Random Nodal Lengths and Wiener Chaos
在这次调查中，我们收集了一些最近的结果在“节点几何”的随机本征函数的黎曼曲面。我们专注于渐近行为，高能量水平，高斯拉普拉斯本征函数的节点长度的环面（算术随机波）和球（随机球谐函数）。我们给一些洞察力的贝里的取消现象和节点长度的二阶波动（非高斯的环面和高斯球）的混沌成分的性质。最后考虑了单色随机波的一般情况，即紧致黎曼曲面上拉普拉斯算子的本征函数的高斯随机线性组合，其尺度极限为Berry随机波模型。对于后者，我们提出了一些最近的结果，其节点长度的渐近分布在高能量极限（等价地，增长域）。
2018-03-26 math-ph math.MP math.PR
Laguerre Expansion for Nodal Volumes and Applications
本研究利用拉盖尔多项式正交展开分析d维单位球面上随机超球调和函数的节点体积，证明了混沌分量各向同性，得到任意维度下节点体积的方差上界，并验证了Berry抵消现象在任意维度均成立。
2023-12-19 math.PR
Fluctuations of Level Curves for Time-Dependent Spherical Random Fields
流形上随机场的几何泛函的性质的研究最近引起了相当大的注意。在本文中，我们通过考虑一般各向同性高斯球随机场的水平曲线随时间的波动，扩展了这一框架。我们专注于长记忆和短记忆的假设，在前一种情况下，我们表明，$u$水平曲线的波动主要由一个单一的组件，对应于二阶混沌评价的多极组件的随机场的一个子集。我们证明了存在的取消点的方差是渐近较小的顺序，这些点不包括节点的情况下$u = 0$，在显着对比最近的结果的高频行为的节点线随机特征函数没有时间依赖性。在短记忆情形下，我们证明了所有混沌都对极限有贡献，没有抵消发生，并且可以由四阶矩定理和Breuer-Major论证建立一个中心极限定理。
2022-07-26 math.PR
Small Scale CLTs for the Nodal Length of Monochromatic Waves
我们考虑了与没有共轭点的黎曼曲面$(\mathcal M,g)$相关联的参数$λ>0$的{ \it高斯拉回单色随机波}对半径为$r_λ$的球的限制的节长$L(λ)$。我们的主要结果是，如果$r_λ$的增长速度慢于$(\log λ)^{1/25}$，那么（作为$λ\to \infty$）长度$L(λ)$验证了中心极限定理，其尺度与Berry的随机波模型相同-如Nourdin，Peccati和Rossi（2019）所建立的。利用Keeler（2019）对Bérard（1986）估计的一些强大扩展，我们的技术主要基于光滑高斯场耦合的一个新的内在界，这是独立的兴趣，而且允许我们改进Canzani和Hanin（2016）中拉回随机波的节点长度渐近方差的一些估计。为了证明我们的方法的灵活性，我们还提供了一个应用程序的节点长度的算术随机波收缩球的$2$ -环面的相变。
2020-05-13 math.PR
Spectral Criteria for the Asymptotics of Local Functionals of Gaussian Fields and Their Application to Nodal Volumes and Critical Points
本研究提出高斯场局部泛函混沌分量方差正性的谱判据，应用于节体积与临界点分析，推广了现有结果，为第二混沌抵消现象提供新视角。
2025-06-13 math.PR
Intermediate and small scale limiting theorems for random fields
在本文中，我们研究的节点线的随机特征函数的拉普拉斯环面，所谓的“算术波”。更精确地说，我们研究了节线在给定方向上与直线段相交的次数。我们感兴趣的是这个数如何依赖于间隔的长度和方向以及随机波的谱测度的分布。我们分析了短间隔区的二阶阶乘矩和长间隔区的持续概率。我们还研究了Cilleruelo和Cilleruelo型场之间的关系。我们给出了一个明确的这些领域之间的耦合，在介观尺度上保持概率接近1的节点集的结构。
2019-06-02 math.PR
Non-Universality of Nodal Length Distribution for Arithmetic Random Waves
“算术随机波”是二维环面上的高斯拉普拉斯本征函数（Rudnick和Wigman（2008），Krishnapur，Kurlberg和Wigman（2013））。在本文中，我们发现，它们的节长收敛到一个非普适（非高斯）的极限分布，依赖于角分布的格点躺在圆。我们的论点有两个主要成分。对节点长度的Wiener-Itô混沌展开式的显式推导表明，它主要由其$4$阶混沌分量控制（特别是，令人有些惊讶的是，二阶混沌分量消失了）.其余的论证依赖于对四阶混沌分量的精确分析。
2016-06-30 math-ph math.MP math.NT
Nodal Statistics of Planar Random Waves
我们考虑Berry的随机平面波模型（1977）的一个积极的拉普拉斯本征值$E>0$，无论是在真实的和复杂的情况下，并证明极限定理的节点统计与光滑的紧凑的区域，在高能量极限（$E\to \infty$）。我们的主要结果是，节点长度（真实情况）和节点交叉点的数量（复杂情况）都验证了中心极限定理，这与平坦$2$ -torus上的实数和复数算术随机波观察到的非高斯行为形成鲜明对比，参见Marinucci et al.（2016）和Dalmao et al.（2016）。我们的研究结果可以很自然地重新表述为一个单一的随机波限制到一个紧凑的域发散到整个平面的节点统计。因此，它们可以与Canzani和Hanin（2016）的最新结果有效地结合起来，以表明在各向同性标度的任何点和足够快的能级发散，任何高斯拉回单色波的节长验证了与Berry模型具有相同标度的中心极限定理。作为我们分析的一个显著副产品，我们严格地证实了Berry（2002）中导出的各向同性随机波的节长方差和节交点数方差的渐近行为。
2023-01-31 math-ph math.MP math.PR
Nodal deficiency of random spherical harmonics in presence of boundary
我们考虑一个随机高斯模型的拉普拉斯本征函数的半球满足Dirichlet边界条件沿赤道。对于这个模型，我们找到了一个精确的渐近律相应的零密度函数，在短期（边界附近）和长期（远离边界）制度。作为一个推论，我们能够找到一个对数负偏置的总节长的这个合奏相对于旋转不变模型的随机球谐函数。Jean Bourgain的研究，以及他对拉普拉斯本征函数的节点几何的热情方法，在该领域和当前趋势中产生了至关重要的影响。他在谱相关性方面的工作（Krishnapur，Kurlberg和Wigman（2013）中的定理2.2）以及与Bengeri的联合（Bourgain和Bengeri（2015））为正在进行的关于算术味道表面上定义的函数的节点长度的积极研究打开了一扇门，如环面或正方形。此外，Bourgain关于环面拉普拉斯本征函数的工作（Bourgain（2014）），也吸引了频谱相关性，允许从随机高斯对应物中推断确定性结果。
2020-11-03 math-ph math.MP math.PR
Asymptotic distribution of Nodal Intersections for ARW against a Surface
我们调查高斯拉普拉斯本征函数（算术随机波）的三维标准平坦环面，特别是对一个固定的规则参考表面的节点相交长度的渐近分布。Maffucci（2019）已经解决了期望和方差，他发现期望长度与特征值乘以表面面积的平方根成正比，而渐近方差仅取决于表面的几何形状，投影的格点在高能极限下均匀分布在二维单位球面上。他还注意到，有“特殊”的表面，所谓的静态，其中的方差是较小的秩序，但他没有规定在这种情况下精确的渐近法。本文研究了结点交点长度的二阶涨落。我们的第一个主要结果是一个中心极限定理的“一般”的表面，而静态的，一个球或半球，例如，我们的主要结果是一个非中心极限定理和一个精确的渐近律的节点相交长度的方差，条件是存在所谓的良好分离序列的拉普拉斯特征值。事实证明，在这种情况下，Cammarota（2019）研究的节点面积与任何球体的节点交点长度渐近完全相关。我们的证明的主要成分是卡茨-赖斯公式的时刻，高斯域的平方可积〔的〕泛函的混沌分解，和一些算术估计，可能是独立的利益。
2021-10-15 math.NT math.PR
Diophantine Gaussian excursions and random walks
我们研究了高斯节点漂移在欧几里得空间中的渐近方差，重点是谱测度具有不可分原子的情况。本研究要求建立环面上相关无理随机游动在0中的精细递归性质。我们特别表明，复发的幅度强烈依赖于原子的丢番图性质，同样也适用于节点偏移的方差渐近。更具体地说，如果谱测度包含的原子的比例是很好的近似有理数，方差很可能有很大的波动作为观察窗口的增长，而方差是有界的（d - 1）维测量的窗口边界，如果这些比例是不好的近似。我们还表明，任何合理的功能，有不可数许多套参数的方差是渐近等价于这个功能。
2022-09-21 math.PR
The Number of Nodal Components of Arithmetic Random Waves
研究了算术随机波系综中函数的节点分量（零点集的连通分量）的个数，即平坦$d$维环面$\mathbb{T}^{d}$（$d\ge2$）上拉普拉斯算子的随机本征函数.令$f_{L}$是$\mathbb{T}^{d}$上的$Δf+4π^{2}L^{2}f=0$的随机解，其中$L^{2}$是整数的$d$平方和，令$N_{L}$是$f_{L}$的节点分量的随机数。根据Nazarov和Sodin最近的结果，$\mathbb{E}\left\{ N_{L}/L^{d}\right\} $趋向于极限$ν>0$，仅取决于$d$，因为$L\to\infty$服从数论条件-半径为$L$的球面上的归一化格点在单位球面上的均匀分布。当$d\ge5$时，此条件得到保证，但当$2\le d\le4$时，此条件对$L$值的序列施加限制。我们证明了指数浓度的随机变量$N_{L}/L^{d}$周围的中位数和平均值（无条件）和周围的限制平均$ν$（在它存在的条件下）。
2016-09-17 math.CA math.NT math.PR
New chaos decomposition of Gaussian nodal volumes
本文提出高斯结点体积的新Wiener-Itô混沌分解，简化方差计算至四个Hermite多项式，适用于非各向同性场，并给出定量Berry抵消现象。
2025-07-10 math.DG math.PR
Some Recent Developments on the Geometry of Random Spherical Eigenfunctions
在过去的十年中，人们已经投入了大量的努力来研究随机球谐函数的偏移集的几何泛函的高频行为，即，球面拉普拉斯算子$Δ_{\mathbf{S}^2}$的高斯本征函数。在这次调查中，我们将审查其中的一些结果，特别是参考的渐近行为的方差，相变的节点的情况下（\emph{Berry's Cancellation Phenomenon}），分布的波动周围的期望值，和不同的泛函之间的渐近相关性。我们还将讨论与高斯运动学公式、维纳-混沌展开式以及在推导定量中心极限定理（所谓的斯坦-马利亚文方法）方面的最新发展的一些联系。
2021-12-09 math.PR
Quantitative limit theorems for local functionals of arithmetic random waves
我们考虑高斯拉普拉斯本征函数的二维平坦环面（算术随机波），并提供明确的Berry-Esseen界在1-Wasserstein距离的正常和非正常的高能量近似的相关Leray措施和总节点长度，分别。我们的结果为Oravecz，Rudnick和Wigman（2007），Krishnapur，Kurlberg和Wigman（2013）以及Marinucci，Peccati，Rossi和Wigman（2016）的发现提供了实质性的扩展（以及替代证据）。我们的技术包括Wiener-Ito混沌展开，分部积分法，以及一些新的估计所产生的几何量的混沌分解，可以隐含地表示在coarea公式方面的残留条款。
2017-02-13 math.PR
Statistics on Yau's conjecture: Variance asymptotics
研究紧致流形上拉普拉斯本征函数节点体积丘成桐猜想的概率对应问题，通过研究黎曼随机波高频方差渐近性，建立节点体积波动定量界，改进现有结果，证明贝里抵消现象，依赖多种分析方法并引入通用机制确保方差衰减。
2026-10-28 math-ph math.DG math.MP
Phase Singularities in Complex Arithmetic Random Waves
复数算术随机波是二维平坦环面上亥姆霍兹方程的平稳高斯复值解。我们使用Wiener-Itô混沌展开，以获得一个完整的表征的二阶高能量的行为，这些功能的相位奇点的总数。我们的主要结果是，虽然这样的随机量验证了一个普遍的大数定律，他们也表现出非普遍和非中心的二阶波动，这是由基本的谱测度的算术性质。这种波动与Berry（2002）在紧致平面域上的复随机波情况下预测的抵消现象定性一致。我们的研究结果扩展到了Rudnick和Wigman（2008），Krishnapur，Kurlberg和Wigman（2013）以及Marinucci，Peccati，Rossi和Wigman（2016）的复杂环境中。方差的精确渐近特征是基于对原点周围的Kac-Rice核的精细分析，以及对用于控制远程弱相关性的组合矩公式的新颖使用。
2023-01-31 math-ph math.MP math.PR
