Nodal solutions for fourth order elliptic equations with critical exponent on compact manifolds
利用变分方法证明了紧致黎曼流形上具有边界的四阶临界Sobolev增长的椭圆型方程的Q-曲率型方程节点解的存在性.
2017-04-08 math.AP
Geometry and interior nodal sets of Steklov eigenfunctions
研究了光滑流形中Steklov本征函数的几何性质。我们得到了精化的加倍估计和Bernstein不等式。对于实解析流形，我们能够得到内部节点集测度的精确上界。
2020-04-27 math.AP math.SP
Inner radius of nodal domains of quantum ergodic eigenfunctions
本文证明了本征函数的量子遍历序列的Mangoubi关于节域内径的下界可以根据本征函数均匀分布的收缩球半径的一定幂而得到改进.我们证明了这样的改进，使用我们最近的结果（arXiv：1606.02057）的快速应用程序，这给修改后的增长估计等分布在小球上的本征函数。由于Han和Mrsari-Rivière的结果对于曲率收缩球上的负曲流形的小尺度QE成立，我们得到了这类流形的内径的对数改进。我们也得到了改进的流形遍历测地流。此外，利用Lester-Rudnick的小尺度等分布结果，得到了$n \geq 3$维的环面本征函数的多项式改进.结果只适用于本征函数的全密度子序列。
2016-06-10 math.AP math.DG math.SP
On the number of nodal solutions for a nonlinear elliptic problem on symmetric Riemannian manifolds
考虑M中的问题-ε^2Δ_gu+u = |u| ^{p-2}u，其中（M，g）是对称的黎曼流形.给出了反对称变号解的一个多重性结果。
2010-12-27 math.AP
Coarse nodal counts on sub-Riemannian manifolds
Université de Montréal（蒙特利尔大学）；University of Oxford（牛津大学）
该研究针对次黎曼流形，证明了次拉普拉斯本征函数线性组合的节点集的粗Courant定理和Bézout定理，推测结果可推广到一般闭等正则次黎曼流形，方法结合拓扑持续性与Hörmander向量场的各向异性索伯列夫理论。
2026-08-04 math.AP math.AT math.SP
Applications of small scale quantum ergodicity in nodal sets
本文的目的是引出小尺度量子遍历性在本征函数节集上的新应用。我们证明了，如果量子遍历性在半径为收缩半径$r(λ) \to 0$的球上成立，那么，根据$r(λ)$的一定幂，我们可以改进Lognov-Malinovova和Lognov-Malinovova关于节点集大小的上界.我们还证明了Donnelly-Festivalman和Dong的消失阶结果可以改进。由于通过Han和Zuari-Rivière的结果，小尺度QE在负曲率流形上以几何收缩率保持，因此我们得到了这种流形上的对数改进。对于遍历测地流的流形，我们也得到了$o(1)$改进。我们的结果适用于任何给定的本征函数的规范正交基的全密度子序列。
2016-06-07 math.AP math.CA math.DG
Multiplicity and asymptotic profile of 2-nodal solutions to a semilinear elliptic problem on a Riemannian manifold
在n维黎曼流形M，p（2，2 n/（n-2））上，利用M的位形空间的杯长，建立了奇摄动非线性椭圆方程-ε^{2}Δ g}u+u= |u| ^{p-2}u的变号解的个数的一个下界.当ε趋于0时，我们给出了这些解的渐近分布的精确描述。我们还对M的位形空间的杯长给出了新的估计。
2013-01-01 math.AP
The inner radius of nodal domains in high dimensions
本文证明了在d维闭Riemann流形上，Laplacian特征函数的每个结点域均包含一个特定半径的球，且球心位于该域内特征函数绝对值最大值点处。
2024-06-05 math.AP math.DG math.SP
Graph structure of the nodal set and bounds on the number of critical points of eigenfunctions on Riemannian manifolds
本文将紧致二维Riemannian流形上Laplacian特征函数的零点集识别为嵌入度量图，并利用初等图论工具，依据特征值指标$k$与曲面Euler-Poincaré示性数估计了特征函数零点集的临界点数量及消失阶之和。
2025-05-05 math.AP
A natural lower bound for the size of nodal sets
证明了一个自然不等式，它包含光滑紧致流形节点集的$(n-1)$维Hausdorff测度的已知下界.
2011-10-24 math.AP math.DG
A lower bound for the nodal sets of Steklov eigenfunctions
本文研究光滑黎曼流形上Steklov本征函数节点集的下界--Dirichlet-to-Neumann映射的本征函数.设$N_λ$为其节点集。假设零是斯捷克洛夫本征函数的正则值。我们证明了对于某个正的常数$C$，$$H^{n-1}(N_λ)\geq Cλ^{\frac{3-n}{2}}$$只依赖于流形。
2015-04-05 math.AP
Manifold decompositions and indices of Schrödinger operators
利用Maslov指标计算了紧致流形上薛定谔算子不同边值问题的谱。主要结果是流形$M$的谱分解公式，该流形被分离超曲面$Σ$分成分量$Ω_1$和$Ω_2$。同伦变元将$M$上的二阶椭圆算子的谱与其在$Ω_1$和$Ω_2$上的狄利克雷谱和诺伊曼谱联系起来，差值由拉格朗日子空间的路径的马斯洛夫指数给出。这个Maslov指数可以用$Σ$上Dirichlet-to-Neumann映射的Morse指数来表示。应用于二重构造、周期边界条件和节点域的计数。特别地，给出了Courant节域定理的一个新的证明，并给出了节亏的一个显式公式。
2016-01-12 math.AP math.SP
Nodal sets of Laplace eigenfunctions: polynomial upper estimates of the Hausdorff measure
设$\mathbb{M}$是维数为$n$，$n\geq 3$的紧致$C^\infty$ -光滑黎曼流形，$φ_λ: Δ_M φ_λ+ λφ_λ= 0$表示$\mathbb{M}$上对应于特征值$λ$的拉普拉斯特征函数.我们表明，$$H^{n-1}(\{ φ_λ=0\}) \leq C λ^α,$$，其中$α>1/2$是一个常数，它只依赖于$n$，和$C>0$依赖于$\mathbb{M}$。这个结果是我们研究$C^\infty$ -光滑黎曼流形上调和函数零点集的结果。我们开发了一种技术的椭圆型偏微分方程的解决方案，使我们能够获得本地边界从上面的体积的节点集的频率和倍增指数的传播小。
2019-05-26 math.AP math.CA math.DG
Nodal sets of eigenfunctions of sub-Laplacians
本文首次研究紧流形上次拉普拉斯算子特征函数的节点集，揭示其各向异性行为，并给出反例说明其豪斯多夫测度不能被 Yau 猜想的 $\sqrtλ$ 所界定。
2023-09-19 math.AP
Nodal sets of Laplace eigenfunctions: estimates of the Hausdorff measure in dimension two and three
设$Δ_M$是紧致无边界$n$维黎曼流形上的Laplace算子.研究了它的本征函数$u:Δu + λu =0$的零点集。在维度$n=2$中，我们通过证明$H^1(\{u=0 \})\le Cλ^{3/4-β}$，$β\in (0,1/4)$来改进Donnelly-Festiman估计。该证明采用了Donnelli-Festhiman估计和一个组合参数，这也给出了维数$n=3$：$H^2(\{u=0\})\ge cλ^α$，$α\in (0,1/2)$的一个下界（非尖锐）。正常数$c,C$依赖于流形，$α$和$β$是普适的.
2019-05-26 math.AP math.CA math.DG
The size of the nodal sets for the eigenfunctions of the smooth laplacian
我们证明估计特征函数的流形上配备了一个光滑度量。我们使用这些估计，以估计其节点集的大小。
2013-10-29 math.AP
Eigenfunctions with prescribed nodal sets
在本文中，我们考虑的问题规定的节点集的低能量本征函数的拉普拉斯算子。我们的主要结果是：给定紧致n-流形M中的任一分离闭超曲面，M上存在一个黎曼度量，使得它的第一非平凡特征函数的节点集为.我们提出了一些变化的结果，这使我们能够显示，特别是，第一个非平凡的本征函数可以有许多非退化的临界点作为一个愿望。
2014-04-03 math.AP math.DG
Compactness for conformal metrics with Constant $Q$ curvature on locally conformally flat manifolds
本文研究了闭局部共形平坦流形上常$Q$曲率的共形度量。证明了对于Poincarë指数小于$\frac {n-4}2$的$n\geq 5$维局部共形平坦闭流形，在$C^\infty$拓扑中，正常数$Q$和正数量曲率的共形度量集是紧的.
2005-08-21 math.AP math.DG
Lower bounds for nodal sets of Dirichlet and Neumann eigenfunctions
设λ是紧致有界黎曼流形上Laplace-Beltrami算子的Dirichlet或Neumann本征函数.我们证明了节点集{n =0}的大小的下界。
2011-10-31 math.AP
We study the stability properties of nodal sets of Laplace eigenfunctions on compact manifolds under specific small perturbations. We prove that nodal sets are fairly stable if said perturbations are relatively small, more formally, supported at a sub-wavelength scale. We do not need any assumption on the topology of the nodal sets. As an indirect application, we are able to show that a certain "Payne property" concerning the second nodal line remains stable under controlled perturbations of the domain.
2020-11-18 math.AP math.FA math.SP
On the topology of conformally compact Einstein 4-manifolds
本文研究共形紧Einstein四维流形的拓扑。当共形无穷维具有正Yamabe不变量且重整化体积也为正值时，我们证明了共形紧Einstein 4-流形至多有有限个基本群.在重整化体积较大的假设下，我们得到共形紧致Einstein四维流形与$B^4$同构，共形无穷维与$S^3$同构.
2003-05-23 math.AP math.DG
On positive solutions to semi-linear conformally invariant equations on locally conformally flat manifolds
本文研究了局部共形平坦闭流形上一类共形不变方程正解的存在性和紧性。通过共形流形$(M^n, [g])$上Poincaré度量的散射理论，引入共形协变算子族$P_α$.证明了在Poincaré指数小于$\frac {n-α}2$的闭局部共形平坦流形上，对于某些$α\in [2, n)$，方程$$ P_αu = u^\frac {n+α}{n-α} $$的正光滑解集在$C^\infty$拓扑中是紧的.因此，正解的存在性是由Yamabe度量和度理论的存在性得出的。
2005-09-19 math.AP math.DG
Multiplicity of 2-nodal solutions the Yamabe equation
该研究利用梯度流方法与变号临界点理论，证明了闭黎曼流形上次临界Yamabe型方程2结点解的多重性，并将结果推广到小参数下的黎曼乘积流形情形。
2023-06-13 math.AP
Local Asymmetry and the Inner Radius of Nodal Domains
设M是n维闭黎曼流形.设f是Laplace-Beltrami算子对应于特征值λ的特征函数。证明了任意球B的中心在{f= 0}上，其内部{f>0}的体积> C |B| /λ^n.我们应用这个结果证明了每个节域都包含一个半径> C/λ^n的球。
2008-04-13 math.AP math.SP
In this paper, we bend a closed Riemannian manifold in the conformal class, through solving a fully nonlinear equation. As a result, we prove that each metric of quasi-negative Ricci curvature is conformal to a metric with negative Ricci curvature.
2022-11-01 math.AP math.DG
Boundedness of the number of nodal domains for eigenfunctions of generic Kaluza-Klein $3$-folds
本文研究了特殊黎曼$3$流形上Laplacian的本征函数的节域的个数，即黎曼曲面上的非平凡主$S^1$丛$P \to X$，它具有一定的$S^1$不变度量，即Kaluza-Klein度量.我们证明了一般的卡鲁扎-克莱因度量，任何拉普拉斯特征函数有两个节点域，除非它是不变的$S^1$行动。我们还构造了一个明确的正交本征基平坦$3$ -环面$\mathbb{T}^3$，其中每个非常数的本征函数属于基础有两个节点域。
2019-10-22 math.AP math.SP
Nowhere conformally homogeneous manifolds and limiting Carleman weights
本文证明了维数为$\geq 3$的一般黎曼流形不允许任何非平凡的局部共形同胚。这是一个共形模拟的结果Sunada关于当地isometries，并作出精确的原则，一般流形在高维不具有共形对称性。因此，维数为$\geq 3$的一般流形不允许在任何点附近存在非平凡共形Killing向量场。作为一个应用程序的反问题卡尔德龙流形，这意味着一般流形的尺寸$\geq 3$不承认限制Carleman重量附近的任何一点。
2010-11-10 math.AP math.DG
A fully nonlinear version of the Yamabe problem on locally conformally flat manifolds with umbilic boundary
本文建立了具有脐边界的局部共形平坦黎曼流形上一般完全非线性Yamabe问题解的存在性和紧性。
2009-11-17 math.AP math.DG
In the article we introduce new conformal and smooth invariants on compact, oriented four-manifolds with boundary. In the first part, we show that "positivity" conditions on these invariants will impose topological restrictions on underlying manifolds with boundary, which generalizes the results on closed four-manifolds by M. Gursky and on conformally compact Einstein four-manifolds by S.-Y. A. Chang, J. Qing, and P. Yang. In the second part, we study Weyl functional on four-manifolds with boundary and establish several conformally invariant rigidity theorems. As applications, we prove some ri…
2020-09-10 math.AP math.DG
Conformal Deformation on Manifolds with Boundary
本文考虑了由带边界流形上的Gauss-Bonnet公式导出的自然共形不变量，并研究了与之相关的共形变形问题。我们使用的关键技术是直接从完全非线性方程的C^0估计导出边界C^2估计。主要结果已在作者的论文中发表。
2008-11-15 math.AP math.DG
The conformal Yamabe constant of product manifolds
设（V，g）和（W，h）是维数至少为3的紧致黎曼流形.利用（V，g）和（W，h）的共形Yamabe常数，得到了乘积流形（V x W，g+h）的共形Yamabe常数的一个下界.
2013-04-05 math.AP math.DG
On Some Quantitative Unique Continuation Properties of Fractional Schrödinger Equations: Doubling, Vanishing Order and Nodal Domain Estimates
在这篇文章中，我们确定了一个广义Dirichlet-to-Neumann映射（这是与分数薛定谔方程）上的一个紧凑的，光滑的黎曼流形，$(M,g)$，没有边界的特征函数消失的极大序模的界限。此外，这些结果仅稍加修改就可推广到具有$C^1$势的方程。在这里，Carleman估计是一个关键工具。这些产生一个定量的三球不等式，这意味着定量的体积和边界加倍的估计，从而导致控制的极大序模的消失。利用边界加倍性质，证明了解析流形上广义Dirichlet-to-Neumann映射的本征函数节点域的$\mathcal{H}^{n-1}$ -测度的上界.
2014-07-06 math.AP
The Geometry of Nodal Sets and Outlier Detection
设$(M,g)$是紧致流形，$-Δϕ_k = λ_k ϕ_k$是Laplacian特征函数序列.我们提出了一个奇怪的新现象，到目前为止，我们只设法了解在一些高度专业化的情况下：家庭的功能$f_N:M \rightarrow \mathbb{R}_{\geq 0}$ $$ f_N(x) = \sum_{k \leq N}{ \frac{1}{\sqrt{λ_k}} \frac{|ϕ_k(x)|}{\|ϕ_k\|_{L^{\infty}(M)}}}$$似乎奇怪地适合检测异常点的流形。它可以解释为距离最近的节线的距离之和，并可能暗示光谱几何中的一种新现象。我们给出严格的声明单位平方$[0,1]^2$（其中极小值本地化$\mathbb{Q}^2$）和佩利图（其中$f_N$恢复几何二次剩余的基础有限域$\mathbb{F}_p$）。数值例子表明，这种现象似乎出现在相当一般的流形。
2017-06-05 math-ph math.AP math.FA
Convergence of nodal sets in the adiabatic limit
研究了绝热极限下纤维丛$π{:}\, M\to B$上Laplacian的非退化本征函数的节集。这个限制在于考虑一个家庭$G_\varepsilon$黎曼度量，这是接近黎曼淹没，其中的比例的纤维直径的基础是由$\varepsilon \ll 1$。我们假设$M$是紧的，并且在$F_x$上的Dirichlet-Laplacian的基态本征值与基点无关的条件下，允许纤维$F$有边界.我们证明了$\mathrm{dim} B \leq 3$的Dirichlet本征函数$φ$的节点集收敛到$B$上的函数$ψ$的节点集的$π$下的原像，该$B$被确定为有效方程的解。特别是这意味着节点集满足边界$\varepsilon$足够小，并表明许多已知的结果，在这个问题上，获得某些类型的域，也举行了一大类流形的边界。对于圆$B=S^1$上的闭流形$M$的特殊情形，我们得到了较好的估计，并证明了$φ$的节点集的每个连通分支与$π{:}\, M\to S^1$的典型纤维光滑地同位素.
2014-11-09 math-ph math.AP math.DG
Nodal sets of Schrödinger eigenfunctions in forbidden regions
本文研究作用在无边界紧致光滑黎曼流形上的半经典薛定谔算子的本征函数的节点集。我们证明了如果H是一个位于经典禁戒区域内的分离超曲面，则H不能作为无穷多个本征函数的零集的一个分量持续存在。此外，在真正的解析曲面，我们得到尖锐的上界的薛定谔本征函数的零集的交叉点的数量与一个固定的曲线，位于经典的禁区内。
2015-02-03 math-ph math.AP math.MP
Lower bounds for interior nodal sets of Steklov eigenfunctions
研究了$n$维相对紧流形$M$中Steklov本征函数的内节点集$Z_λ$，证明了它的$(n-1)$维Hausdorff测度的大小存在下界$|Z_λ|\ge cλ^{\frac{2-n}2}$.证明是基于董型恒等式和Steklov特征函数的梯度估计，类似于那些在\cite{SZ1}和\cite{SZ2}，分别。
2015-03-27 math.AP
Upper Measure Bounds of Nodal Sets of Solutions to the Bi-Harmonic Equations on $C^{\infty}$ Riemannian Manifolds
该研究通过频率函数、加倍指数及小性传播等工具，建立光滑 Riemann 流形上双调和函数节点集的 Hausdorff 测度上界，并推广至紧流形上双调和特征函数。
2023-11-03 math.AP
Lower bounds on nodal sets of eigenfunctions via the heat flow
研究了紧致无边界黎曼流形上Laplacian特征函数节点集的大小，并通过比较特征函数的热流与人工构造的扩散过程的热流，得到了当前最优的下界.同样的方法应该适用于许多其他问题;例如，我们证明了一个尖锐的结果，即节点域不能完全包含在“合理平坦”表面的一个小邻域中。我们期望新出现的概念与经典理论有更多的联系，并在这个方向上提出一些建议。
2015-07-03 math.AP
Lower bounds on the Hausdorff measure of nodal sets
设$\ncal_{ϕ_λ}$是光滑黎曼流形上本征值$λ^2$的$Δ$ -本征函数$ϕ_λ$的节点超曲面.我们证明了它的曲面测度的下界：$\hcal^{n-1}(\ncal_{ϕ_λ}) \geq C λ^{\frac74-\frac{3n}4} $。最佳先验下界似乎是$e^{- C λ}$。
2010-11-17 math.AP
