Distribution of squares modulo a composite number
Farzad Aryan
本文研究了无平方数$q$的平方分布。我们还期待在分布方面的大筛子的逆问题，我们对现有的结果的分布$s$ -元组的减少剩余的改进。
In this paper we study the distribution of squares modulo a square-free number $q$. We also look at inverse questions for the large sieve in the distribution aspect and we make improvements on existing results on the distribution of $s$-tuples of reduced residues.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Let $b_k(n)$ denote the $k-$regular partitons of a natural number $n$. In this paper, we study the behavior of $b_k(n)$ modulo composite integers $M$ which are coprime to $6$. Specially, we prove that for arbitrary $k-$regular partiton function $b_k(n)$ and integer $M$ coprime to $6$, there are infinitely many Ramanujan-type congruences of $b_k(n)$ modulo $M$.
On the least square-free primitive root modulo $p$
令$g^{\square}(p)$表示模$p$的最小无平方原根。我们证明了对于所有的$p$，都有$g^{\square}(p)< p^{0.96}$。
Artin's Conjecture on Primitive Roots states that a non-square nonunit integer $a$ is a primitive root modulo $p$ for the positive proportion of $p$. This conjecture remains open, but on average, there are many results due to P. J. Stephens. There is a natural generalization of the conjecture for composite moduli. We can consider $a$ as the primitive root modulo, $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{*}$ if $a$ is an element of the maximal exponent in the group. The behavior is more complex for composite moduli, and the corresponding average results are provided by S. Li and C. Pomerance, and recently by…
Squares and Cubes Modulo n
本文研究了Z_n和Z_n^* 中的平均平方数（或二次剩余）的渐近性。对立方、0和1的平方根以及0和1的立方根进行类似的分析。
A note on the order of the Tate--Shafarevich group modulo squares
本文研究了阿贝尔簇的Tate--Shafarevich群模有理平方的阶，证明了每个无平方因子的自然数均可作为某个阿贝尔簇Tate--Shafarevich群的非无平方因子部分出现，从而验证了W. Stein的猜想。
Two $q$-supercongruences of truncated basic hypergeometric series containing two free parameters are established by employing specific identities for basic hypergeometric series. The results partly extend two $q$-supercongruences that were earlier conjectured by the same authors and involve $q$-supercongruences modulo the square and the cube of a cyclotomic polynomial. One of the newly proved $q$-supercongruences is even conjectured to hold modulo the fourth power of a cyclotomic polynomial.
Formulas For The Square Root Modulo p
该研究针对形如p=2^k n+1（n为奇数）的素数，提出构造模p平方根函数在有限域F_p上多项式表示的方法，并给出k为2、3、4时的具体公式。
Square-free orders for CM elliptic curves modulo $p$ in short intervals
本文研究有理数域上CM椭圆曲线模素数的无平方因子阶计数问题，改进了已有渐近公式，得到无条件短区间渐近结果，且适用区间比广义黎曼假设下的更短，同时优化了CM椭圆曲线循环性问题的短区间变体结论。
We obtain new lower bounds on the number of smooth squarefree integers up to $x$ in residue classes modulo a prime $p$, relatively large compared to $x$, which in some ranges of $p$ and $x$ improve that of A. Balog and C. Pomerance (1992). We also estimate the smallest squarefull number in almost all residue classes modulo a prime $p$.
The Rudin-Shapiro sequence and similar sequences are normal along squares
证明了模$m$的数字序列是正规的，它涵盖了一些重要的序列，如模$m$的基$q$中的数字和，Rudin-Shapiro序列以及一些推广.对于任何基数，这给出了一类可以有效生成的显式正规数。
Using Watson's terminating $_8ϕ_7$ transformation formula, we prove a family of $q$-congruences modulo the square of a cyclotomic polynomial, which were originally conjectured by the author and Zudilin [J. Math. Anal. Appl. 475 (2019), 1636--646]. As an application, we deduce two supercongruences modulo $p^4$ ($p$ is an odd prime) and their $q$-analogues. This also partially confirms a special case of Swisher's (H.3) conjecture.
The group of singular elements was first introduced by Helmut Hasse and later it has been studied by numerous authors including such well known mathematicians as: Cassels, Furtwängler, Hecke, Knebusch, Takagi and of course Hasse himself; to name just a few. The aim of the present paper is to present algorithms that explicitly construct groups of singular and $S$-singular elements (modulo squares) in a global function field.
Let $f(x)$ be a nonconstant polynomial with integer coefficients and nonzero discriminant. We study the distribution modulo primes of the set of squarefree integers $d$ such that the curve $dy^2=f(x)$ has a nontrivial rational or integral point.
The Least Square-free Primitive Root Modulo a Prime
$ $本文的目的是降低无平方原根模素数的上界。令$g^{\Box}(p)$是模$p$的最小无平方原根。我们证明了以下两个定理。定理0.1. $$g^{\Box}(p) < p^{0.88}\quad\text{for all primes }p.$$定理0.2. $$g^{\Box}(p) < p^{0.63093}\quad\text{for all primes } p < 2.5\times10^{15} \text{ and }p > 9.63\times10^{65}.$$定理0.1显示了最佳已知界的改进，而定理0.2显示了我们可以证明哪些素数的理论下界。在第1章的一些介绍性信息之后，我们将在第2章开始证明上述定理。我们将在§2.1中引入素数的原根的指示函数，并结合§1.2.1、§1.2.3和§1.2.4中的结果，概述证明上述形式的一般定理的第一步。接下来的两个证明阶段将在第3章中概述。这两个阶段需要引入主筛。在§3.2中定义筛子之前，我们将介绍$e-$自由整数，它在定义筛子中起着重要作用。在§3.2中，我们将得到不需要计算的结果，包括定理0.2。然后在§3.3中引入一个算法，这是证明的最后阶段。在这里，我们将完成定理0.1的证明。
Mean values of the product of an integer and its modular inverse
本文将 Chan (2016) 关于素数模下整数与其乘法逆元乘积均值的最新结果，推广至复合数模的情形。
On the Birch-Swinnerton-Dyer quotients modulo squares
设A是数域K上的阿贝尔簇. K的扩张K_i的L-函数L（A/K_i，s）之间的恒等式导出了Birch-Swinnerton-Dyer恒等式之间的关系。我们证明了这些关系的模有限性的沙，并给出了类似的声明Selmer群。在此基础上，我们发展了一种方法，用于确定A在K的扩张上的秩的各种组合的奇偶性。作为应用之一，我们在假设Sha[6^ \infty ]有限性和对素数大于2和3的约化的一些限制条件下，建立了椭圆曲线的奇偶猜想：E/K的Mordell-Weil秩的奇偶性与解析秩的奇偶性一致，由根数决定.证明了Q上所有椭圆曲线和素数p的p-奇偶猜想：p^ \infty -Selmer秩的奇偶性与解析秩一致.
On Waring's problem: two squares and three biquadrates
本文研究了两个平方和三个双二次平方的混合幂和。特别地，在广义黎曼假设和Elliott-Halbernut猜想成立的前提下，我们证明了所有大自然数n（其中8不整除n，n不全等于2模3，n不全等于14模16）都是2平方和3双平方的和.
On Deterministically Finding an Element of High Order Modulo a Composite
提出一种确定性算法，在 $D \ge N^{1/6}$ 下以 $D^{1/2+o(1)}$ 时间找到模 $N$ 的高阶元素或非平凡因子，改进了 Hittmeir 的先前工作并支持更弱的假设条件。
We prove that if $\varepsilon(m)\to 0$ arbitrarily slowly, then for almost all $m$ and any $A\subset\mathbb{Z}_m$ such that $A-A$ does not contain non-zero quadratic residues we have $|A|\leq m^{1/2-\varepsilon(m)}.$
We give some new $q$-supercongruences on truncated forms of squares of basic hypergeometric series. Most of them are modulo the cube of a cyclotomic polynomial, and two of them are modulo the fourth power of a cyclotomic polynomial. The main ingredients of our proofs are the creative microscoping method, a lemma of El Bachraoui, and the Chinese remainder theorem for coprime polynomials. We also propose several related conjectures for further study.
Noether's forms for the study of non-composite rational functions and their spectrum
本文利用Ruppert给出的有效Noether不可约性定理，研究了多元有理函数的谱与可分解性。利用这种方法，得到了一些新的有效结果。特别是，我们表明，减少模p的频谱的一个给定的整数多元有理函数r与频谱的减少r模p p的p一个素数大于或等于一个明确的界限。该界是根据r的度、高度和变量数给出的。用同样的策略，我们还研究了r模p的可分解性。对于系数在多项式环中的多项式，我们也得到了类似的结果。
Counting invertible sums of squares modulo $n$ and a new generalization of Euler totient function
本文引入并研究了推广欧拉函数的一类算术函数族$Φ_k$。这些函数由方程$\gcd(x_1^2+\ldots +x_k^2, n)=1$与$x_1,\ldots,x_k \in {\mathbb{Z}}/n{\mathbb{Z}}$的解的数目给出，对于$k=2,4$和$8$，这些解分别与${\mathbb{Z}}/n{\mathbb{Z}}$上的高斯整数、四元数和八元数的环中的单位数一致。证明了$Φ_k$对每个$k$都是乘性的，利用$n$的素幂分解得到了$Φ_k(n)$的一个显式表达式，并导出了$\sum_{n\le x} Φ_k(n)$的一个渐近公式.作为一种工具，我们调查的乘法算术函数，计数的解决方案的数量$x_1^2+\ldots +x_k^2\equiv λ$（模$n$）$λ$互质$n$，从而扩展了旧的结果，只处理与总理$n$的情况。
On the addition of squares of units modulo n
令$\mathbb{Z}_n$是模$n$的剩余类的环，并且令$\mathbb{Z}_n^{\ast}$是其单位的群。90年前，Brauer得到了$c\in \mathbb{Z}_n$的表示数为$k$单位之和的公式。最近，杨和唐在[Q。杨，M.唐，关于模$n$的单位平方和非单位平方的加法，数论，155（2015）1- 12]给出了方程$x_1^2+x_2^2=c$与$x_{1},x_{2}\in \mathbb{Z}_n^{\ast}$的解的数目的公式。在本文中，我们推广了这个结果。我们找到了方程$x^2_{1}+\cdots+x^2_{k}=c$与$x_{1},\ldots,x_{k}\in \mathbb{Z}_n^{\ast}$的解的个数的一个显式公式。
Searching for Patterns among Squares Modulo p
虽然整数的平方是确定性的，但素数的平方模$p$似乎是随机的。首先，因为它们都是由乘法线性同余方程$x_{i+1} = g^2 x_i \mod p$生成的，其中$x_0 = 1$和$g$是$p$的任何原根，所以伪随机数启发式表明它们实际上是不可预测的。此外，一种类型的密码术利用离散算法，这取决于给定$a$和$g$的情况下求解$n$的$a = g^n$的难度。这表明，正方形（恰好是$g$的偶数次幂）很难识别。另一方面，勒让德符号$(a/p)$，如果a是模$p$的平方，则等于$1$，否则等于$-1$，已经证明了模式。例如，$(ab/p) = (a/p)(b/p)$成立，这表明平方模$p$有某种结构。本文考虑序列$(1/p), (2/p), ..., ((p-1)/p)$的随机性。因为它由二进制数据组成，所以应用游程检验，这表明游程数正好是（p-1）/2。这原来是一个定理证明的Aladov在1896年，这是不广为人知。因此，这是一个数论事实的例子，它在统计环境中自然地被揭示出来，但很少被数学家注意到。
Poisson statistics via the Chinese remainder theorem
我们考虑Z/qZ的子集中相邻元素之间的间距分布，其中q是高度合成的，并且子集是通过孙子剩余定理定义的。给出了当q的素因子个数趋于无穷大时，空间分布为Poisson分布的充分判据，并作为应用证明了模q的一般多项式的值集具有Poisson空间.本文还研究了由Z/q_1Z和Z/q_2Z（q_1，q_2互质）的子集通过孙子剩余定理生成的Z/q_1q_2Z的子集的间距，并给出了模q_1q_2的间距为Poisson的判据。给出了模q_1和模q_2的间距都是Poisson，但模q_1q_2的间距不是Poisson的例子。
Distribution modulo one and denominators of the Bernoulli polynomials
令$\{\cdot\}$表示小数部分，并且$n \geq 1$是固定整数。在这篇短文中，我们证明了对于任何素数$p$，一对一的对应关系$$\sum_{ν\geq 1} \left\{\frac{n}{p^ν}\right\} > 1 \quad \iff \quad p \mid \mathrm{denom}( B_n(x) - B_n ),$$，其中$B_n(x) - B_n$是$n$次伯努利多项式，没有常数项，$\mathrm{denom}(\cdot)$是它的分母，它是无平方的。
Uniform distribution of $αn$ modulo one for a family of integer sequences
本文证明了对于素数、殆素数、无平方因子数等特定整数序列族，序列 $(αn)$ 在任意无理数 $α$ 下模 1 均匀分布，并在 $α$ 具有有限无理性测度时给出了偏差估计。
We consider the distribution in residue classes modulo primes $p$ of Euler's totient function $ϕ(n)$ and the sum-of-proper-divisors function $s(n):=σ(n)-n$. We prove that the values $ϕ(n)$, for $n\le x$, that are coprime to $p$ are asymptotically uniformly distributed among the $p-1$ coprime residue classes modulo $p$, uniformly for $5 \le p \le (\log{x})^A$ (with $A$ fixed but arbitrary). We also show that the values of $s(n)$, for $n$ composite, are uniformly distributed among all $p$ residue classes modulo every $p\le (\log{x})^A$. These appear to be the first results of their kind where th…
Square-free discriminants of Frobenius rings
设$E$是$\Q$上的椭圆曲线。众所周知，$E_p$的自同态环，$E$模普通约化的素数$p$的约化，是由Frobenius元素$π_p$生成的二次虚域$Q(π_p)$的阶。当曲线有复数乘法（CM）时，这总是一个固定的字段，因为素数变化。然而，当曲线没有CM时，我们所知甚少，不仅关于阶，而且关于可能出现为改变素数的自同态代数的域。自同态环与Frobenius元的特征多项式的判别式$a_p^2-4p$的运算密切相关。在本文中，我们感兴趣的功能$π_{E,r,h}(x)$计数的素数$p$的数量$x$，使$a_p^2-4p$是无平方和在同余类$r$模$h$。本文给出了在有理数上定义的椭圆曲线上求平均时$π_{E,r,h}(x)$的精确渐近性，并讨论了这个结果与Lang-Trotter猜想以及与曲线模$p$有关的其它问题的关系.
On the Birch and Swinnerton-Dyer formula modulo squares for certain quadratic twists of elliptic curves
本文研究椭圆曲线二次扭曲下Birch和Swinnerton-Dyer公式模平方的有效性，通过局部Tamagawa数的分类结果，证明了满足修正Heegner假设的二次扭曲下该公式模平方的等价性，并得到半稳定椭圆曲线的相关推论。
For any $\varepsilon >0$, we obtain an asymptotic formula for the number of solutions $n \le x$ to $$ \lVert αn + β\rVert < x^{-\frac{1}{4}+\varepsilon} $$ where $n$ is $[y,z]$-smooth for infinitely many real number $x$. In addition, we also establish an asymptotic formula with an additional square-free condition on $n$. Moreover, if $α$ is quadratic irrational then the asymptotic formulas holds for all sufficiently large $x$. Our ingredients come from the Harman sieve which we adapt suitably to sieve for $[y,z]$-smooth numbers. The arithmetic information comes from estimates for exponential s…
Distribution of sums of square roots modulo $1$
本文改进Steinerberger（2024）的结果，证明模1下k个平方根之和可达到O(n^{-k/2})的分布精度，并给出逼近任意实数时的指数下界，且方法避免使用指数和。
We give elementary proofs for the Apagodu-Zeilberger-Stanton-Amdeberhan-Tauraso congruences $$\sum\limits_{n=0}^{p-1}\dbinom{2n}{n} \equivη_{p}\mod p^{2},$$ $$\sum\limits_{n=0}^{rp-1}\dbinom{2n}{n} \equivη_{p}\sum\limits_{n=0}^{r-1}\dbinom {2n}{n}\mod p^{2}$$ and $$\sum\limits_{n=0}^{rp-1}\sum\limits_{m=0}^{sp-1}\dbinom{n+m}{m}^{2} \equivη_{p} \sum\limits_{m=0}^{r-1}\sum\limits_{n=0}^{s-1}\dbinom{n+m}{m}^2\mod p^2,$$ where $p$ is an odd prime, $r$ and $s$ are nonnegative integers, and $η_{p}= \begin{cases} 0, &\text{if }p\equiv0\mod 3;\\ 1, & \text{if }p\equiv1\mod 3;\\ -1, &\text{if }p\equiv2…
Congruent Numbers and Heegner Points
穆罕默德本Alhocain，在阿拉伯手稿的第十世纪，指出，主要对象的理论合理的直角三角形是找到一个广场时，增加或减少了一定数量$m$成为一个广场（见迪克森）。在现代语言中，这个目标是在椭圆曲线$my^2=x^3-x$上找到无限阶的有理点。Heegner建造（也见Monsky）这种有理点的情况下，$m$是素数全等5，7模8或两次素数全等6模8。本文将Heegner的结果推广到具有多个素除子的整数$m$.
Factorial residues modulo a prime: beyond the square-root bound
本研究针对素数模阶乘剩余集的大小下界问题，利用有限域阶乘恒等式、分式线性映射交点性质与Stevens-de Zeeuw点线相交定理，将下界从平方根级改进至\\(p^{8/15}\\)量级。
E. Artin conjectured that any integer $a >1$ which is not a perfect square is a primitive root modulo $p$ for infinitely many primes $p.$ Let $f_a(p)$ be the multiplicative order of the non-square integer $a$ modulo the prime $p.$ M. R. Murty and S. Srinivasan [10] showed that if $\sum_{p<x} \frac 1 {f_a(p)}= O(x^{1/4})$ then Artin's conjecture is true for $a.$ We relate the Murty-Srinivasan condition to sums involving the cyclotomic periods from the subfields of $\mathbb Q(e^{2πi/p})$ corresponding to the subgroups $<a> \subseteq \mathbb F*_p.$
Building upon the work of A. Booker and C. Pomerance (2017), we prove that for a prime power $q \geq 7$, every residue class modulo an irreducible polynomial $F \in \mathbb{F}_q[X]$ has a non-constant, square-free representative which has no irreducible factors of degree exceeding $\text{deg}~F -1$. We also give applications to generating sequences of irreducible polynomials.
On two conjectures concerning squarefree numbers in arithmetic progressions
我们证明了误差项的平方自由数的分布的上限$X$在等差数列模$q$取得进展，对两个著名的apturtures关于这个分布和改进早期的结果Hooley。我们利用最近的估计短指数和Bourgain-Garaev和指数总和扭曲的默比乌斯函数Bourgain和Fouvry-Kowalski-Michel。
Uniformly for small $q$ and $(a,q)=1$, we obtain an estimate for the weighted number of ways a sufficiently large integer can be represented as the sum of a prime congruent to $a$ modulo $q$ and a square-free integer. Our method is based on the notion of local model developed by Ramaré and may be viewed as an abstract circle method.
On Linnik's conjecture: sums of squares and microsquares
我们证明了几乎所有不能被4整除的自然数n和不能全等于7模8的自然数n都可以表示为三个平方的和，其中一个平方是不大于（log n）^{1+e}的整数的平方（任何e>0）。这回答了猜想林尼克几乎所有的自然数，并锐化的结论布尔甘，鲁德尼克和Sarnak关于最近邻距离之间的正规化积分点的领域。
Overpseudoprimes, and Mersenne and Fermat numbers as primover numbers
本文引入了一类新的伪素数--基$b$的超伪素数，它是基$b$的强伪素数的子类.通过$|b|_n$表示$b$模$n$的乘法阶，我们证明了复合$n$是超伪素数当且仅当$|b|_d$对于$n$的所有因子$d>1$都是不变的.特别地，我们证明了所有的复合Mersenne数$2^{p}-1$，其中$p$是素数，都是以2为底的超伪素数，并且Wieferich素数的平方都是以2为底的超伪素数.最后，我们证明了某些已知数是基$b$的超伪素数。
Exponential Sums with Sparse Polynomials and Distribution of the Power Generator
本文在温和次数条件下给出模素数稀疏多项式完全有理指数和的新界，并由此得到 Bourgain 关于模合数结果的显式版本，进而首次研究了经典幂生成器的多维分布。
The distribution of spacings between quadratic residues, II
研究了当q的素除子个数趋于无穷大时，模q的平方间距的分布。Kurlberg和Rudnick在较早的论文中证明了无平方根q的间距分布是泊松分布，本文将这一结果推广到任意q。
Sieving with square conditions and applications to Hilbert cubes in arithmetic sets
本文探讨了Gallagher筛法在模素数平方下的应用局限，并提出通过转换余数信息以提升筛法效果，同时研究了Hilbert立方体在不同乘法定义集中的最大维度，得出了相关上界。
Short character sums for composite moduli
本文对具有小素因子的任意复合模建立了短特征标和的新估计。我们的主要结果改进了平方自由模的Graham-Ringrose界，也改进了Gallagher和Iwaniec的结果，当模$q$的核$q'=\prod_{p|q}p$满足$\log q'\sim \log q$时。指出了Dirichlet L-函数的零自由区域以及$\rm{P\acute{o}lya}$和Vinogradov不等式的一些应用.
Mixed sums of squares and triangular numbers (III)
本文证实了孙文的一个猜想：每个正整数是一个平方、一个奇平方和一个三角数的和。对任意正整数m，我们证明了p= 2 m +1是3模4的素同余当且仅当T_m=m（m+1）/2不能表示为两个奇平方和一个三角数之和，即，p^2=x^2+8（y^2+z^2），其中x，y，z均为非奇数。我们还证明了一个正整数不能写成一个奇数平方和两个三角数之和当且仅当它是2T_m（m>0）的形式，其中2 m +1没有素除子与3模4全等。
Let $p\ge 7$ be a prime number and $f$ a normalized eigen-newform with good reduction at $p$ such that its $p$-th Fourier coefficient vanishes. We construct a rank-two Euler system attached to the $p$-adic realization of the symmetric square motive of $f$. Furthermore, we show that the non-triviality is guaranteed by the non-vanishing of the leading term of the relevant $L$-value and the non-vanishing of a certain $p$-adic period modulo $p$.
Moment Estimates and Discrepancy for Sums of Square Roots Modulo One
研究模一方根和的分布，通过二阶和四阶矩估计匹配对角尺度，并结合指数和估计与Erdős–Turán不等式，得到差异上界。
Mean square of inverses of Dirichlet $L$-functions involving conductors
本文研究Dirichlet $L$-函数的负平方矩，得到涉及导子的负二阶矩渐近公式，并应用于改进分圆数域中恢复短生成元算法的成功概率下界。
Let $P$ and $T$ be disjoint sets of prime numbers with $T$ finite. A simple formula is given for the natural density of the set of square-free numbers which are divisible by all of the primes in $T$ and by none of the primes in $P$. If $P$ is the set of primes congruent to $r$ modulo $m$ (where $m$ and $r$ are relatively prime numbers), then this natural density is shown to be $0$.
In this work we introduce the numerical constant, LOPI, N LOPI is congruent to LOPI mod 18, equal to the lowest odd partition identity in conjunction with the reduced residue system Modulo 18, a complete disjoint covering residue system when considered in its whole set of residues from 0 to 17. By convolution of specific LOPI Dirichlet linear progressions for each LOPI superset, the non-prime elements of the 6 reduced residue congruence classes mod 18 are generated sequentially and uniquely. Through set generation and complete composite number subset generation based on the pattern of sequenti…
On almost universal mixed sums of squares and triangular numbers
1997年K. Ono和K. Soundararajan [发明。Math.130（1997）]证明了在广义黎曼假设下，任何大于2719的正奇数都可以用著名的拉马努金形式$x^2+y^2+10z^2$表示，等价地，形式$2x^2+5y^2+4T_z$表示所有大于1359的整数，其中$T_z$表示三角数$z(z+1)/2$。给定正整数$a,b,c$，我们采用模形式和二次型的理论，以确定完全时，一般形式$ax^2+by^2+cT_z$表示足够大的整数，并建立类似的结果，形式$ax^2+bT_y+cT_z$和$aT_x+bT_y+cT_z$。下面是我们的主要定理的一些结果：（1）所有足够大的奇数都有$2ax^2+y^2+z^2$的形式当且仅当$a$的所有素因子全等于1模4。(ii)形式$ax^2+y^2+T_z$几乎是通用的（即，它表示足够大的整数）当且仅当$a$的每个奇素因子全等于1或3模8。(iii)$ax^2+T_y+T_z$几乎是泛的当且仅当$a$的所有奇素因子全等于1模4。(iv)当$v_2(a)\not=3$时，形式$aT_x+T_y+T_z$几乎是普适的当且仅当$a$的所有奇素因子全等于1模4和$v_2(a)\not=5,7,...$，其中$v_2(a)$是$a$的2进阶。
Sequentially congruent partitions and partitions into squares
本文通过构造双射证明序列一致划分与平方数划分计数相等，并推广至k次幂划分。
Some Comments on Regular Overpartitions modulo $2^k$
研究\(\overline{R}_{\ell,\mu}(n)\)及单模类似物\(\overline{R}_{\ell}(n)\)，记录根据基础普通分割不同部分大小数量确定这两个函数模\(2\)各幂次的组合机制，还根据完全平方数推导其模\(4\)的简洁特征。
The set of non-squares in a number field is diophantine
修复一个数字字段k。我们证明了k* - k*^2是k上的丢番图。这是从一个定理推导出来的，即对于k[x]中的一个非常数可分多项式P（x），在k* 模平方中至多有200个a，使得对于由y^2 - az^2 = P（x）给出的圆锥丛X的哈塞原理存在Brauer-Manin障碍。
A universal sequence of integers generating balanced Steinhaus figures modulo an odd number
在本文中，我们部分地解决了一个公开的问题，由于J. C. Molluzzo在1976年提出了一个正整数$n$模的平衡Steinhaus三角形的存在性，即包含$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$的所有元素的Steinhaus三角形具有相同的重数。对于每一个奇数$n$，通过线性元胞自动机生成杨辉三角形模$n$，在$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$中建立一个轨道，其中包含无穷多个平衡Steinhaus三角形.在$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$中，这个轨道是从一个称为通用序列的整数序列中得到的。证明了在$n$是奇素数幂的情况下，对于至少$2/3$的容许大小，存在平衡的Steinhaus三角形.其他平衡的斯坦豪斯图形，如斯坦豪斯三角形、广义杨辉三角形、帕斯卡三角形或菱形，也出现在通用序列模$n$奇数的轨道上。我们证明了平衡广义杨辉三角形的存在性至少$2/3$的容许大小，在$n$是一个奇素数的权力的情况下，和平衡菱形的存在性的所有容许的大小，在$n$是一个平方免费的奇数。
Number-theory renormalization of vacuum energy
本文指出 d>=3 维格点 QFT 在特定动量平方 Hamiltonian 与模 N 剩余类环计算下真空能量为零，并将其联系到 d 个平方和表示数的数论问题。
The distribution of spacings between quadratic residues
我们研究了模q的平方之间的间距的分布，其中q是平方自由的和高度复合的，在极限的素数因子的数量q趋于无穷大。我们发现，所有的相关函数是泊松分布，这意味着最近的邻居之间的间距，归一化为具有单位平均值，有一个指数分布。
Given a prime $p$ and a positive integer $k$, let $\mathrm{M}_{n}(\mathbb{Z}/p^{k}\mathbb{Z})$ be the ring of $n \times n$ matrices over $\mathbb{Z}/p^{k}\mathbb{Z}$. We consider the number of solutions $X \in \mathrm{M}_{n}(\mathbb{Z}/p^{k}\mathbb{Z})$ to the polynomial equation $P(X) = 0$, where $P(t)$ is a monic polynomial in $(\mathbb{Z}/p^{k}\mathbb{Z})[t]$ whose reduction modulo $p$ is square-free over the finite field $\mathbb{F}_{p}$ of $p$ elements. Noting that $P(X) = 0$ if and only if $\mathrm{cok}(P(X)) \simeq (\mathbb{Z}/p^{k}\mathbb{Z})^{n}$, we give a conjectural generalization …
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