A local noncollapsing estimate for mean curvature flow
Simon Brendle, Keaton Naff
我们证明了中曲率流的非崩溃估计的局部版本。通过将我们的结果与X. J.Wang，它遵循某些古老的凸解，席卷整个空间是非塌陷的。
We prove a local version of the noncollapsing estimate for mean curvature flow. By combining our result with earlier work of X.-J. Wang, it follows that certain ancient convex solutions that sweep out the entire space are noncollapsed.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Collapsing and noncollapsing in convex ancient mean curvature flow
我们提供了几个特征的崩溃和noncollapsations凸古代中曲率流，特别是建立崩溃发生时，只有当流是渐近的至少一个Grim超平面。因此，我们排除了$(n-1)$ -凸中曲率流（即使初始数据仅浸没）中的塌陷奇异模型。显式反例表明，$(n-1)$ -凸性是最优的.我们也能够排除崩溃的奇点模型适当捏解决方案的更高的余维。
Entropy, noncollapsing, and a gap theorem for ancient solutions to the Ricci flow
本文讨论了里奇流古解的渐近熵。我们证明了古代的解决方案，这可以被视为一个熵对应横田的工作的间隙定理。此外，我们还证明了在一定的假设下，对于具有非负曲率算子的完全古解的一个时间片，有限渐近熵蕴涵着在所有尺度上的kappa-非坍缩.这为Perelman的更一般的断言提供了证据，即在具有非负曲率算子的完全古解上，有界熵等价于kappa-非坍缩。
Entropy Functionals, Sobolev Inequalities and kappa-Noncollapsing Estimates along the Ricci Flow
在这次调查中，我们审查汉密尔顿的熵和佩雷尔曼的熵，并提供这些概念的动机。然后回顾了关于里奇流的Sobolev不等式、对数不等式和kappa-非塌缩估计的最新结果，包括带手术的里奇流.
On equivalence between noncollapsing and bounded entropy for ancient solutions to the Ricci flow
在我们以前的工作中，我们表明，对于一个古老的解决方案的里奇流与非负曲率算子，假设有界的几何上的一个时间片，有界熵意味着在所有尺度上的非崩溃。本文从另一个方向证明了：对于具有有界非负曲率算子的古解，非坍缩蕴涵有界熵。因此，我们证明了佩雷尔曼的断言下的假设有界几何上的一个时间片。特别地，对于三维的古代解，我们只需要假设有界曲率。我们还建立了渐进熵和渐进约化体积之间的等式，这是与徐相似的结果，其中他假设非坍缩和I型曲率界。
Noncollapsing for Curvature Flows with Inhomogeneous Speeds
本文研究欧氏空间中完全非线性曲率流，在速度函数凸或逆凹及调制函数满足结构条件时，建立外部非坍缩估计，并改进逆凹情形的内部论证。
Local noncollapsing for complex Monge-Ampère equations
我们证明了Kähler度量的一个局部体积非崩溃估计，该估计由一族复蒙日-安培方程导出，假设局部里奇曲率有下界。该局部体积估计可以应用于建立各种直径和梯度估计。
Regularity of limits of noncollapsing sequences of manifolds
证明了具有下曲率界的非塌缩流形序列的极限的方向的迭代空间是拓扑球面。作为一个应用，我们证明了对于任何有限维的Alexandrov空间$X^n$与$n\ge 5$，存在一个Alexandrov空间$Y$同胚于$X$，它不能作为这样一个极限得到.
Finite Time Noncollapsing Kähler-Ricci Flow: Gaussian Type Heat Kernel, Gromov-Hausdorff Limits
本文研究紧凯勒流形上有限时间非坍缩凯勒-里奇流的热核估计，构造其格罗莫夫-豪斯多夫极限，证明固定基点I型爆破的子序列度量流极限为奇异收缩凯勒-里奇孤子空间，移动基点的极限度量流在熵挤压条件下为度量孤子。
Local convexity estimates for mean curvature flow
我们开发了一个本地版本的Huisken-Stampacchia迭代，用它来获得本地版本的主机的重要的尖锐曲率捏估计中曲率流。我们得到的局部估计不依赖于解的非崩溃质量，所采用的方法适用于许多其他设置。
A note on Alexandrov immersed mean curvature flow
我们证明了被亚历山德罗夫沉浸的属性是保存沿中曲率流。此外，我们证明了中曲率流技术的平均凸嵌入流，如非塌陷和梯度估计也在此设置。我们还指出了必要的修改工作的Brendle-Huisken允许中曲率流量与手术的Alexandrov沉浸，$2$ -尺寸设置。
Uniqueness of convex ancient solutions to hypersurface flows
我们发现，每一个凸古代解决方案的中曲率流与I型曲率增长是球形，圆柱形，或平面。然后，我们证明了相应的陈述流的自然类的曲率函数是凸或凹的第二基本型。这两个结果都不假定内部不坍缩。
Curvature tensor of smoothable Alexandrov spaces
本文证明了在截面曲率有下界且非塌缩的收敛序列下，Riemannian流形的曲率张量具有弱收敛性。
Intrinsic flat and Gromov-Hausdorff convergence of manifolds with Ricci curvature bounded below
我们证明了对于一个非坍缩的闭连通定向黎曼流形序列，其里奇曲率从下到上一致有界，直径从上到下一致有界，格罗莫夫-豪斯多夫收敛本质上与内在平坦收敛一致.
Perelman's entropy on ancient Ricci flows
在[ZY2]中，第二作者证明了Perelman的断言，即对于一个具有有界非负曲率算子的古里奇流，有界熵等价于在所有尺度上的非坍缩。在本文中，我们继续这一讨论。结果表明，曲率算子的非负性不是一个必要条件，我们只需要假设哈密尔顿迹Harnack的一个推论。此外，我们还证明了这个条件对具有非负里奇曲率的稳定里奇孤子也成立。
On the Type IIb solutions to mean curvature flow
本文研究IIb型中曲率流。本文首先证明了如果$\mathbb{R}^n$上的凸整图$(y,u(|y|))$，$n\geq 2$，满足存在正的常数$ε$，$c$和$N$使得$ u'(r)\geq c r^ε $对于$r\geq N$，具有初始数据的$(y,u(|y|))$的中曲率流的长解一定是IIb型的.我们还研究了IIb型中曲率流的渐近行为，证明了满足$δ$ -Andrews非坍缩条件的平均凸IIb型中曲率流的合适的重标度序列的极限是平移孤子。
Singularity Profile in the Mean Curvature Flow
本文研究了中曲率流的第一次奇点的几何性质。通过Huisken和Sinestrari的曲率捏挤估计，证明了欧几里得空间$\R^{n+1}$中具有正中曲率的超曲面的中曲率流是$κ$ -非坍缩的，并且爆破序列沿着子序列局部光滑地收敛到光滑的凸爆破解。作为结果，我们得到了平均凸流的一个局部Harnack不等式.
High codimension mean curvature flow of spacelike-convex submanifolds with one spacelike codimension
研究伪欧氏空间中高码维类空子流形的平均曲率流，证明初始紧致类空凸子流形在流下曲率收缩和非坍缩量保持，并证明Huisken和Gage-Hamilton定理的类比结果。
On the biharmonic heat equation on complete Riemannian manifolds
研究了完备无边界黎曼流形上双调和热方程的整体解。在里奇曲率下界和单位球不坍缩的假设下，给出了双调和热核的指数衰减估计.并证明了Cauchy问题的一个唯一性准则。作为推论，我们证明了双调和热核的守恒律和有界初始数据的整体解的一致L-无限估计。
$L^2$ Curvature Bounds on Manifolds with Bounded Ricci Curvature
考虑具有有界里奇曲率$|\Ric|\leq n-1$和非坍缩下体积界$\Vol(B_1(p))>\rv>0$的黎曼流形.本文的第一个主要结果是证明了我们有$L^2$曲率界$\fint_{B_1(p)}|\Rm|^2 < C(n,\rv)$，从而证明了$L^2$猜想。为了证明这一点，我们首先需要证明以下极限的结构结果。也就是说，如果$(M^n_j,d_j,p_j) \longrightarrow (X,d,p)$是具有有界里奇曲率的非塌陷流形的$GH$ -极限，则奇异集$\cS(X)$是具有一致Hausdorff测度估计$H^{n-4}\big(\cS(X)\cap B_1\big)<C(n,\rv)$的$n-4$可求长的，这特别证明了Cheeger-Colding的$n-4$ -有限性猜想。我们将看到，作为证明的结果，对于$n-4$ a.e. $x\in \cS(X)$证明了$X$在$x$处的切锥是唯一的，并且对于远离原点自由作用的某些$Γ_x\subseteq O(4)$，与$\dR^{n-4}\times C(S^3/Γ_x)$等距。
Rotational symmetry of ancient solutions to fully nonlinear curvature flows
本文对完全非线性曲率流的凸非坍缩一致二凸非紧古解进行分类，证明其仅可能为自相似收缩圆柱或旋转对称平移孤子，并由此给出紧致二凸解奇点爆破极限的完整分类。
On existence and curvature estimates of Ricci flow
本文利用He的方法证明了完备非紧黎曼流形上里奇流的短时存在性，并证明了它具有以下性质：（i）存在$r_0>0$使得半径为$r\le r_0$的测地球的体积接近于欧氏空间中半径相同的测地球的体积;（ii）Ricci曲率有界;（iii）截面曲率以$-Cd^2(x,x_0)$为界，其中$d(x,x_0)$是到固定点的距离。给出了具有非负对分曲率和最大体积增长的完备非紧Kahler流形的一致化的一个应用。这个结果与He和Liu的结果有关。证明了如果$g(t)$是完备非紧Kahler流形上Kahler-里奇流的完备解，使得$g(0)$具有非负的对分曲率，且对某些$a>0, 2>b>0$，$g(t)$的曲率由$at^{-b}$有界，则$g(t)$也具有非负的对分曲率.这推广了以前的一个结果。在$g(0)$是非塌缩的假设下，并在$g(t)$的曲率一致有界的条件下，证明了对于某些$a>0$，$g(t)$的曲率实际上是由$at^{-1}$有界的.这一结果是证明使用的方法由西蒙和托普。
A concentration-collapse decomposition for $L^2$ flow singularities
我们展示了四阶曲率流的奇点的集中崩溃分解，包括$L^2$曲率流和Calabi流，在$n \leq 4$维。证明需要几个新的先验估计的发展。首先，我们开发了一个平滑的结果，初始度量小的能量和体积增长的下界，静脉Perelman的伪局部性结果。接下来，我们推广我们的技术，从以前的工作中表现出局部平滑估计的$L^2$流中存在的曲率相关的约束。最后一个关键成分是一个新的局部$ε$ -正则性结果的$L^2$ -关键指标，可能是非恒定的数量曲率。这些结果的应用包括新的紧性和光滑紧致四维流形满足必要的和有效的极小假设的$L^2$曲率捏和体积非塌陷条件的同态有限性定理。
A Curvature Flow Unifying Symplectic Curvature Flow And Pluriclosed Flow
Streets和Tian近年来提出了复闭流和辛曲率流。在这里，我们构造一个曲率流来统一这两个流。我们展示了我们的流的短时间存在，并展示了对长时间存在的阻碍。
On the extension of axially symmetric volume flow and mean curvature flow
本文研究了轴对称条件下中曲率流和保体积中曲率流的奇异性来源。我们证明了，如果中曲率是一致有界的任何有限的时间间隔，那么没有奇异性可以发展在这段时间下的中曲率流和体积保持中曲率流。
Surfaces pinched by normal curvature for mean curvature flow in space forms
本文研究了$4$维空间型中紧致曲面的中曲率流.证明了在包含法曲率的特定Pinching条件下的中曲率流的收敛定理，推广了Baker-Nguyen的收敛定理.
Uniqueness Theorem for non-compact mean curvature flow with possibly unbounded curvatures
本文讨论了非紧流形的中曲率流的唯一性和向后唯一性。本文利用能量论证证明了曲率可能为无界的中曲率流的两个唯一性定理。这些结果推广了Chen和Yin的结果。利用类似的方法，我们还得到了关于里奇流的一个唯一性结果.对于曲率有界的中曲率流，证明了一个后向唯一性定理。
Non-existence of eternal solutions to Lagrangian mean curvature flow with non-negative Ricci curvature
本文给出了复欧几里得空间中几乎标定拉格朗日中曲率流永恒解（包括平移解）的中曲率估计.因此，我们证明了几乎校准拉格朗日中曲率流的永恒解的不存在性。
The preservability of the curvature-adaptedness along the mean curvature flow
本文研究了局部对称空间中紧致曲率自适应超曲面的曲率自适应性沿中曲率流的可解性，其中曲率自适应性是指超曲面的形状算子与正规Jacobi算子可交换.
Diameter and curvature control under mean curvature flow
我们证明了对于双凸超曲面的中曲率流，当接近第一奇异时刻时，内直径保持一致控制。我们还得到了尖锐的$L^{n-1}$ -估计的正则性规模的水平集流与两个凸的初始数据。我们的证明依赖于一个详细的分析圆柱形区域（$\varepsilon$管）下的中曲率流。结果是新的，即使在最经典的情况下，平均凸曲面演变的中曲率流在$\mathbb{R}^3$。
Symplectic mean curvature flows in Kähler surfaces with positive holomorphic sectional curvatures
本文主要研究具有正全纯截面曲率的Kähler曲面中的中曲率流。证明了当全纯截面曲率的最大值与最小值之比小于2时，存在一个依赖于该比值的正常数$δ$，使得$\cosα\geqδ$沿流方向保持不变.
Curvature estimates of ancient solutions to the mean curvature flow of higher codimension with convex Gauss image
本文通过进行精细的曲率估计，在各种高斯像限制条件下，证明了高余维平均曲率流完备非紧古老解的更好刚性定理。
Quantitative long range curvature estimate for mean curvature flow
证明了光滑凸$α$ -非塌陷古中曲率流对任意一对$x,y$都满足曲率的定量估计$H(y,t)\leq CH(x,t)(H(x,t)|x-y|+1)^2$.换句话说，重新缩放的曲率最多根据重新缩放的外部距离以二次方式增长。
Lagrangian mean curvature flow of surfaces with mean curvature bound
本文证明在平均曲率一致有界条件下，零 Maslov 拉格朗日平均曲率流在奇异点处的切流唯一，即抛物重标度极限与重标度序列无关。
Sharp one-sided curvature estimates for fully nonlinear curvature flows and applications to ancient solutions
利用Stampacchia迭代方法证明了由各种完全非线性单齐次曲率流演化的浸入超曲面和嵌入超曲面的几个尖锐的单侧pinching估计。这些包括最大主曲率和内切曲率（“圆柱估计”）的急剧估计的流动凹速度和急剧估计的外切曲率的流动凸速度。利用最近的Huisken和Sinestrari的想法，我们然后得到相应的估计古代的解决方案。特别是，这导致了这些流动的古代解决方案之间的收缩领域的各种表征。
The Mean Curvature Flow in Minkowski Spaces
研究几何流在数学和物理学中有着重要的作用。本文在Finsler流形上引入了中曲率流，并给出了若干中曲率流的例子。对于Finsler流形的一种特殊情形Minkowski空间，我们将证明中曲率流解的存在唯一性，并证明该流保持凸性和平均凸性。我们还导出了中曲率流的一些比较原理。
On Ilmanen's multiplicity-one conjecture for mean curvature flow with type-I mean curvature
本文证明了如果R^3中的光滑嵌入中曲率流的中曲率是I型的，则重标流在第一个有限奇异时刻光滑收敛到重数为1的自收缩流.这个结果在假设中曲率为I型的条件下证实了Ilmanen的重一猜想。作为推论，我们证明了R^3中闭光滑嵌入中曲率流在第一奇异时刻的中曲率至少是I型的。
Remark on the Calabi flow with bounded curvature
本文证明了：若Calabi流的曲率张量沿Calabi流一致有界，且Mabuchi能量适当，则Calabi流收敛于一个常数的数量曲率度量.
Mean curvature flow in a Ricci flow background
继Ecker的工作之后，我们考虑了带边界的黎曼流形上的加权Gibbons-Hawking-York泛函.在Perelman修正的里奇流下计算了它的变分性质和时间导数。答案有一个边界项，其中涉及到扩展的欧几里得空间中的中曲率流的Hamilton Harnack表达式。在里奇流背景下，导出了中曲率流的第第二基本型和中曲率的发展方程。在梯度Ricci孤子背景下，我们讨论了中曲率孤子和Huisken单调性。
Curvature Decay Estimates of Graphical Mean Curvature Flow in Higher Codimensions
我们推导出高余维下图形中曲率流的点态曲率估计。据我们所知，这是第一个这样的估计，而不假设小的一阶导数的定义地图。一个直接应用是平坦黎曼曲面间面积递减映射的图的中曲率流的收敛定理。
Producing 3d Ricci flows with non-negative Ricci curvature via singular Ricci flows
本文将Kleiner和Lott关于奇异里奇流的概念从三维紧致流形推广到具有可能无界曲率的三维完备流形。作为广义奇异Ricci流的一个应用，我们证明了对于任何具有非负里奇曲率的3d完备黎曼流形，存在一个从它出发的光滑里奇流.
Eternal Forced Mean Curvature Flows II - Existence
我们证明了在适当的非退化条件下，黎曼流形的数量曲率泛函的完全梯度流线扰动成具有大强迫项的永恒强迫中曲率流。
Minimal surfaces and mean curvature flow
讨论了极小曲面和平均曲率流的最新结果，重点讨论了嵌入极小曲面的分类和结构以及中曲率流的稳定奇点.这篇文章献给Rick Schoen。
Sphere Under Advection and Mean Curvature Flow
平流和中曲率流被用作骨微结构适应的模型。它是一个与规定的中曲率流等价的几何流，并附加了一个速率项。为了验证数值方法模拟这种流动和开发一个逆解，一个封闭的形式的解决方案，平流和中曲率流的球体推导。
Cross Curvature Flow on Locally Homogeneous Three-manifolds (II)
本文研究了局部齐次三维流形上的正交叉曲率流。我们描述了这些流量的长期行为。我们结合这与早期的结果有关的负交叉曲率流的渐近行为来描述局部齐次3-流形上的交叉曲率流的最大解的双边行为。我们证明了局部齐次3-流形上的正交叉曲率流产生一个Heisenberg型次黎曼几何。
Yamabe Flow with prescribed scalar curvature
本文研究了具有负数量曲率的紧致黎曼流形上对应于指定数量曲率问题的Yamabe流。在适当的条件下，证明了在给定的数量曲率函数下，该流的长时间存在性和收敛性。
The mean curvature flow for equifocal submanifolds
本文研究了以等焦点子流形为初值的中曲率流。通过研究具有提升子流形的中曲率流通过黎曼浸没到希尔伯特空间作为初始数据进行调查。
The mean curvature blows up at nondegenerate neck pinch singularities of Lagrangian mean curvature flow
本文证明拉格朗日平均曲率流在非退化颈缩奇点处平均曲率无界，并给出爆破速率控制。
Curvature Estimates for the Ricci Flow I
本文给出了里奇流解的几个曲率估计，它们依赖于Riemann曲率张量范数的某些局部积分的小性.
Asymptotic Behavior and Stability of Mean Curvature Flow with a Conical End
如果不朽中曲率流的初始超曲面渐近于一个熵较小的正则锥，则该流将成为渐近自膨胀流。此外，产生极限流的膨胀体作为归一化中曲率流的平衡解是渐近稳定的。
Gauss maps of the Ricci-mean curvature flow
本文研究Ricci-中曲率流的Gauss映射. Ricci-中曲率流是环境流形上的中曲率流和里奇流的耦合方程。Ruh和Vilms证明了欧氏空间中极小子流形的Gauss映射是调和映射，Wang通过证明其Gauss映射满足调和映射热流方程，将这一结果推广到欧几里得空间中的中曲率流.本文导出了Ricci-中曲率流的Gauss映射的发展方程，作为直接推论，证明了当子流形的余维数为1时，Ricci-中曲率流的Gauss映射满足垂直调和映射热流方程。
Existence, Lifespan and Transfer Rate of Ricci Flows on Manifolds with Small Ricci Curvature
我们发现，在4维及以上，里奇流的寿命取决于相对较小的里奇曲率相比，黎曼曲率的初始流形。我们可以将这个寿命估计推广到局部里奇流，利用它证明了曲率至多为二次增长的非紧黎曼流形上里奇流解的短时存在性，其中在黎曼曲率大的区域，其里奇曲率及其前两阶导数足够小.这些里奇流解可能具有无界曲率。此外，我们的方法意味着，在一些适当的假设下，空间传输率（高曲率区域影响低曲率区域的速率）的里奇流类似于热方程。
Singularities of mean curvature flow with bounded mean curvature and Morse index
研究具有有界平均曲率和莫尔斯指数的平均曲率流奇点多重性，针对3≤n≤6时\(\mathbb{R}^{n + 1}\)中闭光滑嵌入流，证明首个奇异时间平均曲率或莫尔斯指数会爆炸。
Mean curvature blow up in mean curvature flow
本文证明了紧致黎曼子流形的中曲率流的有限时间奇点的特征是中曲率的爆破。
Scalar curvature bounds for 3D continuous metrics through the Inverse Mean Curvature Flow
基于逆平均曲率流沿Hawking质量的单调性，定义了三维C^0黎曼度量下标量曲率下界的概念，并证明了非负标量曲率连续黎曼度量的稳定性定理。
A remark on gradient estimates for spacelike mean curvature flow with boundary conditions
本文证明了在$n=2$维中具有一般Neumann边界条件的图类空中曲率流的梯度估计。这就意味着中曲率流一直存在，并收敛到一个平移解。
Scalar curvature behavior of homogeneous Ricci flows
证明了齐次里奇流解的数量曲率在向前或向后的有限时间奇点处爆破。
Convergence rate of the prescribed curvature flow
受Carlotto等人关于Yamabe流收敛速率研究的启发，本文针对流形上的预定标量曲率问题，研究了预定标量曲率流的收敛速率。
Curvature tensor under the Ricci-Harmonic flow
证明了若里奇曲率在Ricci-Harmonic流下对所有时间$t$ \in [0，T）都是一致有界的，则曲率张量也必须是一致有界的.
Eigenvaluues monotonicity of Witten-Laplacian along the mean curvature flow
本文导出了作用在闭定向流形上沿中曲率流的函数空间上的Witten-Laplace算子的第一特征值的发展方程。我们在中曲率流下给出了一些有趣的单调量。
Hamilton's Theorem (on the compactness of pinched hypersurfaces) via mean curvature flow
严格地改变了用中曲率流证明RichardHamilton关于有界曲率的真超曲面的紧性定理的旧思想。
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