Polar degree and vanishing cycles
Dirk Siersma, Mihai Tibăr
证明了任意奇异射影超曲面的极度可分解为表示两种不同类型局部消失圈的非负数之和。这给出了任何奇异射影超曲面的极度的下界。
We prove that the polar degree of an arbitrarily singular projective hypersurface can be decomposed as a sum of non-negative numbers which represent local vanishing cycles of two different types. This yields lower bounds for the polar degree of any singular projective hypersurface.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
On the vanishing cycles of a meromorphic function on the complement of its poles
研究了具有孤立奇点的亚纯函数在局部和全局条件下的消失环。
Vanishing cycles and Hermitian duality
我们证明了正则完整$\mathcal{D}$ -模的适度或附近循环函子与柏原定义的埃尔米特对偶函子之间的相容性。
Notes on Perverse Sheaves and Vanishing Cycles
本文系统总结了导出范畴、反常层与消失循环的相关结果，并在2025年8月版本中对消失循环部分进行了全面修订。
The Intermediate Extension, Vanishing Cycles, and Perverse Eigenspace of One
本文证明了关于消没圈上恒等映射减去单径核的若干结果。
Natural Commuting of Vanishing Cycles and the Verdier Dual
我们证明了转移消失周期和附近的周期与Verdier对偶的{ \bf自然}同构，即使当系数不在一个字段。
Vanishing Cycles and Thom's $a_f$ Condition
我们给出了沿函数$f$的层复形的消失圈与Thom的$a_f$条件之间的关系的完整描述。
The vanishing cycles of curves in toric surfaces I
这篇文章是我们研究复曲面中曲线的消失环的系列文章中的第二篇。给出了在给定的完全线性系内收缩消失环的可能障碍物的列表。使用热带的手段，我们表明，任何非分离的简单闭曲线是一个消失的循环时，没有列出的障碍物出现。
Étale tame vanishing cycles over $[\mathbb{A}^1_{S}/\mathbb{G}_{m,S}]$
在étale层的背景下，我们发展了$[\mathbb{A}^1_{S}/\mathbb{G}_{m,S}]$上的驯服消失环理论。我们证明了这种形式主义的一些性质，其中包括：与（严格）Henselian特征上的驯服消失圈的相容性，与$\mathbb{A}^1_{S}$上驯服消失圈理论的相容性，与张量积和对偶的相容性.在最后一节中，我们证明了第二作者引入的单值不变消失圈是关于$[\mathbb{A}^1_{S}/\mathbb{G}_{m,S}]$上驯服消失圈的$μ_{\infty}$的一个标准连续作用的同伦不动点。
Vanishing Vanishing Cycles
如果$\Adot$是复解析空间$X$上的层的有界可构造复形，并且$f:X\to\C$和$g:X\to\C$是复解析函数，那么迭代消失圈$ϕ_g[-1](ϕ_f[-1]\Adot)$是重要的，原因有很多。利用相对极曲线、代数、正规Morse数据和$\Adot$的微支撑，给出了茎上同调$H^*(ϕ_g[-1]ϕ_f[-1]\Adot)_x$的一个计算公式.
Iterated vanishing cycles, convolution, and a motivic analogue of a conjecture of Steenbrink
利用迭代消失圈和卷积，我们证明了Steenbrink关于超曲面奇点谱的一个猜想的动机版本
Vanishing cycles in complex symplectic geometry
研究了辛几何中一类具有特殊非孤立奇点的全纯映射芽的Milnor纤维上的消失圈。我们表明，在文中给出的假设下，莱夫谢茨消失周期自由生成相应的同调群的米尔诺纤维。我们研究两个应用的例子：对合系统在辛几何（作为特征品种的$\hbar$ -微分方程是这种类型）和联合轨道在李代数。
Some consequences of perversity of vanishing cycles
对于复流形上的全纯函数，利用消失环复形的反常性，证明了在一点处的低次消失上同调由其附近点的低次消失上同调决定。我们在超曲面在该点外有简单正规交叉的情况下明确地计算它。并给出了单值性的一些应用。
Nearby and vanishing cycles for perverse sheaves and D-modules
我们调查附近和消失的周期，反常层和D-模下的分析设置。根据A. Beilinson，M. Kashiwara和M. Saito，我们详细解释了在Riemann-Hilbert对应意义下它们之间的比较定理的证明。
Motivic vanishing cycles as a motivic measure
我们证明了J. Denef和F. Loeser等给出了仿射直线上簇的Grothendieck环上的一个motivic测度。我们讨论这个动机测度与我们之前使用矩阵分解范畴构造的动机测度的关系。
Vanishing results for the modified diagonal cycles II: Shimura curves
本文证明了志村曲线三重积的Chow群中修正对角闭链的消失性结果，并构造了具有平凡自同构群且修正对角闭链消失的曲线例子。
$p$-adic vanishing cycles as Frobenius-fixed points
给定混合特征拟完美域的整数环上的光滑形式概形，利用de Rham-Witt复形和$q$ -de Rham复形研究了它的$p$ -adic消失环.
Control by the lowest degree vanishing cycles
给定仿射空间上具有光滑临界轨迹的解析函数的芽，证明了Milnor纤维在临界轨迹的余维2子集的最低次上的茎上同调的恒定性意味着消失圈集中在最低次上并且是常数.
Vanishing cycles under base change and the integral Hodge conjecture
本文讨论了由消失圈的某些性质引起的积分Hodge猜想的一个障碍。这使我们能够构建新的反例积分霍奇猜想。一个典型的反例是一个非常一般的奇维超曲面和一个恩里克斯曲面的乘积。我们的方法概括了Benoist-Ottem的退化论点。
Vanishing cycles of smoothable isolated Cohen-Macaulay codimension 2 singularities of type 2
我们推广了A. Frühbis-Krüger和作者[arXiv：1501.01915]的消失拓扑的这些奇点的标题。通过研究Tjurina变换中可能存在非孤立奇点的情形，我们揭示了在3维和2维空间中总是存在一个与奇点的行列式结构密切相关的2次特殊消失环.
On surfaces with zero vanishing cycles
我们表明，使用一个想法，从一份文件由范德文之一，可以得到一个简单的证明扎克的分类光滑的射影曲面与零消失周期。这种方法的证明允许一个扩展扎克定理的情况下，有限的特征。
On projective threefolds with two-dimensional space of vanishing cycles
本文完整分类了复数域上消没循环空间维数为2的光滑射影三维簇，以及光滑射影曲面上第二陈类为3的秩2非常充足向量束。
Vanishing cycles on Poisson varieties
我们稍微推广了Evens Mirković的结果，并“计算”了双仿射Grassmannian和超环面簇的横截切片上的交上同调层的特征圈.本文提出了一个关于Poisson簇中双曲柄和环面不动点微局部化的猜想。
A Lagrangian sphere which is not a vanishing cycle
我们给出的例子，卡拉比-丘三倍包含拉格朗日球的节点退化不消失的周期，回答了唐纳森的一个问题的负面影响。
Fast vanishing cycles on perturbations of complex weighted-homogeneous complete intersection germs
该研究对加权齐次完全交的扰动芽，通过权重确定其快速周的同伦型等性质，得到大量快速周，应用于构造奇异利普希茨结构及判断内度量锥的障碍。
Vanishing cycles of pencils of hypersurfaces
证明了一类具有孤立奇点（可能在轴上）的超曲面束的扩展Lefschetz原理，并证明了消失圈模是由某些变分映射的象生成的.
Quadratic vanishing cycles, reduction curves and reduction of the monodromy group of plane curve singularities
平面曲线奇点的几何单值性是一个拟有限单同态。本文给出了几何单值性的约化曲线和奇异性的二次消失环。给出了它在几何单值群上的一个应用。
Vanishing Cycles for Zariski-Constructible Sheaves on Rigid Analytic Varieties
本文在非阿基米德域上建立了Zariski可构造层的近环与消失环理论，证明其保持可构造性、具有Milnor纤维解释、满足Beilinson粘合、perverse t-精确且与Verdier对偶交换。
Generalized Thomas hyperplane sections and relations between vanishing cycles
正如B所说。托塔罗河托马斯从本质上证明了霍奇猜想归纳等价于超平面截面的存在，称为广义托马斯超平面截面，使得给定的原始霍奇类对它的限制不会消失。研究了一般纤维上同调中消失圈之间的关系，证明了（0，0个）用围绕奇异超平面截面的幂单值性定义了一个本原Hodge类，使得这个奇异超平面截面是广义Thomas超平面截面当且仅当给定的本原Hodge类与某些构造的本原Hodge类之间的配对霍奇班并没有消失。这是格里菲思的一个结构的推广。
Tube classes over elementary vanishing cycles
设$X$为闭黎曼曲面。当$X$嵌入到射影空间中时，第一有理上同调群可由C. Schnell管标测。通过将管映射与拓扑Abel-Jacobi映射联系起来，将这一结果推广到首次积分同调群.利用映射类群作用，证明了由初等消失圈构造的所有管类构成$X$的首次积分调群的余有限子群.
Vanishing cycles and mutation
这是在巴塞罗那举行的欧洲数学大会上发表的一次演讲。它从Floer上同调的角度考虑Picard-Lefschetz理论。
Vanishing cycles, the generalized Hodge Conjecture and Gröbner bases
设$X$是复射影空间中给定多度的一般完全交.设$X$的反正则线丛是充分的。利用$X$中包含的完全交族所对应的柱面同态，证明了$X$中同调群中的消失圈是由拓扑圈表示的，其支集包含在具有一定余维的真Zaperki闭子集$T\subset X$中.在某些情况下，我们可以找到这样一个Zerkiki闭子集$T$，其余维数等于由$X$的中上同调群的Hodge结构借助于Gröbner基得到的上界。因此，在这些情况下，广义霍奇猜想的一个结果得到了验证。
Monodromy and vanishing cycles in toric surfaces
给定复曲面上的一个充裕线丛，Donaldson的一个问题是：对于完全线性系中平滑曲线的节点退化，哪些简单闭曲线可以是零圈.本文提供了一个完整的答案。这是通过重新制定的线性系的映射类群-值monodromy的问题，并给出一个精确的测定，这个monodromy组。
Virtual classes via vanishing cycles
本文提出了一种利用消没圈反常层为拟光滑导出概形构造虚拟基类的新方法，并证明其与现有类一致，同时探讨了$-2$-移位辛导出概形的DT4虚拟类构造方法。
More about vanishing cycles and mutation
本文继续讨论辛方面的皮卡德-莱夫谢茨理论开始在“消失的周期和突变”（本档案）。在那里，我们解释了如何关联到一个合适的纤维化在一个二维的磁盘三角范畴，“派生定向的Crackaya范畴”，它描述了结构的消失周期。本报告第二部分有两个目的。首先，它包含各种代数几何的例子，包括“镜像流形”的射影平面。其次是一个更先进的主题，如（i）Hochschild上同调，（ii）Picard-Lefschetz理论和莫尔斯理论之间的关系，（iii）一个建议的“降维”算法做某些Floer上同调计算（主要是理论）的讨论。
Wild ramification and a vanishing cycles formula
本文证明了一个显式公式，它比较了不等特征（0，p）的完备离散赋值环上曲线的形式芽在p次Galois覆盖中的消失环空间的维数.这个公式可以很容易地推广到的情况下，伽罗瓦覆盖与群是幂零的或有一个正常的p-Sylow子群。本文的结果在[Sa-1]中起了关键作用，[Sa-1]研究了特征不等的完备离散赋值环上半稳定曲线上p次Galois覆盖的半稳定约化，以及这些覆盖上的Galois作用.
Singularities and vanishing cycles in number theory over function fields
本文综述了函数域上数论中的消失环方法。我们首先在一个玩具例子中详细解释这是如何工作的，然后给出三个与当前研究相关的例子。重点将是对这种方法可以应用于哪种问题的一般性解释。
On the stability of vanishing cycles of étale sheaves in positive characteristic
研究正特征下平展层消失圈的稳定性，表明光滑曲面上其对测试函数的依赖一般仅取决于有限阶喷流，猜想高维也成立，还研究了消失圈稳定性最强的层的类别及相关性质。
Vanishing results in Chow groups for the modified diagonal cycles
本文给出了曲线上三重积周群中修正对角闭链消没的一个充分条件，并构造了无穷多个满足该条件的非超椭圆曲线实例。
A remark on vanishing cycles with two strata
设仿射空间上的复解析函数$f$的临界轨迹$Σ$本身是一个在原点$\0$处具有孤立奇点的空间，并且限定于$Σ-\{\0\}$的正规切片的$f$的Milnor数是常数。然后，反常层的一般理论对$f$的米尔诺纤维在$\0$上的上同调提出了严格的限制，甚至对一般超平面切片的米尔诺纤维的上同调提出了更令人惊讶的限制。
Galois covers of type (p,...,p), vanishing cycles formula, and the existence of torsor structures
本文证明了一个局部Riemman-Hurwitz公式，它比较了（p，p，…，p）之间的关系，并推广了第一作者在p次Galois覆盖情况下证明的公式.我们还研究了（p，p，…，p）在p-adic方案之间。
Deformation quantisation for (-1)-shifted symplectic structures and vanishing cycles
我们在Artin $N$ -栈上提出了$(-1)$ -Poisson结构的$E_0$量子化的概念，并构造了一个从$(-1)$ -移位辛结构的$E_0$量子化到de Rham上同调的幂级数的映射.对于对偶线丛的平方根，这给出了偶幂级数和自对偶量子化之间的等价性。特别是，有一个典型的量化任何这样的平方根，本地化恢复反常层的消失周期派生DM堆栈，从而给出了一种形式的派生分类唐纳森-托马斯不变量。
Non-commutative nature of $\ell$-adic vanishing cycles
本文证明特殊纤维的奇点范畴可恢复$\ell$-adic消失上同调，并利用相对完美复形的dg范畴计算嵌入的紧支撑K-理论。
Vanishing cycle sheaves of one-parameter smoothings and quasi-semistable degenerations
研究了复解析空间的单参数光滑化的消失环，证明了其逆上同调层的最高次权滤子与单值滤子相当接近，从而使其分次片具有修正的Lefschetz分解.我们利用常数层的反常上同调层上的权滤子来描述它的本原部分。作为推论，我们证明了在局部完全相交的情形下，1不是约化Milnor上同调单值的特征值当且仅当全空间和奇异纤维都是有理同调流形.引入拟半稳退化，通过构造权谱序列计算极限混合Hodge结构。作为一个推论，我们展示了与任何两个非常充足的线丛的张量积相关联的Lefschetz铅笔的消失周期的空间的非平凡性，除了偶数维射影空间的情况下，其中两个必须被替换为三个。
The vanishing cycles of curves in toric surfaces II
我们恢复了在\cite{CL}中启动的研究。对于复曲面$X$上的充分线性系统$\vert \mathcal{L} \vert$中的一般曲线$C$，$C$的消失环是可沿$C$向$\vert \mathcal{L} \vert$中的节曲线的退化收缩到一点的简单闭曲线的合痕类。在$C$中，阻止简单闭曲线成为零圈的障碍物由伴随线丛$K_X \otimes \mathcal{L}$编码。本文考虑带有两种最简单类型障碍物的线性方程组。在几何上，这些障碍物在$C$上分别表现为超椭圆对合和自旋结构。在这两种情况下，我们确定所有的消失圈通过调查相关的monodromy映射，其目标空间是映射类组$MCG(C)$。证明了单值映射的象是分别保持超椭圆对合和自旋结构的$MCG(C)$的子群。特别是，我们提供了一个明确的有限集的生成器的自旋映射类组。本文的结果支持\cite{CL}中的猜想$1$，该猜想旨在描述任何一对$(X, \mathcal{L})$的所有消失环.
Non-vanishing theorem for generalized log canonical pairs with a polarization
我们证明了非零猜想对具有极化的广义lc对成立。
Enhanced nearby and vanishing cycles in dimension one and Fourier transform
本文在一维增强反常对象上精确化近邻与消失循环，并利用拓扑方法证明仿射直线上全纯D-模在某点的消失循环同构于其傅里叶-拉普拉斯变换在无穷远处Stokes滤过的相应分次分量。
Monodromy of the perverse sheaf of vanishing cycles of some simple Shimura varieties and applications
在Harris和Taylor的书中研究的Kottwitz的单Shimura簇的几何情形中，我们描述了消失圈复形的单值滤除及其相关的谱序列，特别证明了这种滤除与直到移位的权滤除是一致的.利用Berkovich-Fargues定理，我们导出了Deligne-Carayol模型的局部单值滤过的描述。在应用中，我们得到了某些酉群的上同调自守表示的局部分支的刻画，两个这样的群之间的整体Jacquet-Langlands对应，以及这些Shimura簇的上同调的权单值猜想的证明.
Gopakumar-Vafa invariants via vanishing cycles
本文提出了一种利用零圈的反常层定义Calabi-Yau三重的Gopakumar-Vafa不变量的方法。我们的建议是对Kiem-Li最近的一种方法的修改，这种方法本身是基于Hosono-Saito-Takahashi的早期思想。我们猜想，这些不变量是等价于其他曲线计数理论，如Gromov-Witten理论和Pandharipande-Thomas理论。我们的主要定理是，对于局部曲面，我们的不变量与不可约单圈的PT不变量一致。我们还给出了一个相反的例子，我们的不变量匹配预测的答案。最后，我们给出的例子中，我们的不变量匹配的情况下，循环是非减少，非平面，或非原始的预期答案。
On non-abelian Lubin-Tate theory via vanishing cycles
在深度为0的情况下，我们给出了Harris-Taylor的结果的一个纯局部证明，该结果证明了p进域K上GL_n的局部Langlands对应在高度为n的形式O_K-模的变形空间的消失圈上同调中实现.我们的证明是通过建立剩余域上GL_n的Deligne-Lusztig理论的直接几何联系来给出的。
Monodromy and vanishing cycles for sufficiently ample linear systems on simply connected surfaces
研究了单连通表面中足够 ample 线性系统的 Monodromy 与 r-spin 映射类群的关系，并探讨了消失环在节点退化中的应用。
Motivic Realizations of Singularity Categories and Vanishing Cycles
本文建立了完备离散赋值环上Landau-Ginzburg模型的消失环与奇异范畴之间的精确比较。利用非交换动机，我们首先构造了dg-范畴的动机$\ell$ -adic实现函子。我们的主要结果，然后断言，给定一个完备离散赋值环上的Landau-Ginzburg模型，其奇异范畴的$\ell$ -adic实现由消失上同调的惯性不变部分给出.我们还证明了一个函子和$\infty$ -范畴版本的Orlov的比较定理之间的导出类的奇异性和导出范畴的矩阵分解的朗道-金兹伯格模型在noether正则局部环。
Kontsevich's conjecture on an algebraic formula for vanishing cycles of local systems
对于光滑复代数簇上的局部系统和函数，给出了M. Kontsevich关于在无穷远处具有正则奇异性的可积联络的相应局部自由层的形式微局部化的扭曲的de Rham复形的消失环的公式。我们还证明了它的局部形式，它可以看作是E. Brieskorn在孤立奇点情况下。然后，我们将这些推广到的情况下的德拉姆复杂的正规完整的D-模块，我们必须使用张量积与一定层的正式microlocal微分算子，而不是正式完成。
Monodromy of Primitive Vanishing Cycles for Hypersurfaces in $\mathbb P^4$
本文证明了在四维复射影空间中，超曲面的中维本原上同调可以由节点退化中单个消没球面类上的管状类生成，从而肯定回答了Clemens提出的问题。
Vanishing Theorems for Real Algebraic Cycles
我们建立了类似的Friedlander-Mazur猜想Teh的约化劳森同调群的实品种，这说，约化劳森同调的实拟射影簇$X$消失的同调度大于尺寸的$X$在所有的重量。作为应用，我们得到了平均圈的mod-2拓扑群的同伦群的消失，以及平均等维圈复形的同伦群的实簇的运动上同调在指数范围内的特征.我们还建立了等变Friedlander-Walker实形态上同调和dos Santos的实Lawson同调之间的等变Poincare对偶。我们使用这一点与mod-2 Beilinson-Lichtenbaum猜想的等变扩展一起计算Bredon上同调的一些真正的Lawson同调群。
A module structure and a vanishing theorem for cycles with modulus
证明了光滑拟射影概形$X$的模为Binda-Kerz-Saito的高阶Chow群是$X$的Chow环上的模.由此，我们推出了某些拉回，投射丛公式，和爆破公式的高模Chow群。证明了模为至少2维的高阶Chow群的$0$ -圈在各种仿射簇上的消失性。这表明，特别是多变量模拟的布洛赫-埃斯诺特-Rülling计算的添加剂高周群的0-循环消失。
A Morse complex for the homology of vanishing cycles
本文为光滑复代数簇上的正则函数构造 Morse 同调群，通过横截紧化的大扰动生成，与消失循环同调典范同构，并推广至非紧流形的 Morse 同调。
Mirror symmetry for Del Pezzo surfaces: Vanishing cycles and coherent sheaves
研究了DelPezzo曲面及其镜像Landau-Ginzburg模型的同调镜像对称性。特别地，我们证明了通过在k点上爆破CP ^2得到的Del Pezzo曲面X_k上的相干层的导出范畴等价于具有k+3个奇异纤维的椭圆纤维化W_k：M_k \to \C的消失圈的导出范畴，并具有适当的辛形式。此外，我们还证明了导出范畴之间的镜像对应可以推广到X_k的非对易变形，并给出了X_k的变形参数与上同调类[B+iω] \in H ^2（M_k，C）之间的显式对应.
The vanishing cohomology of non-isolated hypersurface singularities
我们采用反常的消失循环表明，每一个减少的上同调群的Milnor纤维，除了前两个，可以计算从限制的消失循环复杂的只有奇异地层具有一定的下界的尺寸。几何结果的指导下，我们交替使用附近和消失的循环函子，通过迭代切片通用超平面的Milnor纤维上同调的信息。这些导致的描述约化上同调群，除了顶部的两个，在消失的上同调的附近部分。我们用它来计算明确的最低（可能是非平凡的）消失上同调群的Milnor纤维。
Mixed Hodge structures for vanishing cycles and orbifold cohomology
研究消失环的混合Hodge结构与orbifold上同调的极化关系，探讨Hodge-Tate情况下的上同调结构。
La monodromie Hamiltonienne des cycles évanescents
研究了分支为对合映射芽$f:(C^{2n},0) \to (\CM^k,0)$的消失圈的单值性。虽然这类映射的奇异纤维具有非孤立奇点，但证明了正则纤维是$2(n-k)$-连通的，并且秩为$2(n-k)+1$的消失同调群是由消失圈自由生成的.作为推论，我们得到判别式的重数等于秩为$2(n-k)+1$的消失同调群的维数，变分算子是同构的.这些结果在两个假设下得到证明：1.假设奇异轨迹沿着$f$ 2的组成部分的Hamilton流传播。一般的奇异纤维应该具有横向Morse奇点，并且它们的轨迹应该是连接的。证明了在无穷余维集外，第一个条件成立，并且存在满足条件2的$f$的对合变形.
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