Gaussian Random Measures Generated by Berry's Nodal Sets
我们考虑向量的随机变量，通过限制长度的节点集的Berry的随机波模型的有限集合（可能重叠）光滑的紧子集的$\mathbb{R}^2$。我们的主要结果表明，作为能量发散到无穷大，并经过适当的规范化，这些随机元收敛分布的高斯向量，其协方差结构再现了一个均匀的独立分散的随机措施。我们的分析的一个副产品是，当限制到矩形，占主导地位的混沌投影的节点长度字段弱收敛到一个标准的维纳单，在巴拿赫空间的实值连续映射在一个固定的紧集。一个类似的研究进行复值随机波，在这种情况下，节点集是一个局部有限的随机点的集合。
2019-09-12 math-ph math.MP math.PR
Topologies of nodal sets of random band limited functions
证明了随机（高斯）带限函数的零集和结点集的拓扑和嵌套具有普遍的分布规律。这些分布的支持的定性特征被确定。特别是适用于随机单色波和随机实代数超曲面在射影空间。
2014-11-23 math-ph math.MP math.PR
Random Nodal Lengths and Wiener Chaos
在这次调查中，我们收集了一些最近的结果在“节点几何”的随机本征函数的黎曼曲面。我们专注于渐近行为，高能量水平，高斯拉普拉斯本征函数的节点长度的环面（算术随机波）和球（随机球谐函数）。我们给一些洞察力的贝里的取消现象和节点长度的二阶波动（非高斯的环面和高斯球）的混沌成分的性质。最后考虑了单色随机波的一般情况，即紧致黎曼曲面上拉普拉斯算子的本征函数的高斯随机线性组合，其尺度极限为Berry随机波模型。对于后者，我们提出了一些最近的结果，其节点长度的渐近分布在高能量极限（等价地，增长域）。
2018-03-26 math-ph math.MP math.PR
Expected nodal volume for non-Gaussian random band-limited functions
在一般情况下，确定了随机非高斯单色带限函数期望节体积的渐近律。我们的方法结合了微观局部分析技术和现代概率论。需要克服的一个特别具有挑战性的障碍是节点体积可能集中在一小部分歧管上，这需要两个学科的解决方案。对于节块体积分布的一些细微方面，如方差等，非高斯单色函数与高斯单色函数相比，其性质可能有所不同，并提出了相应的解释。
2021-09-07 math-ph math.MP math.PR
Direction distribution for nodal components of random band-limited functions on surfaces
设$(M,g)$是一个无边界的光滑紧致黎曼曲面。给定一个在$M$上具有多个零点的光滑向量场$V$，研究了随机带限函数节点分量与$V$相切的个数的分布.它是确定的，在高能量的限制，这些服从一个普遍的确定性的法律，独立的表面$M$和向量场$V$，这是支持精确的偶数$2 \mathbb{Z}_{> 0}$。
2019-10-23 math-ph math.DG math.MP
Nodal Statistics of Planar Random Waves
我们考虑Berry的随机平面波模型（1977）的一个积极的拉普拉斯本征值$E>0$，无论是在真实的和复杂的情况下，并证明极限定理的节点统计与光滑的紧凑的区域，在高能量极限（$E\to \infty$）。我们的主要结果是，节点长度（真实情况）和节点交叉点的数量（复杂情况）都验证了中心极限定理，这与平坦$2$ -torus上的实数和复数算术随机波观察到的非高斯行为形成鲜明对比，参见Marinucci et al.（2016）和Dalmao et al.（2016）。我们的研究结果可以很自然地重新表述为一个单一的随机波限制到一个紧凑的域发散到整个平面的节点统计。因此，它们可以与Canzani和Hanin（2016）的最新结果有效地结合起来，以表明在各向同性标度的任何点和足够快的能级发散，任何高斯拉回单色波的节长验证了与Berry模型具有相同标度的中心极限定理。作为我们分析的一个显著副产品，我们严格地证实了Berry（2002）中导出的各向同性随机波的节长方差和节交点数方差的渐近行为。
2023-01-31 math-ph math.MP math.PR
Planck-scale distribution of nodal length of arithmetic random waves
我们研究随机toral拉普拉斯本征函数（“算术随机波”）限制到减少域（“收缩球”）的节长，一直到普朗克尺度。我们发现，到一个自然的缩放，为“通用”的能量的方差的限制节点长度服从相同的渐近规律的总节点长度，这些是渐近完全相关的。除其他事项外，这允许基于部分信息对完整的海岸长度进行统计重建。我们的工作的一个关键的新成分，借用数论，是使用所谓的谱准相关性的界限，即位于同一个圆上的格点的异常小的总和。
2018-06-11 math-ph math.MP math.NT
The Asymptotic Equivalence of the Sample Trispectrum and the Nodal Length for Random Spherical Harmonics
本文研究了高阶随机球谐函数$2d$--$\ell \rightarrow\infty$的球谐函数$f_{\ell}$的节长的渐近行为，即它们的零点集$f_{\ell}^{-1}(0)$的长度.结果表明，在$L^{2}$意义上，节点长度与“样本三谱”渐近等价，即，$H_{4}(f_{\ell}(x))$的积分，即$f_{\ell}$值的四阶Hermite多项式。一个特殊的副产品，这是一个定量的中心极限定理（Wasserstein距离）的节点长度，在高能量极限。
2017-05-16 math-ph math.MP math.PR
On the nodal lines of random and deterministic Laplace eigenfunctions
在本调查中，我们提出了一些最近的结果，关于随机高斯本征函数（在谱简并的情况下）或波包和相关问题的节线的几何形状。最基本的例子是球面，其中谱简并允许我们考虑随机本征函数（即赋予本征空间高斯概率测度），而相应的本征空间是球谐函数的空间;该模型是本综述的主要焦点。所列的成果清单绝不是完整的。
2011-03-01 math-ph math.MP math.PR
Random Complex Zeroes and Random Nodal Lines
在这些笔记中，我们描述了最近的进展，在理解两个显着的高斯随机函数的零集：高斯整函数与不变分布的零点关于等距的复平面，和高斯球谐函数的二维球。
2010-03-22 math-ph math.CV math.MP
Eigenvectors of random graphs: Nodal domains
本文对随机图的特征向量进行了系统的研究。尽管关于图的特征值以及它们如何反映底层图的属性已经知道很多，但关于相应的特征向量却知之甚少。本文的主要重点是与不同本征函数相关的节点域。在类似的领域的拉普拉斯的黎曼流形，节点域一直是主题的深入研究了一百多年。图形节点域原来有有趣的和意想不到的性质。我们的主要定理断言，有一个常数c，使得几乎每个图G，G的每个特征函数有最多两个大的节点域，此外，在这些主要领域之外的最多c个例外顶点。我们还讨论了这些问题的变化，并简要报告了一些数值实验，特别是，建议几乎肯定有两个节点域，没有例外的顶点。
2009-11-02 math.CO math.PR math.SP
Topologies of nodal sets of random band limited functions
证明了随机（高斯）带限函数的零集和结点集的拓扑和嵌套具有普遍的分布规律。这些分布的支持的定性特征被确定。特别是适用于随机单色波和随机实代数超曲面在射影空间的结果。
2018-05-17 math.PR math.SP
Nodal intersections for random eigenfunctions on the torus
我们调查的节点交叉的随机高斯拉普拉斯本征函数的标准的二维平面环面（“算术随机波”）与一个固定的实解析参考曲线与非零曲率。期望的相交数与参考曲线的长度乘以波数成正比，与几何无关。我们的主要结果规定的节点交点方差解析曲线在高能量极限的渐近行为;值得注意的是，它是依赖于两个角分布的格子点躺在圆上的半径对应于给定的波数，和给定的曲线的几何形状。特别是，这意味着节点交叉数承认一个普遍的渐近规律，具有任意高的概率。
2014-06-29 math-ph math.MP math.NT
Nodal intersections for random waves on the 3-dimensional torus
本文研究了标准三维平面环面上随机高斯拉普拉斯本征函数与固定光滑参考曲线的节点交点的个数，该参考曲线的曲率无处消失。期望的相交数与参考曲线的长度乘以波数成普遍比例，与几何无关。我们的主要结果给出了一个约束的方差，如果要么扭曲的曲线是无处为零，或者如果曲线是平面的。
2016-05-12 math-ph math.MP math.NT
Fluctuations of the nodal length of random spherical harmonics, erratum
利用球面（球谐函数空间）上拉普拉斯本征空间的重数，我们赋予该空间高斯概率测度。这就引出了具有拉普拉斯本征值$E=n(n+1)$的次数$n$的随机高斯球谐函数的概念。研究了随机球谐函数节线的长度分布。已知期望长度为$n$阶。由于自然缩放，很自然地推测方差应该是$n$阶。我们的主要结果是，由于一个意想不到的取消，随机球谐函数的节长的方差是顺序$\log{n}$。这种行为与Berry对混沌台球（随机波模型）上的节线的预测一致。此外，我们发现，类似的结果是适用于“通用”的线性统计的节线。
2011-09-08 math-ph math.MP math.PR
Nodal Sets of Random Eigenfunctions for the Isotropic Harmonic Oscillator
考虑${\bf R}^n$上各向同性半经典谐振子固定能级的高斯随机本征函数（Hermite函数）。我们计算了半经典极限$h \to 0.$中随机本征函数的零的期望密度。在允许区域中，密度为$h^{-1},$阶，而在禁止区域中，密度为$h^{-\frac{1}{2}}$阶。E.J. Heller的计算机图形说明了允许节点集和禁止节点集之间的“频率”差异。
2013-11-12 math-ph math.MP math.PR
Nodal deficiency of random spherical harmonics in presence of boundary
我们考虑一个随机高斯模型的拉普拉斯本征函数的半球满足Dirichlet边界条件沿赤道。对于这个模型，我们找到了一个精确的渐近律相应的零密度函数，在短期（边界附近）和长期（远离边界）制度。作为一个推论，我们能够找到一个对数负偏置的总节长的这个合奏相对于旋转不变模型的随机球谐函数。Jean Bourgain的研究，以及他对拉普拉斯本征函数的节点几何的热情方法，在该领域和当前趋势中产生了至关重要的影响。他在谱相关性方面的工作（Krishnapur，Kurlberg和Wigman（2013）中的定理2.2）以及与Bengeri的联合（Bourgain和Bengeri（2015））为正在进行的关于算术味道表面上定义的函数的节点长度的积极研究打开了一扇门，如环面或正方形。此外，Bourgain关于环面拉普拉斯本征函数的工作（Bourgain（2014）），也吸引了频谱相关性，允许从随机高斯对应物中推断确定性结果。
2020-11-03 math-ph math.MP math.PR
Counting open nodal lines of random waves on planar domains
我们计算光滑平面区域上随机波{ \em open}节线数目的渐近期望。我们发现对于长能量窗$[0,λ]$和短能量窗$[λ,λ+1]$，开放节线的期望数目与$λ$成正比，渐近地为$λ\to\infty$。我们的结果与Blum，Gnutzmann和Smilansky \cite{BGS}在物理学文献中的预言是一致的。
2009-03-17 math-ph math.MP math.PR
Non-Universality of Nodal Length Distribution for Arithmetic Random Waves
“算术随机波”是二维环面上的高斯拉普拉斯本征函数（Rudnick和Wigman（2008），Krishnapur，Kurlberg和Wigman（2013））。在本文中，我们发现，它们的节长收敛到一个非普适（非高斯）的极限分布，依赖于角分布的格点躺在圆。我们的论点有两个主要成分。对节点长度的Wiener-Itô混沌展开式的显式推导表明，它主要由其$4$阶混沌分量控制（特别是，令人有些惊讶的是，二阶混沌分量消失了）.其余的论证依赖于对四阶混沌分量的精确分析。
2016-06-30 math-ph math.MP math.NT
On the distribution of the nodal sets of random spherical harmonics
本文研究了$\spheredim$维球面上拉普拉斯算子的本征函数节集的长度。众所周知，对应于$\eigval=n(n+\spheredim-1)$的本征空间是次数为$n$、维数为$\eigspcdim$的球谐函数的空间$\eigspc$。利用特征值的重数赋予$\eigspc$高斯概率测度，研究了随机选取函数节点集的$\spheredim$维体积的分布.预期体积与$\sqrt{\eigval}$成比例。我们的主要结果之一是将体积的方差限制为$O(\frac{\eigval}{\sqrt{\eigspcdim}})$。除了节点集的体积外，我们还研究了节点集的Leray测度。对于每个$n$，Leray测度的期望值是$\frac{1}{\sqrt{2π}}$。我们能够确定方差的渐近形式是$\frac{const}{\eigspcdim}$。
2008-11-13 math-ph math.MP math.PR
Random waves on $\mathbb{T}^3$: nodal area variance and lattice point correlations
本文研究了$\mathbb{T}^3=\mathbb{R}^3/\mathbb{Z}^3$（“$3d$算术随机波”）上随机高斯拉普拉斯本征函数的系综，并研究了它们的节点表面积分布。预期面积与本征值的平方根或本征函数的“能量”成比例。我们表明，节点面积方差服从渐近规律。所得的渐近公式与球面上格点的角分布和相关性密切相关。
2017-08-23 math.NT math.PR
Spectral quasi correlations and phase-transitions for the nodal length of Arithmetic Random Waves
谱准相关性是小的总和格点躺在同一个圆圈，我们表明，对于通用整数表示为两个平方和，有没有谱准相关性。此外，我们应用我们的结果来研究节点长度的算术随机波在小尺度上：我们表明，存在一个相变的节点长度的分布在普朗克尺度以上的对数幂。此外，我们给出了强有力的证据之间的算术和贝瑞的随机波的中间阶段的存在。
2021-09-09 math.NT math.PR
Nodal area distribution for arithmetic random waves
我们得到了随机高斯拉普拉斯本征函数在$\mathbb{T}^3= \mathbb{R}^3/ \mathbb{Z}^3$（$3$维“算术随机波”）上的节点面积的极限分布.我们证明，作为本征空间的多重性趋于无穷大，节点面积收敛到一个普遍的，非高斯分布。普适性来自球面上格点的均匀分布。我们的论点依赖于节点区域的维纳混沌扩展：我们表明，类似于（Marinucci，Peccati，Rossi和Wigman，2016），波动由四阶混沌分量主导。证明建立在最近的结果（Benatar和Mackalucci，2017）的基础上，该结果为球面上格点的非退化相关性的数量建立了上界。最后讨论了结果的高维推广。
2017-08-25 math.PR
Functional Convergence of Berry's Nodal Lengths: Approximate Tightness and Total Disorder
本文研究Berry随机平面波模型，通过分析节点长度在第二Wiener混沌上的投影，结合矩估计与紧性准则，证明了高能极限下节点长度的空间泛函极限定理。
2022-09-08 math-ph math.MP math.PR
Topology of the nodal set of random equivariant spherical harmonics on $S^3$
我们证明了$S^3$上的等变球谐函数的实部和虚部几乎必然有一个节点分量。此外，如果球谐函数的次数为$N$，等方差度为$m$，则期望亏格与$m \left(\frac{N^2 - m^2}{2} + N\right) $成比例。因此，如果$\frac{m}{N}= c $用于固定的$0 < c < 1$，则属具有$N^3$阶。
2019-08-02 math.DG math.PR math.SP
Asymptotic distribution of nodal intersections for arithmetic random waves
本文研究了随机高斯随机拉普拉斯本征函数（算术随机波）与固定光滑参考曲线的交点数。期望的相交数与特征值的平方根乘以曲线的长度成正比，与曲线的几何形状无关。Rudnick-Wigman解决了方差的渐进行为;他们发现了曲率无处消失的“一般”曲线的精确渐进定律，这取决于其几何形状和位于对应于拉普拉斯本征值的圆上的格点的角分布。他们还发现存在特殊的“静态”曲线，其方差的数量级较小，尽管没有规定在这种情况下真正的渐近行为是什么。本文研究了节点交点数极限分布的一些较细的方面。对于“一般”曲线，我们证明了中心极限定理（至少，对于“大多数”能量）。对于上述静态曲线，我们建立了节点交点分布的非高斯极限定理，并在相应格点的良好分离性假设下，找到了大多数特征值所满足的波动的真实渐近行为。
2018-06-25 math-ph math.MP math.NT
Moderate Deviation estimates for Nodal Lengths of Random Spherical Harmonics
证明了随机球谐函数节点长度的中偏差估计在全球面上和收缩球面域上都是成立的。后者的中心极限定理最近分别在Marinucci，Rossi and Wigman（2020）和Todino（2020）中建立。我们的证明是基于Schulte和Thäle（2016）对生活在固定Wiener混沌中的随机变量序列的中偏差原理与基于指数等价概念的众所周知的结果的组合。
2020-10-29 math.PR
A Note on the Reduction Principle for the Nodal Length of Planar Random Waves
受最近工作[MRW 20]的启发，我们证明了平面随机波$B_{E}$的节长，即其零集$B_{E}^{-1}(0)$的长度，在$L^{2}$意义下和在高频极限$E\rightarrow \infty$下渐近等价于$H_{4}(B_{E}(x))$的积分，$H_4$是第四Hermite多项式。作为一个直接的结果，我们得到了Wasserstein距离的一个中心极限定理。这补充了[NPR 19]和[PV 20]中的最新发现。
2020-07-08 math.PR
On the expected Betti numbers of the nodal set of random fields
本文研究了黎曼流形上一类重要的随机场高斯系综的节点集的期望总贝蒂数的渐近性。通过使用定义在欧几里得空间上的极限随机场，我们能够获得局部精确的渐近结果，尽管由于大的非线性分量的可能的正贡献，这不允许推断出全局结果。作为一个副产品，我们的分析，我们完善的下界的Gayet-Welschinger的重要Kostlan合奏随机多项式和其推广到凯勒流形。
2019-03-01 math.PR
Boundary effect on the nodal length for Arithmetic Random Waves, and spectral semi-correlations
我们测试M。Berry关于有边界时节点亏度的证明。方台球进行了研究，其中的高光谱退化允许引入随机拉普拉斯本征函数的高斯系综（“边界适应算术随机波”）。作为一个精确的渐近分析的结果，两个条款中的渐近展开的预期节长推导出，在高能量极限沿一个通用序列的能级。结果表明，节长的精确节亏或节盈与能级的算术性质有着显式的关系。为了得到上述结果，我们应用Kac-Rice方法计算高斯随机场的期望节长。这样的应用程序揭示了主要的障碍，例如，“坏”子域的出现，人们希望，有助于节点长度微不足道。幸运的是，我们能够减少这一贡献计数的"谱半相关性"，一个概念加入喜欢的"谱相关性"和"谱准相关性"的节点长度的算术动力系统的影响数论问题。这项工作依赖于几个突破性的技术，J。布尔甘，他的兴趣在这个问题上帮助形成它在很大程度上，和他的基本工作的光谱相关性，联合E。贝耶里，对这个领域产生了至关重要的影响。
2019-03-25 math.NT math.PR
Concentration for nodal component count of Gaussian Laplace eigenfunctions
研究了$\mathbb{R}^2$上的单色随机波（MRW）、$\mathbb{T}^2$上的算术随机波（ARW）和$\mathbb{S}^2$上的随机球谐函数（RSH）的节点分量计数。Nazarov-Sodin和Rozenshein分别建立了$\mathbb{S}^2$上RSH和$\mathbb{T}^2$上ARW节点成分计数的指数浓度。我们证明了指数浓度的节点组件计数在以下三种情况下：MRW增长的欧几里得球在$\mathbb{R}^2$ ; RSH和ARW测地线球，分别在$\mathbb{S}^2$和$\mathbb{T}^2$，其半径略大于波长尺度。
2020-12-18 math.PR
On the absolute continuity of random nodal volumes
本文研究了光滑、非退化、平稳高斯场$(f(x), {x \in \mathbb R^d})$的结点体积分布关于勒贝格测度的绝对连续性。在适当的条件下，我们证明了在$d\geq 3$维中，节点体积的分布有一个绝对连续的分量加上一个可能的奇异部分。这个奇异部分实际上是不可避免的，因为某些高斯过程在某些紧域上有正概率保持常数符号。我们的策略主要包括在证明封闭的卡茨-赖斯型公式，允许一个表达的体积集$\{f =0\}$作为积分的显式泛函的$(f,\nabla f,\text{Hess}(f))$和下推导出的随机节点体积属于域的适当的Malliavin梯度。著名的布劳-赫希标准，然后给出了确保绝对连续性的条件。
2018-11-12 math.PR
Non-Universal Moderate Deviation Principle for the Nodal Length of Arithmetic Random Waves
本文受[MRT21]启发，利用混沌展开与大偏差理论技巧，证明了算术随机波节点长度在整个流形及收缩环面域上的非普适非中心中等偏差原理。
2024-01-17 math.PR
Fluctuations in the number of nodal domains
Kent State University（肯特州立大学）；Tel Aviv University（特拉维夫大学）
研究证明二维高斯随机球面谐波零集连通分支数方差随n增长，方法适用于任意正则高斯随机函数，连接节点线波动与平面图四度随机环集波动，支持Bogomolny-Schmit猜想。
2020-06-13 math-ph math.CA math.MP
Nodal Lengths in Shrinking Domains for Random Eigenfunctions on $\mathbb{S}^2$
本文研究了二维收缩域上随机球谐函数节线的渐近行为，零点集$\mathcal{Z}_{\ell,r_\ell} := \mathcal{Z}^{B_{r_{\ell}}}(T_\ell)=\text{len}(\{x \in \mathbb{S}^2 \cap B_{r_\ell}: T_\ell(x)=0 \})$的长度，其中$B_{r_{\ell}}$是半径为$r_\ell$的球冠。我们表明，在高能量极限的节长的方差是对数的，而且，它是渐近完全等价的，在$L^2$ -意义上，“本地样本三谱”，即，球上的四阶Hermite多项式的积分。这一结果推广和推广了最近的一些研究结果的全球的情况下。从而建立了一个中心极限定理。
2020-10-15 math.PR
Betti numbers of random nodal sets of elliptic pseudo-differential operators
给定一个下有界的椭圆自伴伪微分算子$P$，作用在光滑闭流形$M$上的黎曼线丛的截面上，当$L$增长到无穷大时，我们从上估计了取在特征值低于$L$的$P$的特征空间的直和中的随机截面的消失轨迹的贝蒂数.这些上估计遵循从一些均匀分布的临界点的限制，一个固定的莫尔斯函数，这个消失轨迹。然后我们考虑与$M$上的某些黎曼度量相关联的Laplace-Beltrami算子和Dirichlet-to-Neumann算子的例子。
2014-06-04 math.PR math.SP
Fluctuations of the Nodal Number in the Two-Energy Planar Berry Random Wave Model
本文研究了双能量平面 Berry 随机波模型中节点数的涨落，通过引入三个渐近参数刻画了方差对子序列的依赖，并证明了单/多变量定量中心极限定理及与多谱的全相关性。
2024-10-10 math-ph math.MP math.PR
No smooth Phase Transition for the Nodal Length of Band-limited Spherical Random Fields
本文研究了带限球面随机波节长的变化。当频率窗口包括线性增长的多个本征函数时，节点长度的方差相对于频率是线性的，而当考虑单个本征函数时，它是对数的。然后，这是很自然的猜想，存在一个平稳过渡的频率窗口中的本征函数的数量，但是，我们在这里表明，渐近方差是对数每当这个数字增长次线性，使窗口“收缩”。利用Christoffel-Darboux公式建立场及其一阶、二阶导数的协方差函数，得到了该结果。这使我们能够计算两点相关函数在高频率，然后推导出的方差的渐近行为。
2023-02-08 math.PR
Nodal Replication of Planar Random Waves
研究了平坦流形在高能极限下本征模的概周期。我们证明，特别是高斯算术随机波复制几乎相同的规模在最多${\ell}$ n：= n - 1 2 exp（Nn），其中Nn是的方式n可以写为两个平方和的数量。它提供了一个定性的解释，全相关现象的节长，这是已知的发生在尺度大于${\ell}$ ' n：= n -1/2 NAn。我们还提供了一个启发式的玩具模型恳求的最小规模的复制应该更接近${\ell}$ ' n比${\ell}$ n。目录1. 1.导言几乎周期性和复制6 3. Dirichlet's theorem for almost periodic fields狄利克雷定理几乎周期域13 4.第15节：第五章狄利克雷逼近定理的最优性19 6.附录20参考文献28
2023-03-16 math.PR
Universality of the nodal length of bivariate random trigonometric polynomials
我们考虑\[ f_n(x,y)=\sum_{1\le k,l \le n} a_{k,l} \cos(kx) \cos(ly), \]形式的随机三角多项式，其中条目$(a_{k,l})_{k,l\ge 1}$是独立同分布的。以单位方差为中心的随机变量。我们研究了$f_n$的零点属于紧集$K \subset \mathbb R^2$的节点集$Z_K(f_n)$的长度$\ell_K(f_n)$。我们首先建立了一个局部普适性结果，即证明了当$n$趋于无穷大时，随机变量序列$n\, \ell_{K/n}(f_n)$按分布收敛到一个不依赖于元素的特殊规律的普适极限.然后，我们表明，在宏观尺度上，期望的$\ell_{[0,π]^2}(f_n)/n$也收敛到一个普遍的限制。我们的方法提供了两个主要的副产品：（i）关于节点集的体积相对于$C^1$收敛的连续性的一般结果，其改进了Rusakov等人的先前发现，Iksanov等人和Azaïs等人，和（ii）一个新的战略，证明小球估计随机三角模型，提供统一的本地控制的节点卷。
2016-10-17 math.PR
Percolation of random nodal lines
我们证明了一个Russo-Seymour-Welsch渗流定理的节点域和节点线相关联的一个自然的无限维空间的真正的解析函数在真正的平面上。更精确地说，令$U$是$\mathbb R^2$中的光滑连通有界开集，且$γ, γ'$是$U$边界上的两条不相交的正长弧。证明了存在正常数$c$，使得对于任何正尺度$s$，概率至少为$c$，存在$\{x\in \bar U, \, f(sx) \textgreater{} 0\} $的连通分支与$γ$和$γ'$相交，其中$f$是与实Bargmann-Fock空间相关联的Wiener空间中的随机解析函数.对于足够大的$s$，相同的结论适用于零集$\{x\in \bar U, \, f(sx) = 0\} $。作为一个重要的中间结果，我们证明了一般平稳高斯场的符号渗流可以等价于格点上的关联渗流模型。
2016-07-14 math.PR
Fluctuations of nodal sets on the 3-torus and general cancellation phenomena
在2017年，Benatar和Maffucci arXiv：1708.07015建立了一个在高能极限下3-torus上算术随机波的节面方差的渐近定律。在随后的工作中，Cammarota arXiv：1708.07679证明了节面的通用非高斯极限定理。本文研究了3-环面上两个和三个独立的同频算术随机波的节交长度和节交点数。对于这些量，我们计算它们的期望值，渐近方差以及它们的极限分布。我们的结果是基于体积的Wiener-Itô展开，自然补充了Cammarota arXiv：1708.07679的发现。在我们的分析的核心在于一个抽象的取消现象适用于任意高斯随机场的水平集的研究，我们相信有独立的利益。
2020-10-27 math.PR
The Number of Nodal Components of Arithmetic Random Waves
研究了算术随机波系综中函数的节点分量（零点集的连通分量）的个数，即平坦$d$维环面$\mathbb{T}^{d}$（$d\ge2$）上拉普拉斯算子的随机本征函数.令$f_{L}$是$\mathbb{T}^{d}$上的$Δf+4π^{2}L^{2}f=0$的随机解，其中$L^{2}$是整数的$d$平方和，令$N_{L}$是$f_{L}$的节点分量的随机数。根据Nazarov和Sodin最近的结果，$\mathbb{E}\left\{ N_{L}/L^{d}\right\} $趋向于极限$ν>0$，仅取决于$d$，因为$L\to\infty$服从数论条件-半径为$L$的球面上的归一化格点在单位球面上的均匀分布。当$d\ge5$时，此条件得到保证，但当$2\le d\le4$时，此条件对$L$值的序列施加限制。我们证明了指数浓度的随机变量$N_{L}/L^{d}$周围的中位数和平均值（无条件）和周围的限制平均$ν$（在它存在的条件下）。
2016-09-17 math.CA math.NT math.PR
Asymptotics for the expected number of nodal components for random lemniscates
我们确定真正的渐近行为的预期数量的连接组件的随机lemniscates最近提出的Lerario和Lundberg模型。这些被定义为黎曼球面的子集，其中某个随机的、$\text{SO}(3)$ -不变的有理函数的次数$n$的绝对值等于$1$。我们表明，这些双纽线，除以$n$，连接组件的预期数量收敛到一个正的常数定义的两个独立的平面高斯解析函数的商。由于Nazarov和Sodin在这个问题上应用新的非局部技术的一个主要障碍是潜在的非高斯性，与所研究的模型无关。
2019-02-22 math.CV math.PR
Small Scale CLTs for the Nodal Length of Monochromatic Waves
我们考虑了与没有共轭点的黎曼曲面$(\mathcal M,g)$相关联的参数$λ>0$的{ \it高斯拉回单色随机波}对半径为$r_λ$的球的限制的节长$L(λ)$。我们的主要结果是，如果$r_λ$的增长速度慢于$(\log λ)^{1/25}$，那么（作为$λ\to \infty$）长度$L(λ)$验证了中心极限定理，其尺度与Berry的随机波模型相同-如Nourdin，Peccati和Rossi（2019）所建立的。利用Keeler（2019）对Bérard（1986）估计的一些强大扩展，我们的技术主要基于光滑高斯场耦合的一个新的内在界，这是独立的兴趣，而且允许我们改进Canzani和Hanin（2016）中拉回随机波的节点长度渐近方差的一些估计。为了证明我们的方法的灵活性，我们还提供了一个应用程序的节点长度的算术随机波收缩球的$2$ -环面的相变。
2020-05-13 math.PR
Universal components of random nodal sets
当$L$增长到无穷大时，我们给出了特征值低于$L$的$P$特征向量的随机线性组合的消失轨迹的期望Betti数的$L^{n/m}$阶的明确下界.这里，$P$表示一个椭圆型自伴伪微分算子，其阶为$m\textgreater{}0$，从下有界，作用在光滑闭$n$维流形$M$上的黎曼线丛的截面上，流形上具有某种勒贝格测度。事实上，对于$\mathbb R^n$的每个闭超曲面$Σ$，我们证明了存在一个只依赖于$Σ$的正常数$p\_Σ$，使得对于每个足够大的$L$和每个$x\in M$，在以$x$为中心的半径为$L^{-1/m}$的球的消失轨迹中，与$Σ$同构的分量至少以概率$p\_Σ$出现.这些结果特别适用于Laplace-Beltrami和Dirichlet-to-Neumann算子。
2015-03-05 math.GT math.PR math.SP
Asymptotic topology of excursion and nodal sets of Gaussian random fields
设M是n维紧致光滑流形，f：M $\rightarrow$ R是光滑高斯随机场.很自然地假设，对于一个大的正实数u，随机偏移集{f $\ge$ u}主要由不相交的拓扑n球的并集组成。使用建设性的部分（分层）莫尔斯理论，我们证明，在平均，这种直觉是真实的，并提供了大u的渐近的期望数量的这种球，因此连接组件的{f $\ge$ u}，见定理1.2。我们同样证明了平均而言，高节点集{f = u}主要由球面组成，具有与行程集相同的渐近性。利用[2]给出的欧拉示性数的平均值对这些结果进行了改进，得到了F所定义的常数的一个显著的渐近性。Nazarov和M. Sodin，同样对于大u，见定理1.11。这种新的随机拓扑Morse理论方法也适用于大尺寸的球形自旋玻璃，见定理1.14。
2021-04-12 math.PR
Probabilistic validation of homology computations for nodal domains
同源性一直被认为是量化复结构的重要计算工具。在许多应用中，这些结构作为实值函数的节点域出现，因此仅适用于基于适当离散化的数值研究。这种方法立即引起了一个问题，即由此产生的同源性计算有多准确。在本文中，我们提出了一个概率的方法来量化的有效性的随机场在一个和两个空间维的节点域的同调计算，它明确的概率先验界的适用性，某些离散化的大小。我们说明了我们的结果的特殊情况下的随机周期场和随机三角多项式。
2007-07-31 math.PR
A lower bound for the Bogomolny-Schmit constant for random monochromatic plane waves
本文讨论随机单色平面波的节域。Nazarov和Sodin证明，在大的$R$极限下，半径为$R$的圆盘中包含的这种节点域的期望数量与$πR^2$成比例。然而，从数学的角度来看，对比例常数的值知之甚少。本文的目的是用初等方法得到这个常数的值的下界。
2018-09-13 math-ph math.MP math.PR
Intermediate and small scale limiting theorems for random fields
在本文中，我们研究的节点线的随机特征函数的拉普拉斯环面，所谓的“算术波”。更精确地说，我们研究了节线在给定方向上与直线段相交的次数。我们感兴趣的是这个数如何依赖于间隔的长度和方向以及随机波的谱测度的分布。我们分析了短间隔区的二阶阶乘矩和长间隔区的持续概率。我们还研究了Cilleruelo和Cilleruelo型场之间的关系。我们给出了一个明确的这些领域之间的耦合，在介观尺度上保持概率接近1的节点集的结构。
2019-06-02 math.PR
Russo-Seymour-Welsh estimates for the Kostlan ensemble of random polynomials
研究了随机场节点结构的渗流性质。在以下假设条件下建立了光滑随机函数高斯系综节点域或节点集的四元数交叉概率的下界（RSW型估计）：（i）充分对称;（ii）光滑性和非退化性;（iii）协方差核的局部收敛;（iv）渐近非负相关;（v）相关性的均匀快速衰减。Kostlan系综是高斯齐次随机多项式的一个重要模型。我们的理论的Kostlan合奏的应用产生RSW型的估计是统一的多项式和四边形的控制几何的程度，在所有相关的尺度上有效。这扩展了最近的结果的局部缩放限制的Kostlan合奏，由于Beffara和Gayet。
2017-11-10 math.PR
Asymptotic degree distributions in random threshold graphs
本文讨论了一类随机阈值图在多结点情况下的几种极限度分布。这种分析是在对潜在适应度变量分布的弱假设下进行的。由指数分布满足的该假设确定了自然标度，在该自然标度下示出了以下限制结果：节点度分布，即，任何节点的分布在分布上收敛于极限PMF。然而，对于每个$d=0,1, \ldots $，具有给定度$d$的节点的分数仅在分布上收敛到非退化随机变量$Π(d)$（其分布取决于$d$），而不是如通常预期的那样在概率上收敛到上述限制节点pmf。仅通过其特征函数识别$Π(d)$的分布。这一结果的含义包括：（i）经验节点分布不能作为极限节点pmf的替代或估计;（ii）即使在齐次图中，网络度分布和节点度分布也可能捕获截然不同的信息;和（iii）具有指数分布适应度的随机阈值图不提供Barabási的替代无标度模型，阿尔伯特模型，正如一些作者所认为的那样;这两个模型在度分布方面不能进行有意义的比较！
2019-08-19 cond-mat.stat-mech cs.DM cs.SI
Mean conservation of nodal volume and connectivity measures for Gaussian ensembles
我们深入研究了高斯场的节域的嵌套图和体积分布，这在以前的工作中已经显示出渐近规律。在节点域的渐近平均连通性（即，其嵌套图中的顶点度）和场的渗透概率的正性，以及平均节点体积对渗透概率的直接依赖性。我们的研究结果支持流行的anadesion的平均连通性和体积的节点域是保守的通用随机场的尺寸$d=2$，但不是在$d \ge 3$，并适用于一些具体的激励的例子。
2019-01-25 math.PR
A note on $3d$-monochromatic random waves and cancellation
本文证明了在$\R^3$中，复值单色随机波的节长的渐近方差关于该区域的体积是线性的。与以前的结果放在一起，这表明中心极限定理成立的$3$维单色随机波。我们比较了实值$2$维单色随机波的节长的方差，观察到更快的发散率，这一事实与Berry的抵消现象有关。此外，我们表明，浓度现象发生。
2022-12-22 math.PR
