Computing Congruences of Modular Forms and Galois Representations Modulo Prime Powers
本文开始了对模形式和模素幂的模伽罗瓦表示的同余关系的计算研究。算法描述计算最大整数模，其中两个一元互质积分多项式有一个共同的根在某种意义上说，是定义。这些技巧被应用到研究的同余的模形式和模伽罗瓦表示模素幂。最后，一些计算结果的影响（非）提升的模形式模素幂和可能的推广的水平提高。
2010-01-21 math.NT
Some Missed Congruences modulo powers of $2$ for $t$-colored overpartitions
最近，Nayaka和Naika（2022）证明了具有$t=5,7,11$和$13$的$t$着色超划分的几个模$16$和$32$同余.我们用算法技术扩展了他们的名单。
2023-01-24 math.NT
Two partition functions with congruences modulo 3, 5, 7, and 13
我们引入了两个新的整数分拆函数，这两个函数都是具有一定大小限制的$n$的分割四元组的数目。利用广义Lambert级数恒等式和$q$ -级数技巧，证明了这两个函数满足模$3$，$5$，$7$和$13$的Ramanujan型同余.
2016-03-18 math.NT
On the Congruence of Finite Generalized Harmonic Numbers Sums Modulo $p^2$
本文研究了特殊有限广义调和数和的同余关系。我们建议更透明和更简单的方法来分析这些和，并提出了一些额外的结果，某些特殊情况下。
2020-11-30 math.NT
Hecke-type congruences for Andrews' spt-function modulo 16 and 32
最近由Andersen与不同的权力，2在模的分区相关的功能的启发，我们扩展了模32760同余的第一作者的功能spt（n）。我们证明了spt（n）的生成函数的正规化形式是Hecke算子T（l^2）对素数l >= 5的模32的本征形，其中l同余于1，11，17，19（mod 24），以及对l同余于？13，23（mod 24）.
2013-08-22 math.NT
Endoscopic congruences modulo adjoint $L$-values for $\mathrm{GSp}(4)$
我们建立了一个固定的内窥镜尖点自守表示$Π$的$\mathrm{GSp}(4)$的平方自由导体和稳定的尖点自守表示相同的水平和重量模的某些素因子的值在$1$的伴随$L$ -功能的$Π$规范化一个合适的时期之间的一致性。
2019-10-31 math.NT
The structure of Siegel modular forms modulo p and U(p) congruences
我们确定Siegel模形式的度g模一个素数p的环结构，延长Nagaoka的结果的情况下，度g=2。我们刻画了Jacobi形式和Siegel模形式的U（p）同余，并惊奇地发现了Siegel模形式在偶数和奇数次上的不同行为.
2013-12-19 math.NT
Congruences for Restricted Plane Overpartitions Modulo 4 and 8
2009年，Corteel、Savelief和Vuletić将超分割的概念推广到一个新的对象，称为平面超分割。在最近的工作中，作者考虑了一种被称为$k$ -rowed plane overpartition的限制形式，并证明了一种方法来获得这些和其他类型的组合生成函数的同余。本文利用其他技巧证明了几个限制和非限制的模$4$和$8$的平面过划分同余.
2017-06-28 math.NT
Infinite Families of Congruences Modulo 5 for Ramanujan's General Partition Function
对于任何非负整数$n$和非零整数$r$，令$p_r(n)$表示Ramanujan的一般分拆函数。利用$q$恒等式，证明了$p_r(n)$对$r=-(5λ+1), -(5λ+3), -(5λ+4), -(25λ+1)$，$-(25λ+2)$和任意整数$λ$的模5的Ramanujan型同余.
2020-08-14 math.NT
Some New Congruences for $l$-Regular Partitions Modulo $l$
$n$的一个划分是$l$ -正则的，如果它的任何部分都不能被$l$整除。令$b_l(n)$表示$n$的$l$ -规则分区的数目。本文利用Ramanujan的θ函数恒等式，建立了$b_l(n)$模$l$的一些新的无穷同余族，其中$l=13,17,23$ .
2019-07-20 math.NT
A family of $q$-hypergeometric congruences modulo the fourth power of a cyclotomic polynomial
本文证明了一个双参数$q$超几何同余族模分圆多项式的四次幂。在我们的证明的关键成分是乔治安德鲁斯的多系列扩展的沃森变换，和Karlsson-明顿型求和非常平衡的基本超几何级数由于乔治加斯珀。新的家庭的$q$ -同余，然后用来证明两个命题提出较早的作者。
2019-09-23 math.NT
On the congruence ax+by = 1 modulo xy
给出了当n趋于无穷大时，丢番图方程（X+1/x）（Y+1/y）= n的解的个数的界.这些界限与形式ax+by = 1 modulo xy的同余的解的数目有关。
2003-12-17 math.NT
General Congruences Modulo 5 and 7 for Colour Partitions
对于任何正整数$n$和$r$，令$p_r(n)$表示$n$的分区的数量，其中每个部分具有$r$不同的颜色。许多作者研究了分拆函数$p_r(n)$的特定值的$r$。本文利用色分拆函数$r$的一般值，证明了$p_r(n)$的模$5$和模$7$的一般同余.为了证明的同余，我们采用了一些$q$ -系列的身份，这也是在拉马努金的精神。
2020-08-14 math.NT
Families of Congruences for Fractional Partition Functions Modulo Powers of Primes
最近，Chan和Wang（Fractional powers of the generating function for the分拆函数.阿里斯学报。187（1），59- 80（2019））研究了分拆函数的生成函数的分数幂，并发现了相应系数满足的几个同余式。在本文中，我们发现了一些新的模素数幂同余族。我们也发现类似的结果的系数的分数权力的生成函数的2-色分拆函数。
2020-06-14 math.NT
Andrews-Beck type congrences modulo powers of 5
令$NT(m, k, n)$表示n的分区中秩与m模k全等的部分的总数。安德鲁斯证明了贝克猜想的同余$NT(m, k, n)$模5和7。推广Andrews的结果，陈省身得到了$NT(m, k, n)$模11和模13的同余式.最近，第二作者利用Hecke算子理论建立了素数$\ell \ge 7$模幂的这种划分统计的同余式。本文得到了模5的幂的Andrews-Beck型同余。
2023-03-09 math.NT
Congruences modulo powers of 11 for some eta-quotients
本文证明了分拆函数$c$模\[\sum_{n=0}^{\infty}p_{[1^c{11}^d]}(n)q^n=\prod_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{(1-q^n)^c(1-q^{11 n})^d}.\]的幂的同余的无限族，推广了Atkin和Gordon关于分拆函数的幂的同余.证明使用一个明确的基础上的向量空间的模函数的同余子群$Γ_0(11)$。
2019-06-02 math.NT
Congruences with intervals and subgroups modulo a prime
我们得到了关于几乎所有模素数$p$的剩余都用一个小整数和$({\mathbb Z}/p{\mathbb Z})^*$的小乘法子群的一个元素的乘积表示的新结果。这些结果是基于J.Cilleruelo和M. Z. Garaev（2014年），
2014-12-08 math.NT
New Ramanujan-type congruences for overpartitions modulo $11$ and $13$
本文通过模形式理论推导出11和13模下的新分拆恒等式，并推测其他模数的可能恒等式。
2026-03-09 math.NT
Some congruences for $(\ell, k)$ and $(\ell, k, r)$-regular partitions
令$b_{\ell, k}(n), b_{\ell, k, r}(n)$分别计数$(\ell, k)$、$(\ell, k, r)$ -规则分区的数目。本文给出了当$ (\ell, k) = (3,8), (4, 7)$为$b_{\ell, k}(n)$模$2$时，$b_{\ell, k}(n)$模$8$，模$9$和模$12$当$(\ell, k) = (4, 9)$时，$b_{\ell, k, r}(n)$模$2$当$(\ell, k, r) = (3, 5, 8)$时的无穷族同余式.
2023-03-24 math.NT
Some New Congruences Modulo Powers of 2 For $(j,k)$-Regular Overpartition
令$\overline{p}_{j,k}(n)$表示$(j,k)$的数目-正整数$n$的规则过划分，使得没有部分与$j$模$k$全等。Naika et.等人（2021）证明了$\overline{p}_{3,6}(n)$、$\overline{p}_{5,10}(n)$和$\overline{p}_{9,18}(n)$的模2幂同余的无限族。本文得到了$\overline{p}_{4,8}(n)$，$\overline{p}_{6,12}(n)$和$\overline{p}_{8,16}(n)$的模2幂同余的无穷族.例如，我们证明，对于所有整数$n\geq 0$和$α\geq 0$，$$ \overline{p}_{4,8}\left( 5^{2α+1}\left( 16(5n+j)+14\right) \right) q^n\equiv 0\pmod{64}; \qquad j=1,2,3,4.$$
2021-09-15 math.NT
Another proof of two modulo 3 congruences and another SPT crank for the number of smallest parts in overpartitions with even smallest part
通过考虑过划分和剩余曲柄的$M_2$ -秩，我们给出了同余$\overline{\mbox{spt}}_2(3n)\equiv \overline{\mbox{spt}}_2(3n+1)\equiv 0\pmod{3}$的另一种组合加细.这里，$\overline{\mbox{spt}}_2(n)$是$n$的超分区中最小部分的出现总数，其中最小部分是偶数并且没有上划线。我们的证明依赖于Bailey引理和Lovejoy和Osburn关于过划分的$M_2$ -秩的秩差公式。这个同余，以及一个模$5$同余，以前已经使用过分区的秩进行了细化。
2014-06-20 math.NT
Congruences for Andrews' spt-function modulo 32760 and extension of Atkin's Hecke-type partition congruences
对Andrews的最小部分分拆函数spt（n）找到了新的同余式. spt（n）的生成函数与某个权为3/2的弱马斯形式M（z）的全纯部分α（24 z）有关。我们证明了对于素数p > 3，spt（n）的生成函数的正规化形式是Hecke算子T（p^2）模72的本征形，如果（t，6p）= 1，则对于t = 5，7或13，本征形模t。模3的结果是作者早些时候观察到的，并由Ono和Folsom考虑。对于t的更高次幂（即5^6、7^4和13^2），函数alpha（z）的系数也会出现类似的同余。类似的结果分拆函数发现阿特金在1966年。我们的结果依赖于Ono最近的结果：M[p]（z/24）是满模群的权为3/2的弱全纯模形式，其中M[p]（z）= M（z）|T（p^2）- chi（p）（1 + p）M（z）.
2010-11-09 math.NT
Congruences modulo primes of the Romik sequence related to the Taylor expansion of the Jacobi theta constant θ_3
最近，Romik在[9]中确定了Jacobi θ常数θ_3在点x = 1附近的泰勒展开式。他发现了一个新的整数序列，（d（n））_0^ \infty =1，1，-1，51，849，-26199，\dots，泰勒系数就是从这个序列中建立的，并且证明了数d（n）满足模各种素数的某些同余。本文证明了其中的一些性质，例如对所有n个\geq 1，d（n）\equiv（-1）^{n+1}（mod 5）;对任意素数p \equiv 3（mod 4），d（n）对所有足够大的n模p为零.
2020-03-17 math.NT
Generalized Legendre polynomials and related congruences modulo $p^2$
对于任意正整数$n$和变量$a$和$x$，我们定义广义勒让德多项式$P_n(a,x)=\sum_{k=0}^n\b ak\b{-1-a}k(\frac{1-x}2)^k$。设$p$是一个奇素数。本文证明了许多与$P_{p-1}(a,x)$有关的模$p^2$同余.例如，我们证明了$P_{p-1}(a,x)\e (-1)^{<a>_p}P_{p-1}(a,-x)\mod {p^2}$，其中$<a>_p$是$a$模$p$的最小非负残基。推广了孙志伟的一些同余式，确定了$\sum_{k=0}^{p-1}\binom{2k}k\binom{3k}k{54^{-k}}$和$\sum_{k=0}^{p-1}\binom ak\binom{b-a}k\mod {p^2}$，其中$[x]$是最大整数函数.最后给出了二元二次型模$p^2$的超同余.
2012-02-01 math.NT
New congruences for 4,6-regular partitions modulo primes
本文证明了 b_4(n) 和 b_6(n) 分别对素数 m≥2 和 m≥5 存在无穷多 Ramanujan 型同余式族，并给出新例子及两个 b_4(n) 模 3 的无穷显式同余式族。
2023-09-22 math.NT
Some congruences modulo 5 and 25 for overpartition
我们提出了两个新的Ramanujan型同余模5的过度划分。我们还肯定地回答了Dou和Lin的一个猜想，该猜想包含四个模25同余。
2017-02-28 math.CO math.NT
Congruences for the number of partitions and bipartitions with distinct even parts
令$ped(n)$表示$n$的分区的数目，其中偶数部分是不同的（并且奇数部分是不受限制的）。我们证明了$ped(n)$模$8$的无穷族同余。我们还详细研究了$ped_{-2}(n)$模$8$的行为，其中$ped_{-2}(n)$表示$n$的偶数部分不同的二分区的数量。其结果是，我们找到了无穷族的同余$ped_{2}(n)$模$8$。
2014-04-22 math.NT
Congruences for the partition function $\text{PDO}_t(n)$ modulo powers of $2$ and $3$
本文针对 Lin 关于 $\text{PDO}_t(n)$ 的猜想，提出新方法研究其关于 $3$ 的幂和 $2$ 的幂的同余式，建立了无穷多个模 $8$、$32$ 的同余式并证明若干小幂次同余式。
2023-07-10 math.NT
Gessel-Lucas congruences for sporadic sequences
对于每一个$15$已知的零星Apéry样序列，我们证明了同余模$p^2$是自然扩张卢卡斯同余模$p$。这扩展了结果Gessel的数字所使用的Apéry在他的证明的非理性的$ζ(3)$。此外，我们证明了这些序列满足模$p^{2r}$的两项超同余。使用特殊的常数项表示最近发现的Gorodetsky，我们证明了这些超同余在两种情况下，以前保持开放。
2023-01-28 math.NT
Double exponential sums and congruences with intervals and exponential functions modulo a prime
设$p$是一个大素数，$g$是任意乘阶$T$模$p$的整数.本文给出了双指数和$$ S=\sum_{n\in \mathcal{N}}\left|\sum_{m\in \mathcal{M} }e_p(an g^{m})\right|, \quad \gcd (a,p)=1, $$的一个新的估计，其中$\mathcal{N}$和$\mathcal{M}$是具有$|\mathcal{N}|=N$和$|\mathcal{M}|=M<T$元素的连续整数的区间.一个代表性的例子是主要结果的以下结果：如果$N=M\approx p^{1/3}$，则$|S|< N^{2-1/8 + o(1)}$。然后，我们应用我们的估计，以获得新的结果添加剂同余涉及区间和指数函数。
2018-10-15 math.NT
On a symmetric congruence and its applications
对于大整数$m,$，我们得到了某个模$m$的四元同余的解的个数的一个渐近公式，这里的变量属于模$m.$的剩余类的特殊集合。这个公式被应用于模$m$的剩余环中的乘法表问题的例外集的新信息和一个关于指数函数的双三角和的新界。
2005-03-16 math.NT
A Congruence for Sums of Integer Powers Modulo Products of Distinct Primes
本文证明了在特定条件下，不同素数乘积模下的整数幂和满足一种同余关系。
2025-10-12 math.NT
Congruences modulo prime powers of Hecke eigenvalues in level $1$
我们继续研究强，弱，和$dc$ -弱本征形介绍陈，基明，和Wiese。完全确定了$1$模$128$的Hecke本征值的所有系统，表明有许多。这扩展了Hatada的结果，可以被认为是更一般的猜想的证据，由作者与Kiming和Wiese一起制定的有限性系统的Hecke特征值模素数权力在任何固定的水平。我们还讨论了系统的Hecke本征值的水平$1$模$9$，减少问题的有限性的一个单一的本征值。此外，我们回答了比较弱和$dc$ -弱本征形的问题，并提供了第一个已知的非弱$dc$ -弱本征形的例子。
2018-03-16 math.NT
Ramanujan-type Congruences for Partition $k$-Tuples with $5$-Cores
我们证明了几个Ramanujan型同余模幂的$5$分区$k$ -元组的$5$ -核心，$k=2, 3, 4$。我们还证明了具有$p$ -核的$k$ -元组的模素数幂同余的一些新的无穷族，其中$p$是素数.
2023-01-31 math.NT
A congruence modulo $n^3$ involving two consecutive sums of powers and its applications
对于各种正整数$k$，第一个$k$正整数的$k$次幂的和，$S_k(n+1)=1^k+2^k+...+n^k$，必须是所有数学中最流行的一些和。本文证明了对于每个$k\ge 2 $ $ 2S_{2k+1}(n)- (2k+1)nS_{2k}(n)\equiv \{{array}{ll} 0\,(\bmod{\,n^3}) & {\rm if}\,\,k\,\,{\rm is\,\,even\,\,or}\,\, n\,\, {\rm is\,\, odd} & {\rm or} \,\, n\equiv 0\,(\bmod{\,4}) \frac{n^3}{2}\,(\bmod{\,n^3}) & {\rm if}\,\,k\,\,{\rm is\,\, odd} &,\,{\rm and}\,\, n\equiv 2\,(\bmod{\,4}). {array}.$ $ The above congruence allows us to state an equivalent formulation of Giuga's conjecture. Moreover, we prove that the first above congruence is satisfied modulo $ n ^4 $ whenever $ n \ge 5 $ is a prime number …
2012-11-17 math.NT
Lucas congruences for the Apéry numbers modulo $p^2$
本文给出 Apéry 数整函数插值的泰勒系数公式，并证明对特定基 $p$ 数字的整数 $n$，$A(n)$ 满足模 $p^2$ 的 Lucas 同余式。
2021-01-26 math.NT
Congruences between modular forms modulo prime powers
给定一个素数$p \ge 5$和一个系数模为$p^n$（对于某些$n \ge 1$）和大图像的抽象奇表示$ρ_n$，我们证明了当局部提升存在时（在某些技术条件下），$ρ_n$提升到特征$0$的存在性.此外，我们可以在除了素数之外的所有素数上选择升力的惯性类型（其中升力是斯坦伯格型）。我们把这个结果应用到模形式的领域，证明了模素幂的一个降阶定理，并给出了升阶的例子。特别地，我们的方法表明，给定一个没有复数乘法或内部扭曲的模本征形$f$，对于所有的素数$p$，但不超过1000，并为所有的正整数$n$，存在另一个本征形$g\neq f$，这是全等的$f$模$p^n$。
2014-03-14 math.NT
Hecke Relations for Eta Multipliers and Congruences of Higher-Order Smallest Parts Functions
本研究通过作用于Eisenstein-eta商族的Hecke算子推导恒等式，得到系数素数幂模同余式，应用于解决Garvan提出的高阶最小分部函数同余问题，还建立曲柄矩、秩矩与分拆函数的素数幂模联系，强化推广了已有结果。
2024-03-07 math.NT
Congruences modulo powers of 5 for the rank parity function
众所周知，Ramanujan证明了分拆函数的模5、7和11的幂同余.这一点后来被Watson（1938）和Atkin（1967）证明。在2009年，Choi，Kang和Lovejoy证明了曲柄奇偶函数的模5幂的同余。秩奇偶函数的生成函数是f（q），这是Ramanujan在给Hardy的最后一封信中提到的模拟θ函数的第一个例子。我们证明了同余模幂5的秩奇偶函数。
2021-01-04 math.CO math.NT
Modified Congruence Modulo $n$ with Half The Amount of Residues
我们定义了一个新的同余关系的集合上的整数，导致一组类似的乘法群的整数模$n$。它利用了模乘中几乎无处不在的对称性，并将剩余类的数量减半。使用它，我们能够给出一个优雅的描述，由于卡尔Schick的一些结果，其他人减少到著名的定理，从代数和数论。数论中的许多概念，如二次剩余和原根，都是同样适用的。它在研究奇素数的幂，特别是在研究由一对相关素数组成的半素数，例如一对孪生素数时，带来了显著的优势。Artin的原根猜想可以在新的上下文中表述。基于弦的三角多项式与新的同余关系的联系，使人们对$2\cos(2π/n)$的极小多项式及其与分圆多项式的关系有了新的认识.
2016-02-07 math.NT
Congruences modulo arbitrary powers of $5$ and $7$ for Andrews and Paule's partition diamonds with $(n+1)$ copies of $n$
本文证明了 Andrews 和 Paule 提出的分拆函数 PDN1(n) 关于 5 和 7 的任意幂的同余式，解决了他们提出的开放问题，并类比了 Ramanujan 和 Watson 的经典同余式。
2025-02-14 math.NT
Congruences modulo cyclotomic polynomials and algebraic independence for $q$-series
证明了$q$ -阶乘比的多重和的模分圆多项式的同余关系，从而推广了许多著名的$p$ -Lucas同余关系.这样的同余将各种经典生成级数与它们的$q$ -类似物联系起来。利用这一点，我们证明了一个传播现象：当这些生成系列是代数独立的，这也是他们的$q$ -类似物的情况。
2017-01-23 math.CO math.NT
Congruences for a mock modular form on $\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z})$ and the smallest parts function
利用Zagier构造的一类模形式，研究了权$3/2$在$\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z})$模素数$\ell\geq 5$上的模模形式的系数.这些系数与Andrews的最小部分函数有关。作为应用，我们重新证明了Garvan关于该函数模$\ell$的性质的一个定理.作为另一个应用程序，我们表明，同余模$\ell$的最小部分功能是罕见的，在精确的意义。
2017-06-22 math.NT
Old Meets New: Connecting Two Infinite Families of Congruences Modulo Powers of 5 for Generalized Frobenius Partition Functions
本文在与层级 20 模曲线相关的两类广义 Frobenius 分拆函数同余族之间建立模函数环同构，并借助 Atkin–Lehner 对合提出研究复合层级同余的新策略。
2024-07-30 math.NT
Congruences modulo powers of 5 for three-colored Frobenius partitions
出于Lovejoy的问题\cite{lovejoy}，我们表明，三色Frobenius分拆函数$\c3$和相关的算术功能$\cc3$消失模5的某些权力，在某些等差数列。
2010-04-27 math.CO math.NT
Distribution of the partition function modulo m
拉马努金（和其他人）证明，分拆函数满足一些惊人的同余模幂为5，7和11。阿特金、奥布莱恩和纽曼的作品进一步证明了一些一致性。本文证明了对于每一个大于3的素模，都有无穷多个这样的同余。此外，我们提供了一个简单的标准，保证真理的纽曼猜想的任何素数模超过3（回忆纽曼猜想断言，分拆函数击中每一个剩余类模一个给定的整数M无限频繁）。
2000-08-17 math.NT
Ramanujan-type Congruences for $\ell$-Regular Partitions Modulo $3, 5, 11$ and $13$
令$b_\ell(n)$为$n$的$\ell$ -正则划分的数目。最近，Hou等人建立了$b_\ell(n)$模$m$的几个无穷同余族，其中$(\ell,m)=(3,3),(6,3),(5,5),(10,5)$和$(7,7)$ .本文利用Hou等人给出的消失性质，证明了$b_{11}(n)$模$11$的无穷同余族.此外，对于$\ell= 3, 13$和$25$，我们利用Hecke特征形理论得到了$b_{\ell}(n)$模$3, 5$和$13$的三个无穷族同余.
2015-09-25 math.CO math.NT
On the non-existence of simple congruences for quotients of Eisenstein series
Berndt和Yee最近的一篇文章发现了爱森斯坦级数的某些比率的模3^k同余。对于所有这些，除了一个，我们证明了没有简单的同余a（pn+c）= 0模p时，p>= 13是素数。这是从一个更一般的定理推出的，这个定理是关于（E_2^r）（E_4^s）（E_6^t）中的同余不存在的，其中r是非负的，r，s，t是整数。
2009-10-01 math.NT
Explicit linear dependence congruence relations for the partition function modulo 4
针对分拆函数 p(n) 模 4 的线性同余依赖关系，本文首次显式构造了 Ono 理论证明存在的实例，揭示了其奇偶性并非完全随机。
2024-12-23 math.NT
Congruences for Fishburn numbers modulo prime powers
Fishburn数$ξ(n)$由形式幂级数\[ \sum_{n \geq 0} ξ(n) q^n = \sum_{n \geq 0} \prod_{j = 1}^n (1 - (1 - q)^j). \]定义。Andrews和J. Sellers发现了$ξ(p m + j) \equiv 0$ modulo $p$形式的同余，对所有$m \geq 0$都有效。F.将这些同余式补充并推广到$r$ -Fishburn数的情形。加文在这篇文章中，我们回答了Andrews和Sellers关于将这些同余推广到素数幂情形的一个问题。我们证明了，在一定的条件下，所有这些同余确实延伸到持有模素幂。
2014-07-28 math.CO math.NT
Some Observations on Modulo 5 Congruences for 2-Color Partitions
2色分区可以被认为是自然数$n$的常规分区的扩展，其中$p_{k}(n)$被定义为$n$的2色分区的数量，其中2种颜色中的一种仅出现在是$k$的倍数的部分中。在本文中，我们记录的模5同余关系$p_{k}(25n + 24 - k) \equiv 0 \pmod{5}$的$k \in \{1, 2, \ldots, 24\}$的完整的特征，与2色配分函数$p_k(n)$，提供参考现有的结果$k \in \{1, 2, 3, 4, 7, 8, 17\}$，简单的证明$k \in \{5, 10, 15, 20\}$为了完整性，并在所有剩余的情况下反例。我们还在$k = 4$的情况下提出了另一种证明，不使用Rogers-Ramanujan比率，从而使证明与Ahmed，Baruah和Ghosh Dastidar的证明相比简单得多（JNT 2015）。
2018-01-28 math.NT
Some curious congruences modulo primes
设n为正奇数，p>n+1为素数.我们主要导出了以下同余式：$$\sum_{0<i_1<...<i_n<p}(i_1/3)(-1)^{i_1}/(i_1...i_n)=0 (mod p).$$
2010-02-25 math.CO math.NT
A family of $q$-congruences modulo the square of a cyclotomic polynomial
利用Watson的$_8ϕ_7$终止变换公式，我们证明了一族以分圆多项式的平方为模的$q$ -同余。475（2019），1636- 646]。作为应用，我们导出了两个模$p^4$（$p$是奇素数）超同余及其$q$ -模拟.这也部分地证实了Swisher（H.3）猜想的一个特例。
2020-01-19 math.CO math.NT
Congruences involving product of intervals and sets with small multiplicative doubling modulo a prime and applications
在本文中，我们得到了新的上界估计的同余$$ x\equiv y r\pmod p;\quad x,y\in \mathbb{N},\quad x,y\le H,\quad r\in\cU, $$的解的数目为一定范围的$H$和$|\cU|$，其中$\cU$是一个子集的剩余类模$p$具有小乘法倍。然后，我们使用这个估计，以显示的解决方案的数量的同余$$ x^n\equiv λ\pmod p; \quad x\in \N, \quad L<x<L+p/n, $$是最多$p^{\frac{1}{3}-c}$一致的正整数$n, λ$和$L$，一些绝对常数$c>0$。这意味着，特别是，如果$f(x)\in \Z[x]$是一个固定的多项式没有多个根的$\C$，那么同余$ x^{f(x)}\equiv 1\pmod p, \,x\in \mathbb{N}, \,x\le p,$有最多$p^{\frac{1}{3}-c}$解决方案的$p\to\infty$，改进了一些最近的结果Kurlberg，卢卡和Shparlinski和的Bayesian，Broughan和Shparlinski。我们使用我们的结果表明，几乎所有的剩余类模$p$可以表示的形式$xg^y \pmod p$与正整数$x<p^{5/8+\varepsilon}$和$y<p^{3/8}$。这里$g$表示原始根模$p$。我们还证明了几乎…
2014-08-21 math.NT
