与原始毕达哥拉斯四元组相关的 Frobenius 数
Frobenius Numbers Associated with Primitive Pythagorean Quadruples
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本文针对原始毕达哥拉斯四元组生成的数值半群，在特定条件下给出了 Frobenius 数的显式公式，证明基于完全剩余系、规范化与提升-轨道方法。
中文摘要 AI 辅助
设 $(a,b,c,d) = \left(2mn, 2mp, m^2 - n^2 - p^2, m^2 + n^2 + p^2\right)$ 为一个原始毕达哥拉斯四元组，并设 $S=\langle a, b, c, d\rangle$ 为由 $a,b,c,d$ 生成的数值半群。为方便起见，我们还令 $Q = n^2 + p^2, \delta = \gcd(n,p)$，且 $n = \delta n_0$ 其中 $n_0 \in \mathbb{Z}$。在本文中，我们确定 $S$ 的 Frobenius 数，并在假设 $m\geq 2Q$（当 $\delta = 1$ 时）以及 $m \geq \frac{2Q}{\delta} - 1$（其余情形）的条件下，推导出用 $m$、$n$ 和 $p$ 表示的显式公式。证明基于模 $2mn$ 的显式完全剩余系、任意半群元素的规范化过程，以及边界代表元的提升-轨道描述。
英文摘要
Let $(a,b,c,d) = \left(2mn, 2mp, m^2 - n^2 - p^2, m^2 + n^2 + p^2\right)$ be a primitive Pythagorean quadruple and let $S=\langle a, b, c, d\rangle$ be the numerical semigroup generated by $a,b,c,$ and $d.$ For convenience, we also let $Q = n^2 + p^2, δ= \gcd(n,p),$ and $n = δn_0$ for some $n_0 \in \mathbb{Z}$. In this paper, we determine the Frobenius number of $S$ and derive an explicit formula in terms of $m$, $n$, and $p$ with the assumption that $m\geq 2Q$ for $δ= 1$ and $m \geq \frac{2Q}δ - 1$ for the remaining cases. The proof is based on an explicit complete residue system modulo $2mn$, a normalization procedure for arbitrary semigroup elements, and a lift-orbit description of boundary representatives.
发表机构
- Jeonbuk National University（全北国立大学）
- Jeju National University（济州国立大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
