$k$-Independent Gaussians Fool Polynomial Threshold Functions
Daniel M. Kane
我们证明了任何$O_d(ε^{-4d 7^d})$ -独立的高斯$ε$ -族都能愚弄任何次数- $d$多项式阈值函数.
We show that any $O_d(ε^{-4d 7^d})$-independent family of Gaussians $ε$-fools any degree-$d$ polynomial threshold function.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Fooling Gaussian PTFs via Local Hyperconcentration
本文给出了一个伪随机数发生器，它能在种子长度为$\mathrm{poly}(d)\cdot \log n$的$n$维高斯空间上欺骗次数为$d$的多项式阈值函数.所有以前的生成器都具有至少$2^d$依赖于$d$的种子长度。关键的新成分是局部超集中定理，它表明每个次$d$高斯多项式在尺度$d^{-O(1)}$上几乎处处超集中。
Fooling Thresholds of Halfspaces
本文为半空间阈值构造显式伪随机生成器，证明多胞体生成器可欺骗此类函数，并给出种子长度界，同时导出噪声敏感性与学习算法。
A Small PRG for Polynomial Threshold Functions of Gaussians
我们开发了一个伪随机发生器来愚弄度- $d$多项式阈值函数的高斯分布。对于$c>0$任何常数，我们构造了一个伪随机生成器，该生成器将这些函数骗到$ε$内，并且具有种子长度$\log(n) 2^{O(d)} ε^{-4-c}$。
Polynomial Threshold Functions: Structure, Approximation and Pseudorandomness
研究了多项式阈值函数的计算能力，即布尔立方体上实多项式的阈值函数。我们提供了两个新的结果，这个模型的计算能力的边界。我们的第一个结果表明，低次多项式阈值函数不能近似任何具有许多影响变量的函数。我们提供了一对夫妇的例子，这种技术产生紧密的近似边界。我们的第二个结果涉及到构建伪随机发生器愚弄低次多项式阈值函数。这个问题最近受到了关注，Diakonikolas等人证明了$k$独立性足以欺骗线性阈值函数。我们证明了任何低次多项式阈值函数，它可以表示为一个函数的一个小数目的线性阈值函数，也可以愚弄$k$明智的独立性。我们认为这是愚弄一般多项式阈值函数的重要一步，我们讨论了一个合理的方法，实现这一目标的基础上，我们的技术。我们的结果结合了实逼近理论，超压缩不等式和概率方法的工具。特别是，我们开发了几个新的工具，在近似理论，这可能是独立的利益。
Bounded Independence Fools Degree-2 Threshold Functions
设x是来自{-1，1}^n上任意k-独立分布的随机向量。对于n元二次多项式p，证明了E[sgn（p（x））]在k = poly（1/n）的加法上是确定的.这回答了Diakonikolas等人提出的一个未决问题（森林观测和科学委员会，2009年）。使用标准构造的k-wise独立分布，我们得到了广泛的一类显式生成器，ε-愚弄类的度-2阈值函数与种子长度log（n）*poly（1/n）。我们的方法非常强大：它很容易扩展以产生任何常数数量的2次阈值函数的交集被poly（1/n）-明智的独立性所愚弄。我们的结果也成立，如果x的条目是k-独立的标准法线，这意味着例如，有界的独立性去随机化的Goemans-Williamson超平面舍入方案。为了实现我们的结果，我们引入了一种技术，我们称之为多变量FT-软化，这是Kane等人（SODA 2010）在流算法上下文中引入的单变量形式的推广。一路上，我们证明了一个广义超压缩不等式的二次型，其中考虑到相关矩阵的运营商范数。这些技术可能是独立的利益。
A Pseudorandom Generator for Polynomial Threshold Functions of Gaussian with Subpolynomial Seed Length
我们开发了一个伪随机发生器，愚弄度$d$多项式阈值函数的$n$变量相对于高斯分布，并有种子长度$O_{c,d}(\log(n) ε^{-c})$。
Fooling functions of halfspaces under product distributions
我们构造伪随机生成器，愚弄半空间（阈值函数）下的一类非常广泛的产品分布的功能。这个类不仅包括常见的情况，如离散立方体上的均匀分布，固体立方体上的均匀分布和多元高斯分布，而且还包括概率远离0的离散分布的任何产品。我们的第一个主要结果表明，Meka和Zuckerman [MZ 09]最近的伪随机生成器构造，当适当修改时，可以欺骗任意函数的d半空间下的产品分布，其中每个坐标有界的四阶矩。为了eps-fool任何大小为s，深度为d的半空间决策树，我们的伪随机生成器使用种子长度O（（d log（ds/eps）+log n）log（ds/eps））。对于d个半空间的单调函数，种子长度可改进为O（（d log（d/eps）+log n）log（d/eps））.对于更大的eps，我们得到了更好的边界;例如，对于1/polylog（n）-fool（log n）= log log n半空间的所有单调函数，我们的生成器需要一个长度为O（log n）的种子。我们的第二个主要结果推广了Diakonikolas等人的工作。[DGJ+09]表明，有界独立性足以愚弄乘积分布下的半空间函数。假设每个坐标满足某个更强的矩条件，我们证明了任何可由半空间的大小为s，深度为d的决策树计算的函数都是eps-fooled的O（d^4s^2/eps^2）-wise独立性。
A Pseudorandom Generator for Functions of Low-Degree Polynomial Threshold Functions
本文针对高斯空间上低次多项式阈值函数的函数，显式构造了种子长度为poly(k,d,1/ε)·log n的伪随机生成器，通过L个R-矩匹配高斯向量求和实现ε-欺骗，并离散化获得PRG。
Pseudorandom Generators for Polynomial Threshold Functions
我们研究了低次多项式阈值函数（PTF）的伪随机生成器（PRG）的自然问题。我们给出了一个种子长度为log n/eps^{O（d）}的伪随机生成图，它欺骗了d次PTFs，误差最多为eps。在此之前，没有非平凡的建设，甚至二次阈值函数和常数误差eps。对于一类1次阈值函数或半空间，我们构造了对误差参数eps有更好依赖性的PRG，得到了种子长度为O（logn + log^2（1/eps））的PRG.以前，半空间中只有种子长度为O（log n log^2（1/eps）/eps^2）的PRG是已知的。我们也得到了PRG相似的种子长度愚弄半空间的n维单位球。我们的建设和分析的主题是使用不变性原理来构造伪随机发生器。我们还介绍了单调读一次分支程序的概念，这是关键，以改善依赖的出错率EPS半空间。这些技术可能是独立的利益。
A Structure Theorem for Poorly Anticoncentrated Gaussian Chaoses and Applications to the Study of Polynomial Threshold Functions
本文证明了次数- $d$多项式的一个结构性结果。特别是，我们表明，任何程度的$d$多项式，$p$可以近似的另一个多项式，$p_0$，它可以被分解为一些函数的多项式$q_1,...,q_m$与$q_i$规范化和$m=O_d(1)$，因此，如果$X$是一个高斯随机变量，概率分布在$(q_1(X),...,q_m(X))$没有太多的质量在任何小盒子。利用这一结果，我们证明了改进版本的一些结果多项式门限函数，包括产生更好的伪随机发生器，获得更好的不变性原则，并证明了改进的界限上的噪声灵敏度。
A Polylogarithmic PRG for Degree $2$ Threshold Functions in the Gaussian Setting
我们设计了一个新的伪随机发生器对二次多项式阈值函数在高斯设置。我们设法实现$ε$的错误与种子长度多对数在$ε$和尺寸，和指数改善以前的建设。
Deterministic Approximate Counting for Juntas of Degree-$2$ Polynomial Threshold Functions
设$g: \{-1,1\}^k \to \{-1,1\}$是任意布尔函数，$q_1,\dots,q_k$是$\{-1,1\}^n.$上的任意二次多项式，给出了一个\emph{deterministic}算法，该算法以$g,q_1,\dots,q_k$的显式描述和精度参数$\eps>0$为输入，将\[\Pr_{x \sim \{-1,1\}^n}[g(\sign(q_1(x)),\dots,\sign(q_k(x)))=1]\]逼近到一个可加的$\pm \eps$内.对于任何常数$\eps > 0$和$k \geq 1$，我们的算法的运行时间是一个固定的多项式在$n$。这是第一个固定的多项式时间算法，可以确定性地近似计数满足一个自然类的深度3布尔电路的分配。我们的算法扩展了最近的结果\cite{DDS13:deg2count}，它给出了一个确定性的近似计数算法为一个单一的二次多项式阈值函数$\sign(q(x)),$相应的$k=1$的情况下，我们的结果。我们的算法和分析需要几个新的技术成分，远远超出了处理\cite{DDS13:deg2count}中$k=1$案例所需的工具。其中之一是高斯随机变量中2次多项式的新多维中心极限定理，该定理建立在最近基于马利亚文演算的概率论结果的基础上。我们使用这个CLT的$k$ -元组的度-2高斯多项式的一个新的分解技术的基础上，从而获得一个有效的确定…
The Gaussian Surface Area and Noise Sensitivity of Degree-$d$ Polynomials
我们提供了渐近尖锐的界限的高斯表面积和高斯噪声灵敏度的多项式阈值函数。特别是，我们表明，如果$f$是一个度$d$多项式阈值函数，那么它的高斯灵敏度在噪声率$ε$是小于一些数量渐近$\frac{d\sqrt{2ε}}π$和高斯表面积至多是$\frac{d}{\sqrt{2π}}$。此外，这些界限是渐进紧的，因为$ε\to 0$和$f$是$d$不同齐次线性函数乘积的阈值函数。
Efficient deterministic approximate counting for low-degree polynomial threshold functions
本文给出了一个近似计数次数$d$多项式阈值函数（PTF）满足赋值的确定性算法.给定次数$d$输入多项式$p(x_1,\dots,x_n)$ over $R^n$和参数$ε> 0$，我们的算法在时间上将$\Pr_{x \sim \{-1,1\}^n}[p(x) \geq 0]$近似到加性$\pm ε$内$O_{d,ε}(1)\cdot \mathop{poly}(n^d)$。(Any即使对于假定$NP\not=RP$的随机化算法，也不可能有一种有效的乘法近似。）请注意，我们的算法的运行时间（作为$n^d$的函数，$d$ PTF的系数数量）是一个\emph{fixed}多项式。这个问题的最快的以前的算法（由于凯恩），基于度$d$ PTF的无条件伪随机生成器的构造，对所有$c > 0$在时间上运行$n^{O_{d,c}(1) \cdot ε^{-c}}$。这项工作的关键新贡献是：一个新的多元中心极限定理，使用Malliavin演算和Stein方法的工具证明。这个新的CLT表明，任何集合的高斯多项式与小特征值必须有一个联合分布，这是非常接近的多维高斯分布。高斯输入下低次多线性多项式的一种新分解。粗略地说，我们表明，（一些小的错误）任何这样的多项式可以分解成一个有界的多线性多项式，所有这些都有极小的特征值。我们使用这些新的成分，给出一个确定性算法的高斯空间版本的近似计数问题，然后采用标准的技…
A PRG for Lipschitz Functions of Polynomials with Applications to Sparsest Cut
给出了超立方体上低次多项式Lipschitz函数的改进伪随机生成器。这些是形式为psi（P（x））的函数，其中P是低次多项式，psi是具有小Lipschitz常数的函数。低次多项式光滑函数的伪随机生成图在构造自然类多项式阈值函数的伪随机生成图中起着重要的作用。尽管最近的进展，没有非平凡的PRG被称为愚弄Lipschitz函数的度O（log n）多项式，即使是恒定的出错率。在这项工作中，我们给出了第一个这样的生成器获得（log n）\tilde{O}（d^2/eps^2）的种子长度的愚弄d次多项式与错误eps。以前的生成器对度有指数依赖性。我们使用我们的PRG得到更好的完整性差距的情况下，稀疏割，在图论中的一个基本问题，在图优化的许多应用。我们给出了一个均匀最稀疏切割的例子，其中强大的半定松弛（SDP）首先由Goemans和Linial提出，并在Arora、Rao和Vazirani的开创性工作中进行了研究，其完整性差距为exp（Ω（（log log n）^{1/2}）。了解的性能的Goemans-Linial SDP均匀稀疏割是一个重要的开放问题，在近似算法和度量嵌入和我们的工作给出了一个近指数的改善，以前的下限，实现了Ω（log log n）的差距。
Average sensitivity and noise sensitivity of polynomial threshold functions
给出了次数为$d$的多项式阈值函数（PTFs）的平均灵敏度和噪声灵敏度的第一个非平凡上界。这些界限对于布尔超立方体上的PTF和标准$n$维高斯分布下的$\R^n$上的PTF都成立。我们的边界上的布尔平均灵敏度的PTF表示的进展，对解决的猜想Gotsman和Linial \cite{GL:94}，这说明对称函数切片的中间层的布尔超立方体的$d$具有最高的平均灵敏度的所有度- $d$ PTF。通过Kalai等人的$L_1$多项式回归算法\cite{KKMS:08}，我们对高斯和布尔噪声灵敏度的界限为这些输入分布下的大类常度PTF产生多项式时间不可知的学习算法。用于获得我们的平均和噪声灵敏度的PTFs在高斯设置的边界的主要成分是尾部边界和反浓度边界的高斯随机变量\cite{Janson:97,CW:01}的低次多项式。为了得到我们的布尔平均灵敏度的PTFs的界限，我们推广的“临界指数”机制的\cite{Servedio:07cc}（在这项工作中适用于半空间，即度1 PTFs）一般PTFs。与\cite{MOO:05}的“不变性原则”一起，这使我们能够将我们的技术从高斯设置扩展到布尔设置。我们的布尔噪声灵敏度的界限是通过一个简单的减少从上界的平均灵敏度的布尔PTFs的噪声灵敏度相应的界限。
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