The sharp estimate of nodal sets for Dirichlet Laplace eigenfunctions in polytopes
本文研究有界 Lipschitz 多面体中 Dirichlet Laplace 特征函数的节点集测度，证明其上界为 $C(P)\sqrtλ$，并将已有拟凸区域结果推广至一般多面体。
2024-03-01 math.AP
The Sharp Measure Upper Bound of the Nodal Sets of Neumann Laplace Eigenfunctions on C1,1 Domains
本文研究了 C^{1,1} 区域上 Neumann Laplace 特征函数的结集测度问题，证明了其零集的 (n-1) 维 Hausdorff 测度不超过 C√λ 的精确上界。
2024-12-22 math.AP
On sign-changing solutions for $(p,q)$-Laplace equations with two parameters
研究了两参数部分齐次$(p,q)$-Laplace方程族$-Δ_p u -Δ_q u=α|u|^{p-2}u+β|u|^{q-2}u$的狄利克雷问题的变号节点解的存在性，其中$p \neq q$ .借助于Nehari流形、连接定理和下降流，我们明确地刻画了对应于节点解存在性的$(α,β)$ -平面的子集.在每个子集中，所获得的解决方案具有规定的能量符号，并且在某些情况下，正好有两个节点域。研究了节点解的不存在性。此外，我们还探讨了一维$p$ -和$q$ -拉普拉斯算子的特征值和特征函数之间的几种关系。
2017-03-23 math.AP
Measure Upper Bounds for Nodal Sets of Eigenfunctions of the bi-Harmonic Operator
在这篇文章中，我们考虑双调和算子的本征函数$u$，即，$\triangle^2u=λ^2u$在具有齐次线性边界条件的$Ω$上。我们假设$Ω\subseteq\mathbb{R}^n$（$n\geq2$）是$C^{\infty}$有界域，$\partialΩ$是分段解析的，$\partialΩ$是解析的，除了一个集合$Γ\subseteq\partialΩ$是$\partialΩ$的一些紧$(n-2)$维子流形的有限并.本文的主要结果是本征函数节点集的测度上界受$\sqrtλ$控制。我们首先定义了一个频率函数和一个与这些特征函数相关的加倍指数。通过建立单调性公式、加倍条件和各种先验估计，我们得到了球中这些本征函数节点集的$(n-1)$维Hausdorff测度受频率函数和$\sqrtλ$的控制.为了进一步用$\sqrtλ$控制频率函数，首先建立频率函数与倍化指数之间的关系，然后将区域$Ω$分为远离$Γ$的区域和靠近$Γ$的区域，并分别针对这两种情况发展迭代参数.
2017-09-01 math.AP
Nodal sets of Laplace eigenfunctions under small perturbations
研究了紧致流形上拉普拉斯本征函数节点集在特定小扰动下的稳定性。我们证明，节点集是相当稳定的，如果说扰动是相对较小的，更正式地说，支持在一个亚波长尺度。我们不需要对节点集的拓扑作任何假设。作为一个间接的应用，我们能够表明，一定的“佩恩财产”有关的第二节线保持稳定的控制扰动下的域。
2020-11-18 math.AP math.FA math.SP
Lower bounds for nodal sets of Dirichlet and Neumann eigenfunctions
设λ是紧致有界黎曼流形上Laplace-Beltrami算子的Dirichlet或Neumann本征函数.我们证明了节点集{n =0}的大小的下界。
2011-10-31 math.AP
Nodal sets and growth exponents of Laplace eigenfunctions on surfaces
我们证明了F.纳扎罗夫湖Polterovich和M. Sodin表示在一个闭曲面上Laplace本征函数的平均局部增长与其节点集的整体大小之间的关系。更准确地说，我们提供了一个下限和上界的Hausdorff措施的节点集方面的期望值的增长指数的本征函数的波长像半径的磁盘。结合丘的猜想，结果表明，在半经典极限中，这样的圆盘上的本征函数的平均局部增长是有界的。我们还得到的结果，链接的节点集的大小与增长的平面薛定谔方程的解决方案，具有小的潜力。
2014-12-01 math.AP math.SP
Upper bounds of nodal sets for eigenfunctions of eigenvalue problems
本文的目的是提供一种简单而统一的方法来获得实解析区域上不同类型的本征值问题的本征函数节点集的精确上界。算例包括双调和Steklov本征值问题、屈曲本征值问题和倒角板本征值问题。从特征函数的倍化不等式和增长估计出发，导出了节点集的几何测度。它是通过Morrey-Nirenberg估计和Carleman估计的分析估计完成的。
2020-10-06 math.AP
Nodal sets of Robin and Neumann eigenfunctions
本文研究了Robin和Neumann本征函数在区域内和区域边界上的节点集的测度。在光滑区域上得到了Robin特征函数的内节点集的多项式上界.对于解析域，给出了Robin特征函数的内节点集的精确上界.更重要的是，我们得到了Neumann本征函数的边界节点集的精确上界与新的定量整体Carleman估计。进一步得到了区域边界上Robin本征函数的锐倍不等式和消失阶。
2020-04-27 math.AP
Ruled nodal surfaces of Laplace eigenfunctions and injectivity sets for the spherical mean Radon transform in $\mathbb R^3.$
证明了若$\mathbb R^3$中Laplace算子的Paley-Wiener本征函数族在二维解析直纹曲面$S \subset \mathbb R^3$上为零，则$S$是一个锥并，每个锥包含在非零调和齐次多项式的零点集的平移中.如果$S$是浸入$C^1-$流形，则$S$是Coxeter平面系。给出了凸支撑分布的Laplace谱的公共结点集的完整描述。等价地，该结果描述了球面平均变换的直纹内射集，并且对于$\mathbb R^3,$中直纹曲面的情况，证实了E.T.昆托和作者。
2015-05-03 math.AP math.DG
The sharp upper bound for the area of the nodal sets of Dirichlet Laplace eigenfunctions
设$Ω$是$\mathbb{R}^n$中具有$C^{1}$边界的有界区域，$u_λ$是$Ω$中具有特征值$λ$的Dirichlet Laplace特征函数.证明了$u_λ$的零集的$(n-1)$维Hausdorff测度不超过$C(Ω)\sqrtλ$ .这一结果对于具有$C^\infty$ -光滑边界的区域也是新的.
2021-04-19 math.AP math.DG math.SP
Sign and area in nodal geometry of Laplace eigenfunctions
本文讨论了Laplace-Beltrami算子在闭曲面上的渐近节几何。给定一个对应于一个大的本征值的本征函数f，我们研究了符号（f）的分布相对于表面积的局部不对称性。它的测量方法如下：取一个以节线{f=0}为中心的圆盘，在这个圆盘上随机选取一个点。函数在所选点取正值的概率是多少？我们表明，这个数量可能会衰减的特征值无穷大，但从来没有比这更快。换句话说，可能只出现轻微的局部不对称。证明方法结合了Donnelly-Fergusman和Nadirashvili关于单位圆上调和函数的一个新结果。
2004-06-02 math.AP math.CV
Ground state and nodal solutions for fractional Orlicz problems with lack of regularity and without the Ambrosetti-Rabinowitz condition
我们考虑一个由分数Orlicz g-Laplace算子驱动的非局部Shrödinger问题如下：\begin{equation}\label{PP} (-\triangle_{g})^αu+g(u)=K(x)f(x,u),\ \ \text{in}\ \mathbb{R}^{d},\tag{P} \end{equation}其中$d\geq 3,\ (-\triangle_{g})^α$是分数Orlicz g-Laplace算子，$f:\mathbb{R}^d\times\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$是可测函数，$K$是正连续函数。利用Nehari流形方法，在不假设非线性项$f$的Ambrosetti-Rabinowitz条件和可微性条件的情况下，证明了问题\eqref{PP}具有固定符号的基态和节点（或变符号）解.
2022-04-19 math.AP
Hausdorff measure bound for the nodal sets of Neumann Laplace eigenfunctions
该研究针对带$\mathcal{C}^{1,1}$边界的有界域内的Neumann拉普拉斯特征函数，推导得出其节点集的$n-1$维Hausdorff测度满足$\mathcal{H}^{n-1}(\{u_\lambda=0\})\leq C\sqrt{\lambda}$的上界估计。
2024-03-06 math.AP math.DG math.SP
Nodal sets of Dirichlet eigenfunctions in quasiconvex Lipschitz domains
本文将拟凸Lipschitz域类引入到椭圆算子边界唯一延拓的研究中，它同时涵盖了$C^1$和凸区域.特别地，我们证明了一般椭圆型方程在有界拟凸Lipschitz域上的Dirichlet特征函数的节点集大小的上界。我们的结果对于凸区域上的Laplace算子也是新的.
2023-03-03 math.AP
Geometry and interior nodal sets of Steklov eigenfunctions
研究了光滑流形中Steklov本征函数的几何性质。我们得到了精化的加倍估计和Bernstein不等式。对于实解析流形，我们能够得到内部节点集测度的精确上界。
2020-04-27 math.AP math.SP
Nested nodal loops for sums of Laplace eigenfunctions
University of California San Diego（加利福尼亚大学圣地亚哥分校）
本文研究了闭曲面上拉普拉斯特征函数之和的零点中的嵌套环，证明了在实解析条件下，根节点双环的数量受曲面、根和谱截止的影响，并展示了在光滑球面上，线性组合的特征函数可以有无限多个根节点双环。同时，构造了一个平面双调和函数，其节点集包含双环，并证明了整个双调和函数的定量界。
2026-05-18 math.AP math.DG math.SP
Almost sharp lower bound for the nodal volume of harmonic functions
本文讨论了调和函数的增长性与其零点集的Hausdorff测度之间的关系。设$u$是$\mathbb{R}^n$中的实值调和函数，其中有$u(0)=0$和$n\geq 3$。本文证明了$$\mathcal{H}^{n-1}(\{u=0\} \cap B(0,2)) \gtrsim_{\varepsilon} N^{1-\varepsilon},$$，其中加倍指数$N$是由$$ \sup_{B(0, 1)}|u| = 2^N \sup_{B(0,\frac{1}{2})}|u|.$$定义的增长概念。这给出了$u$的零集的Hausdorff测度的几乎尖锐的下界，证明了在$N$中是线性的。文章的新成分是稳定增长的概念，和一个多尺度感应技术的调和函数的加倍指数分布的下界。它给出了一个显着的改进，以前最著名的界$\mathcal{H}^{n-1}\left(\{u=0\} \cap 2B\right)\geq \exp (c \log N/\log\log N )$，这意味着Nadirashvili的猜想。
2023-03-13 math.AP
Nodal Sets of Steklov Eigenfunctions
研究了$\mathbb{R}^n$中光滑有界区域边界上Steklov本征函数的节点集--Dirichlet-to-Neumann映射的本征函数.在定义域$Ω$为$C^2$的假设下，证明了特征函数$u$的一个加倍性质.当$λ$增长到无穷大时，我们用特征值$λ$来估计$u|_{\partial Ω}$节点集的Hausdorff $\mathcal H^{n-2}$ -测度.在定义域$Ω$是解析的情况下，证明了多项式有界O（$λ^6$）.我们的论点，其中大量使用Almgren的频率函数，是建立在以前的作品[Garofalo和Lin，CPAM 40（1987），no.3; Lin，CPAM 42（1989），no.6]。
2014-02-18 math.AP
Local and global analysis of nodal sets
本文是为JDG 50周年会议所作的关于紧致黎曼流形上拉普拉斯算子本征函数节点集的最新结果综述。这些技术部分是“局部的”，即仅假设本征函数是在小球上定义的，部分是“全局的”，即利用测地流的动态。局部部分首先回顾了倍增指数和频率函数作为本征函数快速或缓慢增长的局部措施。具有最大加倍指数的盒子的模式在Logunov-Malinnokova的结果中起着核心作用，给出了在一般$C^{\infty}$度量的设置中节点集的超曲面测度的上界和下界。给出了它们的多项式上界和尖下界的证明。调查继续与全球证明的尖锐上界真正的分析指标（最初证明了唐纳利-弗曼与当地的论点），使用解析延拓格劳尔特管。然后回顾了Toth-Zelditch在实解析背景下给出的关于节点集与实解析子流形相交的Hausdorff测度的精确上界的结果。最后，它去了Jung-Zelditch的下界的情况下，非正曲率和凹边界的$C^{\infty}$表面或负弯曲的“真正的”黎曼曲面，这是基于遍历性质的测地流和本征函数的节点域的数量，并对本征函数的限制超曲面的估计。最后一节详细介绍了限制措施的最新成果。
2018-08-09 math.AP
Ground state and nodal solutions for a class of double phase problems
考虑由$p$算子和加权$q$算子（$q<p$）之和驱动的双相问题，其权函数不远离零.反应项为$(p-1)$ -超线性。采用Nehari方法，我们表明，该方程有一个恒定的符号和节点（符号变化）的解决方案的基态解。
2020-04-28 math.AP
On the effects of small perturbation on low energy Laplace eigenfunctions
我们调查的几个方面的节点的几何形状和拓扑结构的拉普拉斯本征函数，特别强调低频制度。这包括佩恩性质及其周围的研究，节点域的开角估计，（基本）谱隙的饱和度等，以及在小尺度扰动下的上述所有行为。我们的目标是突出有趣的方面的光谱理论和结的现象绑在基态/低能量本征函数，而不是渐近的结果。
2022-10-14 math.AP math.DG math.FA
Nodal sets of Laplace eigenfunctions: polynomial upper estimates of the Hausdorff measure
设$\mathbb{M}$是维数为$n$，$n\geq 3$的紧致$C^\infty$ -光滑黎曼流形，$φ_λ: Δ_M φ_λ+ λφ_λ= 0$表示$\mathbb{M}$上对应于特征值$λ$的拉普拉斯特征函数.我们表明，$$H^{n-1}(\{ φ_λ=0\}) \leq C λ^α,$$，其中$α>1/2$是一个常数，它只依赖于$n$，和$C>0$依赖于$\mathbb{M}$。这个结果是我们研究$C^\infty$ -光滑黎曼流形上调和函数零点集的结果。我们开发了一种技术的椭圆型偏微分方程的解决方案，使我们能够获得本地边界从上面的体积的节点集的频率和倍增指数的传播小。
2019-05-26 math.AP math.CA math.DG
On a class of anisotropic Muckenhoupt weights and their applications to $p$-Laplace equations
本文研究了一类各向异性Muckenhoupt权重，确定了其属于$A_p$类的最优参数范围，并利用导出的加权Poincaré和Sobolev不等式研究了非齐次加权$p$-Laplace方程解的局部行为。
2024-11-18 math.AP
Nodal sets of Laplace eigenfunctions: estimates of the Hausdorff measure in dimension two and three
设$Δ_M$是紧致无边界$n$维黎曼流形上的Laplace算子.研究了它的本征函数$u:Δu + λu =0$的零点集。在维度$n=2$中，我们通过证明$H^1(\{u=0 \})\le Cλ^{3/4-β}$，$β\in (0,1/4)$来改进Donnelly-Festiman估计。该证明采用了Donnelli-Festhiman估计和一个组合参数，这也给出了维数$n=3$：$H^2(\{u=0\})\ge cλ^α$，$α\in (0,1/2)$的一个下界（非尖锐）。正常数$c,C$依赖于流形，$α$和$β$是普适的.
2019-05-26 math.AP math.CA math.DG
Well-posedness of Dirichlet boundary value problems for reflected fractional $p$-Laplace-type inhomogeneous equations in compact doubling metric measure spaces
研究紧致加倍度量测度空间中反射分数阶 p-Laplace 型非齐次方程的 Dirichlet 问题，证明了存在性、唯一性、比较与稳定性，并建立了内部正则性和 Kellogg 型性质。
2025-04-22 math.AP math.MG
Nodal set for the Schrödinger equation under a local growth condition
针对系数属于 Sobolev 空间的 Schrödinger 方程，本文在解满足局部倍增条件时证明其节点集的 $(n-1)$ 维 Hausdorff 测度上界。
2025-07-25 math.AP
Asymptotic nodal length and log-integrability of toral eigenfunctions
研究了平坦$2d$环面$\mathbb{T}^2$上Laplace本征函数的节点集.我们证明了这样的本征函数的节长的渐近律，在一些增长的假设下，他们的傅里叶系数。证明了它们的节点集在$\mathbb{T}^2$上是渐近等分布的.证明是基于布尔甘的去随机化技术和主要的新成分，这可能是独立的利益，是可积的任意大的权力的加倍指数拉普拉斯本征函数的$\mathbb{T}^2$，根据工作纳扎罗夫\cite{N93,Nun}。
2022-04-11 math.AP math.NT math.SP
Entire Nodal Solutions with Prescribed Symmetry to Caffarelli-Kohn-Nirenberg Equations
针对Caffarelli-Kohn-Nirenberg型带权临界p-Laplace方程，本文通过分析对称构型的性质与相容条件，证明了无穷多类指定对称性下非平凡变号整体节点解的存在性。
2025-11-14 math.AP
Nodal sets of Laplace eigenfunctions: proof of Nadirashvili's conjecture and of the lower bound in Yau's conjecture
设$u$是单位球$B(0,1) \subset \mathbb{R}^n$，$n \geq 3$中的调和函数，使得$u(0)=0$ . Nadirashvili解释说，存在一个正常数$c$，仅取决于$n$的尺寸，因此$H^{n-1}(\{u=0 \}\cap B) \geq c$。证明了Nadirashvili猜想及其在$C^\infty$ -光滑黎曼流形上的对应猜想.后者给出了丘氏猜想的下界。也就是说，我们证明了，对于任何紧凑的$C^\infty$ -光滑黎曼流形$M$（无边界）的尺寸$n$存在$c>0$，使任何拉普拉斯特征函数$φ_λ$上$M$，它对应于本征值$λ$，以下不等式成立：$c \sqrt λ\leq H^{n-1}(\{φ_λ=0\})$。
2019-05-26 math.AP math.CA math.DG
Nodal sets of eigenfunctions of sub-Laplacians
本文首次研究紧流形上次拉普拉斯算子特征函数的节点集，揭示其各向异性行为，并给出反例说明其豪斯多夫测度不能被 Yau 猜想的 $\sqrtλ$ 所界定。
2023-09-19 math.AP
Doubling inequalities and propagation of smallness for Schrödinger equations with singular potentials
Stanford University（斯坦福大学）；Louisiana State University（路易斯安那州立大学）
本文针对具有奇异复势的薛定谔方程，通过建立尺度不变的 Carleman 不等式证明二倍不等式，并结合多尺度论证实现小性传播，进而给出特征函数对数的 BMO 范数上界。
2026-09-14 math.AP
Boundedness of maximal functions on non-doubling manifolds with ends
设$M$是一个端点在\cite{GS}中构造的流形，$Δ$是$M$上的Laplace-Beltrami算子.本文证明了Hardy-Littlewood极大函数和与热半群$\M_Δf(x)=\sup_{t> 0} |\exp (-tΔ)f(x)| $相关的极大函数在$L^p(M)$上的弱型$(1,1)$和$L^p$有界性，对于$1 < p \le \infty$ .这些结果的意义来自于$M$不满足加倍条件的事实。
2013-02-01 math.AP math.FA
Nodal set of monochromatic waves satisfying the Random Wave Model
我们在$\mathbb{R}^m$中构造了Helmholtz方程的确定性解，其行为与随机波模型相对应。然后，我们发现他们的节点域的数量，他们的节点体积和拓扑结构和嵌套树的节点集在生长球周围的起源。证明的伪随机行为的功能考虑铰链上的去随机化技术开创了布尔甘和收益通过计算其$L^p$ -规范。研究他们的节点集依赖于它的稳定性和评价他们的倍增指数，在平均意义上。
2022-06-15 math-ph math.AP math.MP
Some applications of heat flow to Laplace eigenfunctions
研究光滑闭黎曼流形上Laplace本征函数$φ_λ$，即满足方程$-Δφ_λ= λφ_λ$的光滑函数的质量集中性质.使用热扩散技术，我们首先讨论质量浓度/本地化特性的本征函数周围的节点集。其次，我们讨论了避免交叉和（不）存在的节点域，继续薄在相对较长的距离的问题。此外，使用上述技术，我们讨论了欧几里得整环上的拉普拉斯本征函数的衰减，其中有一个中心的“厚”的部分和“薄”的细长分支代表隧道的亚波长开口。最后，在附录中，我们记录了一些关于本征函数的子水平集和不同水平集的相互作用的新观察。
2021-09-02 math-ph math.AP math.DG
Upper Measure Bounds of Nodal Sets of Solutions to the Bi-Harmonic Equations on $C^{\infty}$ Riemannian Manifolds
该研究通过频率函数、加倍指数及小性传播等工具，建立光滑 Riemann 流形上双调和函数节点集的 Hausdorff 测度上界，并推广至紧流形上双调和特征函数。
2023-11-03 math.AP
Geometric sets of elliptic equations with Dini coefficients
School of Mathematical Sciences, Zhejiang University（浙江大学数学科学学院）
本文研究具有 Dini 系数的散度型椭圆方程，建立加倍指标的几乎单调性，获得临界集和节点集的体积估计，并证明切线映射的定量唯一性及 Minkowski 型估计。
2026-09-16 math.AP
Local Asymmetry and the Inner Radius of Nodal Domains
设M是n维闭黎曼流形.设f是Laplace-Beltrami算子对应于特征值λ的特征函数。证明了任意球B的中心在{f= 0}上，其内部{f>0}的体积> C |B| /λ^n.我们应用这个结果证明了每个节域都包含一个半径> C/λ^n的球。
2008-04-13 math.AP math.SP
Mass non-concentration at the nodal set and a sharp Wasserstein uncertainty principle
我们证明$L^p$ -质量浓度性质的拉普拉斯本征函数远离其节点集，最近的结果在\cite{GM3}扩展到所有的维度，并给出了一个轻微的改进结果在\cite{JN}。因此，我们能够推导出一个尖锐的Wasserstein不确定性原则，在高频制度一致，证明了一个猜想\cite{St1}。
2021-09-30 math.AP math.CA math.SP
Functional calculus of operators with heat kernel bounds on non-doubling manifolds with ends
设$Δ$是Laplace-Beltrami算子作用在两端为$\mathbb R^m \sharp \mathcal R^n$且具有$m > n \ge 3$的非二重流形上.设$\frak{h}_t(x,y)$是由$Δ$生成的半群$e^{-tΔ}$的核.我们称$L^2(\mathbb R^m \sharp \mathcal R^n)$上的非负自伴算子$L$具有Gauss型上界的热核，如果半群$e^{-tL}$的核$h_t(x,y)$对某些常数$C$和$α$满足$ h_t(x,y) \le C \frak{h}_{αt}(x,y)$.这类算子包括薛定谔算子$L = Δ+ V$，其中$V$是任意的非负势。然后，我们得到了$L$的Poisson半群核及其时间导数的上界，并利用它们给出了全纯谓词演算$\frak{M}(\sqrt{L})$的弱型$(1,1)$估计，其中$\frak{M}(z)$是Laplace变换型函数.我们的结果涵盖了纯虚功率$L^{is}, s \in \mathbb R$，作为一种特殊情况，并作为一个模型的情况下，弱型$(1,1)$估计的奇异积分的非光滑核的非倍空间。
2018-11-26 math.AP math.CA
Structure Theory of Parabolic Nodal and Singular Sets
Department of Mathematics, Rutgers University（罗格斯大学数学系）；Department of Mathematics, University of California San Diego（加州大学圣地亚哥分校数学系）；Department of Mathematics, University of Tennessee Knoxville（田纳西大学诺克斯维尔分校数学系）
本文研究了抛物线不等式解的节点和奇点集的结构，提出新的估计方法并揭示了其与正则抛物线Lipschitz图的关系。
2025-11-20 math.AP math.CA math.DG
Nodal sets and continuity of eigenfunctions of Kre\uı-Feller operators
该研究针对$\mathbb{R}^{d}$上紧支集正有限Borel测度下的Kre\u012d-Feller算子，证明其连续特征函数的节点集分域数量范围，并推广经典拉普拉斯算子节点集定理，同时证得存在经典格林函数的有界域上特征函数连续。
2024-11-26 math.AP
Average $L^q$ growth and nodal sets of eigenfunctions of the Laplacian on surfaces
在最近的一篇论文中，我们展示了表面上拉普拉斯本征函数的平均局部增长与其节点集的大小之间的联系。在该文件中，平均本地增长计算使用均匀或$L^\infty$-生长指数的波长半径的磁盘。本文的目的是用$q \in (1, \infty)$证明更广泛的一类$L^q$增长指数的类似结果。更准确地说，我们表明，节点集的大小是有界的平均本地$L^q$增长与频率的产品以上和以下。我们简要地讨论了这个新结果与丘氏关于节点集大小猜想之间的关系。
2015-10-08 math.AP math.SP
The p-Laplace equation in domains with multiple crack section via pencil operators
考虑有界区域$Ø\subset \re^2$中的p-Laplace方程$$ \n \cdot (|\n u|^n \n u)=0 \whereA n>0, $$，在光滑边界$\p Ø$上满足非齐次Dirichlet条件.此外，存在模拟多裂纹形成的曲线$$Γ= Γ_1\cup...\cupΓ_m \subset Ø, \quad \{on which we assume homogeneous Dirichlet boundary conditions} \quad u=0, $$的有限集合，其集中在原点$0 \in Ø$。这使得上述拟线性椭圆问题超定。可能的类型的行为的解决方案$u(x,y)$在尖端0的这种容许的多裂纹，是一个“奇异”点，被描述，爆破缩放技术和“非线性本征值问题“的基础上。典型类型的容许裂纹被示出由节点集的可数家庭的非线性本征函数，这是通过分支从谐波多项式发生$n=0$。使用解析和数值相结合的方法，鞍结分岔$n$中发生的非线性特征值/特征函数。
2014-05-30 math.AP
Nodal Sets of Smooth Functions with Finite Vanishing Order and p-Sweepouts
证明了在紧致黎曼流形$(M,g)$上，任意$p+1$光滑函数的线性组合的结点集构成一个容许的$p-$ sweepout，只要这些线性组合具有一致有界的消失阶.这特别适用于拉普拉斯本征函数的有限线性组合。从而得到了$M.$的最小-最大$p$ -宽度的Gromov，Guth，Marques-Neves上界的一个新的证明.同时证明了在$\mathbb{R}^{n+1}$上的光滑函数为$k$阶为零的点附近，对于某些$p > 1$，其结点集包含在$k$ $W^{1,p}$图的并中.这意味着节点集是局部可数$n$ -可求长的，并具有局部有限的$\mathcal{H}^n$措施，事实也遵循从以前的结果巴尔。最后，我们证明了节点集的Hausdorff测度在热流下的连续性。
2016-10-17 math.AP math.DG
Some remarks on nodal geometry in the smooth setting
考虑光滑闭黎曼流形上的Laplace特征函数$φ_λ$，即满足$-Δφ_λ= λφ_λ$ .我们介绍了几个意见的几何消失（节点）集和相应的节点域。首先，我们给出了$φ_λ$节点集周围管状邻域体积的渐近上、下界。在$ (M, g) $是实解析的情况下，这扩展了Jakobson和Mangoubi以前的工作。在我们的讨论中，一个重要的成分是一些最近的技术，由于对数（cf。\cite{L1}）。第二，我们展示了一些有关节点域的渐近几何的评论。特别是，我们观察到一个类似的结果程在高维关于内部的开角的节点域在一个奇点。进一步，对于$φ_λ$满足指数小$L^\infty$界的节点域$Ω_λ$，给出了内接球半径的一些定量估计.
2017-07-15 math.AP math.DG math.SP
Sharp lower bounds for the volumes of nodal and positivity sets of harmonic functions
School of Sciences, Great Bay University（广东理工学院理学院）
本文证明调和函数在球内节点体积的下界与加倍指数呈线性关系，并确认了相关民间猜想。
2026-09-23 math.AP
Blow-up scaling and global behaviour of solutions of the bi-Laplace equation via pencil operators
作为主要问题，考虑了有界区域$Ω\subset \re^2$中的双Laplace方程$Δ^2u=0 (Δ=D_x^2+D_y^2)$，在光滑边界$\partial Ω$上满足非齐次Dirichlet或Navier型条件.此外，曲线$$Γ= Γ_1\cup...\cupΓ_m \subset Ω, \quad \mbox{on which we assume homogeneous Dirichlet} \quad u=0,$$的有限集合集中在原点$0 \in Ω$（对于任何其他点的分析都是类似的）。这使得上述椭圆问题超定。本文根据爆破标度技术和非自伴算子谱理论，讨论了在这种可容许多裂纹尖端$0$处解$u(x,y)$的可能行为类型。典型类型的容许裂纹被证明是由一个可数家庭的调和多项式，这是现在表示为铅笔本征函数，而不是他们的经典表示通过一个标准的Sturm-Liouville问题的节点集。最后，对于一个固定的容许裂纹形成在原点，这使我们能够描述所有的边界数据，可以产生这样的爆破裂纹结构。特别是，它示出了如何在这个数据集的协维增加的渐近直线裂纹的数量集中在0。
2014-12-05 math.AP
Capacity estimates and improved lower bounds for the inner radius of nodal domains
University College London（伦敦大学学院）
该研究针对闭光滑流形上拉普拉斯特征函数节点域，给出了不同维数下其内半径的下界估计，并证明了$\mathbb{T}^d$上存在内半径更小的节点域序列。
2026-08-04 math.AP math.SP
An Analog of the Neumann Problem for the $1$-Laplace Equation in the Metric Setting: Existence, Boundary Regularity, and Stability
研究了度量空间中有界区域上最小梯度函数的非齐次Neumann边值问题，该区域具有一个加倍测度，且支持一个Poincaré不等式.我们表明，解决方案存在一定的正则性假设的域上，但一般是非唯一的。我们还证明了解可以看作是两个特征函数的差，并且当边界具有正的中曲率时，解到边界是正则的。通过规则直到边界，我们的意思是，如果边界数据是域边界上的点的邻域中的$1$，则解是域与该点的可能更小的邻域的相交处的$-1$。最后，我们考虑了解关于边界数据的稳定性。
2017-08-08 math.AP math.MG
Local version of Courant's nodal domain theorem
本文针对闭 Riemann 流形上 Laplace 算子特征函数，结合 Remez 型不等式与 Landis 型增长引理，证明了与局部球相交的结点域数量的精确估计，解决了 Donnelly 和 Fefferman 提出的局部界限问题。
2020-08-03 math.AP math.DG math.SP
BMO spaces associated to operators with generalised Poisson bounds on non-doubling manifolds with ends
考虑一个以$M = \mathfrak{R}^{n}\sharp\, {\mathbb R}^{m}$为端点的非二重流形，其中$\mathfrak{R}^n=\mathbb{R}^n\times \mathbb{S}^{m-n}$为$m> n \ge 3$。我们说一个算子$L$有一个广义泊松核，如果$\sqrt{ L}$生成一个半群$e^{-t\sqrt{L}}$，其核$p_t(x,y)$的上界类似于$e^{-t\sqrtΔ}$的核，其中$Δ$是$M$上的Laplace-Beltrami算子。具有广义高斯边界的算子的一个例子是薛定谔算子$L = Δ+ V$，其中$V$是任意非负局部可积势。在本文中，我们的目的是引入BMO空间${\rm BMO}_L(M)$相关的运营商与广义泊松界，作为一个适当的设置，某些奇异积分与粗糙的内核有界的$L^{\infty}(M)$到这个新的${\rm BMO}_L(M)$。在我们的${\rm BMO}_L(M)$空间上，我们证明了John-Nirenberg不等式成立，并证明了一个插值于$L^q(M)$和${\rm BMO}_L(M)$之间的全纯算子族的插值定理.作为应用，我们证明了全纯函数演算$m(\sqrt{L})$从$L^{\infty}(M)$到${\rm BMO}_L(M)$是有界的，并且对于$1 < p < \infty$在$L^p(M)$…
2019-08-26 math.AP math.CA
The Nodal Sets of Solutions to Parabolic Equations
本文研究一般抛物方程解的节点集，证明了任意维数、时间依赖且仅 Lipschitz 系数下节点集的 (n-1) 维 Hausdorff 测度有限，并首次建立一般维数下节点集 Hausdorff 维数随时间不增的单调性。
2024-06-09 math.AP math.DG
Nodal solutions for Neumann systems with gradient dependence
本文研究具有梯度依赖性的对流 Neumann 系统，通过上下解方法证明解的存在性，并构造合适的上下解对获得结点解。
2024-01-02 math.AP
