Curves with rational families of quasi-toric relations
Remke Kloosterman
本研究探究可具有拟环面关系有理族的平面曲线类型，拓展了Takahashi、Tokunaga的正面结果与作者的负面结果。
我们研究哪些平面曲线可拥有拟环面关系有理族。这拓展了Takahashi与Tokunaga此前的正面结论，以及笔者此前的负面结论。
We investigate which plane curves admit rational families of quasi-toric relations. This extends previous results of Takahashi and Tokunaga in the positive case and of the author in the negative case.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Families of toric varieties
本文的目的是定义复曲面簇族并研究其性质。这些家庭是局部平凡纤维化在一些基地，其纤维同构于一个固定的完整的环面品种。这项研究的动机是发生这种家庭的背景下，衡量西格玛模型复曲面品种。
Universal Rational Parametrizations and Toric Varieties
本文证明了泛有理参数化的存在性。该描述涉及来自格多面体的复曲面簇上的齐次坐标。我们首先描述如何顺利环面品种导致普遍合理的参数化某些投影品种。我们给出了许多例子，然后讨论在奇异情况下会发生什么。我们还描述了合理的地图，以顺利复曲面品种。
Minimal rational curves on complete toric manifolds
我们将证明完备环面流形X上的极小有理切线簇是线性的，RatCurves^n（X）中的极小分支双射对应于定义X的扇中的某些特殊本原集合。
Toric flat families, valuations, and applications to projectivized toric vector bundles
利用分段线性函数半域的赋值概念，利用扇间的分段线性映射，给出了环面簇基上有限型环面等变平坦族的一个分类.作为结果，我们得到了一个分类的环面向量丛措辞的热带线性空间。我们使用这些工具，给出了一个表征的Mori梦空间属性的射影复曲面向量丛。
Mutations of Laurent Polynomials and Flat Families with Toric Fibers
我们给出了两个复曲面变种作为投影线上平坦族中的纤维出现的一般标准。我们应用这一点表明，某些双有理变换映射一个洛朗多项式到另一个洛朗多项式对应于相关的复曲面品种之间的变形。
Equivalences of Families of Stacky Toric Calabi-Yau Hypersurfaces
给定两个不同复曲面簇上的同一反正则线性系，我们给出了相应stacky超曲面的部分crepant分解之间的一个导出等价性。这些应用包括：导出统一的复曲面镜建设，计算皮卡德晶格的线性系的四次曲面，和双理性减少里德的名单，以81个家庭。
Campana separable rational connectedness of toric orbifold
本文证明了光滑非klt轨道折叠具有可分离Campana有理连通性，并展示了在正特征下，某些奇异加权射影空间不满足此性质。
Cohomology of rational forms and a vanishing theorem on toric varieties
我们明确地描述了上同调层的微分形式与极点沿半样本因子上一个完整的单纯复曲面品种。作为应用，我们得到了一个新的消灭定理，它是Bott-Steenbrink-Danilov消灭定理的一个类似.
Jet schemes and minimal toric embedded resolutions of rational double point singularities
利用有理二重点奇点的喷流格式的结构，我们构造了这些奇点的“最小嵌入环面分解”。我们还建立，这些奇点，一个自然类的不可约组件的喷气计划集中在奇异轨迹和一组因子出现在每个“最小嵌入复曲面决议”之间的对应关系。我们证明了除了$E_8$的奇异性之外，这个对应是双射的.这可以看作是有理二重点奇点的嵌入纳什对应。
Strong rational connectedness of toric varieties
本文证明了：对于不可数（特征为0）代数闭域上的完备复曲面簇中任意给定的n个相异点$P_1,...,P_r$和余维$\geq 2$的闭子簇$S$，存在一条通过$P_1,...,P_r$的有理曲线$f:\mathbb{P}^1\to X$，它与$S\setminus \{P_1,...,P_r\}$不相交（见主要定理）.作为推论，我们证明了完备复曲面簇的光滑轨迹是强有理连通的。
Families of pointed toric varieties and degenerations
Losev-Manin模空间参数化了射影直线的点链。本文研究了点退化环面簇族的一个可能推广。这些家庭的几何特性，如平坦度和减少的纤维，探索通过组合表征。我们表明，这样的家庭所描述的一种特定类型的多面体纤维化，推广扭曲凯莱和，最初介绍了与投影$\mathbb{Q}$ -阶乘环面品种积极的双重缺陷的纤维类型的特征基本极值收缩。一维单形的情况可以被看作是置换面体的另一种构造。
Jumping deformations of complete toric varieties
我们构造了特殊纤维为完全复曲面簇的单参数复解析族。在一定的假设条件下，这些族的一般纤维也成为复曲面簇，我们可以明确地描述相应的风扇的数据对应的特殊纤维。利用这些族，我们给出了一个复曲面弱化Fano 3-重的变形族.此外，我们还得到了复曲面弱化Fano 4-折叠的一些例子。
Resolution of degenerate mirror families via toric morphisms
本文继续研究了Calabi-Yau三重函数族之间的极值转换的两个例子。在以前的论文中，我们提出了“镜像过渡”之间的镜像家庭预测莫里森可以实现自然的结合环面态射与Batyrev-Borisov建设。这是针对圆锥形过渡的一个具体例子进行的。在本文中，我们表明，类似的方法工作的另一个极值过渡涉及更复杂的奇点。我们还研究了分辨率是如何与周围的复曲面品种的几何形状，并讨论了与最近的工作多兰和哈德的连接。
Equivalence of Mirror Families Constructed from Toric Degenerations of Flag Varieties
Batyrev（et.（见上文）利用全旗变种G/B的小环面退化构造了一个Calabi-Yau变种族。他们猜想这个族是G/B中一般反正则超曲面的镜像。最近Alexeev和Brion，作为他们研究球面簇的复曲面退化的一部分，构造了G/B的许多退化。对于任何这样的退化，我们构建了一个家庭的品种，我们证明与Batyrev的在小的情况下。我们证明了任何两个这样的家庭是双理性的，从而证明了镜像家庭是独立的退化的选择。所涉及的双有理地图密切相关的贝伦斯坦和Zelevinsky的几何提升的热带地图之间的地图完全积极的品种。
Whitney equisingularity for families of hypersurfaces in toric varieties
本文在具有任意奇点集的环面簇框架下，建立奇点未必孤立的函数族对应超曲面族满足Whitney等奇性的条件，拓展了Eyral与Oka此前针对复空间上函数族的相关研究结果。
Families of Calabi-Yau hypersurfaces in $\mathbb Q$-Fano toric varieties
给出了$\mathbb Q$ -Fano复曲面簇中的一般超曲面是Calabi-Yau簇的一个充分条件.此外，我们还定义了Berglund-Hübsch-Krawitz构造的推广，即当环境是一个具有无挠的类群的$\mathbb Q$ -Fano复曲面簇，且定义的多项式不一定是Delsarte型时.最后，我们引入了族之间的对偶的Calabi-Yau超曲面，其中包括Batyrev和Berglund-Hübsch-Krawitz镜像结构。这是根据多面体对$Δ_1\subseteq Δ_2$之间的极对偶给出的，其中$Δ_1$和$Δ_2^*$是正则的。
Asymptotically maximal families of hypersurfaces in toric varieties
一个实代数簇是最大的（相对于史密斯-托姆不等式），如果簇的实部的贝蒂数（具有$\mathbb{Z}_2$系数）之和等于其复部的贝蒂数之和。证明了在相应的复曲面簇中存在不是极大超曲面的牛顿多面体。另一方面，我们表明，对于任何多面体$Δ$有家庭的超曲面与牛顿多面体$(λΔ)_{λ\in \mathbb{N}}$是渐近极大时，$λ$趋于无穷大。我们还表明，这些结果推广到完整的交叉。
Rational Curves in Projective Toric Varieties
本文研究了射影托利丘变种中有理曲线的构造与性质，提出度数为d的凯莱结构，并建立了希尔伯特方案与最大光滑凯莱结构之间的对应关系。
On the gap between the integral and rational Gongyo indices of toric Fano varieties
本文研究环面Fano簇的有理与积分Gongyo指数之差，证明维数下界并确定等号情形，构造无穷正差距族，并证明所有正有理数均可作为差距出现。
Gröbner Fans and Minimal Embedded Toric Resolutions of Rational Double Point Singularities
本文通过显式构造ADE奇点的Gröbner扇并利用profile概念进行加细，重构了有理二重点奇点的嵌入环面消解。
Enumerating log rational curves on some toric varieties
本文通过模空间上的相交理论计算，完全确定了射影丛X=P_{P^r}(O^s+O(-a))上的亏格0、固定域对数Gromov-Witten不变量，证实了Cela-Iribar López的一个猜想，并否证了关于P^r在r个点处爆破的另一个猜想。
Rationally elliptic toric varieties
给出了有理同伦为椭圆型的完备光滑环面簇的一个刻划。所有这些复曲面品种的复杂尺寸不超过三个明确描述。
Newton-Okoukov bodies and symplectic embeddings into non-toric rational surfaces
本文利用 Newton-Okoukov 体理论发展了构造与阻碍非环面有理曲面辛嵌入的新方法，并给出了凹环面域的精确嵌入结果及无穷阶梯不存在的新情形。
Configuration spaces and the space of rational curves on a toric variety
从$S^2$到复代数簇$X$的全纯映射空间，即$X$上的参数化有理曲线空间，出现在几个几何领域。确定一个整数$n(D)$，使得在连续映射的相应空间中包含这个空间，诱导同伦群的同构达到$n(D)$维，这是一个众所周知的问题，其中$D$表示映射的同伦类。这个问题的解决方案是已知的一类重要但特殊的品种，广义旗流形：这样的整数可以计算，$n(D)\to\infty$作为$D\to\infty$。我们考虑的问题，另一类品种，即复曲面品种。对于光滑复曲面变种和某些奇异变种，可以计算$n(D)$，并将$n(D)\to\infty$计算为$D\to\infty$。然而，对于其他奇异复曲面变体，$n(D)$并不总能通过适当选择$D$而变得任意大。
Maps of toric varieties in Cox coordinates
考克斯环提供了一个类似于射影空间的齐次坐标环的复曲面簇上的坐标系。合理的射影空间之间的映射使用多项式的坐标环，我们概括这环面品种，提供了一个统一的描述任意合理的映射环面品种之间的Cox坐标。即使在最简单的例子中，引入多项式的形式根也是必要的。
Distribution of rational points on toric varieties: All the heights
本文证明了数域上复曲面簇的有效除子锥的所有生成元所对应的有界高有理点的个数公式。
On the arithmetic of rational hypersurfaces in toric varieties
本文研究环簇中特定多重次数超曲面的算术性质，证明其为k-有理且双有理等价于射影空间，推导其有理点分布结果，d=1时对应偶维费马三次曲面。
Infinite Families of Equivariantly Formal Toric Orbifolds
在单纯复形和单纯多面体上的单纯楔形构造已经被许多作者用来研究复曲面和相关的空间，包括非奇异复曲面簇、复曲面流形、二次曲面的交和更一般的多面体积。在本文中，我们扩展分析，包括复曲面orbifolds。我们的主要结果产生的环面orbifolds的无限家庭，来自一个给定的，其积分上同调是免费的挠，并集中在偶数度，一个属性，这可能被称为\emph{integrally equivariantly formal}。在所有情况下，都可以给出上同调环的描述，并将其与原始orbifold的上同调联系起来。
On deformations of toric varieties
设X是光滑完备复曲面簇。我们描述的Altmann-Ilten-Vollmert等变变形的复曲面品种的Cox环的语言。更精确地说，我们构造了X的单参数形变族，使得形变的全空间是由三项方程定义的复杂度的T-簇，并且形变映射关于环面作用是等变的。此外，我们还证明了所有这些族的像通过Kodaira-Spencer映射构成了向量空间H1（X，T_X）的基。
One-parameter families containing three-dimensional toric Gorenstein singularities
对于仿射复曲面簇，向量空间T1（包含无穷小变形）将通过定义多面体锥的横切的Minkowski和来解释。这一结果将被应用于研究（特别是非孤立的）三维Gorenstein奇点的变形理论。
Lattice duality for coupling pairs admitting polytope duality with trivial toric contribution
我们研究了与耦合对相关联的$K3$表面族之间的晶格对偶，耦合对允许具有平凡复曲面贡献的多面体对偶。
Approximating rational points on toric varieties
给定数域$k$和$P\in X(k)$上的光滑射影簇$X$，第一作者证明了在精确意义下，任何充分逼近$P$的序列都必须位于有理曲线上。我们证明了这个猜想光滑分裂复曲面Vojta的猜想条件。更一般地说，我们表明，如果$X$是一个$\mathbb{Q}$阶乘终端分裂环面各种任意尺寸，然后$P$是更好地近似点的有理曲线比任何Zerkiki稠密序列。
Framed duality and mirror symmetry for toric complete intersections
本文将完全环面簇中的超曲面族$f$-镜像对称系统扩展至完全交子簇族，基于分次对偶发展了相关理论，并探讨了广义Landau-Ginzburg/完全交对应。
On everywhere locally soluble varieties in families over toric bases
该研究针对环面基上的簇族，开发新型双曲线方法以确定局部可解纤维密度，实现特定增长函数的计数，推动相关数论与代数几何问题的进展。
Toric models of smooth Fano threefolds
本研究证明一般有理光滑Fano三维簇存在环面模型，其双有理复杂度为零，并论证了有理性、一般性、光滑性三个条件的必要性。
On the Parameters of r-dimensional Toric Codes
J.P. Hansen从维数为$r\ge 2$的有理凸多胞体出发，构造了有限域$\fq$上长度为$n=(q-1)^r$的纠错码.有理凸多胞体与正规复曲面簇和Cartier因子是同一个数据。该码是在代数环面上对由多胞形定义的环面簇的有理函数求值而得到的，是Goppa意义下的求值码。我们使用上同调计算码的维数。最小距离估计使用相交理论和混合体积，扩展的方法J.P.Hansen的平面多面体。最后给出了Joyner定理的一个反例。
Rational points of fixed denominator in real toric arrangements
本文研究了实理点在实托里拆尼排列中的固定分母条件，并给出了相关代数几何中的推导结果。
Monodromy of rational curves on toric surfaces
对于完备复曲面$X$上的一个样本线丛$\mathcal{L}$，我们考虑包含在$X$的光滑轨迹中的不可约、节点、有理曲线的子集$V_{\mathcal{L}} \subset \vert \mathcal{L} \vert$.研究了$V_{\mathcal{L}}$的基本群到参考曲线$C \in V_{\mathcal{L}}$的节点集上的置换群的单值映射.我们确定了一定的障碍地图$\varPsi_{X}$定义的一组节点的$C$和显示的图像的monodromy正是一组甲板变换的$\varPsi_{X}$，只要$\mathcal{L}$是足够大（在某种意义上，我们精确以下）。在此过程中，我们提供了一个方便的工具来计算任何对$(X, \mathcal{L})$的单值图像。最后，我们提出了一个家庭的对$(X, \mathcal{L})$与小$\mathcal{L}$和单值的图像是严格小于预期。
Families of Toric Chemical Reaction Networks
我们研究的化学反应网络的家庭，其正的稳定状态是环面，因此可以参数化的单项式。家庭的核心网络的算法构造，我们表明，如果一个家庭成员是多稳态的，那么所有后续的网络在家庭中。此外，我们解决的问题，模型选择和实验设计的家庭调查的代数依赖关系的化学浓度使用拟阵。给定一个家庭与复曲面的稳定状态和恒定数量的保守关系，我们构建了一个拟阵，编码的重要信息，关于整个家庭的稳定状态的行为。除其他事项外，这给出了必要的条件，家庭的反应网络相对于测量的化学浓度的数据集的可扩展性。我们用多位点磷酸化网络来说明我们的结果。
Skeletons of stable maps I: Rational curves in toric varieties
研究了亏格$0$到环面簇$X$的对数稳定映射空间的Berkovich分析，并给出了它在代数几何和热带几何中的应用.在代数方面，从热带几何的见解给出了两个新的几何描述这个空间的地图-（1）作为一个显式的环面修改的$\overline M_{0,n}\times X$和（2）作为一个热带紧化的环面品种。在组合方面，我们证明了热带化的空间属$0$对数稳定的地图与空间的热带稳定的地图相吻合，给出了一个大的新的收集的例子，忠实的热带化模。此外，我们确定的最佳设置中的热带化的模空间的地图是忠实的。西野-西伯特对应定理被证明是代数和热带模空间之间的这种几何连接的后果。
Normal Bundle Splitting Strata of Rational Curves in Toric Varieties
本文研究环面簇中有理曲线法丛分裂型的分层，通过Cox构造和相对上同调态射给出非平衡性数值判据，并应用于射影空间爆破，与已有结果等价。
The Chow ring of punctual Hilbert schemes of toric surfaces
设X是光滑的射影复曲面，H^d（X）表示X的长度为d的零维子格式的Hilbert格式。我们计算有理Chow环A^*（H^d（X））\_Q.更精确地说，如果T是包含在X中的二维环面，我们计算了有理等变Chow环A T^*（H^d（X））Q，并且通常的Chow环是等变Chow环的显商.对某些准投射复曲面，如仿射平面，也给出了描述。
The arc space of a toric variety
Ishii和Kollar的文章对弧族上的Nash问题在复曲面簇上给出了肯定的回答，在一般情况下也给出了否定的回答。纳什问题是关于弧族与赋值关系的问题之一。本文对复曲面簇的这种关系作了清楚的描述。复曲面簇的弧空间容许由该环面决定的群概型的作用。弧空间上的每个轨道对应于锥中的一个格点，因此对应于复曲面赋值。轨道之间的主导关系被描述的格点。作为一个推论，我们得到答案的嵌入式版本的纳什问题的不变理想的复曲面品种。
Peterson varieties and toric orbifolds associated to Cartan matrices
本研究针对Peterson簇与特定环轨形有理上同调环同构的已知结论，构造了二者间的显式态射，证明该同构并非偶然代数巧合，深化了对Peterson簇与根系相关环轨形关联的理解。
The worst destabilizing 1-parameter subgroup for toric rational curves with one unibranch singularity
本文研究了构造曲线模空间的 GIT 问题中不稳定点的最坏1-参数子群，将具有单分支奇点的环面有理曲线的Chow点问题转化为凸几何问题，证明了最坏1-PS在嵌入维数足够大时具有持续存在的组合描述。
Rational cohomology of the real Coxeter toric variety of type A
对应于A型考克斯特扇的复曲面簇也可以被描述为德·康西尼-普罗切西的奇妙模型。利用Rains将实De Concini-Procesi模型的上同调与偏序集同调联系起来的一个一般结果，给出了实环面簇的贝蒂数的计算公式，以及有理上同调的对称群表示.我们还证明了有理上同调环不是1次生成的。
Rational Hypergeometric Functions
多元超几何函数与复曲面品种介绍了由Gel'fand，Kapranov和Zelevinsky。这些函数的奇异性是判别式，也就是说，约数与环面轨道闭包是射影对偶的。我们发现，这些潜在的消除器中的大多数从来没有出现在有理超几何函数。我们猜想任何有理超几何函数的分母都是结式的乘积，即由Cayley构形产生的特殊判别式的乘积。证明了这个猜想的环面超曲面和环面簇的维数最多为3。利用复曲面残数证明了复曲面结式都出现在某个有理超几何函数的分母中。
Mirror Transitions and the Batyrev-Borisov construction
我们认为极端的例子之间的过渡家庭的卡-丘完全相交三倍复曲面品种，这是诱导的复曲面嵌入到其他的一个复曲面品种。我们证明了嵌入的线性对偶诱导的环面映射在镜像Calabi-Yau族之间诱导了一个双有理态射，并在一种情况下证明了它可以推广到镜像族之间的全镜像跃迁.注意：这个版本使用了不同的方法来给出相同结果的更短的证明。另外，引理5.8在以前的版本中肯定是错误的。
Characteristic-free normalized Nash blowup of toric varieties
本文研究环簇的标准化 Nash 爆破，引入锥体条件使定义多面体不依赖基域特征，从而推导奇点消解性质，恢复正特征已知结果并给出任意特征下非奇异的新族。
Rational approximations on toric varieties
本研究利用Salberger的万有挠子方法研究分裂环面簇上的有理点逼近问题，证明特定几何假设下最优逼近可由过不动点的极小次数有理曲线实现，证实McKinnon猜想，且这些曲线对应扇的中心本原集合。
Equidistribution of rational points and the geometric sieve for toric varieties
研究光滑恰当分裂环面簇上有理点等分布的马尼恩 - 佩雷原理，基于萨尔贝格尔方法给出有理点数量渐近公式及误差项，证明埃克达尔型几何筛法有效版本并得出相关应用。
Balanced Configurations of Lattice Vectors and GKZ-rational Toric Fourfolds in P^6
我们引入了向量平衡构形的概念。这是由Gelfand，Kapranov和Zelevinsky意义下的有理A-超几何函数的研究所激发的。我们在GL（2，R）等价的前提下对7个平面向量的平衡构形进行了分类，并推导出复射影空间P^6中唯一的gkz-有理复曲面四重是与本质凯莱构形相联系的簇。在这种情况下，我们研究了一个合适的超平面安排，并表明，所有的合理的A-超几何函数可以描述的复曲面剩余。
Multi-height analysis of rational points of toric varieties
研究光滑、射影且分裂的托里克簇上有理点的多高度分布，通过将点数提升到通用 torsors 中。
The moduli stack of affine stable toric varieties
设X是不可约仿射T-簇。考虑X上仿射稳定的环面T-簇族，并将相应的模空间描述为某个环面Hilbert格式中的开子格式在环面作用下的商栈.
On minimal rational elliptic surfaces
我们构造了$13$投射$\mathbb{Q}$ -阶乘Fano复曲面簇，并证明了对于任意极小有理椭圆曲面$X$，存在一个这样的复曲面簇$Z_X$和一个除数类$δ_X\in {\rm Cl}(Z_X)$，使得$X$的$(-1)$ -曲线的个数等于$δ_X$的Riemann-Roch空间的维数.作为应用，我们给出了任意这类具有Hüssen指数$2$的椭圆纤维化的$(-1)$ -曲线的个数.
Rational tensegrities through the lens of toric geometry
一个经典的张拉整体模型包括一个嵌入在一个向量空间中的图，用刚性杆表示边，并将应力分配给每个边，使得在图的每个顶点处应力之和为零。张拉整体框架最近已从二维图形的情况下，多维设置。我们使用复曲面几何的工具研究多维张量。对于给定的有理张拉整体框架$\mathcal{F}$，我们构造了一个胶合复曲面$X_\mathcal{F}$。证明了$\mathcal{F}$上张量的阿贝尔群同构于Chow群$A^1(X_\mathcal{F};\QQ)$的子群.在平面框架的情况下，我们展示了如何明确地进行计算的tensegrities通过经典的工具，复曲面几何。
Complete intersections and movable curves on the moduli space of six-pointed rational curves
射影簇上的曲线称为可动的，如果它属于覆盖该簇的代数曲线族。通过研究复射影空间的爆破族上的完备交锥，包括稳定六点有理曲线的模空间$\bar{M}_{0,6}$和四点有理曲线的全多面体或Losev-Manin模空间，讨论了可动曲线的锥何时可以在没有覆盖族存在性陈述的情况下刻画.我们的主要结果是，可移动的和完整的相交锥重合的复曲面的成员，这个家庭，但不同的非复曲面的成员，$\bar{M}_{0,6}$。证明是通过一个算法，适用于更大的普遍性。我们还给出了一个例子，这两个锥不同的投射复曲面三倍。
Toric degenerations of toric varieties and tropical curves
我们证明了在复曲面素除子的一般位置上的完全复曲面簇上的有理曲线的计数与某些热带曲线的计数是一致的。证明是代数几何的，并依赖于退化技术和日志变形理论。这推广了Mikhalkin的结果，通过不同的方法在表面的情况下，以任意尺寸。
The topology of the space of rational curves on a toric variety
设$X$是紧复曲面簇。设$Hol$表示从$CP^1$到$X$的基全纯映射的空间，这些基全纯映射位于一个固定的同伦类中.设$Map$表示连续映射的相应空间。我们证明了$Hol$在某些（可计算的）维数上具有与$Map$相同的同伦群。证明使用的描述$Hol$作为一个空间的配置的标签点，其中的标签在于部分幺半群所确定的风扇$X$。
The rational homology of real toric manifolds
这是一个扩展的摘要，在迷你研讨会上给出的演讲“上同调环和超平面安排的基本群，精彩的紧化，和真正的环面品种”，在Oberwolfach举行，2012年9月30日至10月6日。我们描述了一个公式（在联合工作中获得与Alvise Trevisan）计算的贝蒂数的真正环面流形，基于研究的上同调系数秩一个本地系统的各种多面体产品。应用这个公式，我们恢复了Henderson对实Hessenberg簇的贝蒂数的计算.最后，我们讨论了在这种情况下的形式问题。
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