Intertwining local (adjacency) metric dimension with the clique number of a graph
本文研究简单连通图中局部邻接度量维数与团数的关系，证明了局部邻接度量维数的一个上界，并由此证实了关于局部度量维数上界的猜想，且存在无穷多图达到该界。
2025-07-18 math.CO
Invertibility of adjacency matrices for random $d$-regular graphs
设$d\geq 3$是一个固定整数，$A$是随机$d$ -正则有向或无向图在$n$顶点上的邻接矩阵.证明了当$n$足够大时，存在常数$\mathfrak d>0$，\begin{align*} {\mathbb P}(\text{$A$ is singular in $\mathbb R$})\leq n^{-\mathfrak{d}}, \end{align*}.这回答了Frieze [12]和Vu [28，19]的一个开放问题。其核心思想是研究有限域上邻接矩阵的奇异概率${\mathbb F}_p$。证明结合了局部中心极限定理和大偏差估计。
2018-12-30 math.CO math.PR
Quadratic Embedding Constants of Corona Graphs
Faculty of Mathematics and Natural Sciences Institut Teknologi Bandung（万隆理工学院数学与自然科学学院）；Center for Research Collaboration on Graph Theory and Combinatorics（图论与组合学合作研究中心）；Center for Data-driven Science and Artificial Intelligence Tohoku University（东北大学数据驱动科学与人工智能中心）
本文研究了冠状图的二次嵌入常数，推导了其计算公式，并在特定条件下给出了显式表达式。
2025-12-19 math.CO
Adjacency and Broadcast Dimension of Grid and Directed Graphs
该研究部分解决Zhang的问题，得到两类路径笛卡尔积图邻接维数的精确界，还研究有向图的邻接与广播维数，给出有向完全k叉树邻接维数、特定有向树两维数相等的结论，以及无向与有向图广播维数的量级关系。
2024-04-17 math.CO
Adjacency labeling schemes and induced-universal graphs
我们描述了一种方式分配标签的任何无向图的顶点上的$n$顶点，每个组成的$n/2+O(1)$位，这样，给定的标签的两个顶点，没有其他信息的图形，它是可能的，以决定是否顶点是相邻的图形。这是最佳的，直到一个添加剂常数，并构成了近50年来第一次改善的$n/2+O(\log n)$约束的月球。因此，我们得到了一个诱导泛图的$n$ -顶点图只包含$O(2^{n/2})$顶点，这是最佳的乘法常数，解决了一个公开的问题Vizing从1968年。对于有向图、竞赛图和二部图，我们也得到了类似的紧结果。
2014-04-13 cs.DM cs.DS math.CO
Two floor building needing eight colors
基于办公楼频率分配问题，研究了$3$维平行六面体排列的邻接图的色数。在每个平行六面体都在一层内的情况下，四色定理的直接应用产生邻接图的色数至多为$8$。我们提供了一个这样的安排的例子，需要确切的$8$颜色。我们还讨论了$3$维平行六面体的一般安排的邻接图的色数的界限，根据平行六面体的几何措施（边长，总表面或体积）。
2014-05-26 math.CO
The $k$-metric dimension of the lexicographic product of graphs
给定一个简单连通图$G=(V,E)$和一个正整数$k$，一个集合$S\subseteq V$被称为是$G$的$k$ -度量生成元，如果对于任何一对不同的顶点$u,v\in V$，至少存在$k$顶点$w_1,w_2,\ldots,w_k\in S$，使得对于每个$i\in \{1,\ldots,k\}$，都有$d_G(u,w_i)\ne d_G(v,w_i)$，其中$d_G(x,y)$表示$x$和$y$之间的距离. $k$度量生成器的最小基数是$G$的$k$度量维数.如果任意两个不同的顶点$x,y\in V(G)$满足$|((N_G(x)\triangledown N_G(y))\cup\{x,y\})\cap S|\ge k$，则集合$S\subseteq V$是$G$的$k$ -邻接生成器，其中$N_G(x)\triangledown N_G(y)$是$x$和$y$的邻域的对称差。任何$k$ -邻接生成器的最小基数是$G$的$k$ -邻接维数。本文利用因子图的$k$ -邻接维数得到了图的字典积的$k$ -度量维数的紧界和封闭公式。
2015-10-26 math.CO
On Adjacency and e-Adjacency in General Hypergraphs: Towards a New e-Adjacency Tensor
在图中，邻接的概念被明确定义：它是顶点之间的成对关系。超图中的邻接必须结合超边多邻接性：邻接的概念需要通过引入两个新的概念来正确定义：$k$ -邻接- $k$的顶点在同一个超边中-和e-邻接-给定超边的顶点是e-邻接的。为了构建一个新的e-邻接张量，这是可解释的超图均匀化，我们设计了两个过程：第一个是超图均匀化过程（HUP），第二个是多项式均匀化过程（PHP）。PHP允许构建e-adjacency张量，而HUP确保PHP保持可解释性。这个张量是对称的，并且可以通过超边的数量来完全描述;它的阶是超图的范围，而额外的维度允许捕获额外的超图结构信息，包括每个超边的$k$ -邻接的最大水平。讨论了谱分析的一些结果。
2018-09-01 cs.DM math.CO
Labeling Schemes for Bounded Degree Graphs
研究了度有界的图的邻接标号方案$Δ= O(1)$ .特别是，我们提出了一个最佳的（添加剂常数）$\log n + O(1)$邻接标记计划有界度树。后者的计划是来自有界度外平面图的标签计划。我们的研究结果补充了最近获得的有界深度树[Fraigniaud和Korman，SODA 10]的类似界限，并可能为关闭树[Alstrup和Rauhe，FOCS 02]中邻接的长期差距提供新的见解。我们还提供了改进的标号计划有界度平面图。最后，我们利用组合数制给出了一个改进的有界度$Δ$与$(e+1)\sqrt{n} < Δ\leq n/5$的邻接标号方案。
2014-04-02 cs.DM math.CO
On the singularity of adjacency matrices for random regular digraphs
本文证明了均匀随机$d$ -正则有向图在$n$顶点上的（非对称）邻接矩阵是渐近几乎必然可逆的，假设对充分大的常数$C>0$有$\min(d,n-d)\ge C\log^2n$。该证明利用了随机正则有向图的耦合，该有向图是通过“洗牌”一对顶点的邻域形成的，以及作者最近获得的边分布的集中结果（arXiv：1410.5595）。我们还应用我们的一般方法来证明a.a.s.。Hadamard积$Σ\circ Ξ$的可逆性，其中$Ξ$是iid一致$\pm1$符号的矩阵，而$Σ$是其相关有向图满足某些“扩展”性质的0/1矩阵。
2015-11-09 math.CO math.PR
The local metric dimension of the lexicographic product of graphs
度量维度是一个得到充分研究的图参数。最近，邻接维数和局部度量维数被引入和研究。本文给出了$n$阶连通图$G$与由$n$构成的图族$\mathcal{H}$的字典积$G \circ \mathcal{H}$的局部度量维数的一般公式.我们证明了$G \circ \mathcal{H}$的局部度量维数可以用$G$的真孪生等价类和$\mathcal{H}$中图的局部邻接维数来表示.
2016-06-08 math.CO
A spectral bound for vertex-transitive graphs
对于任何有限的，无向的，非二部的，顶点可迁的图，我们建立了一个明确的下界的最小特征值的正规化邻接算子，这取决于图只通过其程度和它的等周常数。
2021-04-20 math.CO
Finite-state enumeration of adjacency-constrained 132-avoiding permutations
The University of Tokyo（东京大学）
针对固定整数m，通过引入两端端点状态分解，统一枚举满足邻域约束的132-避免排列，证明生成函数的有理性并给出显式上界，具体计算了m=2和m=3的情况，并分析了渐近行为。
2026-05-22 math.CO
Spectral Radius and maximum degree of connected graphs
根据连通图的最大度、最大直径和最大阶给出了邻接矩阵的最大特征值的一个上界。这个界限是最好的可能的常数因子，并改善了普雷沃乌斯结果的Stevanovic，张，阿龙和Sudakov。
2006-02-01 math.CO
Adjacency matrices of random digraphs: singularity and anti-concentration
设${\mathcal D}_{n,d}$是所有$d$ -正则有向图在$n$顶点上的集合.设$G$是从${\mathcal D}_{n,d}$中均匀随机选取的图，$M$是它的邻接矩阵.我们证明了$M$是可逆的概率至少$1-C\ln^{3} d/\sqrt{d}$为$C\leq d\leq cn/\ln^2 n$，其中$c, C$是正的绝对常数。为此，我们建立了PDMATHAMN-正则有向图的一些性质。其中之一，Littlewood-Offord型抗浓度特性，具有独立利益。令$J$是具有$|J|\approx n/d$的$G$的顶点的子集。令$δ_i$为顶点$i$连接到$J$的事件的指示符，并定义$δ= (δ_1, δ_2, ..., δ_n)\in \{0, 1\}^n$。则对于每个$v\in\{0,1\}^n$，$δ=v$的概率是指数小的。即使图的一部分被“冻结”，此属性也有效。
2016-10-18 math.CO math.PR
Eigenvalue bounds for some classes of matrices associated with graphs
对于给定的行和为常数的复方阵$A$，我们建立了两个新的特征值包含集。利用这些界，我们首先导出了$k$ -正则图邻接矩阵的第二大和第二小特征值的界。然后，我们给出了图的规范化邻接矩阵的次大特征值和最小特征值以及图的Laplacian矩阵的次小特征值和最大特征值的界.通过实例验证了这些界的合理性。
2020-08-25 math.CO math.SP
The Metric Dimension of Lexicographic Product of Graphs
对于连通图$G$中的顶点的有序集合$W=\{w_1,w_2,...,w_k\}$和顶点$v$，有序$k$ -向量$r(v|W):=(d(v,w_1),d(v,w_2),...,d(v,w_k))$被称为$v$关于$W$的（度量）表示，其中$d(x,y)$是顶点$x$和$y$之间的距离。如果$G$的不同顶点相对于$W$具有不同的表示，则集合$W$被称为$G$的解析集。$G$的分解集的最小基数是它的度量维数。本文研究了图$G$和$H$的字典积的度量维数，即$G[H]$ .首先，我们引入了一个新的参数，称为图的邻接度量维数。然后，根据$G$的阶和$H$的邻接度量维数，得到了$G[H]$的度量维数.
2011-03-17 math.CO
Sketching Distances in Monotone Graph Classes
该文研究单调图类中距离判定的通信问题，刻画了不同距离概要存在性与图类结构参数的等价或蕴含关系，明确了有界膨胀等性质对常数大小距离概要的关键作用。
2023-12-15 cs.DM cs.DS math.CO
Doubling constants and spectral theory on graphs
研究了在有限或无限图$G$上定义的所有可能的加倍测度中的最小加倍常数。我们表明，这个常数可以估计从下面的$1+ r(A_G)$，其中$r(A_G)$是谱半径的邻接矩阵的$G$，并研究当这两个数量一致。我们还说明了如何顺从的自同构群的图可以与寻找加倍极小。最后，我们在Smith图的基础上，给出了加倍常数小于3的图的一个完全刻画。
2021-11-17 math.CO math.MG
A Cheeger type inequality in finite Cayley sum graphs
设$G$是一个有限群，$S$是$G$与$|S| = d$的对称生成集.我们证明了如果无向Cayley和图$C_Σ(G,S)$是一个扩展图并且是非二部图，那么它的规范化邻接算子的谱是有界的，远离$-1$ .我们还建立了这些图的谱的一个显式下界，即正规化邻接算子的非平凡特征值位于区间$\left(-1+\frac{h(G)^{4}}η, 1-\frac{h(G)^{2}}{2d^{2}}\right]$中，其中$h(G)$表示$d$ -正则图$C_Σ(G,S)$和$η= 2^{9}d^{8}$的（顶点）Cheeger常数.此外，我们改进了最近获得的非二部Cayley图$C(G,S)$的规范化邻接算子的非平凡谱上的界。
2019-07-22 math.CO math.GR
On d-Walk Regular Graphs
设G是一个顶点集为1，…，n和大小为nxn的邻接矩阵A。设d（i，j）=d，称f_d：N->N是G上的d-函数，如果对每对顶点i，j和k>=d，有a_ij^（k）=f_d（k）.如果这个函数f_d存在于G上，我们说G是d-游动正则的。证明了G是d-游动正则的当且仅当对距离<=d的每一对顶点i，j，且对d<=k<=n+d-1，有a_ij^（k）独立于i，j.等价地，当c为常数时，唯一条件exp（A）*A_d=cA_d成立，其中A_d是d-距离图的邻接矩阵，* 表示Schur积.
2013-03-30 math.CO
Punctured adjacency-degree algebras of Cartesian products
Shenzhen MSU–BIT University（深圳北理莫斯科大学）；Guangdong Laboratory of Machine Perception and Intelligent Computing（广东省机器感知与智能计算实验室）
本文研究笛卡尔积图的穿孔邻接-度代数，通过局部谱生成函数和仿射秩确定循环模维数，并给出汉明图等特例的闭式结果。
2026-09-09 math.CO
Spectrum of twists of Cayley and Cayley sum graphs
设$G$是一个具有$|G|\geq 4$的有限群，$S$是$G$的子集.给定$G$的一个自同构$σ$，我们构造了扭曲Cayley图$C(G, S)^σ$（分别为.扭曲Cayley和图（$C_Σ(G, S)^σ$）被定义为具有$G$作为其顶点集的图，并且顶点$g\in G$的相邻顶点具有$σ(gs)$的形式（相应地，$σ(g^{-1} s)$）用于一些$s\in S$。如果扭曲Cayley图$C(G, S)^σ$是无向连通的，则证明了它的正规邻接算子的非平凡谱是有界的，并且这个界只依赖于它的度、$σ$的阶和$C(G, S)^σ$的顶点Cheeger常数.此外，如果扭曲Cayley和图$C_Σ(G, S)^σ$是无向连通的，则证明了它的正规化邻接算子的非平凡谱有界远离$-1$，并且这个界只依赖于它的度和$C_Σ(G, S)^σ$的顶点Cheeger常数.我们还研究了这些扭曲图的反自同构，得到了类似的结果。此外，我们证明了一个类似的结果，满足一定条件的Schreier图。
2020-08-11 math.CO
Smith and Critical groups of Polar Graphs
计算了极图族的邻接矩阵和拉普拉斯矩阵的初等因子。这些图的顶点是有限向量空间的非退化形式的各向同性一维子空间，其相邻性由正交性给出。
2018-12-15 math.CO math.RT
Eigenvalue location in graphs of small clique-width
对于常数$c$，找到一个与$A - cI$全等的对角矩阵，其中$A$是图$G$的邻接矩阵，可以让我们快速地说出给定区间内特征值的个数。如果$G$具有candle-width $k$并且对应的$k$ -表达式已知，则对角化可以在时间$O(\text{poly}(k) n)$中完成，其中$n$是$G$的阶。
2017-10-26 math.CO
Implicit representations via the polynomial method
Université libre de Bruxelles（布鲁塞尔自由大学）；Tel Aviv University（特拉维夫大学）
本文通过多项式划分方法，为半代数图构造紧凑的邻接标记方案，解决了单位圆盘图和线段交图等的邻接判定问题，改进了现有界并扩展了应用范围。
2026-04-17 cs.CG cs.DM cs.DS
Small But Unwieldy: A Lower Bound on Adjacency Labels for Small Classes
Univ. Lyon, ENS de Lyon, UCBL, CNRS, LIP（里昂大学，里昂高等师范学院，里昂第一大学，法国国家科学研究中心，信息处理实验室）；Department of Computer Science, University of Liverpool（利物浦大学计算机系）；Department of Computer Science, University of Sheffield（谢菲尔德大学计算机系）
该研究证明了小类邻接标签方案的下界，推翻了小猜想，并展示了无界双宽度的类存在。
2024-02-20 cs.DM cs.DS math.CO
Tight bounds on adjacency labels for monotone graph classes
本文研究了单调图类的邻接标记大小，给出了紧致界，并证明隐式图猜想在单调小类中成立，而在一般单调类中不成立。
2024-02-20 cs.DM cs.DS math.CO
On the numbers of 1-factors and 1-factorizations of hypergraphs
超图$G=(X,W)$的一个1-因子是一个超边集合，使得$G$的每个顶点都与该集合中的一个超边关联。1-因子分解是将$G$的所有超边划分为不相交的1-因子。$d$ -一致超图$G$的邻接矩阵是$d$ -维（0，1）-矩阵，其阶为$|X|$，使得$A$的元素$a_{α_1, \ldots, α_d}$等于1当且仅当$\left\{α_1, \ldots, α_d\right\}$是$G$的超边.本文利用一致超图的邻接矩阵的积和式估计了一致超图的1-因子数和完全一致超图的1-因子分解数。
2016-12-04 math.CO
Independent Set Enumeration and Estimation of Related Constants of Grid Graphs and Their Variants
本研究利用张量网络收缩算法枚举网格图及其变体的独立集，分析表面与奇偶效应，估计相关常数，并为OEIS序列贡献新项，其中硬方形熵常数估计更精确。
2025-08-08 math.CO
The Terwilliger Algebra of a Distance-Regular Graph of Negative Type
设$Γ$表示直径为$D \ge 3$的距离正则图。假设$Γ$具有经典参数$(D,b,α,β)$和$b < -1$。令$X$表示$Γ$的顶点集，令$A \in MX$表示$Γ$的邻接矩阵。固定$x \in X$，并让$A^* \in MX$表示相应的对偶邻接矩阵。令$T$表示由$A, A^*$生成的$MX$的子代数。我们称$T$为$Γ$关于$x$的{ \em Terwilliger代数}。我们证明了直到同构存在两个端点为1的不可约$T$ -模，它们的维数分别为$D$和$2D-2$ .对于这些$T$ -模，我们给出了一个由$A^*$的特征向量组成的基，并且对于每个基，我们给出了$A$的作用
2008-04-10 math.CO
Skew-rank of an oriented graph in terms of the rank and dimension of cycle space of its underlying graph
设$G^σ$是一个定向图，$S(G^σ)$是它的斜邻接矩阵，其中$G$称为$G^σ$的底层图.由$sr(G^σ)$表示的$G^σ$的偏斜秩是$S(G^σ)$的秩。用$d(G)=|E(G)|-|V(G)|+θ(G)$表示$G$的循环空间的维数，其中$|E(G)|$、$|V(G)|$和$θ(G)$分别是$G$的边数、顶点数和连通分支数。最近，Wong，Ma和Tian [European J. Combin. 54（2016）76--86]证明了$sr(G^σ)\leq r(G)+2d(G)$对于一个定向图$G^σ$，其中$r(G)$是$G$的邻接矩阵的秩，并刻画了斜秩达到上界的图.然而，关于一个定向图$G^σ$的$sr(G^σ)$关于其基础图$G$的$r(G)$和$d(G)$的下界问题至今没有解决.本文证明了定向图$G^σ$的$sr(G^σ)\geq r(G)-2d(G)$，并刻画了斜秩达到下界的图。
2016-12-15 math.CO
Central limit theorems for linear spectral statistics of inhomogeneous random graphs with graphon limits
本文在所有稀疏性区域上建立了非齐次随机图邻接矩阵线性谱统计量的中心极限定理，给出基于图极限同态密度的显式协方差公式，并揭示了中心化效应及稀疏区域中的新相变。
2025-04-08 math.CO math.PR
On the Spectra of Simplicial Rook Graphs
\emph{simplicial rook graph} SR（d，n）是其顶点是$\mathbb{R}^d$中标准单形的$n$次扩张中的格点的图，如果两个顶点恰好在两个坐标上不同，则它们相邻。证明了SR（3，n）的邻接矩阵和Laplacian矩阵对每个$n$都有整谱.通过计算一个显式特征基来进行证明。我们猜想SR（d，n）对所有的$d$和$n$都是可积的，并给出了支持这一猜想的证据.对于$n<\binom{d}{2}$，证据表明邻接矩阵的最小特征值是$-n$，并且相应的特征空间具有由Mahonian数给出的维数，Mahonian数通过反转数来枚举排列。
2014-05-05 math.CO
Further Results on the Quadratic Embedding Constants of Corona Graphs
Institut Teknologi Bandung（印度尼西亚科技大学）；Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Institut Teknologi Bandung（印度尼西亚科技大学数学与自然科学学院）
本文研究冠图的二次嵌入常数，分析其与图谱性质的关系，并推导出相关集合的显式描述，最终给出计算冠图二次嵌入常数的条件。
2026-03-16 math.CO
The Rank of Random Graphs
我们证明了Erdös-Rényi随机图$G(n,p)$的邻接矩阵的秩几乎必然等于任意$c\ln n/n<p<1/2$的非孤立点的个数，其中$c$是大于1/2的任意正常数.特别地，巨分量（a.s.）在这个范围内都有军衔
2006-06-17 math.CO math.PR
A Cheeger inequality for the lower spectral gap
本文针对多类无向非二分图，证明边二分常数、顶点二分常数与归一化邻接算子最小特征值的下界，肯定回答了下谱隙的 Cheeger 型问题。
2023-06-22 math.CO
New spectral bounds on the chromatic number encompassing all eigenvalues of the adjacency matrix
本文的目的是改进现有的色数χ的下界。令mu_1，...，mu_n是以非递增顺序排序的邻接矩阵的特征值。首先，我们证明了下界chi >= 1 + max_m { sum_{i=1} ^m mu_i / - sum_{i=1} ^m mu_{n-i+1} }，其中m=1，.，n-1。这推广了仅涉及最大和最小特征值的霍夫曼下界，即，案件$m=1$。我们提供了几个新的界限超过{ \sc Hoffman}下限的例子。其次，我们猜想下界chi >= 1 + S^+ / S^-，其中S^+和S^-分别是正负特征值的平方和。为了证实这个猜想，我们证明了较弱的界chi >= S^+/S^-。我们证明了几类图的约束下界是紧的。我们还进行了各种搜索的反例，但没有发现。我们的证明依赖于一个新的技术转换的邻接矩阵到零矩阵的共轭与酉矩阵和使用优化的自伴随矩阵的频谱。我们还证明了上述界实际上是图的正规化正交秩的下界，它总是小于或等于图的色数。归一化正交秩是使得可以将具有模1的条目的向量分配给顶点使得如果对应的顶点被连接则两个这样的向量正交的最小维度。当我们用W * A代替邻接矩阵A时，所有这些界也是有效的，其中W是任意的自伴随矩阵，* 表示Schur积，即W和A的条目积。
2012-09-14 cs.DM math.CO quant-ph
On the Relativized Alon Second Eigenvalue Conjecture VI: Sharp Bounds for Ramanujan Base Graphs
这是第六次在一系列的文章致力于表明，一个典型的覆盖地图的大程度上一个固定的，经常图有其新的邻接特征值范围内的阿隆所确定的随机正则图。本文证明了如果固定图是正则Ramanujan图，则随机覆盖图模型的{ \em代数幂}是$+\infty$ .这意味着许多有趣的结果，例如（1）对于随机覆盖映射在Alon界之外具有一些新的邻接特征值的概率，获得了上界和下界--在乘法常数内匹配，以及（2）概率小于覆盖映射的度的任何负幂，一些新的特征值未能在Alon界内，而覆盖映射不包含许多“缠结”中的一个作为子图（并且这种缠结包含事件具有低概率）。
2019-11-13 cs.DM math.CO
Spectral non-concentration near the top for unimodular random graphs
本文将有限连通有界度图谱顶部特征值非集中性结果推广到无限单模随机图，证明邻接算子谱分布在顶部无原子，并对无限正则扩张图给出谱测度顶部奇异性估计，进而得到随机游走返回概率的新估计。
2024-01-13 math.CO math.PR
Adjacency Labeling Schemes for Small Classes
本文研究小图类的邻接标号方案，证明弱稀疏小类有隐式表示，并将遗传小类的标号上界改进至 O(log^3 n) 位，为小隐式图猜想提供证据。
2024-09-07 cs.DM cs.DS math.CO
On the Binary Rank of Matrices with Constant Real Rank
The Academic College of Tel Aviv-Yaffo（特拉维夫雅福学术学院）
本研究为实秩常数矩阵的二元秩提供纯数学证明与通用上界方法，并解决实秩5矩阵最大二元秩的开放问题，同时给出二部图边划分所需最少双团数的界。
2026-10-14 cs.DM math.CO
On the Bipartiteness Constant and Expansion of Cayley Graphs
设$G$是一个有限的无向$d$-正则图，$A(G)$是它的归一化邻接矩阵，其特征值为$1 = λ_1(A)\geq \dots \ge λ_n \ge -1$. $λ_n = -1$当且仅当$G$是二分的，这是一个经典的事实.我们的主要结果提供了一个定量的分离$λ_n$从$-1$的情况下，凯莱图，在其扩展。表示$h_{out}$的（外边界）顶点扩展的$G$，我们表明，如果$G$是一个非二部凯莱图（构造使用一个组和一个对称生成集的大小$d$），然后$λ_n \ge -1 + ch_{out}^2/d^2\,,$的$c$的绝对常数。我们展示的图形，这一结果是紧到一个因素取决于$d$。这改进了Biswas和Saha最近的一个结果，他们证明了$λ_n \ge -1 + h_{out}^4/(2^9d^8)\,.$。我们还注意到，这样的结果对于一般的非二部图是不成立的。
2021-11-01 cs.DM math.CO
On the Relativized Alon Second Eigenvalue Conjecture V: Proof of the Relativized Alon Conjecture for Regular Base Graphs
这是第五次在一系列的文章致力于表明，一个典型的覆盖地图的大程度上一个固定的，经常图有其新的邻接特征值范围内的阿隆所确定的随机定期图。本文利用本系列第三、四篇的结果证明了：如果基图是正则的，则当覆盖映射的度$n$趋于无穷大时，某个新的邻接特征值绝对值在Alon界之外，且概率为$O(1/n)$ .此外，我们给出了这个概率的上界和下界，它们紧到一个乘法常数乘以覆盖映射的度。这些界依赖于随机覆盖映射模型的\emph{algebraic power}（也可以是$+\infty$）和\emph{tangle power}两个正整数。我们猜想我们所研究的模型的代数幂总是$+\infty$，并且在第六篇中我们证明了当基图是正则的并且是\emph{Ramanujan}时这一点。当模型的代数幂为$+\infty$时，本文的结果意味着更强的结果，例如（1）上述上界和下界在乘法常数内匹配，（2）概率小于度的任何负幂，只有当覆盖图包含许多“缠结”中的一个作为子图（并且这种事件的概率很低）时，某些新的特征值才不在Alon界之内。
2019-11-13 cs.DM math.CO
On Cycles in Random Graphs
本文研究了$d-$维环面上的几何随机图，其距离测度为$1 \leq σ\leq \infty$.我们的主要结果是一个确切的概率，一个特定的标记周期存在于这个随机图的特征。对于$σ= 2$和$σ= \infty$，我们使用这个特性来推导出一个系列，评估的周期概率。因此，我们得到了随机图中Hamilton圈的期望数的精确公式（当$σ= \infty$和$σ= 2$）。我们还考虑了随机图的邻接矩阵，并导出了关于邻接矩阵的特征值（从而是行列式）的初等对称函数的期望值的递推关系，以及关于邻接矩阵的积和式的期望值的递推关系。循环概率在这些递推关系中具有显著的特征。我们计算这些数量的几何随机图（在$σ= 2$和$σ= \infty$的情况下）与多达$20$顶点，并比较它们与相应的数量的Erdös-Rényi（ER）随机图具有相同的边缘概率。计算表明，GR图中Hamilton圈数快速增长的阈值（以及邻接矩阵的积和式快速增长的阈值）比ER图中的低.然而，随着顶点数$n$的增加，GR和ER阈值之间的差减小，并且在两种情况下，阈值$\sim \log(n)/n$减小。此外，我们观察到，预期的行列式可以采取非常大的值。这给对称$0/1$矩阵的极大行列式问题带来了一些启发。
2010-09-30 cs.DM math.CO
Multi-layered planar firefighting
考虑一个火在图中蔓延的模型;最初一些顶点在燃烧，在每个给定的时间步，火从燃烧的顶点蔓延到它们的邻居。消防员问题是一个纸牌游戏，其中允许玩家在每个时间步保护一些未燃烧的顶点（通过有效删除它们）以控制火势的蔓延。为了阻止火势无限蔓延，平均每回合必须保护多少个顶点？在这里，我们考虑的问题$\mathbb{Z}^2\times [h]$的最近邻邻接和强邻接。我们确定这些图的临界保护率分别为$1.5h$和$3h$。这确立了这样一个事实，即对所有层并行使用最优二维策略是渐进最优的。
2021-05-08 cs.DM math.CO
The non-backtracking random walk and its usage for vertex clustering
Budapest University of Technology and Economics（布达佩斯技术与经济大学）
本文通过非回溯矩阵和转移概率矩阵的特征值关系，提出基于非回溯随机游走的顶点聚类方法，并开发“膨胀-收缩”技术应用于实际图数据。
2026-08-25 math.CO math.ST stat.TH
Broadcast Dimension of Graphs
在本文中，我们开始研究广播维数，度量维数的一个变种。设$G$是一个顶点集为$V(G)$的图，$d(u,w)$表示$G$中$u-w$测地线的长度。对于$k \ge 1$，设为$d_k(x,y)=\min \{d(x,y), k+1\}$。函数$f: V(G) \rightarrow \mathbb{Z}^+ \cup \{0\}$被称为$G$的解析广播，如果对于任何不同的$x,y \in V(G)$，存在顶点$z \in V(G)$使得$f(z)=i>0$和$d_{i}(x,z) \neq d_{i}(y,z)$。$G$的广播维度$bdim(G)$是$G$的所有解析广播上的$c_f(G)=\sum_{v \in V(G)} f(v)$的最小值，其中$c_f(G)$可以被视为用于解析由图$G$描述的整个网络的发射机（各种强度）的总成本。请注意，如果解析广播的共域被限制为$\{0,1\}$，则$bdim(G)$简化为$adim(G)$（$G$的邻接维度，由Jannesari和Omoomi在2012年引入）。我们确定它的值的循环，路径，和其他家庭的图。我们证明了对于所有阶为$n$的图$G$，都有$bdim(G) = Ω(\log{n})$，并且这个结果是尖锐的，直到一个常数因子。我们证明了$\frac{adim(G)}{bdim(G)}$和$\frac{bdim(G)}{dim(G)}$都…
2020-05-15 cs.DM math.CO
The circular law for random regular digraphs
对于充分大的常数$C>0$，设$\log^Cn\le d\le n/2$，$A_n$表示均匀随机$d$ -正则有向图在$n$顶点上的邻接矩阵.我们证明，$n$趋于无穷大，经验谱分布的$A_n$，适当重新缩放，是由圆形定律。关键的一步是获得$A_n$的加性扰动的最小奇异值的定量下界。
2017-08-07 math.CO math.PR
Many nodal domains in random regular graphs
该研究针对随机正则图的邻接矩阵特征向量节点域问题，证明对任意常数，高概率下特征值小于某值的所有特征向量均具有polylog量级的节点域，丰富了随机正则图谱性质相关研究。
2021-10-25 cs.DM math-ph math.CO
Frames for signal processing on Cayley graphs
本文提出基于表示论的加权凯莱图谱分解方法，并构建Frobenius-Schur框架与凯莱框架，以支持凯莱图上的稳定信号处理。
2024-11-04 cs.IT eess.SP math.CO
The smallest singular value of dense random regular digraphs
设$A$是一个$d$-正则有向图在$n$顶点上的邻接矩阵，并假设$\min(d,n-d)\geqλn$。我们表明，对于任何$κ\geq 0$，\[\mathbb{P}[s_n(A)\leqκ]\leq C_λκ\sqrt{n}+2e^{-c_λn}.\]直到常数$C_λ, c_λ> 0$，我们的界匹配$n\times n$随机矩阵的最优界，其每个条目是一个独立同分布的$\text{Ber}(d/n)$随机变量。我们的结果的特殊情况$κ= 0$证实了Cook关于稠密随机正则有向图奇异概率的一个猜想。
2020-08-11 math.CO math.PR
The Smith group and the critical group of the Grassmann graph of lines in finite projective space and of its complement
本文计算了有限向量空间中$2$维子空间上Grassmann图的邻接矩阵和Laplacian矩阵的初等因子。我们还计算了相应的互补图的不变量。
2017-06-05 math.CO math.GR
Free Lamplighter Groups and a Question of Atiyah
我们计算的冯诺依曼维数的核的邻接算子的自由lampighter组，并表明它们是不合理的，从而提供了一个基本的建设性的回答问题的Atiyah。
2011-06-17 math.CO math.GR math.OA
