Geometry and interior nodal sets of Steklov eigenfunctions
研究了光滑流形中Steklov本征函数的几何性质。我们得到了精化的加倍估计和Bernstein不等式。对于实解析流形，我们能够得到内部节点集测度的精确上界。
2020-04-27 math.AP math.SP
Upper bounds on the size of nodal sets for Gevrey and quasianalytic Riemannian manifolds
当黎曼流形具有Gevrey正则性或拟解析正则性时，我们得到了特征函数节点集大小的新的多项式上界。
2022-05-01 math-ph math.AP math.DG
Distribution of the nodal sets of eigenfunctions on analytic manifolds
紧黎曼流形上的Laplacian本征函数的节集具有余维数1和有限超曲面测度。本文研究了当流形上的度规是解析的时，特征函数节点集的分布。我们证明了，如果本征函数在小尺度上是等分布的，那么它们的节点集的超曲面体积形式的弱极限与流形上的体积形式是可比的。特别地，在具有解析度量的负弯曲流形和环面上，我们证明了在任何特征基中，存在特征函数的全密度子序列，使得其节点集的超曲面体积形式的弱极限与流形上的体积形式相当。
2016-11-30 math.AP math.SP
Equidistribution of the conormal cycle of random nodal sets
研究了光滑紧致无边界黎曼流形上Laplacian特征函数随机叠加的节集余正规圈的渐近性质。在维数为奇数的情况下，我们证明了相应的积分流的期望在余切丛的纤维上均匀分布。在维数为偶数的情况下，我们得到了期望的一个低阶上界。利用Alesker最近的结果，我们还得到了任意光滑赋值的渐近期望的一些性质，包括随机节点集的欧拉示性数.
2016-04-01 math-ph math.DG math.MP
Tubular Neighborhoods of Nodal Sets and Diophantine Approximation
给出了实解析闭黎曼流形M上拉普拉斯算子的特征函数的节点集的管状邻域体积的上、下界.作为一个应用，我们考虑的问题，M上的节点集的逼近点，并探讨类似的近似有理数。
2008-09-05 math.DG math.SP
Level Spacings and Nodal Sets at Infinity for Radial Perturbations of the Harmonic Oscillator
本文研究了谐振子径向微扰的高频本征函数和准模的节集性质。特别是，我们认为节点集上的领域的大半径（在经典的禁止区域）的准模式的能量位于一个固定的能量$E$周围的间隔。对于精心选择的间隔，我们表明，这些节点集表现出定量不同的行为相比，未扰动的谐振子。这些能量区间的定义通过仔细分析的扰动算子的本征值间距，基于解析扰动理论和线性化公式的Laguerre多项式。
2017-08-21 math-ph math.AP math.MP
Measure of nodal sets of analytic Steklov eigenfunctions
设$(Ω, g)$是具有实解析边界$\partial Ω$的实解析黎曼流形.设$ψ_λ$是特征值$λ$的$(Ω, g, \partial Ω)$的Dirichlet-to-Neumann算子$Λ$的特征函数。设$\mathcal N_{λ_j}$为其节点集。则$\mathcal H^{n-2} (\mathcal N_λ) \leq C_{g, Ω} λ.$证明了F的一个猜想。H. Lin和K.贝洛娃
2014-03-04 math.SP
Conformal invariants from nodal sets II. Manifolds with boundary
本文研究了有边流形上共形协变算子的节点集和负特征值所产生的共形不变量。我们也考虑应用曲率处方问题的流形上的边界。我们与狄利克雷和诺依曼特征值，并把这里开发的结果为Escobar问题到更一般的框架边界算子的任意阶。
2019-05-15 math.AP math.DG math.SP
Lower bounds for volumes of nodal sets: an improvement of a result of Sogge-Zelditch
我们利用Dong-Sogge-Zelditch公式得到本征函数节点集体积的一个下界。我们的结果改进了Sogge-Zelditch的近期结果，并在n维\leq 5中给出了Colding-Minicozzi的下界的新证明.
2011-07-13 math.AP math.DG math.SP
A Remark on Recent Lower Bounds for Nodal Sets
最近，Sogge-Zelditch和Colding-Minicozzi给出了本征函数节点集大小的新的幂律下界.这篇短文的目的是指出第三种方法来获得节点集体积的幂律下界。我们的方法是基于本征函数的Donnelly-February man增长界和我们在以前的工作中证明的增长与体积的关系。
2010-11-01 math.AP math.DG math.SP
A. Stern's analysis of the nodal sets of some families of spherical harmonics revisited
在本文中，我们回顾了安东尼斯特恩（1925年）和汉斯Lewy（1977年）致力于两个或三个节点域的球谐函数的结构的分析。我们的方法得到了精确的定量结果，并更好地理解了节点集族中分支的发生。斯特恩的结果狄利克雷本征函数的平方，见arXiv：14026054。
2015-07-02 math.DG math.SP
Betti numbers of random nodal sets of elliptic pseudo-differential operators
给定一个下有界的椭圆自伴伪微分算子$P$，作用在光滑闭流形$M$上的黎曼线丛的截面上，当$L$增长到无穷大时，我们从上估计了取在特征值低于$L$的$P$的特征空间的直和中的随机截面的消失轨迹的贝蒂数.这些上估计遵循从一些均匀分布的临界点的限制，一个固定的莫尔斯函数，这个消失轨迹。然后我们考虑与$M$上的某些黎曼度量相关联的Laplace-Beltrami算子和Dirichlet-to-Neumann算子的例子。
2014-06-04 math.PR math.SP
Superlevel sets and nodal extrema of Laplace-Beltrami eigenfunctions
本文估计了紧致黎曼流形上Laplace-Beltrami本征函数超水平集的体积。证明使用格林函数表示法和桶原理。作为应用，我们得到了Laplace-Beltrami本征函数在节点域上极值分布的上界.这样的界限以前已由L. Polterovich和M.在致密表面的情况下，使用Sodin。我们的技术允许将这些结果推广到任意维度。我们还讨论了一个不同的方法来解决这个问题的基础上的反向赫尔德不等式由于G。奇蒂
2014-09-24 math.SP
Average $L^q$ growth and nodal sets of eigenfunctions of the Laplacian on surfaces
在最近的一篇论文中，我们展示了表面上拉普拉斯本征函数的平均局部增长与其节点集的大小之间的联系。在该文件中，平均本地增长计算使用均匀或$L^\infty$-生长指数的波长半径的磁盘。本文的目的是用$q \in (1, \infty)$证明更广泛的一类$L^q$增长指数的类似结果。更准确地说，我们表明，节点集的大小是有界的平均本地$L^q$增长与频率的产品以上和以下。我们简要地讨论了这个新结果与丘氏关于节点集大小猜想之间的关系。
2015-10-08 math.AP math.SP
Nodal sets of Schrödinger eigenfunctions in forbidden regions
本文研究作用在无边界紧致光滑黎曼流形上的半经典薛定谔算子的本征函数的节点集。我们证明了如果H是一个位于经典禁戒区域内的分离超曲面，则H不能作为无穷多个本征函数的零集的一个分量持续存在。此外，在真正的解析曲面，我们得到尖锐的上界的薛定谔本征函数的零集的交叉点的数量与一个固定的曲线，位于经典的禁区内。
2015-02-03 math-ph math.AP math.MP
Nodal sets for the groundstate of the Schroedinger operator with zero magnetic field in a non simply connected domain
研究了磁场为零的磁薛定谔算子在$\r^2$中作用于非单连通区域上的节点集。对于在该区域中每个孔周围的磁矢势的1/2的循环的情况下，我们获得了节点集的特征，并使用此来获得基态的多重性的界限。对于一个空穴和一个固定的电势的情况下，我们表明，第一本征值取其最高值的循环1/2。
1998-07-13 math-ph math.AP math.DG
Tangent nodal sets for random spherical harmonics
本文考虑$S^2$上的固定向量场$V$，并研究了$V$也相切的随机球谐函数节点集上点的分布.我们表明，相应的计数函数的期望值是渐近的特征值的首项系数是独立的向量场$V$。这以某种形式证明了向量场直到低阶项的普遍性。
2018-09-11 math.AP math.DG math.SP
Geodesics and nodal sets of Laplace eigenfunctions on hyperbolic manifolds
设X是一个流形，具有常负曲率的完备黎曼度量和有限体积。我们证明了X中的全测地浸入超曲面的集合的有限性，这些超曲面位于某个Laplace特征函数的零水平集中。对于曲面，我们证明了这个数可以仅以曲面的面积为界。我们还提供了双曲曲面中的测地线的结构，这些曲面位于节集中，但不位于反射对称的不动点集中。
2018-11-17 math.DG math.SP
$L^p$ norms, nodal sets, and quantum ergodicity
对于小范围的$p>2$，我们改进了负曲流形上拉普拉斯算子的特征函数的$L^p$界.我们的改进是由幂对数的全密度序列的特征函数。我们还得到改进的节点集的大小。我们的证明是基于量子遍历性的独立利益，这适用于家庭的符号支持球的半径以对数率收缩。
2015-03-30 math-ph math.AP math.DS
Ergodicity and intersections of nodal sets and geodesics on real analytic surfaces
本文考虑拉普拉斯算子的特征函数在实解析曲面上的解析延拓的复结点集与测地线的复化的交点。证明了若测地流是遍历的，且测地线是周期的，满足一般的不对称条件，则交点沿实测地线凝聚，并关于其弧长均匀分布.我们证明了一个类似的结果，非周期测地线，除了“原点”是允许移动与$λ_j$。这个证明使用了J. Toth和作者的量子遍历限制定理（参见Dyatlov-Zworski）。
2012-10-02 math.SP
Nodal sets and growth exponents of Laplace eigenfunctions on surfaces
我们证明了F.纳扎罗夫湖Polterovich和M. Sodin表示在一个闭曲面上Laplace本征函数的平均局部增长与其节点集的整体大小之间的关系。更准确地说，我们提供了一个下限和上界的Hausdorff措施的节点集方面的期望值的增长指数的本征函数的波长像半径的磁盘。结合丘的猜想，结果表明，在半经典极限中，这样的圆盘上的本征函数的平均局部增长是有界的。我们还得到的结果，链接的节点集的大小与增长的平面薛定谔方程的解决方案，具有小的潜力。
2014-12-01 math.AP math.SP
Nodal sets of thin curved layers
本文讨论了任意维欧几里得空间中Dirichlet Laplacian的特征函数在超曲面的细管状邻域中的节点集的位置。在邻域半径趋于零的极限中，已知拉普拉斯算子的谱性质可以通过超曲面上的有效薛定谔算子很好地近似，该超曲面具有仅用主曲率表示的势。利用椭圆型偏微分方程的技巧，加强了已有的扰动结果，得到了特征函数在Hölder空间中的收敛性.这使我们特别能够得出结论，每个节点集与管状邻域的边界有一个非空的交集。
2014-06-16 math-ph math.AP math.DG
Hausdorff measure bound for the nodal sets of Neumann Laplace eigenfunctions
该研究针对带$\mathcal{C}^{1,1}$边界的有界域内的Neumann拉普拉斯特征函数，推导得出其节点集的$n-1$维Hausdorff测度满足$\mathcal{H}^{n-1}(\{u_\lambda=0\})\leq C\sqrt{\lambda}$的上界估计。
2024-03-06 math.AP math.DG math.SP
The sharp upper bound for the area of the nodal sets of Dirichlet Laplace eigenfunctions
设$Ω$是$\mathbb{R}^n$中具有$C^{1}$边界的有界区域，$u_λ$是$Ω$中具有特征值$λ$的Dirichlet Laplace特征函数.证明了$u_λ$的零集的$(n-1)$维Hausdorff测度不超过$C(Ω)\sqrtλ$ .这一结果对于具有$C^\infty$ -光滑边界的区域也是新的.
2021-04-19 math.AP math.DG math.SP
Sharp $L^p$ estimates and size of nodal sets for generalized Steklov eigenfunctions
我们证明了紧流形上的Steklov本征函数在边界上的$L^2$范数的精确$L^p$估计.我们证明它建立$L^p$边界上的调和扩张算子以及频谱投影算子。此外，我们推导出下界的大小节点集的变化的Steklov谱问题。我们考虑一个广义的版本的Steklov问题，通过添加一个非光滑的潜在的边界上，但我们的一些结果是新的，即使没有潜在的。
2022-12-31 math-ph math.AP math.CA
Spectral multiplicity and nodal sets for generic torus-invariant metrics
设环面$T$自由作用在至少为二维的闭流形$M$上。我们证明了，对于一个通用的$T$不变的黎曼度量$g$上的$M$，每个真正的$Δ_g$ -特征空间是一个不可约的实表示的$T$，因此，有维数最多为2。对于$M$上的一般$T$ -不变度量，如果$u$是一个非不变的实值$Δ_g$ -特征函数，且在某个$T$ -轨道上为零，则$u$的节点集是一个连通光滑超曲面，其补集恰好有两个连通分支.
2022-07-28 math.AP math.DG math.SP
On the contact geometry of nodal sets
在三维黎曼几何中，具有自适应黎曼度量的切触结构是Laplace-Beltrami算子的无发散、非退化的本征形.我们追踪出这个事实的一个二维模拟：在三维流形中的凸曲面上的切触结构的拓扑（分割曲线）和该曲面上的拉普拉斯特征函数的节点曲线之间存在密切的关系。出于这种关系，我们考虑一个拓扑版本的佩恩猜想的自由膜问题。我们构造了闭黎曼曲面的佩恩猜想的反例。根据节点线与分界线的对应关系，我们用切触结构的紧扭二分法解释了Payne猜想。
2004-02-04 math.DG math.SP
Geometric structures in the nodal sets of eigenfunctions of the Dirac operator
我们证明了，在$n\geq3$维的圆球中，对于任意复杂拓扑的余维为2的光滑子流形$\mathfrak{S}:=\{Σ_1,...,Σ_N\}$（$N$是旋量丛的复维数），总存在Dirac算子的本征函数$ψ=(ψ_1,...,ψ_N)$，使得每个子流形$Σ_a$，模环境同态，是旋量分量$ψ_a$的结构稳定节点集.这个结果适用于旋量丛平凡化的任何选择。这些结构的出现发生在小尺度和足够高的能量。
2017-12-29 math.AP math.DG math.SP
Applications of small scale quantum ergodicity in nodal sets
本文的目的是引出小尺度量子遍历性在本征函数节集上的新应用。我们证明了，如果量子遍历性在半径为收缩半径$r(λ) \to 0$的球上成立，那么，根据$r(λ)$的一定幂，我们可以改进Lognov-Malinovova和Lognov-Malinovova关于节点集大小的上界.我们还证明了Donnelly-Festivalman和Dong的消失阶结果可以改进。由于通过Han和Zuari-Rivière的结果，小尺度QE在负曲率流形上以几何收缩率保持，因此我们得到了这种流形上的对数改进。对于遍历测地流的流形，我们也得到了$o(1)$改进。我们的结果适用于任何给定的本征函数的规范正交基的全密度子序列。
2016-06-07 math.AP math.CA math.DG
Hausdorff measure bounds for nodal sets of Steklov eigenfunctions
本文研究有界$\mathcal{C}^2$区域内Steklov特征函数的节点集，建立了与特征值无关的Hausdorff测度下界，并给出含$\lambda\log(\lambda+e)$因子的近乎精确上界。
2022-09-13 math.AP math.SP
Hole probability for nodal sets of the cut-off Gaussian Free Field
设（$Σ$，g）是具有黎曼度量的闭连通曲面.设（$λ$ n）n $\in$ N和（$ψ$ n）n $\in$ N是$Σ$上拉普拉斯算子的特征值的递增序列和相应的L2归一化特征函数的序列.对于每个L \textgreater{} 0，我们考虑$ϕ$ L = 0 \textless{} $λ$ n $\le$ L $ξ$ n $\sqrt$ $λ$ n $ψ$ n，其中$ξ$ n是方差为1的独立同中心高斯。当L $\rightarrow$ $\infty$时，$ϕ$ L收敛。在分布的意义下，将其推广到$Σ$上的高斯自由场。我们首先计算这个域族的协方差函数的渐近行为为L $\rightarrow$ $\infty$。然后，我们使用这个结果来获得概率的渐近性，$ϕ$ L是积极的一个给定的开放的真子集具有光滑的边界。在这样做时，我们还证明了$ϕ$ L的上确界的浓度在1 $\sqrt$ 2 $π$ ln L附近。
2016-09-02 math.PR math.SP
Nodal sets of Laplace eigenfunctions: polynomial upper estimates of the Hausdorff measure
设$\mathbb{M}$是维数为$n$，$n\geq 3$的紧致$C^\infty$ -光滑黎曼流形，$φ_λ: Δ_M φ_λ+ λφ_λ= 0$表示$\mathbb{M}$上对应于特征值$λ$的拉普拉斯特征函数.我们表明，$$H^{n-1}(\{ φ_λ=0\}) \leq C λ^α,$$，其中$α>1/2$是一个常数，它只依赖于$n$，和$C>0$依赖于$\mathbb{M}$。这个结果是我们研究$C^\infty$ -光滑黎曼流形上调和函数零点集的结果。我们开发了一种技术的椭圆型偏微分方程的解决方案，使我们能够获得本地边界从上面的体积的节点集的频率和倍增指数的传播小。
2019-05-26 math.AP math.CA math.DG
Scaling of Harmonic Oscillator Eigenfunctions and Their Nodal Sets Around the Caustic
研究了各向同性谐振子$- \hbar ^2 Δ+ |x|^2$的本征值$E = \hbar(N + \frac{d}{2})$在半经典极限$\hbar \to 0$下的本征空间投影核$Π_{\hbar, E}(x,y)$的标度渐近性.主要结果是一个明确的公式的缩放渐近的$Π_{\hbar, E}(x,y)$ $x,y$在$\hbar^{2/3}$附近的焦散$\mathcal C_E$作为$\hbar \to 0.$的缩放渐近适用于分布的高斯随机本征函数的节点集周围的焦散$\hbar \to 0$。在以前的工作中，我们证明了$\hat{H}_{\hbar}$的高斯随机本征函数的零点密度在允许区和禁止区的Planck常数$\hbar$中具有不同的阶数：在允许区密度为$\hbar^{-1}$阶，而在禁止区密度为$\hbar^{-1/2}$阶.我们关于节点集的主要结果是：在焦散线周围的$\hbar^{\frac{2}{3}}$ -管中，零点的密度是$\hbar^{-\frac{2}{3}}$阶。该管半径是“临界半径”。对于环较大的内部和外部半径$\hbar^α$与$0< α< \frac{2}{3}$，我们得到的密度结果之间的临界半径的结果和我们以前的允许和禁止的区域内插。我们还表明，Hausdorff $(d-2)$维措施的交点的节点集与焦散线的顺序是$\hbar^{- \frac{2}…
2016-11-13 math-ph math.MP math.PR
Conformal invariants from nodal sets. I. Negative Eigenvalues and Curvature Prescription
在本文中，我们研究的共形不变量所产生的节点集和负特征值的共形协变算子，更具体地说，GJMS运营商，其中包括Yamabe和Paneitz运营商。我们给出了几个曲率处方问题的应用。我们建立了柯朗节域定理的一个共形几何形式。我们还表明，在任何流形上的尺寸$n\geq 3$，存在许多度量，我们的不变量是非平凡的。我们证明了Yamabe算子在任意维数为$n\geq 3$的流形上可以有任意多个负特征值。对于某些Einstein流形和Heisenberg流形上的高阶GJMS算子，我们也得到了类似的结果。我们描述的不变量所产生的Yamabe和Paneitz运营商与海森堡流形上的左不变度量。最后，在附录中，第二作者和Andrea Malchiodi研究了非临界$Q$曲率的$Q$曲率处方问题。
2012-12-19 math.DG math.SP
Domains without dense Steklov nodal sets
本文研究二维区域上Steklov特征值问题$$ -Δϕ_{σ_j}=0,\quad\text{ on }Ω,\qquad\qquad \partial_νϕ_{σ_j}=σ_j ϕ_{σ_j}\quad \text{ on }\partialΩ$$的特征函数节点集的渐近几何性质。特别地，本文给出了具有解析边界的二维单连通域的稠密族$\mathcal{A}$，使得对于每个$Ω\in \mathcal{A}$，特征函数$ϕ_{σ_j}$“的节点集在尺度$σ_j^{-1}$上是$not$稠密的.这个结果解决了Girouard和Polterovich，J. Spectr. Theory，321-359（2017）.事实上，本文的结果表明，对于域$Ω\in \mathcal{A}$，与本征值$σ_j$相关的本征函数$ϕ_{σ_j}$的节点集具有与预期完全不同的性质：它们在任何收缩尺度上都不稠密。更精确地，对于每个$Ω\in \mathcal{A}$，存在值$r_1>0$，使得对于每个$j$，存在$x_j\in Ω$，使得$ϕ_{σ_j}$在围绕$x_j$的半径为$r_1$的球上不消失。
2019-08-09 math.AP math.SP
Spectral geometry over the disk : Weyl's law and nodal sets
在这篇硕士论文（蒙特利尔大学，2007年）中，我们考虑了在圆盘和圆扇形上的狄利克雷-拉普拉斯算子的谱研究中出现的问题。本文第一部分是关于扇形第二本征函数节线的位置。在论文的第二部分，我们发展了一个有效的算法来排序的磁盘的本征值，并数值研究的增长的误差项外尔定律。我们还详细证明了Kuznetsov和Fedosov（1965）的一个定理，他们得到了关于余项的van der Corput型估计。库兹涅佐夫和费多索夫的结果在2011年被Y. Colin de Verdière使用类似的技术，见http://arxiv.org/pdf/1104.2233v2.pdf。
2012-08-27 math.SP
High-energy eigenfunctions of the Laplacian on the torus and the sphere with nodal sets of complicated topology
设$Σ$是球面$\mathbb{S}^n$或平面环面$\mathbb{T}^n$，$n\geq 3$中的定向紧致超曲面.在环面的情况下，进一步假设$Σ$包含在$\mathbb{T}^n$的可收缩子集中。我们证明了对于任何足够大的奇数$N$，存在一个拉普拉斯算子在$\mathbb{S}^n$或$\mathbb{T}^n$上的本征函数$ψ$满足$Δψ=-λψ$（$λ=N(N+n-1)$或$N^2$分别在$\mathbb{S}^n$或$\mathbb{T}^n$上），并且$ψ$的节点集的连通分量由~ $Σ$给出，直到环境同构。
2018-10-19 math.AP math.DG math.SP
Nodal domains and spectral minimal partitions
我们考虑有界域上的二维薛定谔算子。我们分析了本征函数的节点域、谱最小划分和相应算子的谱性质之间的关系。主要结果涉及的存在性和规律性的最小分区与节点集的节点域的Courant-sharp特征函数。
2006-10-31 math.AP math.SP
Intersection bounds for nodal sets of planar Neumann eigenfunctions with interior analytic curves
设$ Ω\subset R^2$是有界分片光滑区域，$ϕ_λ$是Neumann（或Dirichlet）特征函数，其特征值为$λ^2$，节点集为${ N}_{ϕ_λ} = {x \in Ω; ϕ_λ(x) = 0}.$，$H \subset Ω$是内曲线$C^ω$.考虑交数$$ n(λ,H):= \# (H \cap N_{ϕ_λ} ).$$我们首先证明了对于一般的分段解析域，在$H$上适当的“优”条件下，$$ n(λ,H) = {\mathcal O}_H(λ) (*)$$为$λ\rightarrow \infty.$.然后证明了在内部本征函数的量子遍历（QE）序列的情况下，如果$Ω$是凸的，且$H$具有严格正的测地曲率，则$(*)$中的界是满足的.
2014-07-01 math-ph math.AP math.DG
Nodal sets of Laplace eigenfunctions: estimates of the Hausdorff measure in dimension two and three
设$Δ_M$是紧致无边界$n$维黎曼流形上的Laplace算子.研究了它的本征函数$u:Δu + λu =0$的零点集。在维度$n=2$中，我们通过证明$H^1(\{u=0 \})\le Cλ^{3/4-β}$，$β\in (0,1/4)$来改进Donnelly-Festiman估计。该证明采用了Donnelli-Festhiman估计和一个组合参数，这也给出了维数$n=3$：$H^2(\{u=0\})\ge cλ^α$，$α\in (0,1/2)$的一个下界（非尖锐）。正常数$c,C$依赖于流形，$α$和$β$是普适的.
2019-05-26 math.AP math.CA math.DG
Volume distribution of nodal domains of random band-limited functions
研究了一般流形上随机带限函数节点域的体积分布，发现在高能极限下，一个典型的例子服从一个确定性的普适律，与流形无关.建立了这一规律的一些基本定性性质，如它的支持性、单调性和累积概率函数的连续性。
2016-07-15 math-ph math.DG math.MP
The Geometry of Nodal Sets and Outlier Detection
设$(M,g)$是紧致流形，$-Δϕ_k = λ_k ϕ_k$是Laplacian特征函数序列.我们提出了一个奇怪的新现象，到目前为止，我们只设法了解在一些高度专业化的情况下：家庭的功能$f_N:M \rightarrow \mathbb{R}_{\geq 0}$ $$ f_N(x) = \sum_{k \leq N}{ \frac{1}{\sqrt{λ_k}} \frac{|ϕ_k(x)|}{\|ϕ_k\|_{L^{\infty}(M)}}}$$似乎奇怪地适合检测异常点的流形。它可以解释为距离最近的节线的距离之和，并可能暗示光谱几何中的一种新现象。我们给出严格的声明单位平方$[0,1]^2$（其中极小值本地化$\mathbb{Q}^2$）和佩利图（其中$f_N$恢复几何二次剩余的基础有限域$\mathbb{F}_p$）。数值例子表明，这种现象似乎出现在相当一般的流形。
2017-06-05 math-ph math.AP math.FA
Nodal sets of Laplace eigenfunctions: proof of Nadirashvili's conjecture and of the lower bound in Yau's conjecture
设$u$是单位球$B(0,1) \subset \mathbb{R}^n$，$n \geq 3$中的调和函数，使得$u(0)=0$ . Nadirashvili解释说，存在一个正常数$c$，仅取决于$n$的尺寸，因此$H^{n-1}(\{u=0 \}\cap B) \geq c$。证明了Nadirashvili猜想及其在$C^\infty$ -光滑黎曼流形上的对应猜想.后者给出了丘氏猜想的下界。也就是说，我们证明了，对于任何紧凑的$C^\infty$ -光滑黎曼流形$M$（无边界）的尺寸$n$存在$c>0$，使任何拉普拉斯特征函数$φ_λ$上$M$，它对应于本征值$λ$，以下不等式成立：$c \sqrt λ\leq H^{n-1}(\{φ_λ=0\})$。
2019-05-26 math.AP math.CA math.DG
Nodal length fluctuations for arithmetic random waves
利用标准环面的谱重数，我们赋予拉普拉斯本征空间高斯概率测度。这就引出了环面上随机高斯拉普拉斯本征函数的概念（“算术随机波”）。本文研究了随机本征函数在大本征值时节长的分布，得到了方差的渐近性是非普适的，并且与位于半径与能量相对应的圆上的格点的算法密切相关。
2012-06-21 math-ph math.MP math.NT
Constructing Riemannian metrics with prescribed nodal sets for Laplacian eigenfunctions
Tel Aviv University（特拉维夫大学）
该研究构造了具有预设节点集的黎曼度量，使得拉普拉斯特征函数的零集与给定配置一致，并证明了特征值与体积的关系。
2025-12-21 math.AP math.DG math.SP
Direction distribution for nodal components of random band-limited functions on surfaces
设$(M,g)$是一个无边界的光滑紧致黎曼曲面。给定一个在$M$上具有多个零点的光滑向量场$V$，研究了随机带限函数节点分量与$V$相切的个数的分布.它是确定的，在高能量的限制，这些服从一个普遍的确定性的法律，独立的表面$M$和向量场$V$，这是支持精确的偶数$2 \mathbb{Z}_{> 0}$。
2019-10-23 math-ph math.DG math.MP
Interfaces in spectral asymptotics and nodal sets
这在很大程度上是一个调查的结果共同获得的鲍里斯哈宁和彭周接口的谱渐近性，无论是薛定谔运营商对$L^2({\mathbb R}^d)$和托普利茨哈密顿作用于全纯部分的丰富线丛$L \to M$在凯勒流形$(M, ω)$。界面是指在物理空间${\mathbb R}^d$或相空间中的超曲面，其将谱渐近为标准的允许区域与谱渐近为非标准的禁止区域分开。主要问题是给出两种类型的渐近性在超曲面（即界面）上的详细过渡。在实薛定谔条件下，渐近性为艾里型;在凯勒条件下，渐近性为高斯误差函数（Erf）型。此外，我们还引入了正厄米线丛的Bargmann-Fock空间，并研究了在这种情况下的界面渐近性。
2020-08-10 math.AP math.CV math.SP
On the universality of the Nazarov-Sodin constant
本文研究二维球面$\mathbb{S}^2$上非高斯随机球谐函数的连通分支数。我们证明，只要节点域计数的期望具有有限的二阶矩，则它与系数的分布无关。
2022-08-08 math.AP math.PR math.SP
On filtration formula and nodal sets in min-max theory
本文证明 Marques-Neves 关于节点集扫除渐近最优性的猜想在任意维度均不成立，但引入较宽松的节点扫除概念，证明其过滤公式可恢复 Gromov 体积谱，并提出了相关问题。
2026-09-30 math.AP math.DG math.SP
