Cycle tilings and $H$-factors in directed graphs
Department of Mathematics and Statistics, University of South Florida（南佛罗里达大学数学与统计系）；School of Mathematics, University of Birmingham（伯明翰大学数学学院）
该研究提出了有向图中循环覆盖和H-因子的最小度数条件，并证明了关于传递竞赛因子的渐近精确Ore型结果。
2026-02-14 math.CO
The Hamilton-Waterloo Problem with $C_4$ and $C_m$ Factors
具有均匀圈大小的Hamilton-Waterloo问题要求完全图$K_v$（对于奇数{ \em v}）或$K_v$减去$1-$因子（对于偶数{ \em v}）的$2-$因子分解，其中因子的$r$由$n-$圈组成，因子的$s$由具有$r+s=\left \lfloor \frac{v-1}{2} \right \rfloor$的$m-$圈组成。本文研究了具有$4-$循环和$m-$循环因子的Hamilton-Waterloo问题，其中$m\geq 3$为奇数$m\geq 3$，并确定了除少数例外情况外的所有可能解.
2015-05-29 math.CO
Cycle factorizations and one-faced graph embeddings
考虑对称群S_n中n-圈的转置分解。对于每一个这样的因式分解，我们在变量w_{ij}中分配一个单项式，它保留了所使用的换位，但忘记了它们的顺序。求和所有可能的因式分解的n-循环，我们得到一个多项式，碰巧承认一个封闭的表达。从这个表达式中，我们推出了一个公式的1面嵌入的数量给一个图。
2009-02-24 math.AG math.CO
Minimal transitive factorizations of permutations into cycles
我们介绍了一种新的方法来计数问题密切相关的几何分支覆盖，也就是说，我们研究的方式可以被分解成一个产品的一个给定数量的2-循环，3-循环等的置换与一定的极小性和传递性条件施加的因素。该方法是将这种分解编码为具有某种“下降结构”的平面映射，并应用一种新的组合分解使其枚举更易于管理。我们应用我们的技术来计算置换的一个或两个部分的因式分解，扩展了古尔登和杰克逊的早期工作。我们还展示了如何容易地修改这些方法来计算不等价的因子分解，其中等价性是通过允许相邻不相交因子的交换来定义的。我们的技术允许一个实质性的概括最近的工作古尔登，杰克逊和拉图尔，同时允许一个相当大的简化他们的分析。
2006-10-24 math.CO
Bijections and symmetries for the factorizations of the long cycle
研究了置换$(1,2,...,n)$到给定循环类型的$k$因子的分解.利用表示论，杰克逊为每个$k$得到了一个根据每个因子的循环数来计算这些因子分解的优雅公式。在案件$k=2,3$谢弗和瓦西里耶娃给出了组合证明杰克逊的公式，和莫拉莱斯和瓦西里耶娃获得更完善的公式表现出令人惊讶的对称性。这些计数结果表明，一个丰富的组合理论，这仍然是难以捉摸的这一点，这是本文的目标，以建立一系列的双射揭示了一些组合性质的因子分解的$(1,2,...,n)$到$k$因素的所有$k$。因此，我们得到改进的杰克逊的公式，延长的情况下，$k=2,3$处理Morales和Vassilieva。我们的双射描述的“星座”，这是嵌入在表面编码的置换的传递因式分解的图形。
2011-12-22 math.CO
On degree sum conditions for 2-factors with a prescribed number of cycles
对于图$G$的顶点子集$X$，设$Δ_{t}(X)$是大小为$t$的$X$的子集的度和的最大值。本文证明了如下结果：设$k$为正整数，$G$为$n \ge 5k - 2$阶的$m$ -连通图.如果对于$G$中大小为$\lceil m/k \rceil+1$的每个独立集合$X$，$Δ_{2}(X) \ge n$，则$G$具有恰好为$k$循环的2-因子。这是Brandt等人[Degree conditions for 2-factors，J. Graph Theory 24（1997）165-173]和Yamashita [On degree sum conditions for long cycles and cycles through specified vertices，Discrete Math.308（2008）6584-6587]分别获得的结果的共同推广。
2017-06-01 math.CO
On the Directed Hamilton-Waterloo Problem with Two Cycle Sizes
有向Hamilton-Waterloo问题要求完全对称有向图$K_v^*$的有向$2$ -因子分解，其中有两个非同构的$2$ -因子.在问题的统一版本中，因子由有向$m$ -圈或$n$ -圈组成。本文给出了该问题有解的必要条件，并用$(m, n)\in \{(4,6),(4,8),(4,12),(4,16),(6,12)$，$(8,16),(3,5),(3,15),(5,15)\}$求解了因子问题。
2022-09-29 math.CO
1-factor and cycle covers of cubic graphs
设$G$是一个无桥三次图.考虑$G$的$k$ 1-因子列表。设$E_i$是包含在$k$ 1-因子的精确$i$成员中的边的集合。令$μ_k(G)$是在$G$的$k$ 1-因子的所有列表上的最小的$|E_0|$。任何三个1-因子的列表都导出一个三次图的核。我们使用结果的结构的核心证明充分条件的Berge覆盖和存在的三个1-因子与空的交集。此外，如果$μ_3(G) \not = 0$，则$2 μ_3(G)$是$G$围长的上界。我们还证明了无桥三次图的最短圈覆盖长度的一些新的上界。具有$μ_4(G) = 0$的三次图有一个长度为$\frac{4}{3} |E(G)|$的4圈覆盖和一个5圈双覆盖。这些图也满足张的两个定理。对张的一个问题也作了否定的回答。
2015-01-29 math.CO
Hamilton cycles in regular graphs perturbed by a random 2-factor
本文证明同一顶点集上d-正则图与均匀随机2-因子的并以大概率为哈密顿图，解决了Draganić和Keevash关于所有d值的猜想。
2025-08-25 math.CO
Sunlet factors for Cartesian products of cycles
Georgetown University（乔治城大学）
本文研究二部环面网格图 $C_{2n} \Box C_{2n}$ 的 sunlet 因子分解，利用 sunlet 拷贝不交并的边双射同态，构造了 $s=1,n,n^2$ 时的分解。
2025-10-20 math.CO
Random generation and scaling limits of fixed genus factorizations into transpositions
研究了$n$ -圈到固定亏格$g>0$的转置的随机分解的渐近性态.他们有一个几何解释为分支覆盖的领域和他们的枚举作为赫维茨数被广泛研究代数组合学和枚举几何。在概率方面，在以前的工作中研究了置换因子分解的几个模型和性质，特别是循环到置换的最小因子分解（对应于本工作的情况$g=0$）。利用单胞映射的分解表示，我们首先给出了一个算法，该算法在线性时间内对亏格$g$的渐近均匀分解进行采样。在第二次，我们编码的分解作为一个过程中的和弦出现一个接一个的单位磁盘，我们证明了收敛（作为$n\to\infty$）的过程与一致的属$g$分解的$n$ -循环。极限过程可以从布朗游程中显式地构造出来。最后，我们建立了自然亏格过程的收敛性，并对分解中连续亏格的出现进行了编码。
2021-05-07 math.CO math.PR
Short cycle covers on cubic graphs using chosen 2-factor
证明了每一个具有$m$边的无桥三次图$G$都有一个长度至多为$1.6 m$的圈覆盖.此外，如果$G$不包含任何长度为$5$的交叉回路，则$G$具有长度为$212/135 \cdot m \approx 1.570 m$的循环覆盖，并且如果$G$不包含$5$ -回路，则它具有长度至多为$14/9 \cdot m \approx 1.556 m$的循环覆盖。为了证明我们的结果，我们证明了每个$2$ -边连通三次图$G$的$n$顶点有一个$2$ -因子包含最多$n/10+f(G)$电路长度$5$，其中$f(G)$的值只取决于存在的几个子图所产生的彼得森图。作为推论，我们得到每个$n$顶点上的$3$ -边连通三次图都有一个$2$ -因子，它包含最多个长度为$5$的$n/9$圈;每个$n$顶点上的$4$ -边连通三次图都有一个$2$ -因子，它包含最多个长度为$5$的$n/10$圈.
2015-09-24 math.CO
Odd and Even Harder Problems on Cycle-Factors
CISPA Helmholtz Center for Information Security（CISPA赫尔姆霍兹信息安全中心）；HUN-REN–ELTE Egerváry Research Group on Combinatorial Optimization（匈牙利研究与教育国家办公室–罗兰大学Egerváry组合优化研究组）；Instituto de Ciencias de la Ingeniería, Universidad de O’Higgins（奥希金斯大学工程科学研究所）；Department of Operations Research, ELTE Eötvös Loránd University（罗兰大学运筹学系）；Graduate School of Information Science and Technology, Osaka University（大阪大学情报理工学研究科）
本文研究无向、有向与混合图中带奇偶约束的四类圈因子问题，证明除“至少含一个偶圈”外其余均为 NP 完全，并指出混合图中圈因子存在性判定本身也为 NP 完全。
2026-09-28 cs.DS math.CO
Hamiltonian cycles in Cayley graphs whose order has few prime factors
证明了如果Cay（G; S）是n阶连通Cayley图，且n的素因子分解很小，则Cay（G;S）有一个哈密顿圈.更精确地说，如果p、q和r是不同的素数，那么n可以是kp的形式，其中k < 32且k不等于24;或者是kpq的形式，其中k < 6;或者是pqr的形式;或者是kp^2的形式，其中k < 5;或者是kp^3的形式，其中k < 3。
2011-04-04 math.CO
Polychromatic colorings of complete graphs with respect to 1-,2-factors and Hamiltonian cycles
如果G是一个图，H是G的一组子图，则G的一个边染色称为H-多色的，如果从H出发的每一个图都在其边上得到G中存在的所有颜色。G的H-多色数，记为poly_H（G），是H-多色染色中最大的颜色数。当G是完全图，H是所有1-因子的族时，本文精确地确定了polyH（G）.此外，当G是完全图且H是所有2-因子族或所有哈密顿圈族时，还得到了直到一个可加常数项的polyH（G）.
2016-12-10 math.CO
A complete solution to the directed Oberwolfach problem of order $2 \pmod{4}$ with cycles of even lengths
University of New Brunswick（新不伦瑞克大学）；Toronto Metropolitan University（多伦多都会大学）；University of Regina（里贾纳大学）
本文解决了阶数为2 mod 4的有向奥伯沃尔夫ach问题，通过偶数长度循环的有向2-因子分解提供完整解法。
2026-02-18 math.CO
Decomposing hypergraphs into cycle factors
Rödl，Rucirobski和Szemerédi的一个著名结果保证了$k$ -一致超图$H$在$n$顶点上的（紧）Hamilton圈具有最小$(k-1)$ -度$δ_{k-1}(H)\geq (1/2+o(1))n$，从而将Dirac的结果从图推广到超图。对于图，我们知道的更多;每个在$n$顶点上具有$δ(G)\geq (1/2+o(1))n$的图都包含$(1-o(1))r$边不相交的Hamilton圈，其中$r$是最大整数，使得$G$包含一个生成$2r$ -正则子图，这显然是渐近最优的。费伯、克里维列维奇和苏达科夫在回答库恩、拉平斯卡斯和奥斯托斯提出的问题时证明了这一点。我们将这个结果推广到超图;每个$k$ -一致超图$H$的$n$顶点与$δ_{k-1}(H)\geq (1/2+o(1))n$包含$(1-o(1))r$边不相交（紧）的Hamilton圈，其中$r$是最大的整数，使得$H$包含一个生成子图，每个顶点属于$kr$边。特别是，这产生了一个问题的格洛克，库恩和奥斯托斯的渐近解。事实上，我们的主要结果适用于近似顶点正则$k$ -均匀超图的弱拟随机属性，并提供近似分解成周期因子没有太短的周期。
2021-04-13 math.CO
A note on the number of non-cycle components in a pseudo 2-factor of graphs
Keio University（庆应义塾大学）
本文推广了图伪2-因子的非圈分支数量上界，证明每个图G存在非圈分支数至多为f(G)的伪2-因子，统一了Bekkai-Kouider与作者先前的2-因子存在性结果。
2025-10-14 math.CO
2-factors with k cycles in Hamiltonian graphs
狄拉克定理的一个著名的推广是：如果一个图$G$在$n\ge 4k$顶点上的最小度至少为$n/2$，那么$G$包含一个$2$ -因子，该因子恰好由$k$圈组成。很容易看出，这在最小度的界限方面是紧的。然而，如果另外假设$G$是哈密尔顿算子，则已经证明，最小度上的界限可以放宽。事实证明，这是真的。在随后的论文中，最小度界得到了改进，最近由DeBiasio，Ferrara和Morris改进为$(2/5+\varepsilon)n$。另一方面，没有接近这一点的下界是已知的，所有关于这个主题的论文都在问最小度是否需要线性。我们回答了这个问题，通过证明在$n.$中，大哈密顿图具有由固定圈数组成的$2$ -因子所需的最小度是次线性的
2020-03-08 math.CO
Cubic factor-invariant graphs of bialternating cycle quotient type
University of Ljubljana, Faculty of Education（卢布尔雅那大学教育学院）；University of Primorska, Institute Andrej Marušič（沿海大学安德烈亚·马鲁西奇研究所）；Institute of Mathematics, Physics and Mechanics（数学、物理与力学研究所）
本文分类了双交替环商类型的图，证明其属于一个未知的无限参数族图，且为三个自逆元的Cayley图。
2026-01-16 math.CO
Hamiltonian cycles and 1-factors in 5-regular graphs
证明了对任意整数$g \ge 0$和$k \in \{ 0, \ldots, 10 \}$，存在无穷多个含1-因子分解的亏格为$g$的5-正则图，其中恰好有$k$对1-因子是完美的，即构成一个哈密顿圈.对于$g = 0$，这解决了1964年的Kotzig问题。受Kotzig和Labelle的“婚姻”操作的启发，我们讨论了两种胶合技术，旨在产生高循环边连通图。证明了存在无穷多个平面5-连通5-正则图，其中每个1-因子分解都有零个完美对。另一方面，利用四色定理和Brinkmann与第一作者的一个结果，证明了每个平面4-连通5-正则图在其哈密顿圈上满足一个条件时，都有线性数目的1-因子分解，每个分解至少包含一个完美对.我们还证明了满足更强条件的平面5-连通5-正则图包含最多9个完美对的1-因子分解，由此，每一个允许最多10个完美对的1-因子分解的平面5-连通5-正则图至少有两个边Kempe等价类.最后给出了平面5-正则图的边Kempe等价类的进一步结果。
2022-04-24 math.CO
The Hamilton-Waterloo Problem with even cycle lengths
Hamilton-Waterloo问题HWP $(v;m,n;α,β)$要求将完全图$K_v$或$K_v-I$（去掉1-因子的边的完全图）2-因子分解为$α$ $C_m$ -因子和$β$ $C_n$ -因子，其中$3 \leq m < n$ .在$m$和$n$都是偶数的情况下，除了可能当$1 \in \{α,β\}$或当$α$和$β$都是奇数时（在这种情况下必须是$v \equiv 2 \pmod{4}$）之外，问题已经解决。在本文中，我们开发了一个新的结构，在一定的条件下，从现有的因式分解创建更大的循环因式分解。这种构造使我们能够证明，只要明显的必要条件成立，除了可能是$β=1$ ; $β=3$和$\gcd(m,n)=1$ ; $α=1$ ;或$v=2mn/\gcd(m,n)$之外，对于奇数$α$和$β$，存在HWP $(v;2m,2n;α,β)$的解。这个结果几乎完全解决了偶数循环的存在性问题，除了上面提到的可能的例外。
2019-02-22 math.CO
Induced paths and cycles in factor graphs of split graphs
Instituto de Matemática Aplicada San Luis - CONICET, UNSL（圣路易斯应用数学研究所 - 阿根廷国家科学和技术研究委员会）；Departamento de Matemática, Universidad Nacional de San Luis（圣路易斯国立大学数学系）
本文研究了因子图中诱导路径和环的结构特性，证明诱导环长度不超过4，并给出了因子图直径的上界。
2026-04-06 math.CO
Extra-factorial sum: a graph-theoretic parameter in Hamiltonian cycles of complete weighted graphs
一个图论参数，在一个函数的形式，称为额外的阶乘和进行了讨论。主要结果见参考文献[1]（Nastou等人，Optim Lett，10，1203-1220，2016），强烈建议读者研究上述论文。目前的工作提出了主题事项的教程形式与证明和一些较新的未发表的结果接近尾声（引理6扩展和引理7）。额外的阶乘和是有关的哈密顿圈的完全加权图$WH_n$与$n$顶点，并获得了$WH_n$的每一条边。如果这个和乘以$1 / (n - 2)$，那么它直接给出穿过所选边$e_q$的所有哈密顿圈的长度之和$l_i$的算术平均值。该和中的项数是被证明为$(n - 2)!$的阶乘，这表示其值取决于$n$。利用阶乘外和，还可以求出$WH_{n}$的$(n - 1)! / 2$哈密顿圈长度平方和的算术平均值.
2019-06-20 cs.DM math.CO
Cycle factors in randomly perturbed graphs
本文研究了随机扰动图模型中$\ell$ -顶点圈$C_\ell$的两两点不相交副本问题，该模型是确定性$n$ -顶点图$G$和二项随机图$G(n,p)$的结合.对于$\ell \ge 3$，我们证明了渐近几乎必然$G \cup G(n,p)$包含$\min \{δ(G), \lfloor n/\ell \rfloor \}$成对顶点不相交的循环$C_\ell$，提供$p \ge C \log n/n$ $C$足够大。此外，当$δ(G) \geαn$与$0<α\le 1/\ell$和$G$不“接近"完全二部图$K_{αn,(1-α) n}$时，则$p \ge C/n$足以得到相同的结论。这提供了我们结果的稳定性版本。特别是，我们得出结论，$p \ge C/n$足以当$α>1/\ell$寻找$\lfloor n/\ell \rfloor$周期$C_\ell$。我们的结果是渐近最优的。它们可以被看作是$C_\ell$ -因子的Johanson-Kahn-Vu定理和Abbasi对$C_\ell$ -因子的El-Zahar猜想的解决之间的插值。
2021-05-31 math.CO
Cycle type factorizations in $\mathrm{GL}_n \mathbb{F}_q$
最近黄、刘易斯、莫拉莱斯、雷纳和斯坦顿的工作表明，$\mathrm{GL}_n \mathbb{F}_q$的正则椭圆元在某种程度上类似于对称群的$n$ -圈。在1981年，Stanley列举了置换分解为$n$ -圈的乘积。我们研究了$\mathrm{GL}_n \mathbb{F}_q$中的类似问题，即把正则椭圆元的乘积分解成若干个因子。更准确地说，我们定义了一个概念的循环类型的$\mathrm{GL}_n \mathbb{F}_q$，并寻求枚举元组的固定数量的定期椭圆元素的产品具有给定的循环类型。在某些特殊情况下，我们提供明确的公式，使用标准的字符理论技术由于弗罗贝纽斯通过引入必要的字符值的简化公式。我们还地址，为大$q$，计算的概率，定期椭圆元素的随机元组的产品有一个给定的周期类型的问题。最后，我们得出了一些结果，我们的枚举公式的多项式和一些开放的问题。
2020-01-28 math.CO math.GR math.RT
Cycle-factors of regular graphs via entropy
ETH Zürich（苏黎世联邦理工学院）；Bocconi University（博科尼大学）；University of Oxford（牛津大学）
该研究推广随机排列圈数的经典结果，证明有向d-正则图的随机圈因子平均有O((n log d)/d)个圈（紧界），改进此前界并得到相关随机多项式时间算法，推动了相关猜想和问题的研究。
2026-09-30 cs.DM cs.DS math.CO
Cycle-factors in oriented graphs
本文研究高最小入度和出度有向图中的圈因子，证明接近 $n/2$ 的度条件可保证任意 $k\geq4$ 的 $k$-圈因子及给定长度的互不相交圈集合，改进了已有结果。
2024-03-02 math.CO
Hamiltonian cycles in planar cubic graphs with facial 2-factors, and a new partial solution of Barnette's Conjecture
研究了具有面2-因子Q的平面三次图G中哈密顿圈的存在性。从而G中的Hamilton性转化为收缩G/Q中面的（拟）生成树的存在性。特别地，我们研究了G是蛙跳扩展（在（Discrete Math.，309（14）：4793-4809，2009））。作为结果，我们证明了平面三次循环4-边连通二部图的蛙跳扩张的Hamilton性。本文的这一结果和其他结果建立了巴内特猜想的部分解，根据巴内特猜想，每个3连通三次平面二部图都是汉密尔顿的。这些结果大大超过了Goodey关于这个主题的结果（Israel J. Math.，22：52-56，1975）。
2019-11-27 math.CO
Proof of a tournament partition conjecture and an application to 1-factors with prescribed cycle lengths
在1982年，Schlassen提出了一个问题：是否存在一个整数f（k，t）使得每个强f（k，t）-连通竞赛图T允许它的顶点集被划分为t个顶点类V_1，...，V_t使得对所有i，V_i在T上诱导的子竞赛图T[V_i]是强k-连通的。我们的主要结果意味着对这个问题的肯定回答。特别地，我们证明了f（k，t）= O（k^7t^4）就足够了。作为我们的主要结果的另一个应用，我们给一个肯定的回答宋的一个问题，是否，对于任何整数t，存在一个整数h（t），使每个强h（t）-连通竞赛有一个1-因子组成的t顶点不相交的周期的规定长度。我们证明了h（t）= O（t^5）就足够了。
2015-11-05 math.CO
Hamiltonian cycles above expectation in r-graphs and quasi-random r-graphs
设$H_r(n,p)$表示密度为$p \in (0,1)$的$n$ -顶点$r$ -图中的最大哈密顿圈数.随机$r$图模型$G_r(n,p)$中的哈密顿圈的期望数目是$E(n,p)=p^n(n-1)!/2$，而在具有$m=p\binom{n}{r}$的随机图模型$G_r(n,m)$中，它实际上略小于$E(n,p)$ .对于图，证明了$H_2(n,p)$只比$E(n,p)$大一个多项式因子，而密度为$p$的拟随机图是否能比$E(n,p)$大一个多项式因子是一个公开问题.对于超图（即$r \ge 3$），情况完全不同。对所有的$r \ge 3$，证明了$H_r(n,p)$比$E(n,p)$大一个{ \em指数}因子，并且存在密度为$p$的拟随机$r$ -图，其哈密顿圈数比$E(n,p)$大一个指数因子.
2022-01-01 math.CO
Ramsey--Turán Factors of Non-directed Oriented Cycles in Oriented Graphs
School of Mathematics and Statistics, Ningxia University（宁夏大学数学与统计学院）
该研究针对有向图，证明满足最小半度阈值及独立数条件的足够大的有向图包含指定长度的反有向环因子，其最小半度阈值渐近紧，采用了Ramsey-Turán型格吸收引理完成证明。
2026-09-03 math.CO
Degree sum conditions and a 2-factor with a bounded number of cycles in claw-free graphs
本文利用无爪图的闭包概念，在独立集度和条件与 $σ_{k+1}(G)\geq n$ 条件下证明了无爪图存在至多含 $k$ 个圈的2-因子，并由此部分解决了 Faudree 等人2012年的猜想。
2025-04-11 math.CO
Inequivalent Factorizations of Permutations
如果一个置换可以通过反复交换相邻的不相交因子而从另一个置换中得到，则置换到圈的乘积的两个因子分解是等价的。本文研究了这种关系下等价类的计数问题。我们得到封闭形式的表达式生成一系列的不等价的最小传递因子分解的置换有多达三个周期，也有四个周期的置换时，因素被限制为换位。我们的推导依赖于一个新的对应关系不等价的分解和无圈交替有向图。强烈的相似性之间的枚举结果在这里推导出类似的“普通”因子分解表明，一个统一的理论仍有待发现。我们还建立了不等分解和其他研究良好的置换分解类之间的联系。特别是，与单调因子分解的关系使我们能够恢复一个精确的计数公式，后者由于古尔登，盖伊-帕克特和诺瓦克。
2015-12-01 math.CO
Cubic factor-invariant graphs of cycle quotient type -- the alternating case
University of Newcastle（纽卡斯尔大学）；Institute of Mathematics, Physics and Mechanics（数学物理力学研究所）；University of Ljubljana, Faculty of Education（卢布尔雅那大学教育学院）；University of Primorska, Institute Andrej Marušič（滨海大学安德烈亚·马鲁西奇研究所）
本文研究了三次顶点传递图的交替类型，通过分类和确定2-因子的不变性，引入了一个新的无限图家族，扩展了广义佩特森图和蜂窝扭态图。
2023-05-31 math.CO
On a Greedy Algorithm to Construct Universal Cycles for Permutations
长度为$n$的置换的通用循环是循环字或置换，其任何因子与恰好一个长度为$n$的置换顺序同构，并且包含所有长度为$n$的置换作为因子。众所周知，存在长度为$n$的置换的通用循环。然而，所有已知的构建这种循环的方法都相当复杂。例如，在建立泛圈存在性的原始论文中，构造这样的圈涉及在某个图中找到欧拉圈，然后处理偏序集。在本文中，我们提供了一个简单的方法来产生一个通用的循环的排列长度$n$，这是基于应用贪婪算法的排列长度$n-1$。证明了这种方法给出了置换的唯一泛环$Π_n$，并研究了$Π_n$的性质.
2018-07-23 math.CO
On $2$-factors of Hamiltonian graphs
Universitat de Barcelona (UB)（巴塞罗那大学）；University College London（伦敦大学学院）；University of Warwick（华威大学）；University of Oxford（牛津大学）
研究了Hamilton图的2-因子结构，证明在最小度数足够大时，存在恰好k个环的2-因子，且条件比线性小多项式。
2026-05-11 math.CO
Graph factors and powers of Hamilton cycles in the budget-constrained random graph process
Universität Heidelberg（海德堡大学）；Centre de Recerca Matemàtica（数学研究中心）
研究Builder在预算约束随机图过程中，以最小预算b获取F-因子或哈密顿圈幂的条件，给出紧的下界和最优策略。
2026-07-02 math.CO
A sufficient condition for the existence of an anti-directed 2-factor in a directed graph
设D是一个顶点集为V，阶为n的有向图. D中的一个反有向哈密顿圈H是D下图中的一个哈密顿圈，使得H中没有一对连续弧形成D中的一条有向路。D中的反有向2-因子是D中的反有向圈的顶点不交的集合，它跨越V.文[3]证明了：如果D中每个顶点的入度和出度都大于（9/16）n，则D中包含反有向Hamilton圈.本文证明了给定一个有向图D，判定D是否有反有向2-因子的问题是NP-完全的，并利用类似于[3]的证明技巧证明了：如果D的每个顶点的入度和出度都大于（24/46）n，则D有反有向2-因子。
2011-02-22 math.CO
Infinitely many cyclic solutions to the Hamilton-Waterloo problem with odd length cycles
证明了对于大于2的奇数对$(\ell,m)$与$m \equiv 1\; \pmod{\ell}$，存在$K_{\ell m}$的循环二因子分解，其$(m-1)/2$因子恰好为$\ell^m$型，而其它因子均为$m^{\ell}$型.当$\ell \equiv 1\; \pmod{4}$和$m \geq \ell^2 -\ell + 1$ .
2016-03-31 math.CO
A spanning union of cycles in rectangular grid graphs, thick grid cylinders and Moebius strips
出于寻找最近的论文中出现的一些问题的答案，在一些特殊类别的网格图处理哈密顿圈（简称HC），我们开始调查的循环，所谓的2-因子，在这些图（作为HC的推广）的生成工会。对于所有三种类型的图的标题和任何整数$m \geq 2$，我们提出了一个算法，用于获得一个专门设计的（转移）有向图${\cal D}^*_m$。将2-因子的计数问题归结为有向图中有向游动的计数问题。计算结果，我们收集的$m \leq 17$揭示了一些有趣的性质，无论是有向图${\cal D}^*_m$和序列的2-因子。我们证明了其中的一些任意$m \geq 2$。
2021-12-08 math.CO
On the Hamilton-Waterloo Problem with cycle lengths of distinct parities
设$K_v^*$表示完全图$K_v$（如果$v$是奇数）和$K_v-I$（如果$v$是偶数），表示去掉1-因子的边的完全图.给定非负整数$v, M, N, α, β$，Hamilton-Waterloo问题要求将$K^*_v$的$2$ -因子分解为$α$ $C_M$ -因子和$β$ $C_N$ -因子.显然，$M,N\geq 3$、$M\mid v$、$N\mid v$和$α+β= \lfloor\frac{v-1}{2}\rfloor$是必要条件。关于$M$和$N$具有不同奇偶性的情况知之甚少。在本文中，我们取得了一些进展，在这种情况下，除其他事项外，上述必要条件是充分的，只要$M|N$，$v>6N>36M$，和$β\geq 3$。
2018-01-23 math.CO
Chords of 2-factors in planar cubic bridgeless graphs
我们证明了2-边连通平面三次图的每条边要么包含在2-边割中，要么是包含在图的2-因子中的某个圈的弦。因此，我们证明了循环4-边连通平面三次图中的每一条边，除了$K_2^3$和$K_4$，都包含在完美匹配中，去除完美匹配会使图断开。我们得到了2-边连通平面三次图的一个完整的特征，即边使得包含边的每个2-因子是一个哈密顿圈，以及边使得包含边的每个完美匹配的补是一个哈密顿圈.主要结果的另一个直接结果是，对于2-边连通平面三次图的面圈中包含的任何两条边，存在图中的2-因子，使得两条边包含在2-因子的同一圈中。我们猜想这一性质对2-边连通的平面三次图中的任意两条边都成立，并对平面三次二部图证明了这一性质。主要结果证明了在对偶形式，表明每个平面三角承认顶点3-着色，使没有脸是单色的，并有一个指定的边缘之间的一个指定的对颜色类。
2021-10-25 math.CO
On the Directed Oberwolfach Problem with variable cycle lengths
有向Oberwolfach问题可以被认为是著名的Oberwolfach问题的有向版本，由Ringel在1967年在德国Oberwolfach的一次会议上首次提出。本文给出了变圈长有向Oberwolfach问题的一些新的部分结果。特别地，我们证明了完全对称有向图$K_n^{*}$对所有的$ n\equiv 1, 3,$或$ 7\pmod{8}$都有$( \vec{C}_2, ..., \vec{C}_2, \vec{C}_3) $ -因子分解.我们还表明，$K_n^{*}$承认一个$(\vec{C}_2, \vec{C}_{n-2})$ -因式分解的任何整数$n \geq 5$。
2020-09-18 math.CO
A spanning union of cycles in thin cylinder, torus and Klein bottle grid graphs
本文提出了一个算法，用于从图的所有顶点都是$m n$的图（$m, n \in N, m >1 $）中获得用于枚举2-因子的公共转移有向图$ D^*_m$。$m <19$收集的数值数据揭示了不同类型的环面或克莱因瓶的2-因子数的一些匹配。在后一种情况下，我们猜想这些数字是不变的扭曲。
2022-10-20 math.CO
On directed 2-factors in digraphs and 2-factors containing perfect matchings in bipartite graphs
本文给出了如下结果：若$D$是一个阶为$n$的有向图，且若对每两个不同的顶点$u$和$v$，有$d_{D}^{+}(u) + d_{D}^{-}(v) \ge n$且有$(u, v) \notin A(D)$，则$D$有一个有向$2$ -因子，其中恰好有长度至少为$3$的$k$有向圈，其中$n \ge 12k+3$ .这个结果等价于下面的结果：如果$G$是一个平衡的二部图，它的序为$2n$，有部集$X$和$Y$，并且如果$d_{G}(x)+d_{G}(y) \ge n + 2$对每两个顶点$x \in X$和$y \in Y$都有$xy \notin E(G)$，那么对每一个完美匹配的$M$，$G$有一个$2$ -因子，它的$k$圈的长度至少为$6$，包含$M$的每条边，其中$n \ge 12k+3$。这些结果分别是Woodall（1972）和Las Vergnas（1972）关于Hamilton圈的定理的推广。
2017-08-02 math.CO
On the Hamilton-Waterloo problem: the case of two cycles sizes of different parity
Hamilton-Waterloo问题要求将完全图分解为2-因子$F_{1}$的$r$副本和2-因子$F_{2}$的$s$副本，使得$r+s=\left\lfloor\frac{v-1}{2}\right\rfloor$。如果$F_{1}$由$m$ -循环组成，而$F_{2}$由$n$循环组成，则我们称这样的分解为$(m,n)-$ HWP $(v;r,s)$。目标是为每个可能的对$(r,s)$找到分解。在本文中，我们表明，对于奇数$x$和$y$，有一个$(2^kx,y)-$ HWP $(vm;r,s)$，如果$\gcd(x,y)\geq 3$，$m\geq 3$，和$x$和$y$除了可能当$1\in\{r,s\}$ $v$。
2017-12-26 math.CO
A constructive solution to the Oberwolfach Problem with a large cycle
本文针对未解决的 Oberwolfach 问题，提出了一种构造性解法，利用合并-分离技术与近正则自同构群方法，解决了当 $F$ 包含长度大于显式下界的圈时的 $2$-因子分解问题。
2024-02-13 math.CO
Factors and loose Hamilton cycles in sparse pseudo-random hypergraphs
我们研究稀疏伪随机$k$ -一致超图中生成结构的出现，使用以下相对较弱的伪随机性概念。一个关于$n$顶点的$k$ -一致超图$H$称为$(p,α,ε)$ -伪随机图，如果对所有（不一定不相交）顶点子集$A_1,\dots, A_k{\subseteq} V(H)$与$|A_1|\cdots |A_k|{\geq}αn^{k}$我们有$$e(A_1,\dots, A_k)=(1\pmε)p |A_1|\cdots |A_k|.$$对于任何线性$k$ -均匀$F$，我们根据$p=p(n)$和$F$在$α=α(n)$上提供一个界限，使得（在对$n$的自然整除假设下）任何$k$ -均匀$\big(p,α, o(1)\big)$ -伪随机$n$ -一个顶点超图$H$具有一个$F$ -因子，其最小顶点度条件较弱。该方法还使我们能够建立充分伪随机超图中存在松散的Hamilton圈，并且所有结果都意味着超图伪随机性的更强概念（如混乱或大谱隙）的相应界限。因此，如上所述的$\big(p,α, o(1)\big)$ -伪随机$k$ -图包含：如果$α=o(p^{k})$，则$(i)$是完美匹配，如果$α=o(p^{k-1})$，则$(ii)$是松散的汉密尔顿圈。这扩展了工程的伦茨-Mubayi，和伦茨-Mubayi-麦考夫谁研究了类似的问题，在密集的设置。
2021-08-10 math.CO
A Generalization of the Hamilton-Waterloo Problem on Complete Equipartite Graphs
Hamilton-Waterloo问题要求对于哪个$s$和$r$，完全图$K_n$可以被分解为给定2-因子$F_1$的$s$副本和给定2-因子$F_2$的$r$副本（以及如果$n$是偶数则1-因子的一个副本）。在本文中，我们推广的问题，完全等部图$K_{(n:m)}$和$K_{(xyzw:m)}$可以分解成$s$副本的2-因子组成的周期长度$xzm$ ;和$r$副本的2-因子组成的周期长度$yzm$，当$m$是奇数，$s,r\neq 1$，$\gcd(x,z)=\gcd(y,z)=1$和$xyz\neq 0 \pmod 4$。我们还给出了一些更一般的结构，其中给定的两个因子中的圈可以有不同的长度。我们使用这些结构来找到解决方案的完全图的汉密尔顿-滑铁卢问题。
2016-05-05 math.CO
Complexity of Arc-Decompositions involving Perfect Matchings and Cycle Factors
School of Mathematics, Shandong University（山东大学数学学院）；School of Mathematics and Statistics, Ningxia University（宁夏大学数学与统计学院）
本文研究涉及完美匹配、圈因子等性质的有向图弧分解问题，证明相关判定问题为NP完全，解决了该领域的若干开放问题。
2026-10-28 math.CO
A Faster Algorithm for the Maximum Even Factor Problem
给定一个有向图$G = (VG,AG)$，一个\emph{even factor} $M \subseteq AG$是一个弧的子集，它可以分解成一个节点不相交的路径和偶圈的集合。Geleen和Cunningham在有向图中引入了偶因子，推广了无向图中的路匹配.在一般有向图中寻找最大基数的偶因子是NP-难的，但对于\emph{odd-cycle symmetric}类有向图，这个问题是多项式可解的。到目前为止，唯一已知的用于此任务的组合算法是由于Pap;它具有$O(n^4)$的运行时间（以下$n$代表$G$中的节点数）。在本文中，我们提出了一种新的\emph{sparse recovery}技术，并设计了一个$O(n^3 \log n)$ -时间算法，以寻找一个最大基数偶因子的奇循环对称有向图。
2010-04-14 cs.DS math.CO
On the Hamilton-Waterloo Problem with a single factor of 6-cycles
研究均匀 Hamilton-Waterloo 问题中 $\gcd(M,N)=\{2,3\}$ 且 $M=6$ 的未解案例，通过修改已知结构并开发新方法解决均匀 $2$-因子化构造挑战，扩展了已解决范围并深化了对问题复杂性的理解。
2024-02-15 math.CO
Counting orientations of random graphs with no directed k-cycles
该研究确定了二项随机图不含指定长度有向环的定向数的增长阶，解决了相关猜想，推进了随机图定向计数领域的研究。
2023-11-08 math.CO
