On the stability of harmonic maps under the homogeneous Ricci flow
本文研究了调和映射在齐次里奇流下的稳定性和不稳定性。我们提供的例子中的稳定性（非稳定性）下保持里奇流和一个例子中的里奇流不保持稳定的调和映射。
2017-01-20 math.DG
$L^2_f$ harmonic 1-forms on smooth metric measure spaces with positive $λ_1(Δ_f)$
本文利用加权Laplacian度量空间$Δ_f$的第一谱$λ_1(Δ_f)$，即$0<a\leq\dfrac{m}{m-1}, b\geq0$的$\mathrm{Ric}_{m,n}\geq -aλ_1(Δ_f)-b$，研究了完备光滑度量空间$(M^n,g,\mathrm{e}^{-f}\mathrm{d}v)$上具有各种负$m$ -Bakry-Émery- Ricci曲率下界的消失和分裂结果.特别是，我们认为三个主要的情况下，不同的$a$和PDMATHAMT与或不与$λ_1(Δ_f)$的条件。这些结果是Dung和Vieira的推广，也是Li-Wang，Dung-Sung和Vieira的加权推广.
2020-02-07 math.DG
Exponential convergence rate of the harmonic heat flow
本文研究从紧致黎曼流形到完备非正曲率黎曼流形的映射的调和热流。我们证明了，如果调和热流收敛到一个极限调和映射，这是一个非退化的能量泛函的临界点，那么收敛速率是指数（在$L^2$范数）。
2021-05-17 math.DG
Curvature tensor under the Ricci-Harmonic flow
证明了若里奇曲率在Ricci-Harmonic流下对所有时间$t$ \in [0，T）都是一致有界的，则曲率张量也必须是一致有界的.
2011-01-06 math.DG
Short time existence of the heat flow for Dirac-harmonic maps on closed manifolds
黎曼自旋流形上Dirac-调和映射的热流是经典调和映射热流与旋量耦合的一种修正。它是由Chen，Jost，Sun和Zhu作为一种工具引入的，用于得到Dirac-调和映射的一般存在性程序。对于带边界的源流形，Jost，Liu和Zhu证明了其短时存在性和整体弱解的存在性.证明了闭流形上Dirac-调和映射热流的短时存在性。
2017-05-24 math.DG
A Liouville theorem of VT-harmonic map heat flow
本文证明了从演化流形和完备流形到广义正则球的VT-调和映射热流的Liouville定理。
2025-10-19 math.DG
The limit of the harmonic flow on flat complex vector bundle
本文研究了平坦复向量丛上调和流的极限性质，证明了该极限与Jordan-Hölder滤子所对应的分次平坦复向量丛同构.
2021-01-19 math.DG
Lipschitz regularity of harmonic map heat flows from $\mathrm{RCD}$ spaces into $\mathrm{CAT}(0)$ spaces
Shandong University（山东大学）；Sun Yat-sen University（中山大学）
该研究证明从有限维RCD(K,N)空间到完备CAT(0)目标的Korevaar-Schoen能量的EVI梯度流在正时间的局部Lipschitz正则性，结合度量Hamilton-Jacobi论证与椭圆接触估计完成证明。
2026-08-25 math.AP math.DG math.MG
Harmonic maps and framed $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{C})$-representations
本文证明在增强Teichmüller空间中，对给定的带框架表示存在渐近于框架的等变调和映射，并在指定Hopf微分主部时唯一，证明基于热流方法。
2025-08-14 math.DG math.GT
On subelliptic harmonic maps with potential
设$(M,H,g_H;g)$是次黎曼流形，$(N,h)$是黎曼流形.对于光滑映射$u: M \to N$，我们考虑能量泛函$E_G(u) = \frac{1}{2} \int_M[|\mathrm{d}u_H|^2-2G(u)] \mathrm{d}V_M$，其中$\mathrm{d}u_H$是$u$的水平微分，$G:N\to \mathbb{R}$是$N$上的光滑函数. $E_G(u)$的临界映射称为具有势$G$的次椭圆调和映射。本文利用次椭圆热流研究了带位势的次椭圆调和映射的存在性问题。假设目标黎曼流形具有非正的截面曲率，位势$G$满足各种适当的条件，证明了当源流形是阶跃$2$次黎曼流形或阶跃$r$次黎曼流形（其次黎曼结构来自于一个紧黎曼叶理）时，Eells-Sampson型解的存在性.
2022-03-07 math.DG
Correspondence between Mean Curvature Flow and Harmonic-Ricci Flow
School of Mathematical Sciences, Xiamen University（厦门大学数学科学学院）
本文发现伪欧氏空间子流形的类空平均曲率流等价于对应高斯映射和诱导度量下耦合常数α=-1或+1的调和-里奇流，二者孤子也等价，并由此得到类空平均曲率流的单调性公式。
2026-08-12 math.DG
Short time existence for harmonic map heat flow with time-dependent metrics
在这篇工作中，我们得到了区域流形中与光滑完备度量族耦合的调和映射热流的短时存在性结果。我们的结果推广了Li-Tam [The heat equation and harmonic maps of complete manifold，Invent.数学、1991]和Chen-Zhu [完备非紧流形上的里奇流的唯一性，微分几何杂志，2006].特别地，在$|\text{Rm}(g(t))|\leq a/t$和$g(t)$一致等价于$g(0)$的条件下，证明了在$M$上的调和映射热流沿着完备里奇流$g(t)$到曲率自上而下有界的完备流形上的调和映射热流的短时存在性.
2021-10-14 math.DG
Liouville theorems for harmonic map heat flow along ancient super Ricci flow via reduced geometry
研究了沿古超里奇流的调和映射热流，从Perelman约化几何的观点导出了几个具有受控增长的Liouville定理.对于非正弯曲的目标空间，我们的增长条件是尖锐的。对于正弯曲的目标空间，我们的刘维尔定理即使在静态情况下也是新的（即，对于调和映射）;此外，我们指出，增长条件可以得到改善，几乎在静态情况下尖锐。这填补了Choi的Liouville定理和Schoen-Uhlenbeck构造的例子之间的空白。
2021-08-03 math.DG
On the Heat Kernel under the Ricci Flow Coupled with the Harmonic Map Flow
我们估计了闭黎曼流形$M$上的热核，其中$dim(M)\geq 3$在Ricci-调和映射流下演化，结果依赖于Sobolev嵌入定理中的一些常数.在一个特殊的情况下，当数量曲率满足一定的自然不等式，我们得到，作为推论，一个类似于一个已知的固定度量的情况下的界限。
2013-08-31 math.DG
Results on coupled Ricci and harmonic map flows
我们探讨调和Ricci流-也就是Ricci流与调和映射流耦合-既因为它在与里奇流相关的某些主丛构造中自然出现，也因为它本身是一种几何流。我们证明了一个自然的几何背景下的流动是一个特殊的情况下，局部$\mathbb{R}^N$不变的里奇流的洛特，并提供梯度孤子的流动的例子。我们证明了一个版本的汉密尔顿的紧性定理的流量，然后推广到范畴的étale黎曼群胚。最后，我们提供了一个详细的例子，解决方案的流动李群$\Nil^3$。
2012-12-17 math.DG
Harmonic maps into the exceptional symmetric space $G_2/SO(4)$
我们证明了从Riemann曲面到例外对称空间$G_2/{\mathrm SO}(4)$的调和映射具有到$G_2$的三个旗流形之一的$J_2$ -全纯扭量提升当且仅当它是“非共形的”，即，有幂零导数然后，我们发现几乎复杂的映射从一个表面到6球的关系，这使我们能够构建的例子nilconformal调和映射到$G_2/{\mathrm SO}(4)$这不是有限的uniton数，并有电梯到任何三个扭量空间。有限uniton数的调和映射都是nilconformal的，对于这样的映射，我们证明了我们的升降机可以明确地从扩展的解决方案。
2014-10-22 math.DG
Homotopy classes of harmonic maps of the stratified 2-spheres and applications to geometric flows
证明了能量一致有界的2维分层球面上的调和映射集只包含2个同伦类。我们应用这个结果构造了两个闭三维流形$M_1\not=S^3$和$M_2\not=S^3,\R¶^3$的连通和中的无穷多个调和映射流和2-球面的中曲率流，它们必须发展有限时间奇异性.
2013-11-13 math.DG
An upper bound of the heat kernel along the harmonic-Ricci flow
在本文中，我们首先得到了调和-里奇流上的一个Sobolev不等式.然后，我们证明了一个线性抛物估计的基础上Sobolev不等式和Moser的迭代。作为应用，我们将得到一个上界估计的热核下的流动。
2015-02-27 math.DG
Analysis of Type I Singularities in the Harmonic Ricci Flow
在2011年，Enders，Müller和Topping证明了I型里奇流在奇点附近的任何爆破序列都收敛于非平凡梯度里奇孤子，这使得他们得出结论，对于这样的流，所有合理的奇点定义都是一致的。我们证明了调和里奇流的类似结果，推广了郭，黄，冯和施的具体结果。为了得到我们的结果，我们发展了调和里奇流的精化紧性定理，一个新的伪局部性定理，以及基于奇异时刻的约化长度和约化体积的概念.
2018-11-23 math.DG
Variation of the first eigenvalue of $(p,q)$-Laplacian along the Ricci-harmonic flow
本文研究了一类$(p,q)$ -Laplacian算子第一特征值的单调性。通过对初始流形施加一定的条件，得到了在Ricci-调和流演化的闭黎曼流形上的$(p,q)$ -Laplacian算子的第一特征值的一阶变分公式，并构造了各种单调量.
2019-03-18 math.DG
Heat flow of p-harmonic maps from complete manifolds into generalised regular balls
研究了完备黎曼流形间p-调和映射热流，证明了初始值在广义正则球中时的全局存在性，并在目标流形截面曲率非正或紧致时分别给出全局存在性与收敛性，推广了Liao-Tam的结果并推导了刘维尔型定理。
2023-09-11 math.DG
Gradient estimates for the heat equation under the Ricci-Harmonic Map flow
本文建立了在里奇流下发展的流形$M$上热方程正解的梯度估计，并将其与$M$和第二流形$N$之间的调和映射流相耦合.证明了Li-Yau型Harnack不等式，并考虑了$M$是无边界完备流形和$M$是无边界紧致流形的情形.
2013-08-31 math.DG
Boundary regularity of harmonic map heat flows from RCD spaces into $CAT(0)$ spaces
Sun Yat-sen University（中山大学）
研究从RCD空间到CAT(0)空间的调和映射热流的边界正则性，针对广义Ricci曲率下有界情形。
2026-09-15 math.DG
Parabolic frequency monotonicity on Ricci flow and Ricci-harmonic flow with bounded curvatures
本文研究Ricci流与Ricci-调和流下抛物频率的单调性，分别针对有界Bakry-Émery Ricci曲率和有界Ricci曲率两种情况，推广了相关结果。
2022-05-16 math.DG
Explicit harmonic self-maps of complex projective spaces
本文构造了复射影空间上两个显式不可数调和自映射族，分别由全纯和混合映射给出，并证明其等变弱稳定性及计算等变谱。
2023-10-19 math.DG
Heat kernel estimates under the Ricci-Harmonic map flow
本文研究了两个流形之间的里奇流与调和映射流的耦合问题。我们得到相应的共轭热方程的基本解的估计，我们证明了一个类似的Perelman的微分Harnack不等式。作为应用，我们发现了$\mathbb{R}^n$中Sobolev嵌入定理中熵泛函与最佳常数之间的联系.
2013-10-06 math.DG
Liouville theorem for $V$-harmonic heat flows
本文针对从非负 Bakry–Émery Ricci 曲率完备流形到截曲率有上界完备流形的 $V$-调和热流，给出古老解的梯度估计并证明 Liouville 型定理。
2024-12-03 math.DG
A local curvature estimate for the Ricci-harmonic flow on complete Riemannian manifolds
本文考虑完备非紧流形上由List \cite{List2005}引入的Ricci调和流或List流的黎曼曲率的局部$L^p$估计。作为应用，在假设流存在于有限时间区间$[0,T)$上且里奇曲率一致有界的条件下，证明了黎曼曲率的$L^p$范数是有界的，然后应用De Giorgi-Nash-Moser迭代法，得到了黎曼曲率的局部有界性，从而流可以连续地延拓到$T$ .
2021-12-09 math.DG
Lipschitz continuity and Bochner-Eells-Sampson inequality for harmonic maps from $\mathrm{RCD}(K,N)$ spaces to $\mathrm{CAT}(0)$ spaces
本文研究RCD(K,N)空间到CAT(0)空间调和映射的正则性，利用最优输运与热流相互作用及粘性摄动论证，证明其Lipschitz连续性并建立含Hessian项的Bochner-Eells-Sampson不等式，推广了经典理论。
2023-11-04 math.AP math.DG math.MG
Ricci Solitons on the Lie Group $Sol^3_{m,n}$ and Applications
Ecole nationale Supérieure d’Informatique（国立高等信息学院）；University Mustapha Stambouli Mascara（马斯卡拉穆斯塔法·斯坦布利大学）
本文研究三维可解李群$\text{Sol}^{3}_{m,n}$上的Ricci孤立子，探究调和映射、调和截面、测地线曲线及相关积分曲线性质，还刻画了该群到欧氏空间的调和线性映射。
2026-07-30 math.DG
From harmonic mappings to Ricci flow due to the Bochner technique
本文研究调和映射几何的整体性质，特别是无穷小调和变换，并将所得结果应用于Ricci解理论和里奇流.这些结果将得到使用的方法的几何分析，特别是由于定理的丘，李和舍恩之间的连接几何的一个完整的光滑流形和全球行为的下调和函数。
2019-06-15 math.DG
A global weak solution to the Lorentzian harmonic map flow
研究了一类抛物椭圆方程组，该方程组与从具有光滑边界的紧致Riemann曲面到具有翘曲积度量的Lorentz流形的调和映射有关。证明了该方程组存在唯一的整体弱解，且该解是正则的，除了至多有100个奇点。
2018-09-19 math.DG
Scaling and Entropy for the RG-2 Flow
设$(\mathcal{M},g)$是闭黎曼流形.对于非线性sigma模型（RG-2流）的微扰重整化群流的$\textit{ second order approximation}$由下式给出：\[ \frac{\partial }{\partial t} \, g(t) \, =\, -2 \mathrm{Ric}(t) \, -\, \fracα{2} \mathrm{Rm}^2(t), \]其中$ g = \mathrm{Riemannian \ metric}, \mathrm{Ric} = \mathrm{Ricci \ curvature, } \ \mathrm{Rm}^2_{ij}:=\mathrm{R}_{irmk}\mathrm{R}_j^{rmk},$和$α\ge 0$是参数。该流是不变的下同胚，但不是下尺度的缩放。我们首先开发一个$\textit{geometrically defined}$耦合常数$α_g$，导致一个等效的，规模不变的流。我们进一步找到一个修改的Perelman熵的流量，并证明了局部存在的变分系统。关键的想法是修改流动的两个同构，第一个是通常的DeTurck同构第二个是严格相关的耦合常数$α_g$的几何特征。我们最小化的熵功能，因此引入到表征自然扩展$Λ[g]$的Perelman的$λ(g)$-功能，并显示$Λ[g]$是单调的RG-2流。…
2019-10-02 math.DG
Liouville theorems for ancient solutions to the V-harmonic map heat flows II
本文利用精细梯度估计，在非负Bakry–Émery Ricci曲率与目标流形正曲率上界条件下，改进V-调和映射热流古老解的Liouville定理，并得到指数增长条件下拟调和映射的相应结果。
2024-12-06 math.DG
High energy harmonic maps and degeneration of minimal surfaces
设$S$是亏格$g \geq 2$的闭曲面，$ρ$是极大$\mathrm{PSL}(2, \mathbb{R}) \times \mathrm{PSL}(2, \mathbb{R})$曲面群表示.根据Schoen的结果，在$\mathbb{H}^{2} \times \mathbb{H}^{2}$中存在唯一的$ρ$ -等变极小曲面$\widetildeΣ$.我们研究了这些极小曲面上的诱导度量，证明了极限是精确混合结构。在论文的后半部分，我们提供了一个几何解释：极小曲面$\widetildeΣ$退化为两个$\mathbb{R}$ -树的乘积的核。作为结果，我们得到了一个紧化的空间的极大表示的$π_{1}(S)$到$\mathrm{PSL}(2, \mathbb{R}) \times \mathrm{PSL}(2, \mathbb{R})$。
2019-10-15 math.DG math.GT
Partial regularity of the heat flow of half-harmonic maps and applications to harmonic maps with free boundary
我们引入了与半调和映射相关的热流，这是由Da Lio和Rivière引入的。这类映射在一维空间中具有补偿可积性，并与具有自由边界的调和映射有关。我们考虑一个新的流动与这些调和映射与自由边界，这实际上是由一个相当不寻常的热流半调和映射的动机。然后构造了该方程的弱解，并通过Ginzburg-Landau近似证明了它们在时空中的部分正则性.本文是对Struwe和Chen-Lin的研究的补充。
2022-06-18 math.AP math.DG
Notes on harmonic-Ricci flow on surface
Nanjing Xiaozhuang University（南京晓庄学院）
本文研究带边曲率流中的函数势能公式，提出新的数学方法并揭示其几何意义。
2026-05-07 math.AP math.DG
Well-posedness for the heat flow of harmonic maps and the liquid crystals flow with rough initial data
研究了初始数据为BMO时从$R^n$到紧致无边界黎曼流形的调和映射的热流和初始数据为$\mathbb R^n$时$(u,d)$到紧致无边界黎曼流形的流体力学流的适定性.
2010-01-13 math.AP math.DG
A rigidity estimate for maps from $S^2$ to $S^2$ via the harmonic map flow
我们展示了如何刚度估计在最近的工作中引入的Bernand-Mantel，Muratov和西蒙可以使用调和映射流。
2020-09-22 math.AP math.DG
Long time existence and bounded scalar curvature in the Ricci-harmonic flow
本文利用数量曲率和Weyl张量研究了Ricci调和流的长时间存在性，推广了Cao的\cite{Cao2011}在里奇流中的结果.在四维中，我们还研究了Ricci调和流的“Riemann曲率”的积分界，推广了Simon \cite{Simon2015}最近的一个结果.
2015-11-27 math.AP math.DG
Z/2 harmonic 1-forms, R-trees, and the Morgan-Shalen compactification
本文研究了闭有向3-流形上平坦SL_2(C)联络模空间的解析紧化与特征簇的Morgan-Shalen紧化之间的关系，建立了Z/2调和1-形式、测度叶状结构与到R-树的等变调和映射的对应，并证明所有Haken流形均存在Z/2调和1-形式，解决了一个民间猜想。
2024-09-24 math.DG math.GT
Uniformity of harmonic map heat flow at infinite time
在单位2-圆盘上，我们证明了在小初始能量和固定边界条件下，沿任意调和映射热流的能量凸性。特别是对W. Minicozzi问这样的调和映射热流是否在W^{1，2}-拓扑中在时间上一致地强收敛到唯一的极限调和映射。
2012-02-26 math.AP math.DG
Singularities of Connection Ricci Flow and Ricci Harmonic Flow
本文利用新定义的曲率量研究了两个推广的里奇流系统--连接里奇流和Ricci调和流的奇异性。具体地，我们给出了三种类型的奇点的定义和相应的奇点模型，然后证明了收敛性。另外，对于Ricci调和流，我们利用泛函$ν_α$的单调性来说明有限时间奇异性与收缩Ricci调和孤子之间的联系。最后，我们讨论了Ricci调和流古解的性质。
2013-09-23 math-ph math.DG math.MP
Global weak solutions of the Teichmüller harmonic map flow into general targets
我们分析有限时间奇异的Teichmüller调和映射流-一个自然的梯度流的调和映射能量-并找到一个规范的方式流动超越它们，以构建全局解决方案的充分一般性。此外，我们证明了在有限时间的拓扑不丢失的结果，这完成了证明，该流分解为一个任意的映入的曲线连接的分支极小浸入的集合。
2017-09-06 math.AP math.DG
Flows of geometric structures II
该论文推进张量\(\mathrm{H}\)-结构流理论，比较两种演化，证明多种情况下流的短时存在性和唯一性，处理\(\mathrm{SU}(m)\)等情况，得到修正里奇 - 调和流的相关方程和估计，在六维转化为\(\mathrm{SU}(3)\)-结构标准形式描述流族。
2026-07-28 math.AP math.DG
Existence of expanding harmonic map flows to hemispheres
Cornell University（康奈尔大学）
本文证明了从非能量最小化0-齐次映射出发的非平凡自扩张调和映射流的存在性，并构造了无限多个弱解，所有解均满足抛物型单调性公式。
2026-08-28 math.AP math.DG
A stochastic approach to the harmonic map heat flow on manifolds with time-dependent Riemannian metric
首先证明了定义在流形上的时空调和映射的随机表示公式，并给出了演化黎曼度量。然后，我们应用这些公式推导出适当的曲率条件下的刘维尔型定理。时空调和映射是在时间上全局定义的，对应于调和映射热流的古老解。作为推论，我们在各种不同的情况下建立了这些古老解决方案的平凡性。
2014-03-26 math.DG math.PR
Heat flow for horizontal harmonic maps into a class of Carnot-Caratheodory spaces
我们将映射变形为一个黎曼流形，该流形相对于一个非正弯曲流形的浸没是水平的，并且通过一个水平同伦将满足Chow条件的映射变形为一个调和映射。
2003-12-07 math.CV math.DG
The harmonic heat flow of almost complex structures
定义并研究了与黎曼结构$(M, g)$相容的殆复结构的调和热流。这是调和映射热流的张量值版本。我们证明，如果初始几乎复杂的结构$J$有小的能量（取决于规范$|\nabla J|$），那么流存在的所有时间和收敛到Kähler结构。我们还证明了如果初始能量足够小，但在同伦类中不存在Kähler结构，则存在有限时间奇异性。一个主要的技术工具是一个版本的单调性公式，类似于调和映射热流理论。我们还构造了一个具有小能量的平面四圆环上的殆复结构，使得在这样的初始数据下，谐波热流在有限时刻爆破。
2019-07-29 math.AP math.DG
Flow by Gauss curvature to the Minkowski problem of p-harmonic measure
本文利用高斯曲率流方法证明了p-调和测度Minkowski问题光滑解的存在性，推广了Jerison及Akman-Mukherjee的相关结果。
2024-05-06 math.AP math.DG
Entropy, stability, and harmonic map flow
受Colding-Minicozzi关于中曲率流的工作的启发，张先生提出了调和映射流的熵稳定性概念。我们在几个方向上进一步开展这项工作。首先，我们证明了熵稳定性与更易于计算的$\mathcal F$ -稳定性的等价性。然后，针对球形目标的情形，我们证明了高熵孤子的一个普遍的不稳定性结果。最后，我们利用Lin-Wang的结果来观察映射到某些凸区域的长时间存在性和收敛性结果，以及它们与调和映射流的通有奇点的关系。
2015-06-24 math.AP math.DG
Smooth long-time existence of Harmonic Ricci Flow on surfaces
证明了在有限奇异时刻，正亏格曲面上调和里奇流的映射分量的能量密度和区域流形的曲率必须同时爆破.作为直接结果，我们得到了具有大耦合常数的调和里奇流的光滑长时间存在性。
2016-09-23 math.AP math.DG
Asymptotics of the Teichmüller harmonic map flow
在[9]中引入的Teichmüller调和映射流，将从闭黎曼曲面到任意紧致黎曼流形的映射和域上的常曲率度量演化，以尽可能快地降低其调和映射能量。在本文中，我们发展了全纯二次微分的几何分析，以解释当流的区域度量在无限时刻退化时会发生什么。我们从退化域得到一个分支极小浸入。
2012-09-17 math.AP math.DG
Heat flow for VT harmonic map from compact manifold
本文利用热流方法证明了从紧致黎曼流形到紧致流形的VT调和映射Dirichlet问题解的存在性，并在特定条件下获得了VT测地线的存在性。
2025-10-19 math.AP math.DG
