Sums of Quadratic residues and nonresidues
众所周知，当素数$p$全等于1模4时，二次剩余之和等于二次非剩余之和。本文对$p$全等于3模4的情形给出了类似的结果。
2015-12-02 math.NT
Statistics of $K$-groups modulo $p$ for the ring of integers of a varying quadratic number field
本文针对变化的二次域整数环，猜想K群模p挠子群的分布，并证明3-挠子群平均大小符合该猜想。
2025-08-22 math.NT
Quadratic forms and four partition functions modulo 3
最近，Andrews，Hirschhorn和Sellers使用初等级数操作证明了四种类型的分区的模3同余。本文利用某些二次型的算术性质推广了它们的同余式。
2010-10-08 math.CO math.NT
On the Quadratic Formula Modulo N
令$a, b, c,$和$n$为整数，其中$a$不为零，而$n$至少为2。给出了关于这些参数的充要条件，保证了同余式\[ ax^2+bx+c \equiv 0\ \textrm{mod}\ n \]的所有解都精确地由\[ 2ax\equiv -b+s \ \textrm{mod}\ n, \]的解给出，其中$s$在\[ x^2\equiv b^2-4ac \ \textrm{mod}\ n. \]的所有解上变化.
2015-07-27 math.NT
Non-vanishing modulo $p$ of Hecke $L$-values over imaginary quadratic fields
设$p$和$q$是两个不同的奇素数。设$K$是一个虚二次域，在该域上$p$和$q$都是分裂的。设$Ψ$是$K$上无限型$(k,j)$的Hecke特征标，其中有$0\le-j< k$ .在一定的技术假设下，我们表明，对于一个Zurski密集集的有限阶字符$κ$的$K$的因素，通过$\mathbb{Z}_q^2$ -扩展的$K$，$p$ -进值的代数部分的$L$ -值$L(\overline{κΨ},k+j)$是一个常数独立的$κ$。此外，当$j=0$和某些技术假设成立时，该常数为零。
2023-02-27 math.NT
On the distribution of $αp$ modulo one in imaginary quadratic number fields with class number one
研究了类数为1的虚二次数域$\mathbb{K}\subset\mathbb{C}$中$αp$模1的分布，其中$p$限定为$\mathbb{K}$的整数环$\mathcal{O} = \mathbb{Z}[ω]$中的素元.在类比的经典工作，由于R。C. Vaughan，我们得到了不等式$\lVertαp\rVert_ω< \mathrm{N}(p)^{-1/8+ε}$对无穷多个$p$都满足，其中$\lVert\varrho\rVert_ω$度量了$\varrho\in\mathbb{C}$到$\mathscr{O}$的距离，$\mathrm{N}(p)$表示$p$的范数.证明是基于哈曼的筛法，并采用数场模拟的经典思想，由于维诺格拉多夫。此外，我们引入了一个平滑，使我们能够方便地使用泊松求和公式。
2021-03-23 math.NT
Exact Frequencies of Consecutive Quadratic Residue and Nonresidue Patterns Modulo a Prime
研究模奇素数\(p\)时长度为二和三的连续二次剩余与非剩余模式的精确频率，利用有限域特征和基本性质推导计数公式，对的频率由\(p \pmod 4\)分类，三元组频率依赖\(p \pmod 8\)及雅可比和\(T_p\)。
2026-07-14 math.NT
Distribution of residues modulo $p$ using the Dirichlet's class number formula
设$p$为奇素数。本文利用虚二次域$\mathbb{Q}(\sqrt{-p})$的Dirichlet类数公式，研究了$2$或$3$或$4$的倍数为模$p$的二次剩余数和非剩余数，它们都位于区间$[1, p-1]$内.
2019-01-29 math.NT
New observations on primitive roots modulo primes
我们对原根模素数作了许多新的观察。对于奇素数$p$和整数$c$，我们建立了一个关于$\sum_g(\frac{g+c}p)$的定理，其中$g$遍历$1,\ldots,p-1$中所有模$p$的原根，$(\frac{\cdot}p)$表示Legendre符号.在数值计算的基础上，我们给出了35个涉及原根模素数的代数式。例如，我们猜想，对于任何素数$p$，都有一个原根$g<p$模$p$，$g-1$是平方，对于任何素数$p>3$，都有一个素数$q<p$，伯努利数$B_{q-1}$是原根模$p$。我们还对一些组合序列的模素数和本原素因子的二次非剩余作了相关的观察。例如，基于启发式的论点，我们推测，对于任何素数$p>3$存在一个斐波那契数$F_k<p/2$，这是一个二次非剩余模$p$ ;这意味着有一个确定性的多项式时间算法来找到平方根的二次剩余模一个素数$p>3$。
2020-02-28 math.NT
Some determinants involving quadratic residues modulo primes
该研究计算了若干模素数二次剩余相关的行列式，证明了一类含正切函数的矩阵行列式在特定素数和整数条件下的精确取值公式，并提出了后续研究的相关猜想。
2024-07-11 math.NT
An iterative construction of irreducible polynomials reducible modulo every prime
给出了一种构造整体域F上任意大次数不可约但模F的每个素数可约的多项式的方法。该方法包括在F[x]中找到其迭代具有所需性质的二次f，并且它依赖于确保f的所有迭代都不可约的新标准。特别是当F是一个数域，其中理想（2）不是一个平方时，我们构造了无穷多个二次f族，使得每个f^n在F上不可约，但f^n模F的所有素数可约，其中n至少为2。我们还给出了一个例子，为每个n的二次f与整数系数的迭代都是不可约的有理数，其（n-1）的第一个是不可约模一些素数，和其第n个可约模所有素数。从伽罗瓦论的角度来看，这表明对于通过多项式迭代获得的伽罗瓦表示，不存在线性伽罗瓦表示的众所周知的刚性现象。最后，我们研究了定义在整体域上的给定二次函数f对于所有n都有f^n模P不可约的素数P的个数。
2012-09-07 math.NT
On consecutive quadratic non-residues: a conjecture of Issai Schur
Issai Schur曾经问过是否有可能确定一个界限，最好是使用初等方法，这样对于所有素数p大于界限，模p的连续二次非剩余数的最大个数总是小于p的平方根.本文用初等方法证明了13是唯一一个连续二次非剩余数的最大个数小于p的平方根的素数.模p的余数超过p的平方根。
2003-05-21 math.NT
A classical approach to relative quadratic extensions
我们表明，我们可以从头开始，只使用经典的语言理论的相对二次扩展的一个给定的数域$K$这是明确的和容易的众所周知的情况下，$K$是该领域的有理数。作为应用，我们证明了一个互易律，它表示一个给定的二次方程模$K$的一个整理想$\mathfrak{a}$的解的个数，用$\mathfrak{a}$模方程的判别式表示.研究了与相对二次扩张相关的各种$L$ -函数。特别是，我们定义，为全负的代数整数$Δ$的全实数域$K$是平方模~ $4$，数$H(Δ,K)$，共享的重要性质的经典Hurwitz类数。在附录中，我们给出了一个快速的初步证明某些更深层次的性质的希尔伯特符号的高单位群的并矢局部数域。
2022-08-06 math.NT
Quadratic Non-residues in Short Intervals
我们使用的Burgess界和组合筛获得的素数$p$在一个二元区间$[Q,2Q]$，其中一个给定的区间$[u+1,u+ψ(Q)]$不包含一个二次非剩余模$p$的数量上界。对于任何函数$ψ(Q)\to\infty$，该界都是非平凡的，如$Q\to\infty$。这是一个模拟的最小的二次非剩余模$p$上平均素数$p$，这对应于选择$u=0$的公知的估计。
2013-11-27 math.NT
Squares and Cubes Modulo n
本文研究了Z_n和Z_n^* 中的平均平方数（或二次剩余）的渐近性。对立方、0和1的平方根以及0和1的立方根进行类似的分析。
2016-03-25 math.NT
Fibonacci Sequences And Real Quadratic p-Rational Fields
利用广义斐波那契数及其模正整数周期研究了实二次域的p-有理性.
2019-02-13 math.NT
Products of quadratic residues and related identities
本文研究了二次剩余模奇素数的乘积，证明了涉及二次剩余的几个恒等式。例如，假设$p$是一个奇素数。证明了若$p\equiv5\pmod8$，则有$$\prod_{0<x<p/2,(\frac{x}{p})=1}x\equiv(-1)^{1+r}\pmod p,$$，其中$(\frac{\cdot}{p})$是Legendre符号，$r$是区间$(0,p/2)$中$4$模$p$的次幂剩余数.我们的工作涉及到类数公式、四次高斯和、Stickelberger同余式以及Dirichlet L-级数在负整数上的值。
2021-04-07 math.NT
On the $σ$-Pair Correlation Density of Quadratic Sequences Modulo One
本文研究了对$0 \leq σ<2$模1等分布的序列$\{ θ_n\}_n$的$σ$对相关密度\begin{equation*}R_2^σ([a,b], \{ θ_n \}_n, N)= \frac{1}{N^{2-σ}} \# \big \{ 1 \leq j \neq k \leq N \, \big| \, θ_{j} - θ_{k} \in \big [ \frac{a}{N^σ},\frac{b}{N^σ} \big ]+ \mathbb Z \big \} \end{equation*}. $σ=1$的情况下通常被称为对相关密度和序列$\{ n^2 α\}_n$已特别感兴趣，由于其连接到一个猜想的贝里和塔博尔的能级一般完全可积系统。我们证明，如果$α$是丢番图的类型$3-ε$为每一个$ε>0$，那么对于任何$0 \leq σ<1$ \begin{align*} \mathrm R_2^σ([a,b], \{ αn^2 \}_n, N) \to b-a, \text{ as } N \to \infty. \end{align*}在这种情况下，我们说，该序列表现出$σ$ -对相关。除此之外，我们表明，对于任何$0 \leq σ< \frac{1}{4}(9 -\sqrt{17})=1.21922...$有一组完整的勒贝格措施，使序列$\{ αn^2 \}_n$表现出$σ$…
2022-03-11 math.NT
Automorphic symbols and automorphic \emph{L}-values of GL(2) over imaginary quadratic fields
Ulsan National Institute of Science and Technology（蔚山科学技术院）
该研究将Kim–Sun的同调策略从经典模曲线推广到算术轨形，证明虚二次域上平行权2 Hecke本征形式经Coates–Wiles特征扭转的L-函数临界值，在正密度素数集合上模素非零的特征占比为正。
2026-10-09 math.NT
Dynamical irreducibility of polynomials modulo primes
对于一类多项式$f \in \mathbb{Z}[X]$，其中特别包括所有的二次多项式，也三项式的一些特殊形式，我们表明，在某些自然条件下（必要的二次多项式），设置素数$p$，使所有的迭代$f$是不可约模$p$的相对密度为零。此外，我们给出了一个明确的限制，在一个区间$[1, Q]$作为$Q \to \infty$的密度衰减率的素数。对于这类多项式，这给出了A. Ferraguti（2018），它适用于任意多项式，但需要对它们的伽罗瓦群进行一定的假设。在广义黎曼假设下，我们得到了这个密度的一个更强的上界.
2020-09-24 math.NT
Small Pythagorean triples modulo prime powers
设$p>5$为固定素数。得到了$x_1^2+x_2^2\equiv x_3^2\bmod{p^n}$型二次同余方程的小解的渐近公式，其中$\max\{|x_1|,|x_2|,|x_3|\}\le p^{νn}$与$ν>1/2$ .
2022-01-15 math.NT
Statistics of small prime quadratic non-residues
我们证明了$k$ -th最小素数二次非剩余模一个素数的平均值近似于$2k$ -th最小素数。
2022-12-30 math.NT
Asymptotic behavior of small solutions of quadratic congruences in three variables modulo prime powers
设$p>5$是一个固定素数，并假定$α_1,α_2,α_3$与$p$互质。研究了$α_1x_1^2+α_2x_2^2+α_3x_3^2\equiv 0\bmod{q}$与$q=p^n$形式的同余的小解的渐近性态，其中$\max\{|x_1|,|x_2|,|x_3|\}\le N$和$(x_1x_2x_3,p)=1$ . (In事实上，我们考虑这个问题的平滑版本。）如果$α_1,α_2,α_3$是固定的，并且$n\rightarrow \infty$是固定的，我们在条件$N\gg q^{1/2+\varepsilon}$下建立了一个渐近公式（从而证明了这种解的存在性）.如果这些系数被允许与$n$变化，我们表明，这个公式成立，如果$N\gg q^{11/18+\varepsilon}$。后者应比较结果希思布朗谁建立了存在的非零解决方案的条件下$N \gg q^{5/8+\varepsilon}$的奇数平方模$q$。
2022-09-07 math.NT
On a polynomial involving quadratic residues modulo primes
School of Mathematics, Nanjing University（南京大学数学系）
本文通过伽罗瓦理论研究多项式G_p(x)在单位根处的值，验证了某些猜想，特别是针对特定素数模数的根单位情况，给出了多项式值的表达式。
2026-05-11 math.NT
Supersingular curves on Picard modular surfaces modulo an inert prime
研究了Picard模曲面上的超奇异曲线模为素数$p$，其中素数在二次虚域上是惰性的.本文分析了特征$p$中的自守向量丛，并作为应用导出了超奇异轨迹中不可约分量的个数与曲面第二类陈类的关系式.
2016-07-14 math.NT
Sampling a Uniform Random Solution of a Quadratic Equation Modulo $p^k$
$n$ -元积分二次型是$n$ -元$x_1,...,x_n$中的形式表达式$Q(x_1,...,x_n)=\sum_{1\leq i,j\leq n}a_{ij}x_ix_j$，其中$a_{ij}=a_{ji} \in \mathbb{Z}$ .给出了一个多$(n,k, \log p, \log t)$随机化算法，该算法在给定二次型$Q(x_1,...,x_n)$，素数$p$，正整数$k$和整数$t$的情况下，对$Q(x_1,...,x_n)\equiv t \bmod{p^k}$的一致解进行采样.
2014-09-22 cs.DM cs.DS math.NT
On the modulo $p$ zeros of modular forms congruent to theta series
对于大于$7$的素数$p$，权为$p-1$的Eisenstein级数具有模$p$的一些显著的同余性质.例如，这意味着它的零点的$j$ -不变量（已知是区间$[0,1728]$中的实代数数）在具有$p$元素的域上至多是二次的，并且对于某个截断超几何级数的零点是模$p$全等的。本文引入了全模群的权$k \geq 4$的“theta模形式“，作为第一阶$(M_k)$ Fourier系数与某个theta级数相同的模形式.我们考虑这些θ模形式的Jacobi θ系列和θ系列的六角晶格。我们证明了Jacobi θ级数的θ模形式的零的$j$不变量是模$p$都在具有$p$元素的基场中。对于θ模形式的六角晶格，我们表明，它的零点是最多二次的地面领域与$p$元素。此外，我们证明了这些零点在这两种情况下是同余某些截断超几何函数的零点。
2022-11-02 math.NT
Small solutions to inhomogeneous and homogeneous quadratic congruences modulo prime powers
Ramakrishna Mission Vivekananda Educational and Research Institute（拉马克里希纳传教士维韦卡南达教育与研究所）；Department of Mathematics, A. P. C. Roy Government College（A.P.C.罗伊政府学院数学系）
本文研究了模素数幂的非齐次和齐次二次同余式的小解的渐近公式，扩展了之前的研究结果。
2026-01-28 math.NT
Transcendence of Tonelli--Shanks Power Modulo Infinitely Large Primes
该数学研究证明了无穷大素数模整数环中，与Tonelli–Shanks算法相关的多个数论对象的像在有理数域上具有超越性。
2026-08-27 math.NT
On uniform distribution modulo one
我们介绍了一个基本的论点的理论分布的序列模1。
2005-10-22 math.NT
Quartic and Octic Characters Modulo n
模n的本原二次Dirichlet特征标的平均数随着n->infty趋于常数。对于原始立方字符也是如此。因此令人惊讶的是，当n->infty时，模n的原四次特征标的平均数随ln（n）而增长，模n的原八次特征标的平均数随ln（n）^[2]而增长。计算了渐近表达式中的首项系数。
2016-03-25 math.NT
Equidistribution of Solutions of Ternary Quadratic Congruences Modulo Prime Powers
本文研究素数幂模三元二次同余方程在固定点附近且 $z$ 与 $p$ 互素的解，通过光滑化方法在 $N\geq q^{1/2+\varepsilon}$ 时建立渐近公式并证明解存在。
2023-04-25 math.NT
Modular forms of CM type mod $\ell$
Universitat de Barcelona（巴塞罗那大学）；Universitat Politècnica de Catalunya（加泰罗尼亚理工大学）
本文研究了模ℓ下的有理数型模形式的同余问题，证明了在特定条件下此类同余总是成立，并探讨了三种情况下的模形式性质。
2026-05-12 math.NT
Caliber numbers of real quadratic fields
利用$K$中素数的分裂，得到了实二次域$K=\FQ(\sqrt{d})$口径数的下界.如果$d$不是5模8，则我们找到口径数为1的所有实二次域，并找到口径数为2的所有实二次域。在这两种情况下，我们都不依赖于对$ζ_K(1/2)$的假设。
2011-11-29 math.NT
On the elliptic curve $ y^{2} = x (x^2 + p)$ over some certain imaginary quadratic fields
本文讨论定义在虚二次域上的标题椭圆曲线，如$\mathbb{Q}(\sqrt{-q})$，其中$q$与3模8和$(p,q)=1$全等.
2018-03-21 math.NT
Minimally Intersective Polynomials with Arbitrarily Many Quadratic Factors
给定一个自然数$n \geq 4$，证明了存在无穷多个多项式$f_{n}(x):= \prod_{i=1}^{n} (x^{2} - a_{i})$，使得（i）$f_{n}(x)$模每一个正整数都有根，（ii）$f_{n}(x)$没有有理根，（iii）$f_{n}(x)$的每一个真因子模某个正整数都没有根.我们展示了一个过程来显式地构造这样的$f_{n}$和这个过程表明，自然数集$a_{n}$，使得多项式$f_{n}(x):= \prod_{i=1}^{n} (x^{2} - a_{i})$满足性质（i），（ii）和（iii），是正的渐近密度在$\mathbb{N}$。
2021-12-29 math.NT
The distribution of spacings between quadratic residues, II
研究了当q的素除子个数趋于无穷大时，模q的平方间距的分布。Kurlberg和Rudnick在较早的论文中证明了无平方根q的间距分布是泊松分布，本文将这一结果推广到任意q。
1998-12-08 math.NT
Distribution modulo one and diophantine approximation by Yann Bugeaud
书评：Distribution modulo one and丢番图逼近，Yann Bugeaud著，剑桥大学出版社，2012年。ISBN 978-0521111690，316页。
2013-12-04 math.NT
On polynomials with roots modulo almost all primes
该研究定义了在几乎所有素数模下有根但无整数根的首一整系数多项式为例外多项式，分类了与不可约首一二次多项式乘积为例外多项式的不可约首一整系数多项式，并构造了指定因式形式的例外多项式。
2022-07-09 math.NT
On the average exponent of CM Elliptic Curves Modulo p
设$E$是定义在$\Q$上的椭圆曲线，并与虚二次域$K$中的整数环$\mO_K$进行复数乘法。已知$E(\F_p)$具有结构E（\F_p）\simeq \Z /d_p \Z \oplus \Z /e_p \Z。用$d_p|e_p$。我们给出了$e_p$的平均阶的渐近公式，改进了误差项，并给出了$d_p$的平均阶的上界估计.
2012-11-02 math.NT
On the error term of the logarithm of the lcm of a quadratic sequence
研究了由$1^2+1, 2^2+1,..., n^2+1$给出的整数序列的最小公倍数的对数。使用的结果Homma的分布的根的二次多项式模素数我们计算的误差项的渐近获得Cilleruelo。
2011-10-11 math.NT
Distribution of squares modulo a composite number
本文研究了无平方数$q$的平方分布。我们还期待在分布方面的大筛子的逆问题，我们对现有的结果的分布$s$ -元组的减少剩余的改进。
2015-02-17 math.NT
Invariants and coinvariants of semilocal units modulo elliptic units
设p为素数，k为虚二次域，其中p分解为两个素数\mathfrak{p}和\bar{\mathfrak{p}} .设k_ \infty是k的唯一Z_p扩张，且在\mathfrak{p}外是非分歧的，K_ \infty是k_ \infty的有限扩张，是k上的阿贝尔算子.设U_ \infty /C_ \infty是主半局部单位模椭圆单位的投射极限.证明了U_ \infty /C_ \infty的不变量和共不变量的模是有限的.
2011-06-27 math.NT
On restricted unitary Cayley graphs and symplectic transformations modulo n
我们提出了一些意见的一个受限制的变种的酉凯莱图模n，和分解的元素的辛算子的整数模n的影响。定义了顶点集为环Z_n的二次酉Cayley图G_n，其中模n的剩余a，b相邻当且仅当它们的差是二次剩余.通过限定这类图的直径，我们给出了Z_n上分解一个辛矩阵所需的基本运算（辛标量乘法、辛行交换和行加减）的个数的上界.我们还刻画了n上G_n为完美图的条件。
2010-06-11 math.CO math.NT
Supercongruences involving Domb numbers and binary quadratic forms
本文证明了孙志宏关于Domb数截断和的两个最近证明的超同余（模$p^3$，其中$p$是大于$3$的素数）.我们的证明涉及一些成分，如涉及专门的伯努利多项式，调和数，二项式系数，超几何求和和变换的同余。
2021-12-23 math.NT
Hilbert's Irreducibility Theorem and Ideal Class Groups of Quadratic Fields
我们证明了一个版本的希尔伯特的不可约定理在二次的情况下，给出一个定量的改进结果的Bilu-Gillibert在此限制设置。作为应用，我们改进了具有某些类型理想类群的二次域的计数的几个定量结果。证明的主要定理是基于结果斯图尔特和顶部的价值观的二进制形式模平方。
2021-11-30 math.NT
Distribution of twisted Kloosterman sums modulo prime powers
本文研究了模素幂乘特征标扭曲的Kloosterman和。我们表明，由一个初等计算，这些款项成为equidistributed在真正的线相对于一个适当的措施。
2008-03-31 math.NT
A quadratic-residue dichotomy for two partition functions modulo 3
University of California, San Diego（加利福尼亚大学圣地亚哥分校）
本文证明对每个模4余3的素数p，两个受限分拆函数在模3下满足由二次剩余决定的二分性同余，并给出无穷自相似同余族。
2026-09-22 math.CO math.NT
On the Birch and Swinnerton-Dyer formula modulo squares for certain quadratic twists of elliptic curves
本文研究椭圆曲线二次扭曲下Birch和Swinnerton-Dyer公式模平方的有效性，通过局部Tamagawa数的分类结果，证明了满足修正Heegner假设的二次扭曲下该公式模平方的等价性，并得到半稳定椭圆曲线的相关推论。
2025-10-01 math.NT
Distribution of the k-regular partition function modulo composite integers M
令$b_k(n)$表示自然数$n$的$k-$正则分块。本文研究了$b_k(n)$模复合整数$M$与$6$互质的性质.特别地，我们证明了对于任意$k-$正则分割函数$b_k(n)$和与$6$互质的整数$M$，存在无穷多个$b_k(n)$模$M$的Ramanujan型同余.
2022-12-09 math.NT
Distribution of $αn + β$ modulo 1 over integers free from large and small primes
对于任意的$\varepsilon >0$，我们得到了解$n \le x$到$$ \lVert αn + β\rVert < x^{-\frac{1}{4}+\varepsilon} $$的个数的渐近公式，其中$n$对无穷多个实数$x$是$[y,z]$ -光滑的.此外，我们还建立了一个附加无平方条件的$n$的渐近公式。此外，如果$α$是二次无理数，那么渐近公式对所有足够大的$x$都成立。我们的成分来自哈曼筛，我们适合筛选$[y,z]$ -光滑的数字。算术信息来自指数和的估计。
2019-05-01 math.NT
Polynomial products modulo primes and applications
对于任何多项式$P(x)\in\mathbb{Z}[x],$我们研究算术动力系统产生的$\displaystyle{F_P(n)=\prod_{k\le n}}P(n)(\text{mod}\ p),$ $n\ge 1.$我们应用这一点来提高下界的数目不同的二次域的形式$\mathbb{Q}(\sqrt{F_P(n)})$在短时间间隔$M\le n\le M+H$以前由于Cilleruelo，卢卡，Quirós和Shparlinski。作为第二个应用程序，我们估计的平均数缺失值的$F_P(n)(\text{mod}\ p)$为特殊家庭的多项式，推广以前的工作银行，Garaev，卢卡，Schinzel，Shparlinski和其他人。
2018-10-15 math.NT
The residue-counts of $x^2+a/x$ modulo a prime
本文研究了 $x^2+a/x$ 模素数的剩余计数问题，得出一个与三次剩余和二元二次型相关的显式公式。
2023-09-14 math.NT
Quadratic residues and difference sets
Sarkozy推测，除了有限多个例外，模素数$p$的二次剩余集不能表示为具有非单例集$A,B\subset F_p$的和集$\{a+b\colon a\in A, b\in B\}$。这个猜想的$A=B$案例最近由Shkredov建立。类似的差异问题仍然是开放的：它是真的，对所有足够大的素数$p$，二次剩余集模$p$是不是形式$\{a'-a"\colon a',a"\in A,\,a'\ne a"\}$与$A\subset F_p$？我们在这里攻击这个问题的一个可能更容易处理的变体，这是为了证明不存在$A\subset F_p$使得每个二次剩余都有一个\emph{unique}表示为具有$a',a"\in A$的$a'-a"$，并且没有非剩余以这种形式表示。我们给出了一些必要的条件，这样的$A$的存在，涉及的大部分素数的行为划分$p-1$。这些条件使我们能够排除范围$13<p<10^{18}$中的所有素数$p$（素数$p=5$和$p=13$是唯一的例外）。
2015-02-24 math.NT
