一个这样的因式分解，我们在变量w_{ij}中分配一个单项式，它保留了所使用的换位，但忘记了它们的顺序。求和所有可能的因式分解的n-循环，我们得到一个多项式，碰巧承认一个封闭的表达。从这个表达式中，我们推出了一个公式的1面嵌入的数量给一个图。
Cycle-factors in oriented graphs
本文研究高最小入度和出度有向图中的圈因子，证明接近 $n/2$ 的度条件可保证任意 $k\geq4$ 的 $k$-圈因子及给定长度的互不相交圈集合，改进了已有结果。
Hamiltonian cycles in planar cubic graphs with facial 2-factors, and a new partial solution of Barnette's Conjecture
研究了具有面2-因子Q的平面三次图G中哈密顿圈的存在性。从而G中的Hamilton性转化为收缩G/Q中面的（拟）生成树的存在性。特别地，我们研究了G是蛙跳扩展（在（Discrete Math.，309（14）：4793-4809，2009））。作为结果，我们证明了平面三次循环4-边连通二部图的蛙跳扩张的Hamilton性。本文的这一结果和其他结果建立了巴内特猜想的部分解，根据巴内特猜想，每个3连通三次平面二部图都是汉密尔顿的。这些结果大大超过了Goodey关于这个主题的结果（Israel J. Math.，22：52-56，1975）。
Proof of a tournament partition conjecture and an application to 1-factors with prescribed cycle lengths
在1982年，Schlassen提出了一个问题：是否存在一个整数f（k，t）使得每个强f（k，t）-连通竞赛图T允许它的顶点集被划分为t个顶点类V_1，...，V_t使得对所有i，V_i在T上诱导的子竞赛图T[V_i]是强k-连通的。我们的主要结果意味着对这个问题的肯定回答。特别地，我们证明了f（k，t）= O（k^7t^4）就足够了。作为我们的主要结果的另一个应用，我们给一个肯定的回答宋的一个问题，是否，对于任何整数t，存在一个整数h（t），使每个强h（t）-连通竞赛有一个1-因子组成的t顶点不相交的周期的规定长度。我们证明了h（t）= O（t^5）就足够了。
Hamiltonian cycles above expectation in r-graphs and quasi-random r-graphs
设$H_r(n,p)$表示密度为$p \in (0,1)$的$n$ -顶点$r$ -图中的最大哈密顿圈数.随机$r$图模型$G_r(n,p)$中的哈密顿圈的期望数目是$E(n,p)=p^n(n-1)!/2$，而在具有$m=p\binom{n}{r}$的随机图模型$G_r(n,m)$中，它实际上略小于$E(n,p)$ .对于图，证明了$H_2(n,p)$只比$E(n,p)$大一个多项式因子，而密度为$p$的拟随机图是否能比$E(n,p)$大一个多项式因子是一个公开问题.对于超图（即$r \ge 3$），情况完全不同。对所有的$r \ge 3$，证明了$H_r(n,p)$比$E(n,p)$大一个{ \em指数}因子，并且存在密度为$p$的拟随机$r$ -图，其哈密顿圈数比$E(n,p)$大一个指数因子.
Ramsey--Turán Factors of Non-directed Oriented Cycles in Oriented Graphs
该研究针对有向图，证明满足最小半度阈值及独立数条件的足够大的有向图包含指定长度的反有向环因子，其最小半度阈值渐近紧，采用了Ramsey-Turán型格吸收引理完成证明。
About universality of large deviation principles for conjugacy invariant permutations
本文证明了具有少量循环的共轭不变排列的大偏差普适性，并应用于单调子序列长度，涵盖 Ewens 测度。
Odd and Even Harder Problems on Cycle-Factors
本文研究无向、有向与混合图中带奇偶约束的四类圈因子问题，证明除“至少含一个偶圈”外其余均为 NP 完全，并指出混合图中圈因子存在性判定本身也为 NP 完全。
Extra-factorial sum: a graph-theoretic parameter in Hamiltonian cycles of complete weighted graphs
一个图论参数，在一个函数的形式，称为额外的阶乘和进行了讨论。主要结果见参考文献[1]（Nastou等人，Optim Lett，10，1203-1220，2016），强烈建议读者研究上述论文。目前的工作提出了主题事项的教程形式与证明和一些较新的未发表的结果接近尾声（引理6扩展和引理7）。额外的阶乘和是有关的哈密顿圈的完全加权图$WH_n$与$n$顶点，并获得了$WH_n$的每一条边。如果这个和乘以$1 / (n - 2)$，那么它直接给出穿过所选边$e_q$的所有哈密顿圈的长度之和$l_i$的算术平均值。该和中的项数是被证明为$(n - 2)!$的阶乘，这表示其值取决于$n$。利用阶乘外和，还可以求出$WH_{n}$的$(n - 1)! / 2$哈密顿圈长度平方和的算术平均值.
Cycle factors and renewal theory
对于$k$的哪些值，$3$正则图$G$在$n$顶点上通常包含$ n/k$顶点不相交的$k$ -圈（一个$k$ -圈因子）？迄今为止，这一问题已经在$k=n$和$k \ll \log n$中得到了解答。前者，即汉密尔顿性问题，最终由Robinson和Wormald在1992年给出了肯定的答案，而后者的答案是否定的，因为大多数顶点很有可能不位于$k$ -循环上。这里我们完全解决了这个问题：如上所述，$G$中$k$ -循环因子的阈值是$κ_0 \log_2 n$和$κ_0=[1-\frac12\log_2 3]^{-1}\approx 4.82$。准确地说，我们证明了一个2点浓度结果：如果$k \geq κ_0 \log_2(2n/e)$可分$n$，则$G$包含一个$k$ -循环因子w. h. p.，而如果是$k<κ_0\log_2(2n/e)-\frac{\log^2 n}n$，则w. h. p.不是。作为一个副产品，我们确认了“梳状猜想”，一个老问题，关于嵌入某些生成树的随机图$G(n,p)$。证明遵循小子图条件框架，但相关的二阶矩分析在这里是更微妙的比在任何早期使用这种方法，并涉及几个新的功能，其中一个尖锐的估计尾部概率更新过程中没有更换可能是独立的利益。
Counterexamples to an Extremal Conjecture for Random Cycle-Factors
本文推翻了关于随机循环因子中循环数期望的最大化猜想，针对d≥3和n=kd的情况构造了反例，并指出在d=2时猜想成立，形成二元区分。
The cycle structure of compositions of random involutions
本文考虑对称群S_n中随机一致选取的对合对的合成的圈结构。这些可以被建模为修改的2-正则图，从而产生指数母函数。S_n中两个随机对合的合成一般有n^（1/2）个圈，圈的特征长度为n^（1/2）。另一方面，两个随机的无不动点对合的合成通常具有约log n个循环，并且与所有循环长度为偶数的置换密切相关。随机置换成两个对合的因子分解的数目似乎是渐近对数正态分布的，我们证明了一个密切相关的概率模型。本研究的动机是观察到[n]中对合的数目是（n！）^（1/2）乘以次指数因子;更一般地，在有限集S中具有所有循环长度的置换的数目是n！^ (1-1/m）乘以一个次指数因子，并且k-循环的典型数目接近n^（k/m）/k。连接模式避免对合也被认为是。
Cycle-factors of regular graphs via entropy
该研究推广随机排列圈数的经典结果，证明有向d-正则图的随机圈因子平均有O((n log d)/d)个圈（紧界），改进此前界并得到相关随机多项式时间算法，推动了相关猜想和问题的研究。
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