Asymptotic degree distributions in large (homogeneous) random networks: A little theory and a counterexample
在随机图模型中，单个节点的度分布应该与记录具有给定度的节点的分数的图的（经验）度分布区分开来。我们引入了一个一般的框架来探索这两个度分布在大型齐次随机网络中何时渐近重合。讨论是在三个基本的统计假设下进行的：（一）弱形式的分布均匀性;（二）存在一个渐近（节点）度分布;（三）弱形式的渐近不相关性。我们表明，这种渐近平等可能会失败的齐次随机网络，其中（i）和（ii）举行，但（iii）不。反例是在随机阈值图类中发现的。这一发现的一个含义是，随机阈值图不能像一些作者所提出的那样，作为巴拉巴西-阿尔伯特模型的替代品来进行无标度网络建模。对于非齐次模型，也可以通过在节点上使用随机抽样程序来制定结果。
2018-11-13 cs.DM cs.SI math.PR
Sharp Low-Degree Thresholds for Planted-vs-Planted Testing
Department of Mathematics, University of California, Davis（加州大学戴维斯分校数学系）
针对植入vs植入设置，建立了低度多项式测试的首个尖锐阈值，并证明在植入子矩阵和植入稠密子图模型中计数社区的匹配上下界，测试阈值与已知低度恢复阈值精确一致。
2026-06-03 cs.CC cs.DS cs.LG
Heavy-traffic Asymptotics of Priority Polling System with Threshold Service Policy
本文利用奇异摄动方法研究了由三个M/M/1队列组成的具有门限策略的优先级轮询系统的高负荷服务行为。结果表明，临界负载队列的标度队列长度是指数分布的，与稳定队列的标度队列长度无关。此外，稳定队列的队列长度具有与N策略休假的优先级轮询系统相同的分布。基于这一事实，我们给出了休假轮询系统的精确尾渐近性来近似稳定队列队列长度的尾分布，表明它与经典的M/M/1强占型优先权队列具有相同的前因子和衰减率.最后，通过随机模拟对上述结果进行了检验。
2014-08-19 math.PR
Singularity of $\{\pm 1\}$-matrices and asymptotics of the number of threshold functions
建立了关于门限函数$P(2, n)$个数和随机$n\times n$ Bernoulli矩阵奇异概率${\mathbb P}_n$的两个结果。我们引入了定义在${\bf RP}^n,$有限子集上的一个超模函数$η^{\bigstar}_n : 2^{{\bf RP}^n}_{fin} \to \mathbb{Z}_{\geq 0},$，它使我们能够得到${\mathbb P}_{n+1}.$的一个下界，这个下界与L.Schläfli著名的上界一起，给出了$$P(2, n) \thicksim 2 {2^n-1 \choose n},\quad n\to \infty.$$的渐近性。同时，证明了关于${\mathbb P}_n$的一个长期猜想的正确性：$$\mathbb{P}_n \thicksim (n-1)^22^{1-n}, \quad n\to \infty .$$
2021-10-31 math.AT math.CO math.PR
Large Degree Asymptotics and the Reconstruction Threshold of the Asymmetric Binary Channels
本文考虑了噪声树网络中给定根节点的信息传播过程，并回答了当n趋于无穷大时，树的第n层符号是否包含根节点的非零信息的问题.虽然树的重建问题已经在包括信息论、数学遗传学和统计物理学的许多背景下被研究，但是现有的文献中建立严格的重建阈值非常有限。在Borgs、Chayes、Mossel和Roch的杰出工作中（Kesten-Stigum重建界对于大致对称的二进制通道是紧的），建立了d叉树上的二进制非对称通道的重建问题的精确阈值，假设非对称性足够小，这是大约十年来获得的第一个精确重建阈值。在本文中，通过精细分析的时刻递归的加权版本的磁化强度，和浓度的调查，我们严格地给出了一个完整的答案的问题，它需要有多小，以建立紧密的重建阈值，并进一步确定其渐近大的程度。
2018-12-14 math.PR
Asymptotic Distribution and Detection Thresholds for Two-Sample Tests Based on Geometric Graphs
在本文中，我们考虑的问题，测试的平等性的两个多元分布的基础上构造的几何图之间的距离的观察。其中包括基于最小生成树和$K$ -最近邻（NN）图的测试。这些测试是渐近分布自由，普遍一致和计算效率，使他们在现代应用程序中特别有用。然而，人们对这些测试的功率特性知之甚少。在本文中，使用稳定的几何图的理论，我们推导出这些测试下的一般替代品，在泊松设置的渐近分布。在此基础上，得到了基于$K$ -NN图的检测阈值和极限局部功率，并得到了与维数相关的有趣指数.这提供了一种方法来比较和证明这些测试在不同示例中的性能。
2021-03-01 math.PR math.ST stat.TH
Asymptotic Behavior of Critical Infection Rates for Threshold-one Contact Processes on Lattices and Regular Trees
本文研究格和正则树上的阈值1接触过程。得到了临界感染率随图的度增长到无穷大的渐近性态。定义λ c为使过程在平衡点灭绝的传染率的上确界，证明了nλ c^{T^n} \rightarrow 1和2dλ c^{Z^d} \rightarrow 1为n，d \rightarrow + \infty .我们的结果是对\cite{Dur1991}中λ_c^{Z^d} \leq \frac{2.18}{d}的结论的发展。为了证明我们的主要结果，得到了一个关于格上简单随机游动返回零的概率的重要引理。详细地，引理是\lim_{d\rightarrow+\infty} 2dP \big（\exists n \geq 1，S_n^{（d）}=0 \big）=1，其中S_n^{（d）}是Z^d上的简单随机游动，其中S_0^{（d）}=0。
2013-11-29 math.PR
Polynomial threshold functions, hyperplane arrangements, and random tensors
生成布尔函数的一个简单方法是取$n$变量中实多项式的符号。这种布尔函数称为多项式门限函数。有多少个低次多项式门限函数？Zuev在1989年解决了$d=1$度问题的部分情况，他证明了线性门限函数的个数$T(n,1)$满足$\log_2 T(n,1) \approx n^2$，直到更小的阶项。然而，包括$d=2$在内的任何更高次数的多项式门限函数的数量仍然是开放的。我们解决这个问题的所有固定度$d \ge1$，表明$ \log_2 T(n,d) \approx n \binom{n}{\le d}$。该解决方案依赖于布尔门限函数理论、超平面排列和随机张量之间的联系。也许令人惊讶的是，它还使用了E.Abbe、A.Shpilka和A.Wigderson关于Reed-Muller码的最新结果。
2019-07-23 math.PR
Limit distributions of the threshold radius for the maximum degree and the associated point configurations in random geometric graphs
Graduate School of Science and Technology, University of Tsukuba（筑波大学科学技术研究科）
研究随机几何图中最大度数阈值半径的极限分布，分析点配置的极限行为，揭示在最大度数有界时呈现复合泊松行为，在最大度数缓慢增长时呈现泊松行为。
2026-04-27 math.PR
On the Mixing Time of Geographical Threshold Graphs
本文研究了随机几何图（RGG）的推广--地理阈值图（GTG）模型生成的$d$ -维环面单位立方体$[0,1]^d$中随机图的混合时间。在GTG中，节点分布在欧几里得空间中，并且根据涉及节点之间的距离以及从某种分布中随机选择的节点权重的门限函数来分配边。GTG的连通性阈值与RGG的连通性阈值相当，基本上对应于$r=(\log n/n)^{1/d}$的连通性半径。然而，在这个阈值下的度分布是完全不同的：在RGG中，度基本上是均匀的，而RGG具有依赖于权重分布的异质度。本文研究了$d$维GTG上随机游动在$d \geq 2$连通性阈值附近的混合时间.如果对于任意小的常数$ν>0$，权重分布函数以$\mathbb{P}[W \geq x] = O(1/x^{d+ν})$衰减，则GTG的混合时间为$\mixbound$。这与$d$维RGG的已知混合边界相匹配。
2011-09-20 cs.DM math.CO math.PR
Asymptotic adaptive threshold for connectivity in a random geometric social network
考虑由单位正方形$[0,1]^2$中在连续时间$t\geq 0$中交互的$s_t$独立点$x_t^1,\ldots,x_t^{s_t}$标识的动态随机几何社交网络。随机点的生成模型是泊松点测度。每个点$x_t^i$在网络中可以是活动的或不是活动的，具有伯努利概率$p$。如果任何$i\neq j$的点间距离为$\|x_t^i-x_t^j\|\leq a_\mathsf{f}^\star$，则由于阶跃连接函数，每个对通过亲和性连接。我们证明，当$a_\mathsf{f}^\star=\sqrt{\frac{(s_t)^{l-1}}{pπ}}$的$l\in(0,1)$，孤立点的数量是由泊松近似为$s_t\to\infty$。这提供了一个自然的阈值的$a_\mathsf{f}^\star$ -邻域程序的建设，适合于动态聚类的网络自适应的数据。
2018-10-15 math.PR
Sharp Threshold Asymptotics for the Emergence of Additive Bases
{0，1，.，n}被称为是{1，2，.，n}如果{1，2，.，n}可以写成j=x+y，x，y在A中，x<=y。如果我们在{0，1，.}中选取每个整数，n}独立地以概率p=p_n趋于0，从而得到一个随机集A，那么我们得到一个2-可加基的概率是多少？当目标和集是[（1-alpha）n，（1+alpha）n]（或等价地[alpha n，（2-alpha）n]）时，我们解决这个问题，其中0<alpha<1。在这两种模型下，使用Poisson近似的Stein-Chen方法，结合Janson不等式，梳理出一个非常尖锐的阈值，出现一个2-加性基。然后给出了k-可加基的推广。
2012-04-10 math.CO math.NT math.PR
Targeted Immunisation Thresholds for the Contact Process on Power-Law Trees
针对幂律树/无标度网络中均匀免疫无法阻断低感染率流行病传播的问题，研究靶向免疫最大度顶点的效果，发现最大允许度高于阈值时免疫效果微弱，低于同量级阈值时流行病存活概率骤降甚至清零。
2024-06-22 math.PR
Asymptotic optimality of degree-greedy discovering of independent sets in Configuration Model graphs
在固定图中寻找最大独立集是一个NP难问题。利用标度极限，证明了序列度贪婪探索算法的渐近性，并给出了该算法在给定度序列的大型稀疏随机图中找到渐近最优大小的独立集的充分条件.在稀疏Erdös-Rényi图的特殊情况下，我们的结果允许给出一个简单的证明，所谓的$e$ -现象所确定的Karp和Sipser的匹配，并给出另一种表征的渐近独立数。
2019-01-03 math.PR
Rigorous results on the threshold network model
我们分析了阈值网络模型，其中一对具有随机权值的顶点在权值之和超过阈值时通过边连接。我们证明了一些关于顶点度、度相关和指定子图个数的收敛定理和中心极限定理。我们还推广了空间扩展情形下的一些结果。
2005-05-31 cond-mat.dis-nn math.PR
Asymptotic for the cumulative distribution function of the degrees and homomorphism densities for random graphs sampled from a graphon
本文给出了从图子中采样的大稠密随机图的度的累积分布函数的渐近性。证明是基于二项随机变量的精确渐近性。用光滑函数代替经验CDF中的指示函数，得到了具有光滑函数的部分标号图的同态密度泛函的一般渐近结果.这个一般的设置允许恢复最近的结果采样graphon的同态密度的渐近。
2018-07-26 math.PR
Strong Detection Threshold for Correlated Erdős-Rényi Graphs with Constant Average Degree
针对从共同父图子采样的一对常数平均度相关 Erdős-Rényi 图，本文给出其与独立图区分的强检测信息论充要阈值，弥合了既有结果间的常数因子差距。
2025-06-15 math.PR
Seed thresholds and degree variance in heterogeneous bootstrap percolation with growing degrees
Yandex
本文研究度数增长的异质自助渗透，证明种子规模阈值与度数方差相关，并揭示正则图与独立边图在相同平均度数下系数不同。
2026-10-20 math.CO math.PR
The asymptotic behaviour of the weights and the degrees in an N-interactions random graph model
研究了基于N个顶点相互作用的随机图演化问题。在进化过程中，优先连接方法和统一的顶点选择都是允许的。一个顶点的权重意味着它的交互作用的数量。给出了固定顶点的权和度的渐近性质，以及最大权和最大度的极限。证明是基于鞅方法。
2014-05-06 math.PR
On the number of crossings and bouncings of a diffusion at a sticky threshold
Université de Lorraine（洛林大学）；CNRS（法国国家科学研究中心）；IECL（洛林数学与计算实验室）；Université Grenoble–Alpes（格勒诺布尔阿尔卑斯大学）；LJK（拉格朗日数学与计算实验室）；Inria（法国国家信息与自动化研究所）
本文研究了粘性扩散在阈值处交叉和反弹数量的渐近行为，并提出了粘性参数的估计方法。
2025-12-08 math.PR
Asymptotic Normality of Degree Counts in a Preferential Attachment Model
偏好依恋是理解社交网络动态的一个广泛采用的范式。正式的统计推断，例如GLM技术和模型验证方法将需要知道检验统计量是渐近正态的，即使基于节点或计数的网络数据与来自独立重复实验的经典数据完全不同。因此，我们研究的渐近正态性的度计数增长的简单无向优先连接图的序列。证明的方法依赖于识别鞅，然后利用鞅中心极限定理。
2015-04-28 math.PR
Low-Degree Fourier Threshold for Random Boolean Functions
School of Mathematical Sciences, Peking University（北京大学数学科学学院）
研究随机布尔函数是否由其度数不超过d的瓦尔什-傅里叶系数决定，证明阈值在p/2附近存在O(√(p log p))窗口，确定函数唯一性条件。
2026-08-25 math.PR
$k$-Independent Gaussians Fool Polynomial Threshold Functions
我们证明了任何$O_d(ε^{-4d 7^d})$ -独立的高斯$ε$ -族都能愚弄任何次数- $d$多项式阈值函数.
2011-11-11 cs.CC math.PR
Shifting the Phase Transition Threshold for Random Graphs and 2-SAT using Degree Constraints
我们证明了，通过将图的顶点的度限制为任意集合\( Δ\)，具有$ n $顶点和$ m = α(Δ) n $边的随机图的相变的阈值点$ α(Δ) $可以被加速（例如，$ Δ= \{0,1,4,5\} $的$ α(Δ) \approx 0.381 $）或推迟（例如，$ α(\{ 2^0, 2^1, \cdots, 2^k, \cdots \}) \approx 0.795 $）与具有$ α(\mathbb Z_{\geq 0}) = \tfrac12 $的经典Erdens-Rényi随机图进行比较。特别地，我们证明了当$ m $通过$ α(Δ) n $时，图的非平面概率和具有复杂分量的概率从$ 0 $到$ 1 $。我们调查这些概率，也不同的图形统计过渡的关键窗口内（直径，最长路径和周长的复杂组件）。
2017-12-20 cs.DS cs.LO math.CO
Low-degree estimation thresholds in planted hypergraphs and tensor PCA
Division of Applied Mathematics, Brown University（布朗大学应用数学系）
本文通过低度框架研究植入稠密子超图、稀疏张量PCA和一般先验张量PCA中的统计-计算差距，确定了低度估计的尖锐阈值，并给出了多项式时间算法。
2026-05-28 cs.CC cs.DS math.PR
Optimal detection of geometry in random graphs and kernel matrices at critical thresholds
Georgia Institute of Technology（佐治亚理工学院）
该研究针对随机图与核矩阵的几何检测问题，改进了现有阈值结果，建立了临界区域的最优渐近检验误差，提出基于秩统计量的三次统计量实现最优检验。
2026-10-14 math.PR math.ST stat.TH
Deterministic Approximate Counting for Degree-$2$ Polynomial Threshold Functions
给出了一个近似计算满足次数$2$多项式阈值函数的布尔赋值的分数的{ \em确定性}算法。给定2次输入多项式$p(x_1,\dots,x_n)$和参数$\eps > 0$，该算法在时间上将\[ \Pr_{x \sim \{-1,1\}^n}[p(x) \geq 0] \]近似到加性$\pm \eps$内$\poly(n,2^{\poly(1/\eps)})$。请注意，确定上述概率是否为非零是NP困难的，因此任何类型的乘法近似几乎肯定是不可能的，即使是有效的随机算法。这是该计数问题的第一个确定性算法，其中运行时间是$\eps= o(1)$的$n$中的多项式。对于“常规”多项式$p$（其中没有单个变量的影响比所有$n$变量影响的总和大），我们的算法在$\poly(n,1/\eps)$时间内运行。对于任何2次多项式$p$，该算法还在$\poly(n,1/\eps)$时间内运行以将$\Pr_{x \sim N(0,1)^n}[p(x) \geq 0]$近似到加性$\pm \eps$内。作为我们计数结果的应用，我们给出了一个确定性FPT乘性$(1 \pm \eps)$ -近似算法来近似二次多项式的$k$阶绝对矩$\E_{x \sim \{-1,1\}^n}[|p(x)^k|]$.该算法的运行时间的形式为$\poly(n) \cdot f(k,1/\eps)$。
2013-11-27 cs.CC math.PR
Asymptotic Normality of In- and Out-Degree Counts in a Preferential Attachment Model
有向无标度图中的偏好连接被广泛用于社交网络演化的建模。社交网络的统计分析通常依赖于基于节点的数据，而不是传统的重复采样。对于具有偏好连接的有向边模型，利用鞅构造和鞅中心极限定理证明了节点数的渐近正态性。这有助于证明估计方法的基础上的统计数据的节点计数，指定的度和度。
2015-10-01 math.PR math.ST stat.TH
Asymptotic enumeration of orientations of a graph as a function of the out-degree sequence
证明了图$G$具有给定出度（得分）序列的方向数的一个渐近公式。假设图$G$对于某些$\varepsilon > 0$具有至少为$n^{1/3 + \varepsilon}$的平均度，并且具有强混合属性，同时取向的最大不平衡（出度减去入度）不应该太大。我们的计数结果对研究具有给定不平衡序列的子有向图在随机方向上的出现有一定的应用。作为我们的计算的一个步骤，我们获得了新的边界的最大似然估计的布拉德利-特里模型的配对比较。
2020-01-13 math.CO math.PR
