On the rate of convergence in homogenization of time-fractional Hamilton-Jacobi equations
在这里，我们考虑时间分数Hamilton-Jacobi方程的周期均匀化。利用扰动检验函数方法，证明了该方法的收敛性，并给出了收敛速度的收敛速率估计。一个主要的困难是在双变量方法中使用的功能之间的不兼容性，和Caputo衍生物的非局部性。我们的方法是提供一个引理来证明收敛的收敛速率没有加倍变量的方法相对于时间变量，这是一个关键因素。
2023-03-06 math.AP
Planar doubling nodal solutions to the Yamabe equation with maximal rank
Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院）
本文构造了两个Yamabe方程的节点解家族，每个解在两个平面圆上集中。其中一族与Medina-Musso之前结果一致，另一族为新变种，基于非Kelvin对称的假设。在三维情况下，这些解达到最大秩，通过连续的共形变换分析两圆相互作用，表现出类似涡旋动力学中的跃迁行为。
2026-04-03 math.AP
A Carleman-Type Inequality in Elliptic Periodic Homogenization
对于一族具有快速振荡周期系数的二阶椭圆型方程，我们感兴趣的是这些解满足椭圆周期均匀化中附加增长条件的Carleman型不等式，这意味着宏观尺度上没有误差项的三球不等式。此外，如果我们在宏观尺度上用加倍条件代替附加增长条件，那么不带误差项的三球不等式在任何尺度下都成立。证明依赖于解的$H^1$ -范数的收敛性和紧性论证。
2021-02-13 math.AP
Measure Upper Bounds for Nodal Sets of Eigenfunctions of the bi-Harmonic Operator
在这篇文章中，我们考虑双调和算子的本征函数$u$，即，$\triangle^2u=λ^2u$在具有齐次线性边界条件的$Ω$上。我们假设$Ω\subseteq\mathbb{R}^n$（$n\geq2$）是$C^{\infty}$有界域，$\partialΩ$是分段解析的，$\partialΩ$是解析的，除了一个集合$Γ\subseteq\partialΩ$是$\partialΩ$的一些紧$(n-2)$维子流形的有限并.本文的主要结果是本征函数节点集的测度上界受$\sqrtλ$控制。我们首先定义了一个频率函数和一个与这些特征函数相关的加倍指数。通过建立单调性公式、加倍条件和各种先验估计，我们得到了球中这些本征函数节点集的$(n-1)$维Hausdorff测度受频率函数和$\sqrtλ$的控制.为了进一步用$\sqrtλ$控制频率函数，首先建立频率函数与倍化指数之间的关系，然后将区域$Ω$分为远离$Γ$的区域和靠近$Γ$的区域，并分别针对这两种情况发展迭代参数.
2017-09-01 math.AP
Upper bounds of nodal sets for eigenfunctions of eigenvalue problems
本文的目的是提供一种简单而统一的方法来获得实解析区域上不同类型的本征值问题的本征函数节点集的精确上界。算例包括双调和Steklov本征值问题、屈曲本征值问题和倒角板本征值问题。从特征函数的倍化不等式和增长估计出发，导出了节点集的几何测度。它是通过Morrey-Nirenberg估计和Carleman估计的分析估计完成的。
2020-10-06 math.AP
Nodal sets of Robin and Neumann eigenfunctions
本文研究了Robin和Neumann本征函数在区域内和区域边界上的节点集的测度。在光滑区域上得到了Robin特征函数的内节点集的多项式上界.对于解析域，给出了Robin特征函数的内节点集的精确上界.更重要的是，我们得到了Neumann本征函数的边界节点集的精确上界与新的定量整体Carleman估计。进一步得到了区域边界上Robin本征函数的锐倍不等式和消失阶。
2020-04-27 math.AP
Critical Sets of Solutions of Elliptic Equations in Periodic Homogenization
本文研究周期均匀化下散度型二阶椭圆方程解的临界集，通过球谐投影转向估计、调和逼近等方法，证明了解加倍指标有界时临界集的Hausdorff测度和Minkowski容度关于周期一致有界。
2023-08-24 math.AP
Geometry and interior nodal sets of Steklov eigenfunctions
研究了光滑流形中Steklov本征函数的几何性质。我们得到了精化的加倍估计和Bernstein不等式。对于实解析流形，我们能够得到内部节点集测度的精确上界。
2020-04-27 math.AP math.SP
Almost sharp lower bound for the nodal volume of harmonic functions
本文讨论了调和函数的增长性与其零点集的Hausdorff测度之间的关系。设$u$是$\mathbb{R}^n$中的实值调和函数，其中有$u(0)=0$和$n\geq 3$。本文证明了$$\mathcal{H}^{n-1}(\{u=0\} \cap B(0,2)) \gtrsim_{\varepsilon} N^{1-\varepsilon},$$，其中加倍指数$N$是由$$ \sup_{B(0, 1)}|u| = 2^N \sup_{B(0,\frac{1}{2})}|u|.$$定义的增长概念。这给出了$u$的零集的Hausdorff测度的几乎尖锐的下界，证明了在$N$中是线性的。文章的新成分是稳定增长的概念，和一个多尺度感应技术的调和函数的加倍指数分布的下界。它给出了一个显着的改进，以前最著名的界$\mathcal{H}^{n-1}\left(\{u=0\} \cap 2B\right)\geq \exp (c \log N/\log\log N )$，这意味着Nadirashvili的猜想。
2023-03-13 math.AP
Nodal Sets of Steklov Eigenfunctions
研究了$\mathbb{R}^n$中光滑有界区域边界上Steklov本征函数的节点集--Dirichlet-to-Neumann映射的本征函数.在定义域$Ω$为$C^2$的假设下，证明了特征函数$u$的一个加倍性质.当$λ$增长到无穷大时，我们用特征值$λ$来估计$u|_{\partial Ω}$节点集的Hausdorff $\mathcal H^{n-2}$ -测度.在定义域$Ω$是解析的情况下，证明了多项式有界O（$λ^6$）.我们的论点，其中大量使用Almgren的频率函数，是建立在以前的作品[Garofalo和Lin，CPAM 40（1987），no.3; Lin，CPAM 42（1989），no.6]。
2014-02-18 math.AP
Local and global analysis of nodal sets
本文是为JDG 50周年会议所作的关于紧致黎曼流形上拉普拉斯算子本征函数节点集的最新结果综述。这些技术部分是“局部的”，即仅假设本征函数是在小球上定义的，部分是“全局的”，即利用测地流的动态。局部部分首先回顾了倍增指数和频率函数作为本征函数快速或缓慢增长的局部措施。具有最大加倍指数的盒子的模式在Logunov-Malinnokova的结果中起着核心作用，给出了在一般$C^{\infty}$度量的设置中节点集的超曲面测度的上界和下界。给出了它们的多项式上界和尖下界的证明。调查继续与全球证明的尖锐上界真正的分析指标（最初证明了唐纳利-弗曼与当地的论点），使用解析延拓格劳尔特管。然后回顾了Toth-Zelditch在实解析背景下给出的关于节点集与实解析子流形相交的Hausdorff测度的精确上界的结果。最后，它去了Jung-Zelditch的下界的情况下，非正曲率和凹边界的$C^{\infty}$表面或负弯曲的“真正的”黎曼曲面，这是基于遍历性质的测地流和本征函数的节点域的数量，并对本征函数的限制超曲面的估计。最后一节详细介绍了限制措施的最新成果。
2018-08-09 math.AP
Nodal set for the Schrödinger equation under a local growth condition
针对系数属于 Sobolev 空间的 Schrödinger 方程，本文在解满足局部倍增条件时证明其节点集的 $(n-1)$ 维 Hausdorff 测度上界。
2025-07-25 math.AP
Asymptotic nodal length and log-integrability of toral eigenfunctions
研究了平坦$2d$环面$\mathbb{T}^2$上Laplace本征函数的节点集.我们证明了这样的本征函数的节长的渐近律，在一些增长的假设下，他们的傅里叶系数。证明了它们的节点集在$\mathbb{T}^2$上是渐近等分布的.证明是基于布尔甘的去随机化技术和主要的新成分，这可能是独立的利益，是可积的任意大的权力的加倍指数拉普拉斯本征函数的$\mathbb{T}^2$，根据工作纳扎罗夫\cite{N93,Nun}。
2022-04-11 math.AP math.NT math.SP
Upper Measure Bounds of Nodal Sets of Solutions to the Bi-Harmonic Equations on $C^{\infty}$ Riemannian Manifolds
该研究通过频率函数、加倍指数及小性传播等工具，建立光滑 Riemann 流形上双调和函数节点集的 Hausdorff 测度上界，并推广至紧流形上双调和特征函数。
2023-11-03 math.AP
Geometric sets of elliptic equations with Dini coefficients
School of Mathematical Sciences, Zhejiang University（浙江大学数学科学学院）
本文研究具有 Dini 系数的散度型椭圆方程，建立加倍指标的几乎单调性，获得临界集和节点集的体积估计，并证明切线映射的定量唯一性及 Minkowski 型估计。
2026-09-16 math.AP
Structure Theory of Parabolic Nodal and Singular Sets
本文研究了抛物线不等式解的节点和奇点集的结构，提出新的估计方法并揭示了其与正则抛物线Lipschitz图的关系。
2025-11-20 math.AP math.CA math.DG
Nodal sets of Laplace eigenfunctions: polynomial upper estimates of the Hausdorff measure
设$\mathbb{M}$是维数为$n$，$n\geq 3$的紧致$C^\infty$ -光滑黎曼流形，$φ_λ: Δ_M φ_λ+ λφ_λ= 0$表示$\mathbb{M}$上对应于特征值$λ$的拉普拉斯特征函数.我们表明，$$H^{n-1}(\{ φ_λ=0\}) \leq C λ^α,$$，其中$α>1/2$是一个常数，它只依赖于$n$，和$C>0$依赖于$\mathbb{M}$。这个结果是我们研究$C^\infty$ -光滑黎曼流形上调和函数零点集的结果。我们开发了一种技术的椭圆型偏微分方程的解决方案，使我们能够获得本地边界从上面的体积的节点集的频率和倍增指数的传播小。
2019-05-26 math.AP math.CA math.DG
Sharp lower bounds for the volumes of nodal and positivity sets of harmonic functions
School of Sciences, Great Bay University（广东理工学院理学院）
本文证明调和函数在球内节点体积的下界与加倍指数呈线性关系，并确认了相关民间猜想。
2026-09-23 math.AP
The Nodal Sets of Solutions to Parabolic Equations
本文研究一般抛物方程解的节点集，证明了任意维数、时间依赖且仅 Lipschitz 系数下节点集的 (n-1) 维 Hausdorff 测度有限，并首次建立一般维数下节点集 Hausdorff 维数随时间不增的单调性。
2024-06-09 math.AP math.DG
