On the number of nodal solutions for a nonlinear elliptic problem on symmetric Riemannian manifolds
Marco G. Ghimenti, Anna Maria Micheletti
考虑M中的问题-ε^2Δ_gu+u = |u| ^{p-2}u，其中（M，g）是对称的黎曼流形.给出了反对称变号解的一个多重性结果。
We consider the problem -ε^2Δ_gu+u = |u|^{p-2}u in M, where (M,g) is a symmetric Riemannian manifold. We give a multiplicity result for antisymmetric changing sign solutions.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Nodal solutions to quasilinear elliptic equations on compact Riemannian manifolds
证明了紧致黎曼流形上具有临界Sobolev指数的扰动拟线性椭圆型方程节点解的存在性。也给出了一个不存在的结果。
Graph structure of the nodal set and bounds on the number of critical points of eigenfunctions on Riemannian manifolds
本文将紧致二维Riemannian流形上Laplacian特征函数的零点集识别为嵌入度量图，并利用初等图论工具，依据特征值指标$k$与曲面Euler-Poincaré示性数估计了特征函数零点集的临界点数量及消失阶之和。
Multiplicity and asymptotic profile of 2-nodal solutions to a semilinear elliptic problem on a Riemannian manifold
在n维黎曼流形M，p（2，2 n/（n-2））上，利用M的位形空间的杯长，建立了奇摄动非线性椭圆方程-ε^{2}Δ g}u+u= |u| ^{p-2}u的变号解的个数的一个下界.当ε趋于0时，我们给出了这些解的渐近分布的精确描述。我们还对M的位形空间的杯长给出了新的估计。
Nodal solutions for elliptic equation involving the GJMS operators on compact manifolds
本文研究了带有边界的黎曼流形上含GJMS算子的椭圆型问题节点解的存在性
Nodal solutions for singular semilinear elliptic systems
本文证明了不具变分结构的奇异半线性椭圆型方程组节点解的存在性，其中两个分量都是变号的。我们的方法是基于上下解方法结合摄动参数涉及奇异项。
Nodal solutions for fourth order elliptic equations with critical exponent on compact manifolds
利用变分方法证明了紧致黎曼流形上具有边界的四阶临界Sobolev增长的椭圆型方程的Q-曲率型方程节点解的存在性.
Multibump nodal solutions for an indefinite superlinear elliptic problem
利用索伯列夫空间$H^1_0$的正交分解定义了Nehari型约束，证明了一类不定超线性椭圆问题多凸节点解的存在性.
Nodal and constant sign solutions for singular elliptic problems
本文研究奇异拟线性椭圆问题，结合上下解方法与Leray-Schauder拓扑度，证明存在两个相反常号解和一个节点解。
Existence and nonexistence of least energy nodal solution for a class of elliptic problem in $\mathbb{R}^{2}$
本文证明了当非线性项指数临界增长时，在$\mathbb{R}^2$中一类椭圆型问题在有界和无界区域两种情况下最小能量节点解的存在性.此外，我们还证明了在全$\mathbb{R}^{2}$中自治情形下最小能量节点解的不存在性。
Partial analyticity and nodal sets for nonlinear elliptic systems
我们研究了椭圆型方程组解的部分解析性和非线性椭圆型方程组解的水平集的解析性。我们考虑了几个应用，包括解析的流线有界的固定解决方案的2-D欧拉方程，和解析的水波和无表面张力。
Nodal Sets and Doubling Conditions in Elliptic Homogenization
本文研究椭圆齐次化方程节点解集的一致测度估计。考虑一类具有快速振荡和周期系数的散度型二阶椭圆算子$\{ \mathcal{L}_\e\}$.证明了球中$\mathcal{L}_\e (u_\e)=0$在$\R^d$中的解的节点集的$(d-1)$维Hausdorff测度在$\e>0$中是一致有界的.证明依赖于一个均匀的加倍条件和近似的$u_\e$的均匀化方程的解决方案。
Multiplicity of 2-nodal solutions the Yamabe equation
该研究利用梯度流方法与变号临界点理论，证明了闭黎曼流形上次临界Yamabe型方程2结点解的多重性，并将结果推广到小参数下的黎曼乘积流形情形。
Doubling inequalities and nodal sets in periodic elliptic homogenization
证明了一类具有快速振荡周期系数的线性椭圆型方程的显式加倍不等式，并得到了弱解节点集的一致上界（在$(d-1)$维Hausdorff测度下）.利用收敛速度、一个“解析性”的三球不等式和一个频率函数的单调性公式，在不同的尺度上证明了显式依赖于倍化指数的倍化不等式.利用加倍不等式、调和函数逼近和迭代引数给出了节点集的上界。
Nodal length of Steklov eigenfunctions on real-analytic Riemannian surfaces
证明了带边界的实解析黎曼曲面上Steklov本征函数的节长的精确上界和下界。参数涉及频率函数方法的调和函数在内部的表面，以及建设的指数精确逼近的Steklov特征函数附近的边界。
Positive and nodal limiting profiles for a semilinear elliptic equation with a shrinking region of attraction
该研究针对带任意形状收缩自聚焦核的薛定谔方程，分析其正解与结点解的存在性和集中性，通过尺度变换得到对应非自治半线性椭圆方程的极限轮廓，并刻画了最小能量极限轮廓的对称性与衰减特性。
Lower Bound of Nodal Sets in Elliptic Homogenization and Functions with Strong Maximum Principle
本文尝试证明椭圆均匀化中节点体积的一致下界，并在二维情形得到常数下界，进而推广到满足强极大值原理的连续函数。
Multiplicity of multi-bump type nodal solutions for a class of elliptic problems with exponential critical growth in $\mathbb{R}^2$
本文证明了以下问题$$ -Δu+(λV(x)+1)u=f(u),~~\mbox{in}~~\mathbb{R}^2, $$多凸节点解的存在性和多重性，其中$λ\in(0,\infty)$，$f$是指数临界增长的连续函数，$V:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$是连续函数，并验证了一些假设.
Constant sign and nodal solutions for singular quasilinear elliptic systems
本文利用Leray-Schauder拓扑度、上下解方法和截断论证，证明了奇异拟线性椭圆系统至少存在三个非平凡解，其中两个为相反常号解，一个为结点解，并讨论了符号耦合情形下分量的符号性质。
Upper bounds on the size of nodal sets for Gevrey and quasianalytic Riemannian manifolds
当黎曼流形具有Gevrey正则性或拟解析正则性时，我们得到了特征函数节点集大小的新的多项式上界。
Interior pointwise regularity for elliptic and parabolic equations in divergence form and applications to nodal sets
本文利用紧性方法与扰动技术证明散度型椭圆和抛物方程弱解的最优内部逐点 $C^{k,\alpha}$ 正则性，并将其用于刻画解的节点集结构。
Multibump nodal solutions for an indefinite nonhomogeneous elliptic problem
当$μ$很大时，在适当的假设下，对于$f$超线性和次临界，并使得$H^1_0(\{x\inΩ:\: a(x)>0\})$上的线性化算子在零点处的本征值$u\longmapsto u-λ(-Δ)^{-1}(a^+ u)$为正，我们构造了椭圆型方程$$ -Δu=a^+[λu+ f(\, \cdot\,, u)]-μa^- g(\, \cdot\,, u) $$在$H^1_0(Ω)$中的多凸节点解.通过对$H^1_0(Ω)$中函数的正交分量施加适当的条件，得到的解在某个Nehari型集合中具有最小能量.
Nonnegative solutions with a nontrivial nodal set for elliptic equations on smooth symmetric domains
考虑$\R^2$中光滑有界区域$\Om$上的半线性椭圆型方程，假设区域和方程在关于其中一个坐标轴的反射下是不变的，比如y轴.众所周知，这类方程的狄利克雷问题的非负解是关于轴对称的，并且，如果严格为正，它们在$x>0$的$x$中也是递减的。我们的目标是展示的例子方程，承认非负，非零的解决方案，第二个属性失败，必然，这样的解决方案有一个非平凡的节点集在$\Om$。以前，这样的例子是已知的非光滑域。
Existence of nodal solutions for quasilinear elliptic problems in $\mathbb{R}^N$
本文证明了在$\mathbb{R}^N$上具有$p$ -超线性次临界项的$p$ -Laplacian方程的一个正解、一个负解和一个变号解的存在性.关于以$\mathbb{R}^N$为整体的拟线性椭圆型方程组的变号解的研究在文献中很少。我们的假设在这里是类似于以前使用的一些作者在有界域，我们的证明使用相当初级的临界点理论，约束最小化的基础上，节点Nehari集。通过在适当的加权索伯列夫空间中工作，克服了由于无界域而导致的紧性不足。
Multi-bubble nodal solutions for slightly subcritical elliptic problems in domains with symmetries
本文研究了轻微次临界问题$$-Δu=|u|^{2^*-2-\e}u \hbox{in}Ω, \quad u=0 \hbox{on}\partial Ω,$$的多泡变号解的存在性，其中$Ω$是$\R^N$，$N\geq 3$，$2^*=\frac{2N}{N-2}$中的光滑有界区域，$\e>0$是小参数.特别地，我们证明了，如果$Ω$是凸的，并满足一定的对称性，那么一个节点的四泡解决方案存在两个积极的和两个消极的气泡。
Multi-bubble nodal solutions to slightly subcritical elliptic problems with Hardy terms
研究了在有界区域$Ω\subset\mathbb{R}^N$中具有Hardy项\[ \left\{ \begin{aligned} -Δu-μ\frac{u}{|x|^2} &= |u|^{2^{\ast}-2-ε}u &&\quad \text{in } Ω, \\\ u &= 0&&\quad \text{on } \partialΩ, \end{aligned} \right. \]的略次临界椭圆问题，其中$N\ge7$为$0\inΩ$.利用$α>\frac{N-4}{N-2}$证明了多泡节点解的存在性，即$ε\to0$和$μ=ε^α$在原点正爆破，在不同点负爆破.在$Ω$是以原点为中心的球的情况下，我们可以得到具有不同符号的多达$5$泡的解。我们还得到了节点气泡塔的解决方案，即叠加的气泡不同的标志，都在原点，但不同的爆破顺序爆破。详细地确定了解的渐近形状。
Multiple existence and qualitative property of nodal solutions for coupled elliptic equations
本文研究了有界径向域上耦合非线性椭圆方程在排斥区域的结点解，证明了具有预定结点数据的解的多重存在性，并给出了解分量间差值结点数的上下界定性估计。
A new type of nodal solutions to singularly perturbed elliptic equations with supercritical growth
本文研究了一类奇摄动椭圆型方程$$ \left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle -\varepsilon^2\triangle {u}+|x|^ηu =|x|^ηf(u)& \mbox{in}\,\, A, u=0 & \mbox{on}\,\, \partial A, \end{array} \right. $$，其中$\varepsilon>0$，$η\in\mathbb{R}$，$A=\{x\in\R^{2N}:\,\,0<a<|x|<b\}$，$N\ge2$和$f$是具有超临界增长的$C^1$类的非线性项.通过约化论证，证明了存在一个节点解$u_\e$，该解正好有两个正峰和两个负峰，它们集中在两个不同的正交球面上，其维数为$N-1$.特别地，我们建立了当参数$η>2$、$η=2$和$η<2$时四个峰的不同浓度现象。
Nodal bubble tower solutions to slightly subcritical elliptic problems with Hardy terms
研究了具有Hardy项\[ \left\{ \begin{aligned} -Δu-μ\frac{u}{|x|^2} &= |u|^{2^{\ast}-2-\varepsilon}u &&\quad \text{in } Ω, \\\ u &= 0&&\quad \text{on } \partialΩ, \end{aligned} \right. \]的略亚临界椭圆型问题在有界区域$Ω\subset\mathbb{R}^N (N\ge7)$中解的爆破行为，其中$0\inΩ$为$μ,\varepsilon\to 0^+$ .在\cite{BarGuo-ANS}中，我们得到了节点解的存在性，这些解在原点正爆破，在不同的点负爆破，如$μ=O(ε^α)$与$α>\frac{N-4}{N-2}$，$\varepsilon\to 0^+$。本文证明了节点鼓泡塔解的存在性，即不同符号的气泡的叠加，所有气泡都在原点爆破，但爆破顺序不同，如$μ=O(\varepsilon)$、$\varepsilon\to0^+$。
Nodal sets of Dirichlet eigenfunctions in quasiconvex Lipschitz domains
本文将拟凸Lipschitz域类引入到椭圆算子边界唯一延拓的研究中，它同时涵盖了$C^1$和凸区域.特别地，我们证明了一般椭圆型方程在有界拟凸Lipschitz域上的Dirichlet特征函数的节点集大小的上界。我们的结果对于凸区域上的Laplace算子也是新的.
Nodal sets of eigenfunctions of sub-Laplacians
本文首次研究紧流形上次拉普拉斯算子特征函数的节点集，揭示其各向异性行为，并给出反例说明其豪斯多夫测度不能被 Yau 猜想的 $\sqrtλ$ 所界定。
Behavior of bounded solutions of quasilinear elliptic equations on Riemannian manifolds
讨论了满足特殊条件的黎曼流形上拟线性椭圆型方程的有界解。
On a property of the nodal set of least energy sign-changing solutions for quasilinear elliptic equations
本文证明了关于方程$-Δ_p u = f(u)$在有界Steiner对称域$Ω\subset \mathbb{R}^N$上的最小能量变号解的节点集在零Dirichlet边界条件下的行为的Payne型猜想.假设非线性$f$是超线性的或共振的。在后一种情况下，最小能量符号变化解是$Ω$中的零Dirichlet $p$ -Laplacian的第二本征函数。我们证明了任何最小能量变号解的节点集与$Ω$的边界相交。证明是基于一个移动的极化参数。
Coarse nodal counts on sub-Riemannian manifolds
该研究针对次黎曼流形，证明了次拉普拉斯本征函数线性组合的节点集的粗Courant定理和Bézout定理，推测结果可推广到一般闭等正则次黎曼流形，方法结合拓扑持续性与Hörmander向量场的各向异性索伯列夫理论。
On the nodal set of solutions to degenerate or singular elliptic equations with an application to $s-$harmonic functions
本文主要研究退化或奇异方程的节点解集的几何理论分析，这些方程涉及一类算子，包括带有$a\in(-1,1)$的$$ L_a = \mbox{div}(\abs{y}^a \nabla), $$及其扰动。由于它们属于Muckenhoupt类$A_2$，这些算子出现在Fabes，Kenig，Jerison和Serapioni \cite{fkj,fjk2,fks}的开创性作品中，并且最近在过去十年中引起了很多关注，因为它们与分数拉普拉斯算子的局部化有关，通过在一个更多维\cite{CS2007}中的扩展。我们在本文中的目标是开发一个完整的理论的分层属性的节点组的解决方案，这样的方程的精神，开创性的著作的哈特，西蒙，韩和林\cite{MR1010169,MR1305956,MR1090434}。
On Green's functions for positive, self-adjoint, elliptic pseudo-differential operators on closed, Riemannian manifolds
在这篇短文中，我们回顾了关于黎曼流形上椭圆型微分算子的一些事实。
The Volume of a Local Nodal Domain
设M是闭实解析黎曼流形或闭光滑黎曼曲面。我们估计从下面的体积的节点域组件在一个任意的球，只要这个组件进入球足够深。
A decomposition result for a singular elliptic equation on compact Riemannian manifolds
在紧致黎曼流形上，证明了奇异椭圆型方程解的任意有界能量序列的一个分解定理。
A lower bound for the nodal sets of Steklov eigenfunctions
本文研究光滑黎曼流形上Steklov本征函数节点集的下界--Dirichlet-to-Neumann映射的本征函数.设$N_λ$为其节点集。假设零是斯捷克洛夫本征函数的正则值。我们证明了对于某个正的常数$C$，$$H^{n-1}(N_λ)\geq Cλ^{\frac{3-n}{2}}$$只依赖于流形。
A Priori Regularity Estimates for Ratio of Solutions to Elliptic Equations with a Product Structure of Two-Dimensional Nodal Sets
本文针对具有Lipschitz系数的椭圆方程，在节点集包含条件下，建立了两个解之比的优化C^{1,α}先验正则性估计，特别处理了节点集为二维函数乘积结构的情形。
Multiple solutions of an elliptic Hardy-Sobolev equation with critical exponents on compact Riemannian manifolds
在紧致黎曼流形上，证明了一类具有临界Sobolev增长和临界Hardy位势的椭圆型方程多解的存在性.
Second derivative estimates for uniformly elliptic operators on Riemannian manifolds
本文利用ABP方法得到了黎曼流形上具有截面曲率下界的完全非线性一致椭圆型方程解的一致$W^{2,\varepsilon}$ -估计。
Nonexistence of stable solutions to quasilinear elliptic equations on Riemannian manifolds
证明了黎曼流形上一类具位势的拟线性椭圆型方程在测地球上适当的加权体积增长条件下非平凡的、可能变号的稳定解的不存在性.
Upper Measure Bounds of Nodal Sets of Solutions to the Bi-Harmonic Equations on $C^{\infty}$ Riemannian Manifolds
该研究通过频率函数、加倍指数及小性传播等工具，建立光滑 Riemann 流形上双调和函数节点集的 Hausdorff 测度上界，并推广至紧流形上双调和特征函数。
Existence and symmetry of least energy nodal solutions for Hamiltonian elliptic systems
本文证明了带Hénon-type权的Hamilton椭圆型方程组\[ -Δu = |x|^β |v|^{q-1}v, \quad -Δv =|x|^α|u|^{p-1}u\quad { in } Ω, \qquad u=v=0 { on } \partial Ω, \]最小能量节点解的存在性，其中$Ω$是$\mathbb{R}^N$，$N\geq 1$，$α, β\geq 0$中的有界光滑区域，非线性项是超线性和次临界的，即\[ 1> \frac{1}{p+1}+\frac{1}{q+1}> \frac{N-2}{N}. \]当$Ω$是以原点为中心的球或环，$N \geq 2$，我们表明，这些解决方案显示所谓的叶状Schwarz对称。人们很自然地猜想这些解不是径向对称的。我们提供了这样一个对称性破缺的参数范围内的解决方案的系统表现得像一个单一的方程的解决方案。我们对上述系统的结果是新的，即使在Lane-Emden系统的情况下（即没有重量）。据我们所知，这是第一篇关于强耦合椭圆型方程组的最小能量节点解及其对称性的结果。
On positive solutions of biharmonic elliptic inequalities on Riemannian manifolds
研究了流形上双调和椭圆型不等式正解的存在性和不存在性。利用格林函数和体积增长条件，建立了双调和问题的临界指数.
Construction of solutions for a nonlinear elliptic problem on Riemannian manifolds with boundary
设（M，g）是光滑紧致的n维黎曼流形，具有光滑的n-1维边界.我们证明了边界的中曲率的稳定临界点生成具有Neumann边界条件的奇摄动椭圆问题的解。
Solutions to a singularly perturbed supercritical elliptic equation on a Riemannian manifold concentrating at a submanifold
给定光滑黎曼流形（M，g），研究了奇摄动超临界椭圆型方程正解的存在性，这些正解集中在M的某个子流形上.对于某些包含翘曲积的流形，我们得到了一个正解。
Some elliptic PDEs on Riemannian manifolds with boundary
研究了带边界流形上椭圆型方程稳定解的刚性性质。根据流形的维数及其里奇曲率的符号，我们给出了几种类型的结果。
Elliptic differential inclusions on non-compact Riemannian manifolds
研究了非紧完备黎曼流形上一类包含Laplace-Beltrami算子和Hardy型奇异项的椭圆型微分包含.依赖于非线性项的行为和黎曼流形的曲率，我们保证所研究的微分包含的解的不存在性和存在性/多重性。证明是基于非光滑变分分析以及等距作用和精细特征值性质的黎曼流形。结果在平滑设置中也是新的。
Non degeneracy for solutions of singularly perturbed nonlinear elliptic problems on symmetric Riemannian manifolds
给出了对称黎曼流形（M，g）的奇摄动非线性椭圆问题的非退化变号解关于参数：正数ε和对称度量g的一般性结果.利用这些结果，我们得到了非退化解的数目的一个下界。
Stable solutions of elliptic equations on Riemannian manifolds
本文研究光滑无边界黎曼流形上非线性椭圆型偏微分方程特解的刚性性质。就稳定解而言，我们推导出一个新的加权Poincaré不等式，它允许证明Liouville型的结果和平坦的水平集的解决方案在2维，在适当的几何假设的环境流形。
Global bifurcations of nodal solutions for coupled elliptic equations
研究$\mathbb{R}^3$单位球中耦合椭圆方程组径向节点解的全局分支结构，以耦合常数$β$为参数，分析标量方程解生成的同步与半平凡解曲线的分叉，得到完整结构并刻画节点信息。
The nodal set of solutions to some elliptic problems: singular nonlinearities
本文研究方程\begin{equation*} -Δu = λ_+ \left(u^+\right)^{q-1} - λ_- \left(u^-\right)^{q-1} \quad \text{in $B_1$} \end{equation*}的解，其中$λ_+,λ_- > 0$，$q \in (0,1)$，$B_1=B_1(0)$分别是$\mathbb{R}^N$，$N \ge 2$，$u^+:= \max\{u,0\}$中的单位球，$u^-:= \max\{-u,0\}$分别是$u$的正部分和负部分.我们将最近在\cite{SoTe2018}中对\emph{sublinear and discontinuous}方程$1\leq q<2$所得到的结果推广到这类\emph{singular}方程，即：（a）在每一点上消失阶的有限性和阶谱的完全特征;（b）弱非退化性质;（c）任何解的节点集的正则性：节点集是正则余维1流形的局部有限集合，直到具有Hausdorff维数至多为$N-2$的剩余奇异集（当$N=2$时局部有限）。作为中间步骤，我们建立了一类\emph{not necessarily minimal}解的正则性。证明是基于先验界，单调性公式\的$2$参数家庭的Weiss型泛函，爆破参数，和分类的齐次解决方案。
Non-synchronized solutions to nonlinear elliptic Schrödinger systems on a closed Riemannian manifold
本文在闭黎曼流形上研究非线性椭圆薛定谔方程组解的同步性问题，通过分歧方法证明了从常数解出发存在非同步解分支。
The nodal set of solutions to some elliptic problems: sublinear equations, and unstable two-phase membrane problem
本文研究了\begin{equation*} -Δu = λ_+ \left(u^+\right)^{q-1} - λ_- \left(u^-\right)^{q-1} \quad \text{in $B_1$} \end{equation*}形式的方程的节点解集，其中$λ_+,λ_- > 0$，$q \in [1,2)$，$B_1=B_1(0)$是$\mathbb{R}^N$，$N \ge 2$和$u^+:= \max\{u,0\}$中的单位球，$u^-:= \max\{-u,0\}$分别是$u$的正部分和负部分.该类包括\emph{unstable two-phase membrane problem}（$q=1$）以及$1<q<2$的\emph{sublinear}方程。我们证明了以下主要结果：（a）在每一点上消失阶的有限性和阶谱的完全特征;（b）弱非退化性质;（c）任何解的节集的正则性：节集是正则余维1流形直到Hausdorff维数至多为$N-2$的剩余奇异集的局部有限集合（局部有限时$N=2$）;（d）部分分层定理。最终，节点集的主要特征与线性（或超线性）方程的解严格相关，有两个显著的区别。首先，允许消失阶不能超过临界值$2/(2-q)$。在阈值，我们找到了一个多重的齐次解决方案，产生的任何估计的$(N-1)$ -维措施的节点集的解决方案的消失顺序方面的\emph{non…
Nodal Sets for Broken Quasilinear Partial Differential Equations with Dini Coefficients
研究了一类破裂拟线性偏微分方程\begin{equation*} \mbox{div} (a_+ \nabla u^+ - a_- \nabla u^-) = \mbox{div} f, \end{equation*}弱解的节点集，其中$a_+$和$a_-$是一致椭圆的Dini连续系数矩阵，且满足强相关性，即$a_+$和$a_-$是某个标量函数的倍数.在这样的结构条件下，我们发展了一种迭代方法，使解在奇点处达到高阶逼近，这对于Hölder区域以下的标准椭圆型偏微分方程也是新的，并由此建立了一个奇异集的结构定理.我们还估计了节点集的Hausdorff测度，只要给定解的消失阶在其节点集上是有界的，通过一种方法，将经典的论点扩展到具有不连续梯度的某些解。此外，我们还证明了解的Lipschitz正则性及其节点集在正则点附近的连续可微性。
Lower bounds on nodal sets of eigenfunctions via the heat flow
研究了紧致无边界黎曼流形上Laplacian特征函数节点集的大小，并通过比较特征函数的热流与人工构造的扩散过程的热流，得到了当前最优的下界.同样的方法应该适用于许多其他问题;例如，我们证明了一个尖锐的结果，即节点域不能完全包含在“合理平坦”表面的一个小邻域中。我们期望新出现的概念与经典理论有更多的联系，并在这个方向上提出一些建议。
Unilateral global bifurcation and nodal solutions for the $p$-Laplacian with sign-changing weight
本文建立了一类变号权拟线性椭圆型方程的Dancer型单边全局分支结果。在扰动函数的某些自然假设下，我们证明了$(μ_k^ν(p),0)$是上述问题的一个分歧点，并且存在两个不同的无界连续统$(\mathcal{C}_{k}^ν)^+$和$(\mathcal{C}_{k}^ν)^-$，它们由$(μ_k^ν(p), 0)$的分歧分支$\mathcal{C}_{k}^ν$组成，其中$μ_k^ν(p)$是与上述问题对应的线性问题$ν\in\{+,-\}$的第$k$个正或负特征值.作为上述单侧全局分歧结果的应用，我们研究了一类变号权拟线性椭圆型方程节点解的存在性。此外，基于Drábek和Huang（1997）[ \ref{DH} ]的分歧结果，我们研究了一类变号权的高维拟线性椭圆型问题的单符号解的存在性.
Quasi-linear elliptic equations with data in $L^{1}$ on a compact Riemannian manifold
本文利用$ (M,g) $数据研究拟线性椭圆问题，其简单模型将是紧黎曼流形上的下一个方程。$$-Δ_{p} u=f$$其中$f\in L^{1}(M) $ .我们的目标是开发必要的功能框架和工具来证明前一个问题的解的存在性和唯一性。注意，我们的论证可以用来处理更一般的一类准线性方程。
Nodal and multiple solutions for a nonhomogeneous Neumann boundary problem
考虑一类由$p$ -Laplacian型非齐次椭圆微分算子和Carathéodory反应项驱动的非线性Neumann问题.本文证明了两个极值常数符号光滑解和一个非平凡节点光滑解的存在性。在证明中，我们使用的变分方法截断技术，临界点理论和莫尔斯理论（临界群）。
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