Small Pythagorean triples modulo prime powers
Stephan Baier, Anup Haldar
设$p>5$为固定素数。得到了$x_1^2+x_2^2\equiv x_3^2\bmod{p^n}$型二次同余方程的小解的渐近公式，其中$\max\{|x_1|,|x_2|,|x_3|\}\le p^{νn}$与$ν>1/2$ .
Let $p>5$ be a fixed prime. We obtain an asymptotic formula related to small solutions of quadratic congruences of the form $x_1^2+x_2^2\equiv x_3^2\bmod{p^n}$ where $\max\{|x_1|,|x_2|,|x_3|\}\le p^{νn}$ with $ν>1/2$.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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A Direct Method To Generate Pythagorean Triples And Its Generalization To Pythagorean Quadruples And n-tuples
生成毕达哥拉斯三元组的方法已知约2000年。虽然经典公式产生所有的本原三元组，但它们并不产生所有可能的三元组，特别是非本原三元组。本文提出了一种直接法，它可以生成任意给定数的所有可能的本原三元组和非本原三元组。然后将该技术推广到产生勾股四元组和n元组。我们的方法利用了这样一个事实，即勾股和一个腿的勾股三角形的长度之间的差异只能有某些不同的值，这取决于其他的长度仍然适用于更高的元组。
Constructive representation of primitive Pythagorean triples
本文给出了本原毕达哥拉斯三元组的系统构造。定义了本原毕达哥拉斯三元组集合上的枚举顺序。该顺序是基于原始毕达哥拉斯三元组的表示，通过使用gnomons将生成方的边分成两组因子。本文给出了本原毕达哥拉斯三元组的元素到生成方的边的剖分参数的逆映射，本原毕达哥拉斯三元组表示为两个连通gnomon的和，本原毕达哥拉斯三元组的连通gnomon与相应的等差数列一一对应。还发现了这类等差数列的连通性，即部分重叠性，并给出了从原始毕达哥拉斯三元组到一般毕达哥拉斯三元组的过渡过程中，连通的日心球的运动（构形变化），其所有项都有一个公共系数。
Positive-rank elliptic curves arising pythagorean triples
本文引入了一类新的正秩椭圆曲线，它们都是由勾股三元组组成的.
Groups and monoids of Pythagorean triples connected to conics
我们定义的操作，使所有毕达哥拉斯三元组的结构交换幺半群。特别是，我们定义这些操作，通过使用整数三元组和$3 \times 3$矩阵之间的注入。首先，我们完全描述了这些注射，产生整数三元组的交换幺半群。其次，我们确定了一些保勾股三元组矩阵的勾股三元组交换幺半群。此外，这项研究意外地提供了一个原始的连接与群的二次曲线。使用这种连接，我们确定由毕达哥拉斯三元组与所研究的操作。
Numeric Palindromes in Primitive and Non-primitive Pythagorean Triples
在这篇文章中，我们考虑数字回文作为一个组成部分的勾股。我们首先表明，有无穷多个非原始的勾股三元组，包含（一）一个单一的数字回文作为一个组件，（二）两个数字回文作为一个组件和（三）三个数字回文作为一个组件。然后，我们专注于原始毕达哥拉斯三元组的数字回文。并给出了与该课题相关的公开问题。
A Note on Generating Almost Pythagorean Triples
1987年，Orrin Frink提出了几乎毕达哥拉斯三元组的概念。他将它们定义为满足方程$x^2+y^2=z^2+1$的有序三重$(x,y,z)$，其中$x,y$和$z$是正整数。在他的论文中，他表明，有无限多个几乎毕达哥拉斯三元组给予表征，这表明一种方法对产生所有的。然而，这种方法并没有明确和容易地给出一个特定的几乎勾股三元组。在本说明中，使用基本的代数运算，我们扩展了他的结果，给出了一个特征，明确和容易地给出一个特定的几乎勾股三元组。
On primitive Pythagorean triples of special forms
我们探讨原始毕达哥拉斯三元组的特殊形式$(a,b,b+g)$和$(a,a+f,c)$，与$g,f\in\mathbb{Z}^+$。对于每个$g$和$f$，我们提供了一种方法来生成无限多个这样的原始三元组。最后，对于每个$g$，我们描述的渐近密度的原始$(a,b,b+g)$三元组内的所有原始三元组相同的奇偶校验。
The Origin of the Beauregard--Suryanarayan Product on Pythagorean Triples
我们展示了如何乘法结构的毕达哥拉斯三倍定义的Beauregard-Suryanarayan产生自同构的双曲平面，以及如何结构定理，这种产品自然遵循这种连接。我们还展示了如何自然对合勾股三元组与佩尔方程的参数2，并证明了这一现象的推广。
Pythagorean Triples, Bézout Coefficients and the Erdős-Straus Conjeceture
本文是一个初步的简要文件，概述了解决方案之间的关系，Erdens-Straus猜想为一个给定的素数$p$和他们相应的勾股三元组。本文还利用Bézout系数找到了猜想的解与二次多项式的根之间的关系。
On the Generation of Pythagorean Triples and Representation of Integers as a Difference of Two Squares
给出了求由给定数x生成的所有本原三元组和非本原三元组的个数的一般公式。此外，公式找到完整的数量表示的整数作为一个差异的两个平方已获得。
On a Family Of Elliptic Curves With Positive Rank arising from Pythagorean Triples
本文的目的是引入一个新的椭圆曲线族的形式$y^2=x(x-a^2)(x-b^2)$，具有正秩。我们首先生成一个列表的勾股三元组$(a,b,c)$，然后构造这个家庭的椭圆曲线。证明了这个新族具有正秩，并求出了它们的秩的上界。
Perfect cuboid, primitive Pythagorean triples and Eulerian parallelepipeds. Dynamics of construction
一个未解决的数学问题仍然是完美长方体问题。一个完美的长方体是一个长方体，它的边、面对角线和空间对角线都表示为整数。目前还没有发现这样的长方体，也没有证明它的存在。本文给出了不存在完美长方体的一个证明。
On generalised Pythagorean triples over number fields
该研究将广义勾股三元组推广至数域场景，梳理拓展有理数域上的相关结果，实现数域下方程$E_{a,b,c}$的可解性判定、解的参数化与极小解求解，并辅以示例降低理解门槛。
A polynomial analogue of Berggren's theorem on Pythagorean triples
该研究在特征≠2的域上的一元多项式环中建立了Berggren定理的多项式类比，并由此推导出多项式环上毕达哥拉斯二次型对应正交群的若干结构定理。
Frobenius numbers of Pythagorean triples
给定互素整数$a_1, \dotsc, a_n$，Frobenius数$g(a_1, \dotsc, a_n)$定义为不能表示为$x_1 a_1 + \dotsb + x_n a_n$且$x_i$为非负整数的最大整数.本文给出了本原毕达哥拉斯三元组的Frobenius数。即，\[ g(m^2-n^2, 2mn, m^2+n^2) = (m-1)(m^2-n^2) + (m-1)(2mn) - (m^2 + n^2). \]
A basis of the group of primitive almost pythagorean triples
设$m$是一个固定的无平方因子的正整数，则丢番图方程$x^2+m\cdot y^2=z^2$的解的等价类在复乘诱导的运算下形成一个无限生成的阿贝尔群.这个群的一个基在这里用素理想和域$\mathbb Q (\sqrt{-m})$的理想类群构造。
Parametrization of Pythagorean triples by a single triple of polynomials
众所周知，毕达哥拉斯三元组可以由两个整系数整系数多项式参数化。我们表明，没有一个单一的三元组的整数系数整系数多项式在任何数量的变量是足够的，但存在一个参数化的毕达哥拉斯三元组由一个单一的三元组的整数值多项式。
Pythagorean Triples and a New Pythagorean Theorem
给定一个直角三角形和两个内接正方形，我们表明，倒数的平方和双方满足一个有趣的毕达哥拉斯等式。这给出了从给定三角形得到有理（整数）直角三角形的新方法。
A note on Pythagorean Triples
本文通过直角边的基本刻画，建立了毕达哥拉斯三元组之间的关系，特别是与相同直角边升至整数幂时的三元组的关系。
Connections of Class Numbers to the Group Structure of Generalized Pythagorean Triples
两个研究得很好的丢番图方程是毕达哥拉斯三元组和椭圆曲线的方程;对于第一个方程，我们有一个通过单位圆上的有理点的参数化，对于第二个方程，我们有一个有理解群的结构定理。最近Yekutieli讨论了这两个问题之间的联系，并描述了组结构的毕达哥拉斯三元组和数量的三元组为一个给定的pronumuse。我们将这些方法和结果推广到Pell方程。我们发现一个类似的组结构和计数的解决方案，为一个给定的$z$ $x^2 + Dy^2 = z^2$时，$D$是1或2模4和类组的$\mathbb{Q}[\sqrt{-D}]$是一个自由的$\mathbb{Z}_2$模块，这总是发生，如果类数是最多2。我们给出了当结果对于大于2的类数成立时的例子，以及当类组不具有这种结构时具有不同行为的例子。
Pythagorean Partition-Regularity and Ordered Triple Systems with the Sum Property
有没有可能用许多颜色来给自然数上色，这样就没有毕达哥拉斯三元组是单色的？这个问题甚至对两种颜色都是开放的。一个自然的策略是证明一些小的非二部三元系不能被实现为一个毕达哥拉斯三元系族。考虑部分三元系（PTS）就足够了，因此考虑Fano平面，最小的非二部PTS是很自然的。我们表明，毕达哥拉斯三元组不包含任何法诺平面。事实上，我们的主要结果是，一个更大的家庭的“有序”三元系（即那些有一定的“和性质”）不包含任何Steiner三元系（STS）。
Metric properties in Berggren tree of primitive Pythagorean triples
本文研究原始毕达哥拉斯三元组在Berggren树中的度量性质，分别从直角三角形边长和三维空间点坐标两个角度进行分析。
Almost prime Pythagorean triples in thin orbits
对于三元二次型Q（x）= x^2 + y^2 - z^2和Z^3中的非零勾股三元组x_0位于锥Q（x）= 0上，我们考虑临界指数超过1/2的非零生成子群Gamma < SO_Q（Z）的轨道O = x_0 Gamma.我们发现无穷多个毕达哥拉斯三元组在O的长度，面积和产品的边长有几个素因子，其中“少”是明确量化的。我们还计算渐近的这种勾股三元组的范数在最多T，有界常数。
An application of Baker's method to the Jeśmanowicz' conjecture on primitive Pythagorean triples
令$m$、$n$为正整数，使得$m>n$、$\gcd(m,n)=1$和$m \not\equiv n \bmod 2$。1956年，L. Jeanmanowicz \cite{Jes}证明了方程$(m^2 - n^2)^x + (2mn)^y = (m^2+n^2)^z$只有正整数解$(x,y,z) = (2,2,2)$ .这个问题还没有解决。本文结合M.本文用初等方法证明了：若$mn \equiv 2 \bmod 4$和$m > 30.8 n$成立，则Jeanmanowicz猜想成立.
Pythagorean Triples, Complex Numbers, Abelian Groups and Prime Numbers
众所周知，勾股三元组可以用具有有理坐标的单位圆上的点来表示。这些点形成一个阿贝尔群，我们描述它的结构。这种结构的描述产量，几乎立即，枚举规范化的勾股三元组与给定的cross-use，也到一个有效的方法，生产所有这样的三元组。这种有效的方法似乎是新的。这篇论文是为一般数学观众，包括本科数学学生，因此它包含了大量的背景材料，一些历史和几个例子和练习。
A new proof of two-color partition regularity of Pythagorean triples
本文给出一个由ChatGPT Astra发现的新证明，说明自然数两色染色时必存在单色毕达哥拉斯三元组。
A Note on Je{ś}manowicz' Conjecture for Non-primitive Pythagorean Triples
设$(a, b, c)$是参数化为$a=u^2-v^2,\ b=2uv,\ c=u^2+v^2$的本原勾股三元组，其中$u>v>0$互质且不具有相同的奇偶性。1956年，L.本文证明了对任意正整数$n$，丢番图方程$(an)^x+(bn)^y=(cn)^z$只有正整数解$(x,y,z)=(2,2,2)$ .在这方面，我们称之为正整数解$(x,y,z)\ne (2,2,2)$与$n>1$例外。1999年，M. H. Le给出了例外解存在的必要条件，H.杨和R.- Q. Fu.本文给出了乐杨甫定理的一个统一的简单证明。其次，我们给出了当$v=2,\ u$是奇素数时例外解存在的必要条件。作为应用，我们证明了Je{\displaystyle Je}Manowicz猜想对所有素数$u < 100$都成立.
Spherical tetrahedra with rational volume, and spherical Pythagorean triples
研究了具有有理二面角和有理体积的球面四面体。这种四面体出现在奇格和西蒙斯的有理单纯形猜想中，我们提供了大量的通过计算发现的正面例子来证实这一猜想。作为一个副产品，我们还获得了分类的所有球形毕达哥拉斯三元组，以前发现史密斯。
A Combinatorial Proof for Partitions of Pythagorean Triples Into Three Parts
研究勾股三元组分成三部分的关系，通过组合方法给出了\(p(a,3)+p(b,3)=p(c,3)\)这一关系的首个组合证明。
Are monochromatic Pythagorean triples unavoidable under morphic colorings ?
毕达哥拉斯三元组是正整数a，b，c $\in$ N ${}^{+}$的三元组，满足a ${}^2$ + b ${}^2$ = c ${}^2$。对于N ${}^{+}$的任何有限着色，是否至少有一个毕达哥拉斯三元组是单色的？换句话说，迪奥-番汀方程X ${}^2$ + Y ${}^2$ = Z ${}^2$是正则的吗？这个问题，最近通过大量的SAT计算解决了2-着色[Heule等人，2016年]，仍然广泛开放的k着色与k $\ge$ 3。本文引入了N ~+的态射染色，它是具有部分乘法性质的有限群中的一种特殊染色。我们发现，对于许多形态着色2和3的颜色，单色毕达哥拉斯三元组是不可避免的，在相当小的整数间隔。
Geometric and algebraic interpretation of primitive Pythagorean triples parameters
本文从求原始毕达哥拉斯三元组的公式中找到了参数m和n的几何和代数解释，原始毕达哥拉斯三元组是方程${x^2+y^2=z^2}$的解，即：${x=m^2-n^2}$，${y=2mn}$，${z=m^2+n^2}$。这项研究是基于使用日晷构建数字的过程。本文论述了广场的营造过程。在原来的正方形上加上日晷U会产生一个更大的正方形：${x^2+U=z^2}$。调查的第一阶段是建造圭表U，它等于一个正方形${y^2}$的面积。该构造基于边长等于偶数的生成正方形。生成正方形的面积表示为两个相等矩形的面积之和。同时，使用生成方，也构造了圭表U和所有正方形的边：x，y，z。第二阶段的调查是获得一个公式的参数m和n通过分区元素t和l的边的生成广场。
Coloring so that no Pythagorean Triple is Monochromatic
我们解决了勾股方程a^2+b^2=c^2的“分割正则性”问题;特别是，自然数是否可以被赋予2-着色，使得没有勾股三元组（即，方程的解）是单色的？我们证明了勾股三元组超图不可能包含Steiner三元系，这是2-可染性的一个自然障碍。然后，在将问题转化为关于3-CNF可满足性的问题并应用一些约简之后，使用SAT求解器来找到{1，...，7664}。工作继续，因为我们寻求改善的减少和扩展的计算。
Non-Euclidean Pythagorean triples, a problem of Euler, and rational points on K3 surfaces
我们发现了三个看似不同的问题之间令人惊讶的联系：在非欧几里德几何中找到有理边的直角三角形，找到三个整数，使得任何两个的平方差是平方，以及在代数几何中找到代数曲面上的有理点。我们还将重新解释欧拉的工作，第二个问题与现代的观点。
The Group of Primitive Almost Pythagorean Triples
我们考虑整数的三元组是方程$x^2+qy^2=z^2$的解，其中$q$是固定的、无平方的任意正整数。在复乘的运算下，这些三元组的等价类的集合形成一个阿贝尔群。我们研究了这个群的代数结构，并给出了当$q\in\{2,3,5,6\}$。
Recurrence for pretentious systems along generalized Pythagorean triples
针对沿广义勾股数（方程$ax^2 + b y^2 = c z^2$的解）的矫饰保测乘法作用建立多重递归结果，证实广义勾股分划正则性猜想的遍历理论形式，推论得相关有限着色自然数集含单色广义勾股数。
On the Burgess bound and Pythagorean triples involving primitive roots
该研究结合Pierce和Xu的高维Burgess界与经典一维Burgess界，证明对任意足够大素数p，存在满足特定条件的毕达哥拉斯三元组，证实了孙智伟关于原根的相关猜想。
Clifford Algebras and Euclid's Parameterization of Pythagorean Triples
我们表明，空间的欧几里得参数勾股是一个自然的辛结构，它出现作为一个旋量空间的Clifford代数$\mathbb{R}_{2,1}$，其最小版本可以被概念化为一个4维实代数的“kwaternions。“我们观察到，这使得欧几里得的参数化成为旋量概念的最早出现。我们提出了一个类似的“魔术对应”的旋量表示的闵可夫斯基空间，并显示如何霍尔矩阵适合该计划。后者获得一个有趣的，也许是意想不到的几何意义作为某些对称性的阿波罗垫圈。一个扩展到更多的变量提出和明确的公式生成所有的勾股四倍，六倍，和十倍。
The dynamics of Pythagorean triples
我们在单位圆的正象限上构造了一个分段的3：1动力系统，使得对于有理点（对应于规范化的原始勾股三元组），相关的三元展开式是有限的，并且等于PPT在Barning的PPT三元树上的地址，而无理点具有无限的展开式.该动力系统与一个修正的欧几里德算法共轭。确定了系统的不变测度，证明了系统是保守的、遍历的.基于Aaronson和Denker的一个结果，我们还证明了动力系统可以通过具有两个生成元的模群的自由子群$Γ(2)$作为双曲平面的商空间上测地流的横截面的因子映射得到.
Almost Primes in Thin Orbits of Pythagorean Triangles
设$F=x^2+y^2-z^2$、具有$F(x_0)=0$的$x_0 \in \mathbb{Z}^3$原语和$Γ\leq SO_F(\mathbb{Z})$是一个随机生成的瘦子群。我们认为，由此产生的薄轨道的毕达哥拉斯三元组$x_0 \cdot Γ$ -特别是其中的所有三个坐标的出现，面积和产品。我们产生无限多个$R$ -几乎素数在这三种情况下，只要$Γ$有指数$δ_Γ>δ_0(R)$的显式$R$，$δ_0$。
Mordell-Weil ranks of families of elliptic curves associated to Pythagorean triples
研究了由勾股三元组$(a,b,c)$参数化的椭圆曲线族$y^2=x(x-a^2)(x-b^2)$.证明了对于一般三元组，$\mathbb{Q}$上的Mordell-Weil群的秩的下界为1，对于某些显式给定的无限族，秩为2.对每个家庭，我们附加一个椭圆表面纤维的投影线。我们表明，下界的秩是最佳的，在这个意义上说，这样的椭圆形表面的每一个通用的纤维，其相应的Mordell-Weil组的功能领域$\mathbb{Q}(t)$有秩1或2，分别。为了证明这一点，我们计算的特征多项式的弗罗贝尼乌斯自同构作用于第二个$\ell$ -进上同调群附加到椭圆形表面的Kodaira尺寸0和1。
Heron's Formula, Descartes Circles, and Pythagorean Triangles
这篇文章强调了不同领域的相互作用：三角形面积的赫伦公式，笛卡尔圆方程和具有整数或有理边的直角三角形。新的和旧的结果进行了综合。我们发现，每一个原始的毕达哥拉斯三元组（PPT），crosseshes笛卡尔四元组的切线圆积分曲率，并产生一个完整的阿波罗包装（IAP）包含一个矩形的中心。因此，毕达哥拉斯三元组用于生成大量的不等价的整数填充。
Pythagorean triples in level sets of completely multiplicative functions
研究给定取值于单位圆的完全积性函数\(f_1,\dots,f_d\)，证明存在勾股数\((x,y,z)\)使\(f_i(x),f_i(y),f_i(z)\)对所有\(i\)都任意接近\(1\)，结合非周期函数消失平均与pretentious函数集中估计来证明。
A problem in Pythagorean Arithmetic
第56届国际数学奥林匹克竞赛（2015年）的第2题要求所有正整数的三元组（a，b，c），其中ab-c，bc-a和ca-b都是2的幂。我们表明，这个问题只需要一个原始形式的算术，回到毕达哥拉斯，这是算术的偶数和奇数。
Billiards on pythagorean triples and their Minkowski functions
人们早就知道，原始毕达哥拉斯三元组的集合可以通过某些三元树的下降来枚举。我们统一这些治疗考虑双曲台球桌的庞加莱磁盘模型。我们的表有m>=3个理想顶点，并且受到这样的限制，即表壁中的反射是由三角形群PSU^ \pm_{1,1} \Zbb [i]中的矩阵引起的。由此得到的台球映射\tilde B作用在de Sitter空间x_1 ^2 + x_2 ^2-x_3 ^2 =1上，并且在单位圆上有一个自然因子B，勾股三元组作为不动点的B-原像出现。我们计算了这些映射的不变密度，并证明了拉格朗日定理和伽罗瓦定理：当一个单位模的复数在Q（i）上是二次的（并且通过台球墙与其共轭隔离）时，它精确地具有预周期（纯周期）B轨道。如上所述的每个B是圆的（m-1）对1方向反转的覆叠映射，这是群字符T（z）=z^{-（m-1）}共享的性质。我们证明了存在一个同胚Phi，唯一的直到后复合的元素在一个二面体群，共轭B与T;特别是Phi -其原型是经典的闵可夫斯基问号函数-建立一个双射之间的一组点的程度<=2在Q（i）和扭转子群的圆。我们提供了一个明确的公式Φ，并证明了Φ是奇异的和霍尔德连续的指数log（m-1）除以最大周期平均自由程在相关的台球桌。
Matrices with integer eigenvalues for all permutations of coefficients (thanks to Pythagoras!)
利用毕达哥拉斯三元组生成具有整数特征值的所有系数排列的矩阵，通过简单公式实现
Frobenius Numbers Associated with Primitive Pythagorean Quadruples
本文针对原始毕达哥拉斯四元组生成的数值半群，在特定条件下给出了 Frobenius 数的显式公式，证明基于完全剩余系、规范化与提升-轨道方法。
Class Numbers and Pell's Equation $x^2 + 105y^2 = z^2$
两个研究得很好的丢番图方程是勾股三元组和椭圆曲线的丢番图方程，对于第一个，我们有一个参数化通过单位圆上的有理点，第二个，我们有一个结构定理的合理的解决方案组。最近，Yekutieli讨论了这两个问题之间的联系，并描述了毕达哥拉斯三元组的群结构和一个给定的三元组的数量。在arXiv：2112.03663中，我们将这些方法和结果推广到Pell方程。我们发现一个类似的组结构和计数的解决方案的数量为一个给定的$z$ $x^2 + Dy^2 = z^2$时，$D$是1或2模4和类组的$\mathbb{Q}[\sqrt{-D}]$是一个自由的$\mathbb{Z}_2$模块，这总是发生，如果类数是最多2。本文在$D=105$的情况下，用一些具体的例子讨论arXiv：2112.03663的主要结果.
Proofs of two conjectures on congruences of overcubic partition triples
本文证明了 Saikia 和 Sarma 提出的关于超立方划分三元组数模 64 和 128 的无限族同余式的两个猜想。
Arithmetic properties modulo powers of $2$ for overpartition $k$-tuples with odd parts
本文扩展了Drema和Saikia的研究，证明了具有奇数部分的overpartition $k$-元组的模 $2$ 幂同余式，并给出了三元组及特定 $k$-元组的无限同余族。
On $\ell-$regular and $2-$color partition triples modulo powers of $3$
本文针对ℓ≥1且满足特定模3幂条件的ℓ，证明了ℓ-正则分拆三元组计数$T_\u2113(n)$和特定2-色分拆三元组计数$p_{\u2113,3}(n)$模3的幂的若干无限族同余式。
On the q-binomial identities involving the Legendre symbol modulo 3
我使用多项式模拟的Jacobi三重产品的身份与爱森斯坦公式的勒让德符号模3。证明了涉及$q$ -二项式系数的六个恒等式。这些身份，然后扩展到新的无限层次的q-系列身份的特殊情况下贝利引理。拉马努金、斯莱特、麦克劳克林和西尔斯的一些恒等式就是这样得到的。
Exact Frequencies of Consecutive Quadratic Residue and Nonresidue Patterns Modulo a Prime
研究模奇素数\(p\)时长度为二和三的连续二次剩余与非剩余模式的精确频率，利用有限域特征和基本性质推导计数公式，对的频率由\(p \pmod 4\)分类，三元组频率依赖\(p \pmod 8\)及雅可比和\(T_p\)。
A Note on Terai's Conjecture Concerning the Exponential Diophantine Equation x^{2}+b^{y}=c^{z}
设（a，b，c）是一个本原毕达哥拉斯三元组，即，a^{2}+b^{2}=c^{2}，其中gcd（a，b，c）=1，a为偶数，b为奇数。Terai猜想指出，丢番图方程x^{2}+b^{y}=c^{z}只有正整数解（x，y，z）=（a，2，2）.在这项研究中，我们证明了寺井猜想是正确的，当b是两个素数的产品和c=5（mod 8）。
Arithmetic Properties modulo powers of $2$ and $3$ for Overpartition $k$-Tuples with Odd Parts
本文研究超分区k元组奇数部分的模2和3的幂的除性质，使用初等方法和模形式性质，证明了多个模3的倍数和无限多个模3的幂的同余式，并验证了Saikia等人猜想的部分情况。
$q$-Supercongruences for multidimensional series modulo the sixth power of a cyclotomic polynomial
本文结合 El Bachraoui 引理、创造性微缩法及互素多项式中国剩余定理，证明模分圆多项式六次幂的二重与三重级数 $q$-超同余式，并导出对应 Van Hamme (D.2) 的超同余式。
Triple sums of Kloosterman sums and the discrepancy of modular inverses
研究大区间内模正整数$c$的模逆分布，给出其盒、球及各向同性偏差的上下界以展示与随机点集的偏离，分析基于克洛斯特曼和三重和的新界。
Jeśmanowicz' conjecture and Fermat numbers
令$a,b,c$是互质的正整数，使得$a^{2}+b^{2}=c^{2}.$在1956年，Jeanmanowicz证明了对于任何正整数$n$，$(an)^{x}+(bn)^{y}=(cn)^{z}$在正整数中的唯一解是$(x,y,z)=(2,2,2)$。设$k\geq 1$是一个整数，$F_k=2^{2^k}+1$是一个费马数。本文证明了Jeanmanowicz猜想对勾股三元组$(a,b,c)=(F_k-2,2^{2^{k-1}+1},F_k)$成立。
On the Curved Patterns Seen in the Graph of PPTs
通过分析PPT图中的曲线模式，发现其为抛物线，揭示了毕达哥拉斯三元组数学结构的自然规律。
Diophantine equation related to angle bisectors and solutions of Pell's equations
本文将寻找斜率均为有理数的两直线及其角平分线的问题转化为丢番图方程，并利用负佩尔方程的解给出了全部非平凡整数解，同时借助等直角边毕达哥拉斯三元组给出了有理数解公式。
Triple divisor type functions in arithmetic progressions to prime power moduli
本文研究非尖点GL_3自守形式Hecke特征值在素数幂模算术级数中的等分布，利用Kowalski-Lin-Michel和Milićević技术证明指数1/2+7/458-ε可取。
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