Optimal PRGs for Low-Degree Polynomials over Polynomial-Size Fields
Tel Aviv University（特拉维夫大学）；Ben Gurion University（本古里安大学）
本文提出了一种在多项式大小域上构造低次多项式最优种子长度PRG的方法，展示了域大小与特征之间的阈值现象。
2026-11-01 cs.CC
A Small PRG for Polynomial Threshold Functions of Gaussians
我们开发了一个伪随机发生器来愚弄度- $d$多项式阈值函数的高斯分布。对于$c>0$任何常数，我们构造了一个伪随机生成器，该生成器将这些函数骗到$ε$内，并且具有种子长度$\log(n) 2^{O(d)} ε^{-4-c}$。
2011-04-06 cs.CC
Tight bounds on the Fourier growth of bounded functions on the hypercube
给出了立方体上有界函数$f$的度$\ell$齐次部分$f_\ell$的紧界.证明了若$f: \{\pm 1\}^n \rightarrow [-1,1]$有度$d$，则$\| f_\ell \|_\infty$有界于$d^\ell/\ell!$，$\| \hat{f}_\ell \|_1$有界于$d^\ell e^{\binom{\ell+1}{2}} n^{\frac{\ell-1}{2}}$ .我们描述应用伪随机和学习理论。我们用类似的方法从凸分析的角度推广了经典的Pisier不等式。我们的分析涉及的性质的实根多项式，可能是有用的其他地方。
2021-07-19 cs.CC math.FA
Hardness of learning noisy halfspaces using polynomial thresholds
我们使用多项式阈值函数（PTFs）证明了在对抗性噪声存在下弱学习半空间的硬度。特别是，我们证明了，对于任何常数$d \in \mathbb{Z}^+$和$\varepsilon > 0$，这是NP-难决定：给定一组$\{-1,1\}$标记的点在$\mathbb{R}^n$是否（是的情况下）存在一个半空间，分类$(1-\varepsilon)$ -分数的点正确，或（否情况下）任何程度- $d$ PTF分类最多$(1/2 + \varepsilon)$ -分数的点正确。这将Diakonikolas et al.（2011）使用度- $2$ PTF的学习的NP难度增强到所有恒定度。后一个结果仍然是Feldman et al.（2006）和Guruswami et al.（2006）工作的唯一进展，排除了弱适当学习对抗噪声半空间。
2017-07-06 cs.CC
$k$-Independent Gaussians Fool Polynomial Threshold Functions
我们证明了任何$O_d(ε^{-4d 7^d})$ -独立的高斯$ε$ -族都能愚弄任何次数- $d$多项式阈值函数.
2011-11-11 cs.CC math.PR
On Boolean PCSPs with Polynomial Threshold Polymorphisms
Jagiellonian University（雅盖隆大学）
该研究聚焦布尔PCSPs，针对多态性为有界次数PTFs的问题类，分别在非负系数条件下建立复杂度二分性，在Rich 2-to-1猜想下证明具显著影响坐标PTFs的硬度，还证明了随机2对1次要映射的相关性质。
2025-09-30 cs.CC
Toward Super-Polynomial Size Lower Bounds for Depth-Two Threshold Circuits
$\textsf{TC}^0$是一类具有常数深度、多项式大小的多数门电路，其超多项式大小下界的证明是复杂性理论中一个著名的公开问题。一个主要的前沿是证明$\textsf{NEXP}$不具有多尺寸$\textsf{THR} \circ \textsf{THR}$电路（具有线性阈值门的深度为2的电路）。近年来，R. Williams提出了一个通过改进算法证明电路下界的程序。在本文中，遵循Williams的框架，我们证明了上述前沿问题可以通过为以下几个基本问题设计稍快的算法来解决：1。$\textsf{$ \ell_2 $-Furthest-Pair}$的剃须膏。多对数$d$的$\mathbb{R}^d$中$\textsf{$ \ell_2 $-Furthest-Pair}$的$n^2 \textrm{poly}(d) / \log^{ω(1)} n$时间算法意味着$\textsf{NEXP}$没有多项式大小的$\textsf{THR} \circ \textsf{THR}$电路。这同样适用于Hopcroft问题，$\textsf{Bichrom.-$ \ell_2 $-Closest-Pair}$和$\textsf{Max-IP}$。2.用于近似$\textsf{Bichrom.-$ \ell_2 $-Closest-Pair}$的剃齿刀。用于$(1+1/\log^{ω(1)} n)$…
2018-05-27 cs.CC
A Pseudorandom Generator for Polynomial Threshold Functions of Gaussian with Subpolynomial Seed Length
我们开发了一个伪随机发生器，愚弄度$d$多项式阈值函数的$n$变量相对于高斯分布，并有种子长度$O_{c,d}(\log(n) ε^{-c})$。
2012-10-04 cs.CC math.PR
Pseudorandom Generators for Polynomial Threshold Functions
我们研究了低次多项式阈值函数（PTF）的伪随机生成器（PRG）的自然问题。我们给出了一个种子长度为log n/eps^{O（d）}的伪随机生成图，它欺骗了d次PTFs，误差最多为eps。在此之前，没有非平凡的建设，甚至二次阈值函数和常数误差eps。对于一类1次阈值函数或半空间，我们构造了对误差参数eps有更好依赖性的PRG，得到了种子长度为O（logn + log^2（1/eps））的PRG.以前，半空间中只有种子长度为O（log n log^2（1/eps）/eps^2）的PRG是已知的。我们也得到了PRG相似的种子长度愚弄半空间的n维单位球。我们的建设和分析的主题是使用不变性原理来构造伪随机发生器。我们还介绍了单调读一次分支程序的概念，这是关键，以改善依赖的出错率EPS半空间。这些技术可能是独立的利益。
2011-11-15 cs.CC
A Pseudorandom Generator for Functions of Low-Degree Polynomial Threshold Functions
本文针对高斯空间上低次多项式阈值函数的函数，显式构造了种子长度为poly(k,d,1/ε)·log n的伪随机生成器，通过L个R-矩匹配高斯向量求和实现ε-欺骗，并离散化获得PRG。
2025-04-21 cs.CC
Polynomial Threshold Functions for Decision Lists
对于$S \subseteq \{0,1\}^n$，布尔函数$f \colon S \to \{-1,1\}$是次数$d$和权重$W$的多项式阈值函数（PTF），如果存在具有次数$d$的整数系数和绝对系数$W$之和的多项式$p$，使得对于所有$x \in S$为$f(x) = \text{sign}(p(x))$。我们研究了在布尔立方体$\{0,1\}^n$和Hamming球$\{0,1\}^{n}_{\leq k}$上的决策表的PTF表示。作为我们的第一个结果，我们表明，对于所有的$d = O\left( \left( \frac{n}{\log n}\right)^{1/3}\right)$任何决策列表在$\{0,1\}^n$可以表示的PTF的程度$d$和重量$2^{O(n/d^2)}$。这通过权重指数中的$\log^2 d$因子改进了Klivans和Servedio的结果[Klivans，Servedio，2006]。由于Beigel [Beigel，1994]的匹配下界，我们的界对所有$d = O\left( \left( \frac{n}{\log n}\right)^{1/3}\right)$都是紧的。对于Hamming球$\{0,1\}^n_{\leq k}$上的决策表，我们证明了对于$d = Θ(\sqrt{k})$，上述权重的上界可以大大提高到$n^{O(\sqr…
2022-12-20 cs.CC
A Polylogarithmic PRG for Degree $2$ Threshold Functions in the Gaussian Setting
我们设计了一个新的伪随机发生器对二次多项式阈值函数在高斯设置。我们设法实现$ε$的错误与种子长度多对数在$ε$和尺寸，和指数改善以前的建设。
2014-04-03 cs.CC
Bounding the Sensitivity of Polynomial Threshold Functions
The University of Texas at Austin（德克萨斯大学奥斯汀分校）
给出了多项式阈值函数的平均灵敏度和噪声灵敏度的第一个非平凡上界。更具体地说，对于一个布尔函数f的n个变量等于一个总次数为d的实多元多项式的符号，我们证明了1）f的平均灵敏度至多为O（n ^{1 - 1/（4d +6）}）（我们还给出了一个组合证明的界限O（n ^{1 - 1/2^d}）。2)f对噪声率δ的噪声灵敏度至多为O（δ ^{1/（4d +6）}）。以前，只有线性情况下的界限是已知的。一路上，我们展示了新的结构定理的多项式阈值函数通过超压缩性获得的随机限制。这些结构的结果可能是独立的利益，因为它们提供了一个通用的模板转换相关的问题，多项式阈值函数定义的布尔超立方体的多项式阈值函数定义在高斯空间。
2009-11-09 cs.CC cs.LG
A Structure Theorem for Poorly Anticoncentrated Gaussian Chaoses and Applications to the Study of Polynomial Threshold Functions
本文证明了次数- $d$多项式的一个结构性结果。特别是，我们表明，任何程度的$d$多项式，$p$可以近似的另一个多项式，$p_0$，它可以被分解为一些函数的多项式$q_1,...,q_m$与$q_i$规范化和$m=O_d(1)$，因此，如果$X$是一个高斯随机变量，概率分布在$(q_1(X),...,q_m(X))$没有太多的质量在任何小盒子。利用这一结果，我们证明了改进版本的一些结果多项式门限函数，包括产生更好的伪随机发生器，获得更好的不变性原则，并证明了改进的界限上的噪声灵敏度。
2012-08-15 cs.CC math.PR
Heuristic algorithms for obtaining Polynomial Threshold Functions with low densities
在本文中，我们提出了几个启发式算法，包括遗传算法（GA），获得多项式阈值函数（PTF）表示的布尔函数（BF）的单项式的数量很少。我们通过计算实验将这些算法相互比较，并与Oztop算法进行比较。结果表明，我们的启发式算法找到更多的简约表示相比，非启发式和遗传算法。
2015-04-05 cs.CC cs.NE
Optimal bounds for sign-representing the intersection of two halfspaces by polynomials
函数f：{0，1}^n->{-1，+1}的阈值次数是实多项式p的最小次数，其中f（x）=sgn p（x）。证明了{0，1}^n上两个半空间的交有阈值度Omega（n），它与平凡上界相匹配，完全回答了Klivans（2002）提出的一个问题.最好的前一个下界是Omega（sqrt n）。我们的结果表明，在{0，1}^n上的两个半空间的交集只允许一个平凡的2^{Theta（n）}-时间学习算法基于符号表示的多项式，不同于PAC学习DNF公式和只读布尔公式所取得的进展。证明引入了一种新的技术，独立的利益，基于傅立叶分析和矩阵理论。
2010-02-24 cs.CC
Approximation thresholds for combinatorial optimization problems
一个NP难的组合优化问题$Π$被称为有一个{ \em近似阈值}，如果存在某个$t$，使得$Π$的最优值可以在多项式时间内在$t$的比率内近似，并且在比$t$更好的比率内近似它是NP难的。我们调查了一些已知的近似阈值的结果，并讨论了从已知的结果出现的模式。
2003-04-28 cs.CC
Multiparty Karchmer-Wigderson Games and Threshold Circuits
我们提出了一个概括的Karchmer-Wigderson通信游戏的多方设置。我们的推广原来是紧密相连的电路组成的阈值门。这使我们能够获得新的明确的结构，这样的电路的几个功能。特别是，我们提供了一个显式（多项式时间可计算）的对数深度单调公式的多数函数，仅由3位的择多门和变量。这解决了Cohen等人的一个猜想（CHTTO 2013）。
2020-02-18 cs.CC
Polynomial Representations of Threshold Functions and Algorithmic Applications
我们设计了新的多项式，用于表示三种不同状态下的阈值函数：低次数的概率多项式，其需要比以前的构造少得多的随机性，具有“好”阈值行为和次数几乎与概率多项式一样低的多项式阈值函数（PTF），以及概率PTF的新概念，其中我们结合上述技术以实现具有类似“好”阈值行为的甚至更低的程度。利用这些多项式结构，我们设计了各种问题的更快的算法：$\bullet$离线汉明最近（和Furminent）邻居：给定$d=c\log n$的$d$维汉明空间中的$n$红色和$n$蓝色点，我们可以在随机时间$n^{2-1/O(\sqrt{c}\log^{2/3}c)}$或确定性时间$n^{2-1/O(c\log^2c)}$中为每个红色点找到（精确）最近（或最远）蓝色邻居。这些也导致更快的MAX-SAT算法稀疏CNF。$\bullet$离线近似最近（和最远）邻居：给定$\bullet$维$\ell_1$或欧几里德空间中的$n$红色和$n$蓝色点，我们可以在随机时间内找到$dn+n^{2-Ω(ε^{1/3}/\log(1/ε))}$附近的每个红色点的$(1+ε)$近似最近（或最远）蓝色邻居.具有线性阈值函数的电路的$\bullet$ SAT算法和下限：我们给出了$AC^0[m]\circ LTF\circ LTF$电路的可满足性算法，该电路在底层具有次二次数量的线性阈值门，在其他层具有次指数数量的门，该算法在确定性$2…
2016-08-15 cs.CC cs.DS
The Gaussian Surface Area and Noise Sensitivity of Degree-$d$ Polynomials
我们提供了渐近尖锐的界限的高斯表面积和高斯噪声灵敏度的多项式阈值函数。特别是，我们表明，如果$f$是一个度$d$多项式阈值函数，那么它的高斯灵敏度在噪声率$ε$是小于一些数量渐近$\frac{d\sqrt{2ε}}π$和高斯表面积至多是$\frac{d}{\sqrt{2π}}$。此外，这些界限是渐进紧的，因为$ε\to 0$和$f$是$d$不同齐次线性函数乘积的阈值函数。
2009-12-14 cs.CC cs.LG
A regularity lemma, and low-weight approximators, for low-degree polynomial threshold functions
给出了布尔立方体{-1，1}^n上d次多项式阈值函数的一个正则性引理.这一结果表明，每个degree-d PTF可以分解成一个常数的子函数，使得几乎所有的子函数是接近正则PTF。这里，“正则PTF”是PTF符号（p（x）），其中每个变量对多项式p（x）的影响是p的总影响的一小部分。作为这个正则性引理的应用，我们证明了对于任何常数d \geq 1，\eps \geq 0，n个变量上的每一个degree-d PTF都可以通过具有总幅度为O（n^d）的整数权重的常度PTF来近似于精度eps。这个重量界被证明是最佳的常数因子。
2010-05-06 cs.CC cs.DM
Heat and Noise on Cubes and Spheres: The Sensitivity of Randomly Rotated Polynomial Threshold Functions
我们建立了一个精确的球谐函数和傅立叶基函数之间的关系，在一个超立方体随机嵌入在球。特别是，我们给出了一个随机旋转函数的预期布尔噪声灵敏度在其“球面灵敏度”，我们定义根据其演变下的球面热方程的约束。作为应用，我们证明了平均情况下的Gotsman-Linial猜想，约束多项式阈值函数的灵敏度进行随机旋转。
2014-08-22 cs.CC math.CO math.RT
The intersection of two halfspaces has high threshold degree
布尔函数f：{0，1}^n->{-1，+1}的阈值次数是实多项式p使得f（x）=sgn p（x）的最小次数。我们在{0，1}^n上构造两个半空间，它们的交集具有阈值度Theta（sqrt n），这是对以前下界的指数改进。这解决了Klivans（2002）提出的一个开放问题，并排除了使用基于感知器的技术来学习两个半空间的交集，这是计算学习中一个尚未解决的核心挑战。我们还证明了两个多数函数的交集具有阈值度Ω（log n），这是紧的，解决了O 'Donnell和Servedio（2003）的一个猜想.我们的证明由两部分组成。首先，我们证明了对于任意非常数布尔函数f和g，交集f（x）^g（y）具有阈值度O（d）当且仅当||f-F||_infty +|| g-G||_infty < 1，对于某些O（d）次有理函数F，G.其次，我们解决了所需的最低程度逼近半空间和多数功能，以任何给定的精度由有理函数。我们的技术进一步使我们能够在Aaronson的挑战（2008）上取得进展，并为形式为F（f_1，...，f_n）。特别地，我们给出了与或树的近似度的一个改进下界。
2009-10-12 cs.CC
Deterministic Approximate Counting for Degree-$2$ Polynomial Threshold Functions
给出了一个近似计算满足次数$2$多项式阈值函数的布尔赋值的分数的{ \em确定性}算法。给定2次输入多项式$p(x_1,\dots,x_n)$和参数$\eps > 0$，该算法在时间上将\[ \Pr_{x \sim \{-1,1\}^n}[p(x) \geq 0] \]近似到加性$\pm \eps$内$\poly(n,2^{\poly(1/\eps)})$。请注意，确定上述概率是否为非零是NP困难的，因此任何类型的乘法近似几乎肯定是不可能的，即使是有效的随机算法。这是该计数问题的第一个确定性算法，其中运行时间是$\eps= o(1)$的$n$中的多项式。对于“常规”多项式$p$（其中没有单个变量的影响比所有$n$变量影响的总和大），我们的算法在$\poly(n,1/\eps)$时间内运行。对于任何2次多项式$p$，该算法还在$\poly(n,1/\eps)$时间内运行以将$\Pr_{x \sim N(0,1)^n}[p(x) \geq 0]$近似到加性$\pm \eps$内。作为我们计数结果的应用，我们给出了一个确定性FPT乘性$(1 \pm \eps)$ -近似算法来近似二次多项式的$k$阶绝对矩$\E_{x \sim \{-1,1\}^n}[|p(x)^k|]$.该算法的运行时间的形式为$\poly(n) \cdot f(k,1/\eps)$。
2013-11-27 cs.CC math.PR
Algorithmic Thresholds for Refuting Random Polynomial Systems
考虑$m$多项式方程组$\{p_i(x) = b_i\}_{i \leq m}$的次数为$D\geq 2$在$n$ -维变量$x \in \mathbb{R}^n$中，使得每个$p_i$和$b_i$的每个系数是随机选择的，并且独立于某个连续分布。我们研究的基本问题，确定最小的$m$ -算法阈值-有效的算法可以找到反驳（即证书的不满足性），这样的系统。这种设置概括了诸如反驳随机SAT实例、低秩矩阵感测和证明Goldreich候选生成器和概括的伪随机性等问题。我们表明，对于每一个$d \in \mathbb{N}$，$(n+m)^{O(d)}$ -时间正则平方和（SoS）松弛驳斥这样的系统具有很高的概率，每当$m \geq O(n) \cdot (\frac{n}{d})^{D-1}$。我们证明了一个下界的限制低次多项式模型的计算表明，这种权衡之间的SoS度和方程的数量几乎是紧的所有$d$。我们还证实了这个下限的预测在有限的设置显示的规范程度上的下限- $4$平方和松弛反驳随机二次多项式。总之，我们的研究结果提供了证据的算法阈值的问题在$m \gtrsim \widetilde{O}(n) \cdot n^{(1-δ)(D-1)}$的$2^{n^δ}$时间算法的所有$δ$。
2021-10-16 cs.CC cs.DS
Deterministic Approximate Counting for Juntas of Degree-$2$ Polynomial Threshold Functions
设$g: \{-1,1\}^k \to \{-1,1\}$是任意布尔函数，$q_1,\dots,q_k$是$\{-1,1\}^n.$上的任意二次多项式，给出了一个\emph{deterministic}算法，该算法以$g,q_1,\dots,q_k$的显式描述和精度参数$\eps>0$为输入，将\[\Pr_{x \sim \{-1,1\}^n}[g(\sign(q_1(x)),\dots,\sign(q_k(x)))=1]\]逼近到一个可加的$\pm \eps$内.对于任何常数$\eps > 0$和$k \geq 1$，我们的算法的运行时间是一个固定的多项式在$n$。这是第一个固定的多项式时间算法，可以确定性地近似计数满足一个自然类的深度3布尔电路的分配。我们的算法扩展了最近的结果\cite{DDS13:deg2count}，它给出了一个确定性的近似计数算法为一个单一的二次多项式阈值函数$\sign(q(x)),$相应的$k=1$的情况下，我们的结果。我们的算法和分析需要几个新的技术成分，远远超出了处理\cite{DDS13:deg2count}中$k=1$案例所需的工具。其中之一是高斯随机变量中2次多项式的新多维中心极限定理，该定理建立在最近基于马利亚文演算的概率论结果的基础上。我们使用这个CLT的$k$ -元组的度-2高斯多项式的一个新的分解技术的基础上，从而获得一个有效的确定…
2013-11-27 cs.CC math.PR
Active Learning Polynomial Threshold Functions
MIT（麻省理工学院）；UCSD（加州大学圣地亚哥分校）；Stanford University（斯坦福大学）；Columbia University（哥伦比亚大学）
我们开始了主动学习多项式阈值函数（PTFs）的研究。虽然传统的下限意味着，即使是单变量二次不能非平凡地积极学习，我们表明，允许学习者基本访问的衍生物的基础分类规避这个问题，并导致一个计算效率高的算法主动学习度$d$单变量PTFs在$\tilde{O}(d^3\log(1/\varepsilonδ))$查询。我们还提供了接近最佳的算法和分析主动学习PTFs在几个平均情况下设置。最后，我们证明，获得衍生物是不够的主动学习多变量PTFs，即使只有两个变量。
2022-10-01 cs.CC cs.LG stat.ML
Analysis of Polynomial Threshold Functions on Random Regular Graphs: Computational Complexity of Detecting Noisy Random Lifts
Yale University（耶鲁大学）
本研究针对含噪随机提升检测的假设检验问题，首次分析低次多项式阈值函数，得到含噪随机提升短环计数分布的新结果，推广了相关经典成果。
2026-09-09 cs.CC cs.DS math.CO
Unconditionally separating noisy $\mathsf{QNC}^0$ from bounded polynomial threshold circuits of constant depth
Hon Hai (Foxconn) Quantum Computing Research Center（鸿海（富士康）量子计算研究中心）；International Iberian Nanotechnology Laboratory（国际伊比利亚纳米技术实验室）；Department of Computer Science and Technology, University of Cambridge（剑桥大学计算机科学与技术系）
本文无条件证明了常深度并行量子计算优于建模神经网络的多项式规模偏置阈值电路，发现了一类在素数维qudits上常深度可解但经典困难的任务，且该量子优势对噪声具有鲁棒性。
2025-09-17 cs.CC quant-ph
Average sensitivity and noise sensitivity of polynomial threshold functions
给出了次数为$d$的多项式阈值函数（PTFs）的平均灵敏度和噪声灵敏度的第一个非平凡上界。这些界限对于布尔超立方体上的PTF和标准$n$维高斯分布下的$\R^n$上的PTF都成立。我们的边界上的布尔平均灵敏度的PTF表示的进展，对解决的猜想Gotsman和Linial \cite{GL:94}，这说明对称函数切片的中间层的布尔超立方体的$d$具有最高的平均灵敏度的所有度- $d$ PTF。通过Kalai等人的$L_1$多项式回归算法\cite{KKMS:08}，我们对高斯和布尔噪声灵敏度的界限为这些输入分布下的大类常度PTF产生多项式时间不可知的学习算法。用于获得我们的平均和噪声灵敏度的PTFs在高斯设置的边界的主要成分是尾部边界和反浓度边界的高斯随机变量\cite{Janson:97,CW:01}的低次多项式。为了得到我们的布尔平均灵敏度的PTFs的界限，我们推广的“临界指数”机制的\cite{Servedio:07cc}（在这项工作中适用于半空间，即度1 PTFs）一般PTFs。与\cite{MOO:05}的“不变性原则”一起，这使我们能够将我们的技术从高斯设置扩展到布尔设置。我们的布尔噪声灵敏度的界限是通过一个简单的减少从上界的平均灵敏度的布尔PTFs的噪声灵敏度相应的界限。
2009-10-19 cs.CC cs.DM
Implementations and the independent set polynomial below the Shearer threshold
独立集多项式在许多领域都很重要。对于每个整数$Δ\geq 2$，剪切器阈值是值$λ^*(Δ)=(Δ-1)^{Δ-1}/Δ^Δ$。已知对于$λ< - λ^*(Δ)$，存在最大度为$Δ$的图$G$，它的独立集多项式在$λ$上的值至多为$0$ .此外，任何$λ> -λ^*(Δ)$都没有这样的图形。本文主要研究了用$λ< - λ^*(Δ)$逼近独立集多项式的计算问题。这个问题的复杂性界限的关键问题是“实现”。非正式地，实数$λ'$的实现是一个图，其硬核配分函数在~ $λ$处评估，在$λ'$是包含某个顶点的独立集合对配分函数的贡献与不包含该顶点的独立集合对配分函数的贡献之间的比率的意义上模拟~ $λ'$的顶点权重。实现的基石棘手的结果的问题，大约评估的独立集多项式。我们的主要结果是，对于任何$λ< - λ^*(Δ)$，它是可能的，以实现一组值，是密集的实数。结果是紧的，因为对于任何$λ> λ^*(Δ)$，都不可能实现在实数上稠密的一组值。我们的结果已经在一篇关于\bezakova{}（STOC 2018）的论文中使用，以表明在任意值$λ<-λ^*(Δ)$下，在次数至多为~ $Δ$的图上近似独立集多项式的求值是P-困难的。在附录中，我们给出了一个额外的不可比拟的不可逼近性结果（加强了指数因子的不可逼近性，但削弱了NP-硬度）。
2022-10-22 cs.CC cs.DM
Limits on representing Boolean functions by linear combinations of simple functions: thresholds, ReLUs, and low-degree polynomials
We consider the problem of representing Boolean functions exactly by "sparse" linear combinations (over $\mathbb{R}$ ) of functions from some "simple" class ${\cal C}$ . In particular, given ${\cal C}$ we are interested in finding low-complexity functions lacking sparse representations. When ${\cal C}$ is the set of PARITY functions or the set of conjunctions, this sort of problem has a well-understood answer, the problem becomes interesting when ${\cal C}$ is "overcomplete" and the set of functions is not linearly independent. We focus on the cases where ${\cal C}$ is the set of linear thresh…
2018-02-26 cs.CC cs.DM cs.NE
Efficient deterministic approximate counting for low-degree polynomial threshold functions
本文给出了一个近似计数次数$d$多项式阈值函数（PTF）满足赋值的确定性算法.给定次数$d$输入多项式$p(x_1,\dots,x_n)$ over $R^n$和参数$ε> 0$，我们的算法在时间上将$\Pr_{x \sim \{-1,1\}^n}[p(x) \geq 0]$近似到加性$\pm ε$内$O_{d,ε}(1)\cdot \mathop{poly}(n^d)$。(Any即使对于假定$NP\not=RP$的随机化算法，也不可能有一种有效的乘法近似。）请注意，我们的算法的运行时间（作为$n^d$的函数，$d$ PTF的系数数量）是一个\emph{fixed}多项式。这个问题的最快的以前的算法（由于凯恩），基于度$d$ PTF的无条件伪随机生成器的构造，对所有$c > 0$在时间上运行$n^{O_{d,c}(1) \cdot ε^{-c}}$。这项工作的关键新贡献是：一个新的多元中心极限定理，使用Malliavin演算和Stein方法的工具证明。这个新的CLT表明，任何集合的高斯多项式与小特征值必须有一个联合分布，这是非常接近的多维高斯分布。高斯输入下低次多线性多项式的一种新分解。粗略地说，我们表明，（一些小的错误）任何这样的多项式可以分解成一个有界的多线性多项式，所有这些都有极小的特征值。我们使用这些新的成分，给出一个确定性算法的高斯空间版本的近似计数问题，然后采用标准的技…
2013-11-28 cs.CC cs.DS math.PR
On the weight and density bounds of polynomial threshold functions
Osaka University（大阪大学）；Ozyegin University（厄齐耶因大学）
本文证明了所有n元布尔函数都可以表示为至多具有$0.75 \times 2^n$非零整数系数的多项式阈值函数（PTF），并给出了这些系数的绝对值的上界.据我们所知，这提供了最好的已知的约束的PTF密度（单项式的数量）和重量（总和的系数幅度）的一般布尔函数。Bent函数的特殊情况也进行了分析，并表明，任何n-变量Bent函数可以表示为整数系数小于$2^n$，同时也遵守上述密度界。最后，稀疏布尔函数，这是几乎恒定的，除了变量分配的$m << 2^n$数，被证明有小的重量PTFs的密度在最多$m+2^{n-1}$。
2020-07-06 cs.CC cs.DM cs.LG
Private Data Release via Learning Thresholds
Microsoft Research（微软研究院）；Columbia University（哥伦比亚大学）
这项工作认为，计算效率的隐私保护数据发布。我们研究的任务是分析一个数据库，其中包含有关个人参与者的敏感信息。给定一组关于数据的统计查询，我们希望发布查询的近似答案，同时还保证差分隐私--保护每个参与者的敏感数据。我们的重点是计算效率的数据发布算法，我们寻求算法的运行时间是多项式，或至少是次指数，在数据维度。我们的主要贡献是一个计算效率的减少，从差分私人数据发布一类计数查询，学习阈值总和的谓词从相关的类。我们用各种学习阈值的算法来实例化这种一般的减少。这些实例化产生了几个新的结果，不同的私人数据发布。作为两个示例，取{0，1}^d为（维度d的）数据域，我们获得差分私有算法：（*）释放所有k路合取。对于任何给定的k，只要数据库的大小至少为d^{O（\sqrt{k\log(k\log d)}）}，则所得到的数据释放算法具有有界误差。运行时间与数据库大小成多项式关系。（*）释放所有奇偶校验查询的（1-γ）分数。对于任何γ \geq \poly（1/d），只要数据库的大小至少为\poly（d），算法就有界误差。运行时间与数据库大小呈多项式关系。其他几个实例为隐私保护数据发布提供了进一步的结果。在上面强调的两个结果中，第一个学习算法使用将谓词的阈值和表示为低次多项式阈值函数的技术。第二种学习算法基于Jackson的谐波筛算法[Jackson 1997]。
2011-07-13 cs.CC cs.LG
Complexity Thresholds in Inclusion Logic
具有团队语义的逻辑为复杂性类的逻辑表征提供了替代手段。依赖和独立逻辑都被认为可以捕获非确定性的多项式时间，并且这些逻辑中的易处理性的边界被相对较好地理解。包含逻辑类似于这些基于团队的逻辑形式主义，除了它对应于有序模型中的确定性多项式时间。在这篇文章中，我们研究包含逻辑的语法片段和不同的复杂性类之间的连接，在两个计算问题：最大的子组成员和模型检验问题的一个固定的包含逻辑公式。我们发现，非常简单的量词免费公式与一个或两个包含原子产生的这些问题是完整的（非确定性）对数空间和多项式时间的实例。此外，我们提出了一个片段的包含逻辑，捕捉非确定性的对数空间有序模型。
2019-03-26 cs.CC cs.DB cs.LO
Low degree conjecture implies sharp computational thresholds in stochastic block model
ETH Zürich（苏黎世联邦理工学院）
本文基于低度猜想证明了对称随机块模型中，多项式时间算法在KS阈值以下无法弱恢复社区标签，首次为恢复率在KS阈值处的尖锐转变提供了严格证据，揭示了计算与统计差距。
2025-04-28 cs.CC cs.LG math.ST
Computing the Independence Polynomial: from the Tree Threshold down to the Roots
我们研究了一种算法，用于近似多元独立多项式$Z(\mathbf{z})$，负和复杂的参数，一个对象，有很强的连接到组合数学和统计物理。特别地，具有负参数的独立多项式$Z(-\mathbf{p})$确定了Shearer区域，这是Lovasz局部引理（LLL）可以扩展到的最大概率区域（Shearer 1985）。在统计物理学中，独立多项式的复零点与相变的存在有关。我们的主要结果是一个确定性的算法来计算近似的独立多项式在任何无根复多圆盘中心的原点。我们的算法本质上是相同的Weitz算法的正参数树的唯一性阈值，我们的分析的核心是一种新的多元形式的相关性衰减技术，它可以处理非均匀的复杂参数。特别是，在单变量的真实设置，我们的工作意味着韦茨的算法的工作在两个临界点之间的间隔$(λ'_c(d), λ_c(d))$，并在此间隔之外的近似$Z(\mathbf{z})$是已知的NP-难。作为应用，给出了Shearer区域近似隶属度检验的一个次指数时间算法。我们还给出了一个新的基于舍入的确定性算法希勒引理（LLL的扩展），然而，在次指数时间运行。在硬度方面，我们证明了评估$Z(\mathbf{z})$在任意点的希勒的区域，并测试隶属于希勒的区域，是P-硬问题。我们还建立了最好的可能的依赖指数的运行时间的Weitz的相关衰减技术在负政权的距离上的边界的希勒区域。
2017-11-11 cs.CC cs.DM cs.DS
The estimates for Boolean surface area of polynomial threshold functions
Nankai University（南开大学）；Institute for Basic Science (IBS)（基础科学研究院）；University of Washington（华盛顿大学）；MSU（密歇根州立大学）；Max Planck Institute for Mathematics（马普数学研究所）；University of South Carolina（南卡罗来纳大学）
研究多项式阈值函数的布尔表面积，证明其具有对数多项式复杂度，结合Kabanets等人限制引理和敏感度尾界，提供新的分析方法。
2026-10-27 cs.CC math.AP math.CA
The Correct Exponent for the Gotsman-Linial Conjecture
证明了多项式门限函数的平均灵敏度的一个新的界。特别是，我们表明，多项式门限函数的程度$d$在大多数$n$变量具有平均灵敏度最多$\sqrt{n}(\log(n))^{O(d\log(d))}2^{O(d^2\log(d)}$。对于固定的$d$，已知在该界限中关于$n$的指数是最优的。这个界限使Gotsman-Linial猜想取得了重大进展，正确的界限是$Θ(d\sqrt{n})$。
2012-10-04 cs.CC math.CO math.PR
