Asymptotic topology of excursion and nodal sets of Gaussian random fields
设M是n维紧致光滑流形，f：M $\rightarrow$ R是光滑高斯随机场.很自然地假设，对于一个大的正实数u，随机偏移集{f $\ge$ u}主要由不相交的拓扑n球的并集组成。使用建设性的部分（分层）莫尔斯理论，我们证明，在平均，这种直觉是真实的，并提供了大u的渐近的期望数量的这种球，因此连接组件的{f $\ge$ u}，见定理1.2。我们同样证明了平均而言，高节点集{f = u}主要由球面组成，具有与行程集相同的渐近性。利用[2]给出的欧拉示性数的平均值对这些结果进行了改进，得到了F所定义的常数的一个显著的渐近性。Nazarov和M. Sodin，同样对于大u，见定理1.11。这种新的随机拓扑Morse理论方法也适用于大尺寸的球形自旋玻璃，见定理1.14。
2021-04-12 math.PR
Mean conservation of nodal volume and connectivity measures for Gaussian ensembles
我们深入研究了高斯场的节域的嵌套图和体积分布，这在以前的工作中已经显示出渐近规律。在节点域的渐近平均连通性（即，其嵌套图中的顶点度）和场的渗透概率的正性，以及平均节点体积对渗透概率的直接依赖性。我们的研究结果支持流行的anadesion的平均连通性和体积的节点域是保守的通用随机场的尺寸$d=2$，但不是在$d \ge 3$，并适用于一些具体的激励的例子。
2019-01-25 math.PR
Spectral Criteria for the Asymptotics of Local Functionals of Gaussian Fields and Their Application to Nodal Volumes and Critical Points
本研究提出高斯场局部泛函混沌分量方差正性的谱判据，应用于节体积与临界点分析，推广了现有结果，为第二混沌抵消现象提供新视角。
2025-06-13 math.PR
Fluctuations of nodal sets on the 3-torus and general cancellation phenomena
在2017年，Benatar和Maffucci arXiv：1708.07015建立了一个在高能极限下3-torus上算术随机波的节面方差的渐近定律。在随后的工作中，Cammarota arXiv：1708.07679证明了节面的通用非高斯极限定理。本文研究了3-环面上两个和三个独立的同频算术随机波的节交长度和节交点数。对于这些量，我们计算它们的期望值，渐近方差以及它们的极限分布。我们的结果是基于体积的Wiener-Itô展开，自然补充了Cammarota arXiv：1708.07679的发现。在我们的分析的核心在于一个抽象的取消现象适用于任意高斯随机场的水平集的研究，我们相信有独立的利益。
2020-10-27 math.PR
On the correlation between nodal and boundary lengths for random spherical harmonics
研究了任意非零水平上随机球谐函数节长与漂移集边界测度之间的相关性。我们表明，相关性是渐近为零，而控制后的随机$L^2$ -范数球的特征函数的偏相关性是渐近1。
2019-02-15 math-ph math.MP math.PR
Random waves on $\mathbb{T}^3$: nodal area variance and lattice point correlations
本文研究了$\mathbb{T}^3=\mathbb{R}^3/\mathbb{Z}^3$（“$3d$算术随机波”）上随机高斯拉普拉斯本征函数的系综，并研究了它们的节点表面积分布。预期面积与本征值的平方根或本征函数的“能量”成比例。我们表明，节点面积方差服从渐近规律。所得的渐近公式与球面上格点的角分布和相关性密切相关。
2017-08-23 math.NT math.PR
Asymptotic distribution of nodal intersections for arithmetic random waves
本文研究了随机高斯随机拉普拉斯本征函数（算术随机波）与固定光滑参考曲线的交点数。期望的相交数与特征值的平方根乘以曲线的长度成正比，与曲线的几何形状无关。Rudnick-Wigman解决了方差的渐进行为;他们发现了曲率无处消失的“一般”曲线的精确渐进定律，这取决于其几何形状和位于对应于拉普拉斯本征值的圆上的格点的角分布。他们还发现存在特殊的“静态”曲线，其方差的数量级较小，尽管没有规定在这种情况下真正的渐近行为是什么。本文研究了节点交点数极限分布的一些较细的方面。对于“一般”曲线，我们证明了中心极限定理（至少，对于“大多数”能量）。对于上述静态曲线，我们建立了节点交点分布的非高斯极限定理，并在相应格点的良好分离性假设下，找到了大多数特征值所满足的波动的真实渐近行为。
2018-06-25 math-ph math.MP math.NT
On the expected Betti numbers of the nodal set of random fields
本文研究了黎曼流形上一类重要的随机场高斯系综的节点集的期望总贝蒂数的渐近性。通过使用定义在欧几里得空间上的极限随机场，我们能够获得局部精确的渐近结果，尽管由于大的非线性分量的可能的正贡献，这不允许推断出全局结果。作为一个副产品，我们的分析，我们完善的下界的Gayet-Welschinger的重要Kostlan合奏随机多项式和其推广到凯勒流形。
2019-03-01 math.PR
Nodal Lengths in Shrinking Domains for Random Eigenfunctions on $\mathbb{S}^2$
本文研究了二维收缩域上随机球谐函数节线的渐近行为，零点集$\mathcal{Z}_{\ell,r_\ell} := \mathcal{Z}^{B_{r_{\ell}}}(T_\ell)=\text{len}(\{x \in \mathbb{S}^2 \cap B_{r_\ell}: T_\ell(x)=0 \})$的长度，其中$B_{r_{\ell}}$是半径为$r_\ell$的球冠。我们表明，在高能量极限的节长的方差是对数的，而且，它是渐近完全等价的，在$L^2$ -意义上，“本地样本三谱”，即，球上的四阶Hermite多项式的积分。这一结果推广和推广了最近的一些研究结果的全球的情况下。从而建立了一个中心极限定理。
2020-10-15 math.PR
No smooth Phase Transition for the Nodal Length of Band-limited Spherical Random Fields
本文研究了带限球面随机波节长的变化。当频率窗口包括线性增长的多个本征函数时，节点长度的方差相对于频率是线性的，而当考虑单个本征函数时，它是对数的。然后，这是很自然的猜想，存在一个平稳过渡的频率窗口中的本征函数的数量，但是，我们在这里表明，渐近方差是对数每当这个数字增长次线性，使窗口“收缩”。利用Christoffel-Darboux公式建立场及其一阶、二阶导数的协方差函数，得到了该结果。这使我们能够计算两点相关函数在高频率，然后推导出的方差的渐近行为。
2023-02-08 math.PR
On the behavior of nodal lines near the boundary for Laplace eigenfunctions on the square
我们感兴趣的是狄利克雷边界条件对拉普拉斯本征函数的节长的影响。本文研究了二维正方形上随机高斯拉普拉斯本征函数，得到了任意边长大于普朗克尺度的正方形中节点长度的期望值沿密度为1的能级序列的两项渐近展开.该证明依赖于对小弧线中格点的新研究，并表明所述期望与正方形的位置无关，在靠近边界和远离边界的地方给出相同的渐近展开。
2021-04-27 math-ph math.MP math.NT
Equidistribution of the conormal cycle of random nodal sets
研究了光滑紧致无边界黎曼流形上Laplacian特征函数随机叠加的节集余正规圈的渐近性质。在维数为奇数的情况下，我们证明了相应的积分流的期望在余切丛的纤维上均匀分布。在维数为偶数的情况下，我们得到了期望的一个低阶上界。利用Alesker最近的结果，我们还得到了任意光滑赋值的渐近期望的一些性质，包括随机节点集的欧拉示性数.
2016-04-01 math-ph math.DG math.MP
A Note on the Reduction Principle for the Nodal Length of Planar Random Waves
受最近工作[MRW 20]的启发，我们证明了平面随机波$B_{E}$的节长，即其零集$B_{E}^{-1}(0)$的长度，在$L^{2}$意义下和在高频极限$E\rightarrow \infty$下渐近等价于$H_{4}(B_{E}(x))$的积分，$H_4$是第四Hermite多项式。作为一个直接的结果，我们得到了Wasserstein距离的一个中心极限定理。这补充了[NPR 19]和[PV 20]中的最新发现。
2020-07-08 math.PR
Nodal intersections for random eigenfunctions on the torus
我们调查的节点交叉的随机高斯拉普拉斯本征函数的标准的二维平面环面（“算术随机波”）与一个固定的实解析参考曲线与非零曲率。期望的相交数与参考曲线的长度乘以波数成正比，与几何无关。我们的主要结果规定的节点交点方差解析曲线在高能量极限的渐近行为;值得注意的是，它是依赖于两个角分布的格子点躺在圆上的半径对应于给定的波数，和给定的曲线的几何形状。特别是，这意味着节点交叉数承认一个普遍的渐近规律，具有任意高的概率。
2014-06-29 math-ph math.MP math.NT
Random Nodal Lengths and Wiener Chaos
在这次调查中，我们收集了一些最近的结果在“节点几何”的随机本征函数的黎曼曲面。我们专注于渐近行为，高能量水平，高斯拉普拉斯本征函数的节点长度的环面（算术随机波）和球（随机球谐函数）。我们给一些洞察力的贝里的取消现象和节点长度的二阶波动（非高斯的环面和高斯球）的混沌成分的性质。最后考虑了单色随机波的一般情况，即紧致黎曼曲面上拉普拉斯算子的本征函数的高斯随机线性组合，其尺度极限为Berry随机波模型。对于后者，我们提出了一些最近的结果，其节点长度的渐近分布在高能量极限（等价地，增长域）。
2018-03-26 math-ph math.MP math.PR
Boundary effect on the nodal length for Arithmetic Random Waves, and spectral semi-correlations
我们测试M。Berry关于有边界时节点亏度的证明。方台球进行了研究，其中的高光谱退化允许引入随机拉普拉斯本征函数的高斯系综（“边界适应算术随机波”）。作为一个精确的渐近分析的结果，两个条款中的渐近展开的预期节长推导出，在高能量极限沿一个通用序列的能级。结果表明，节长的精确节亏或节盈与能级的算术性质有着显式的关系。为了得到上述结果，我们应用Kac-Rice方法计算高斯随机场的期望节长。这样的应用程序揭示了主要的障碍，例如，“坏”子域的出现，人们希望，有助于节点长度微不足道。幸运的是，我们能够减少这一贡献计数的"谱半相关性"，一个概念加入喜欢的"谱相关性"和"谱准相关性"的节点长度的算术动力系统的影响数论问题。这项工作依赖于几个突破性的技术，J。布尔甘，他的兴趣在这个问题上帮助形成它在很大程度上，和他的基本工作的光谱相关性，联合E。贝耶里，对这个领域产生了至关重要的影响。
2019-03-25 math.NT math.PR
Counting open nodal lines of random waves on planar domains
我们计算光滑平面区域上随机波{ \em open}节线数目的渐近期望。我们发现对于长能量窗$[0,λ]$和短能量窗$[λ,λ+1]$，开放节线的期望数目与$λ$成正比，渐近地为$λ\to\infty$。我们的结果与Blum，Gnutzmann和Smilansky \cite{BGS}在物理学文献中的预言是一致的。
2009-03-17 math-ph math.MP math.PR
Planck-scale distribution of nodal length of arithmetic random waves
我们研究随机toral拉普拉斯本征函数（“算术随机波”）限制到减少域（“收缩球”）的节长，一直到普朗克尺度。我们发现，到一个自然的缩放，为“通用”的能量的方差的限制节点长度服从相同的渐近规律的总节点长度，这些是渐近完全相关的。除其他事项外，这允许基于部分信息对完整的海岸长度进行统计重建。我们的工作的一个关键的新成分，借用数论，是使用所谓的谱准相关性的界限，即位于同一个圆上的格点的异常小的总和。
2018-06-11 math-ph math.MP math.NT
Expected nodal volume for non-Gaussian random band-limited functions
在一般情况下，确定了随机非高斯单色带限函数期望节体积的渐近律。我们的方法结合了微观局部分析技术和现代概率论。需要克服的一个特别具有挑战性的障碍是节点体积可能集中在一小部分歧管上，这需要两个学科的解决方案。对于节块体积分布的一些细微方面，如方差等，非高斯单色函数与高斯单色函数相比，其性质可能有所不同，并提出了相应的解释。
2021-09-07 math-ph math.MP math.PR
Scaling of Harmonic Oscillator Eigenfunctions and Their Nodal Sets Around the Caustic
研究了各向同性谐振子$- \hbar ^2 Δ+ |x|^2$的本征值$E = \hbar(N + \frac{d}{2})$在半经典极限$\hbar \to 0$下的本征空间投影核$Π_{\hbar, E}(x,y)$的标度渐近性.主要结果是一个明确的公式的缩放渐近的$Π_{\hbar, E}(x,y)$ $x,y$在$\hbar^{2/3}$附近的焦散$\mathcal C_E$作为$\hbar \to 0.$的缩放渐近适用于分布的高斯随机本征函数的节点集周围的焦散$\hbar \to 0$。在以前的工作中，我们证明了$\hat{H}_{\hbar}$的高斯随机本征函数的零点密度在允许区和禁止区的Planck常数$\hbar$中具有不同的阶数：在允许区密度为$\hbar^{-1}$阶，而在禁止区密度为$\hbar^{-1/2}$阶.我们关于节点集的主要结果是：在焦散线周围的$\hbar^{\frac{2}{3}}$ -管中，零点的密度是$\hbar^{-\frac{2}{3}}$阶。该管半径是“临界半径”。对于环较大的内部和外部半径$\hbar^α$与$0< α< \frac{2}{3}$，我们得到的密度结果之间的临界半径的结果和我们以前的允许和禁止的区域内插。我们还表明，Hausdorff $(d-2)$维措施的交点的节点集与焦散线的顺序是$\hbar^{- \frac{2}…
2016-11-13 math-ph math.MP math.PR
Small Scale CLTs for the Nodal Length of Monochromatic Waves
我们考虑了与没有共轭点的黎曼曲面$(\mathcal M,g)$相关联的参数$λ>0$的{ \it高斯拉回单色随机波}对半径为$r_λ$的球的限制的节长$L(λ)$。我们的主要结果是，如果$r_λ$的增长速度慢于$(\log λ)^{1/25}$，那么（作为$λ\to \infty$）长度$L(λ)$验证了中心极限定理，其尺度与Berry的随机波模型相同-如Nourdin，Peccati和Rossi（2019）所建立的。利用Keeler（2019）对Bérard（1986）估计的一些强大扩展，我们的技术主要基于光滑高斯场耦合的一个新的内在界，这是独立的兴趣，而且允许我们改进Canzani和Hanin（2016）中拉回随机波的节点长度渐近方差的一些估计。为了证明我们的方法的灵活性，我们还提供了一个应用程序的节点长度的算术随机波收缩球的$2$ -环面的相变。
2020-05-13 math.PR
Nodal length fluctuations for arithmetic random waves
利用标准环面的谱重数，我们赋予拉普拉斯本征空间高斯概率测度。这就引出了环面上随机高斯拉普拉斯本征函数的概念（“算术随机波”）。本文研究了随机本征函数在大本征值时节长的分布，得到了方差的渐近性是非普适的，并且与位于半径与能量相对应的圆上的格点的算法密切相关。
2012-06-21 math-ph math.MP math.NT
Hole probability for nodal sets of the cut-off Gaussian Free Field
设（$Σ$，g）是具有黎曼度量的闭连通曲面.设（$λ$ n）n $\in$ N和（$ψ$ n）n $\in$ N是$Σ$上拉普拉斯算子的特征值的递增序列和相应的L2归一化特征函数的序列.对于每个L \textgreater{} 0，我们考虑$ϕ$ L = 0 \textless{} $λ$ n $\le$ L $ξ$ n $\sqrt$ $λ$ n $ψ$ n，其中$ξ$ n是方差为1的独立同中心高斯。当L $\rightarrow$ $\infty$时，$ϕ$ L收敛。在分布的意义下，将其推广到$Σ$上的高斯自由场。我们首先计算这个域族的协方差函数的渐近行为为L $\rightarrow$ $\infty$。然后，我们使用这个结果来获得概率的渐近性，$ϕ$ L是积极的一个给定的开放的真子集具有光滑的边界。在这样做时，我们还证明了$ϕ$ L的上确界的浓度在1 $\sqrt$ 2 $π$ ln L附近。
2016-09-02 math.PR math.SP
Fluctuations of the Nodal Number in the Two-Energy Planar Berry Random Wave Model
本文研究了双能量平面 Berry 随机波模型中节点数的涨落，通过引入三个渐近参数刻画了方差对子序列的依赖，并证明了单/多变量定量中心极限定理及与多谱的全相关性。
2024-10-10 math-ph math.MP math.PR
Asymptotic degree distributions in random threshold graphs
本文讨论了一类随机阈值图在多结点情况下的几种极限度分布。这种分析是在对潜在适应度变量分布的弱假设下进行的。由指数分布满足的该假设确定了自然标度，在该自然标度下示出了以下限制结果：节点度分布，即，任何节点的分布在分布上收敛于极限PMF。然而，对于每个$d=0,1, \ldots $，具有给定度$d$的节点的分数仅在分布上收敛到非退化随机变量$Π(d)$（其分布取决于$d$），而不是如通常预期的那样在概率上收敛到上述限制节点pmf。仅通过其特征函数识别$Π(d)$的分布。这一结果的含义包括：（i）经验节点分布不能作为极限节点pmf的替代或估计;（ii）即使在齐次图中，网络度分布和节点度分布也可能捕获截然不同的信息;和（iii）具有指数分布适应度的随机阈值图不提供Barabási的替代无标度模型，阿尔伯特模型，正如一些作者所认为的那样;这两个模型在度分布方面不能进行有意义的比较！
2019-08-19 cond-mat.stat-mech cs.DM cs.SI
Variations on Salem--Zygmund results for random trigonometric polynomials. Application to almost sure nodal asymptotics
在概率空间$(Ω, \mathcal F, \mathbb P)$上，我们考虑i.i.d.的两个独立序列$(a_k)_{k \geq 1}$和$(b_k)_{k \geq 1}$.以单位方差为中心的随机变量，允许矩严格大于2。我们定义相关的随机三角多项式\[ f_n(t) :=\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{k=1}^n a_k \cos(kt)+b_k \sin(kt), \quad t \in \mathbb R. \]在其开创性的工作，为Rademacher系数，塞勒姆和Zygmund表明，$\mathbb P$几乎肯定：\[ \forall t\in\mathbb R,\quad \frac{1}{2π}\int_{0}^{2π} \exp\left(i t f_n(x)\right) dx \xrightarrow[n\to\infty]~e^{-\frac{t^2}{2}}. \]换句话说，如果$X$表示一个独立的随机变量均匀分布在$[0,2π]$，$\mathbb{P}$几乎肯定，根据法律的$X$，$f_n(X)$收敛分布到一个标准的高斯变量。在本文中，我们从不同的角度重新审视上述结果。也就是说，i）我们通过Stein的方法建立了一个可能尖锐的收敛速度，ii）我们证明了Salem-Zygmund CLT的功能对应，iii）我们将其扩展到更一般的分布$…
2019-12-20 math.PR
Diophantine Gaussian excursions and random walks
我们研究了高斯节点漂移在欧几里得空间中的渐近方差，重点是谱测度具有不可分原子的情况。本研究要求建立环面上相关无理随机游动在0中的精细递归性质。我们特别表明，复发的幅度强烈依赖于原子的丢番图性质，同样也适用于节点偏移的方差渐近。更具体地说，如果谱测度包含的原子的比例是很好的近似有理数，方差很可能有很大的波动作为观察窗口的增长，而方差是有界的（d - 1）维测量的窗口边界，如果这些比例是不好的近似。我们还表明，任何合理的功能，有不可数许多套参数的方差是渐近等价于这个功能。
2022-09-21 math.PR
Nodal Statistics of Planar Random Waves
我们考虑Berry的随机平面波模型（1977）的一个积极的拉普拉斯本征值$E>0$，无论是在真实的和复杂的情况下，并证明极限定理的节点统计与光滑的紧凑的区域，在高能量极限（$E\to \infty$）。我们的主要结果是，节点长度（真实情况）和节点交叉点的数量（复杂情况）都验证了中心极限定理，这与平坦$2$ -torus上的实数和复数算术随机波观察到的非高斯行为形成鲜明对比，参见Marinucci et al.（2016）和Dalmao et al.（2016）。我们的研究结果可以很自然地重新表述为一个单一的随机波限制到一个紧凑的域发散到整个平面的节点统计。因此，它们可以与Canzani和Hanin（2016）的最新结果有效地结合起来，以表明在各向同性标度的任何点和足够快的能级发散，任何高斯拉回单色波的节长验证了与Berry模型具有相同标度的中心极限定理。作为我们分析的一个显著副产品，我们严格地证实了Berry（2002）中导出的各向同性随机波的节长方差和节交点数方差的渐近行为。
2023-01-31 math-ph math.MP math.PR
On the distribution of the nodal sets of random spherical harmonics
本文研究了$\spheredim$维球面上拉普拉斯算子的本征函数节集的长度。众所周知，对应于$\eigval=n(n+\spheredim-1)$的本征空间是次数为$n$、维数为$\eigspcdim$的球谐函数的空间$\eigspc$。利用特征值的重数赋予$\eigspc$高斯概率测度，研究了随机选取函数节点集的$\spheredim$维体积的分布.预期体积与$\sqrt{\eigval}$成比例。我们的主要结果之一是将体积的方差限制为$O(\frac{\eigval}{\sqrt{\eigspcdim}})$。除了节点集的体积外，我们还研究了节点集的Leray测度。对于每个$n$，Leray测度的期望值是$\frac{1}{\sqrt{2π}}$。我们能够确定方差的渐近形式是$\frac{const}{\eigspcdim}$。
2008-11-13 math-ph math.MP math.PR
Nodal deficiency of random spherical harmonics in presence of boundary
我们考虑一个随机高斯模型的拉普拉斯本征函数的半球满足Dirichlet边界条件沿赤道。对于这个模型，我们找到了一个精确的渐近律相应的零密度函数，在短期（边界附近）和长期（远离边界）制度。作为一个推论，我们能够找到一个对数负偏置的总节长的这个合奏相对于旋转不变模型的随机球谐函数。Jean Bourgain的研究，以及他对拉普拉斯本征函数的节点几何的热情方法，在该领域和当前趋势中产生了至关重要的影响。他在谱相关性方面的工作（Krishnapur，Kurlberg和Wigman（2013）中的定理2.2）以及与Bengeri的联合（Bourgain和Bengeri（2015））为正在进行的关于算术味道表面上定义的函数的节点长度的积极研究打开了一扇门，如环面或正方形。此外，Bourgain关于环面拉普拉斯本征函数的工作（Bourgain（2014）），也吸引了频谱相关性，允许从随机高斯对应物中推断确定性结果。
2020-11-03 math-ph math.MP math.PR
Almost sure asymptotics for Riemannian random waves
考虑一般紧致黎曼流形上Laplace本征函数的高斯线性组合的黎曼随机波模型。与概率1相对于高斯系数，我们建立，无论是大波段和单色模型，适当的重新缩放和评估的过程中，在一个独立的和统一的选择点$X$的流形上，收敛于分布下的唯一随机性的$X$对一个普遍的高斯场的频率趋于无穷大。这一结果将Salem-Zygmund关于三角多项式级数的著名的中心极限定理推广到更一般的紧黎曼流形的框架中。然后，我们推导出上述收敛的几乎必然渐近的节点体积与随机波。据我们所知，在真正的黎曼情形下，由于缺乏足够精确的方差估计，这些渐近性仅在期望中已知，而不是在几乎必然的意义上。这特别解决了S的问题。Zelditch关于节点体积的几乎必然均匀分布。
2022-09-07 math-ph math.MP math.PR
Russo-Seymour-Welsh estimates for the Kostlan ensemble of random polynomials
研究了随机场节点结构的渗流性质。在以下假设条件下建立了光滑随机函数高斯系综节点域或节点集的四元数交叉概率的下界（RSW型估计）：（i）充分对称;（ii）光滑性和非退化性;（iii）协方差核的局部收敛;（iv）渐近非负相关;（v）相关性的均匀快速衰减。Kostlan系综是高斯齐次随机多项式的一个重要模型。我们的理论的Kostlan合奏的应用产生RSW型的估计是统一的多项式和四边形的控制几何的程度，在所有相关的尺度上有效。这扩展了最近的结果的局部缩放限制的Kostlan合奏，由于Beffara和Gayet。
2017-11-10 math.PR
A note on $3d$-monochromatic random waves and cancellation
本文证明了在$\R^3$中，复值单色随机波的节长的渐近方差关于该区域的体积是线性的。与以前的结果放在一起，这表明中心极限定理成立的$3$维单色随机波。我们比较了实值$2$维单色随机波的节长的方差，观察到更快的发散率，这一事实与Berry的抵消现象有关。此外，我们表明，浓度现象发生。
2022-12-22 math.PR
On the correlation between critical points and critical values for random spherical harmonics
研究了随机球谐函数的临界点总数与取值于任意区间$I \subset \mathbb{R}$的临界点个数之间的相关性。我们表明，相关性是渐近零，而偏相关性，控制后的随机$L^2$ -范数球的特征函数，是渐近1。我们的研究结果补充了Wigman（2012）以及Marinucci和Rossi（2021）关于随机球谐函数的节点和边界长度之间相关性的结果。
2021-10-20 math.PR
On the High Energy Behavior of Nonlinear Functionals of Random Eigenfunctions on $\mathbb S^d$
在这个简短的调查中，我们回顾了最近关于高能行为的一些结果（即，对于特征值的发散序列）的非线性泛函的高斯本征函数的$d$-维球$\mathbb S^d$，$d\ge 2$。本文给出了一类Hermite秩为2的泛函的定量中心极限定理，特别是在非结点情形下，它包括了游程集的经验测度.关于节点案例，我们回顾了$\mathbb S^2$上缺陷的CLT结果。关键的工具是两个，渐近分析矩的所有阶的盖根鲍尔多项式，和所谓的四阶矩定理。
2015-06-05 math.PR
Statistics on Yau's conjecture: Variance asymptotics
研究紧致流形上拉普拉斯本征函数节点体积丘成桐猜想的概率对应问题，通过研究黎曼随机波高频方差渐近性，建立节点体积波动定量界，改进现有结果，证明贝里抵消现象，依赖多种分析方法并引入通用机制确保方差衰减。
2026-10-28 math-ph math.DG math.MP
Fluctuations of the total number of critical points of random spherical harmonics
确定了随机高斯球谐函数在高次极限下的临界点总数涨落的渐近规律。我们的研究结果的复杂程度上的一个适当的渗透过程建模节点域的本征函数的一般紧凑的表面或台球。
2015-10-01 math.PR
On 3-dimensional Berry's model
本文研究了三维Berry随机波模型的位错或节线。在各向同性和各向异性的情况下，计算它们的预期长度，将它们进行比较。然后，在各向同性情形下，得到了当区域扩展到整个空间时长度的渐近方差和分布。在协方差函数可积的条件下，建立了一个中心极限定理。该研究包括Berry的单色随机波，Bargmann-Fock模型和黑体辐射以及幂律模型，表现出不寻常的渐近行为，并产生一个非中心极限定理。
2019-12-24 math.PR
Correlation Structure and Resonant Pairs for Arithmetic Random Waves
本文研究算术随机波中节点长度、游程集边界长度等泛函间的相关结构，证明存在阈值共振对使渐近相关完全，主要针对二维情形并扩展到三维。
2023-12-20 math.PR
Some Recent Developments on the Geometry of Random Spherical Eigenfunctions
在过去的十年中，人们已经投入了大量的努力来研究随机球谐函数的偏移集的几何泛函的高频行为，即，球面拉普拉斯算子$Δ_{\mathbf{S}^2}$的高斯本征函数。在这次调查中，我们将审查其中的一些结果，特别是参考的渐近行为的方差，相变的节点的情况下（\emph{Berry's Cancellation Phenomenon}），分布的波动周围的期望值，和不同的泛函之间的渐近相关性。我们还将讨论与高斯运动学公式、维纳-混沌展开式以及在推导定量中心极限定理（所谓的斯坦-马利亚文方法）方面的最新发展的一些联系。
2021-12-09 math.PR
Asymptotic degree distributions in large (homogeneous) random networks: A little theory and a counterexample
在随机图模型中，单个节点的度分布应该与记录具有给定度的节点的分数的图的（经验）度分布区分开来。我们引入了一个一般的框架来探索这两个度分布在大型齐次随机网络中何时渐近重合。讨论是在三个基本的统计假设下进行的：（一）弱形式的分布均匀性;（二）存在一个渐近（节点）度分布;（三）弱形式的渐近不相关性。我们表明，这种渐近平等可能会失败的齐次随机网络，其中（i）和（ii）举行，但（iii）不。反例是在随机阈值图类中发现的。这一发现的一个含义是，随机阈值图不能像一些作者所提出的那样，作为巴拉巴西-阿尔伯特模型的替代品来进行无标度网络建模。对于非齐次模型，也可以通过在节点上使用随机抽样程序来制定结果。
2018-11-13 cs.DM cs.SI math.PR
