A natural lower bound for the size of nodal sets
Hamid Hezari, Christopher D. Sogge
证明了一个自然不等式，它包含光滑紧致流形节点集的$(n-1)$维Hausdorff测度的已知下界.
We prove a natural inequality which implies the known lower bounds for the $(n-1)$-dimensional Hausdorff measure of nodal sets for smooth compact manifolds.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Lower bounds for nodal sets of eigenfunctions
我们证明了特征函数节点集的Hausdorff测度的下界。
Eigenfunctions with prescribed nodal sets
在本文中，我们考虑的问题规定的节点集的低能量本征函数的拉普拉斯算子。我们的主要结果是：给定紧致n-流形M中的任一分离闭超曲面，M上存在一个黎曼度量，使得它的第一非平凡特征函数的节点集为.我们提出了一些变化的结果，这使我们能够显示，特别是，第一个非平凡的本征函数可以有许多非退化的临界点作为一个愿望。
Nodal Sets of Smooth Functions with Finite Vanishing Order and p-Sweepouts
证明了在紧致黎曼流形$(M,g)$上，任意$p+1$光滑函数的线性组合的结点集构成一个容许的$p-$ sweepout，只要这些线性组合具有一致有界的消失阶.这特别适用于拉普拉斯本征函数的有限线性组合。从而得到了$M.$的最小-最大$p$ -宽度的Gromov，Guth，Marques-Neves上界的一个新的证明.同时证明了在$\mathbb{R}^{n+1}$上的光滑函数为$k$阶为零的点附近，对于某些$p > 1$，其结点集包含在$k$ $W^{1,p}$图的并中.这意味着节点集是局部可数$n$ -可求长的，并具有局部有限的$\mathcal{H}^n$措施，事实也遵循从以前的结果巴尔。最后，我们证明了节点集的Hausdorff测度在热流下的连续性。
Doubling inequality and nodal sets for solutions of bi-Laplace equations
研究了双拉普拉斯方程解的加倍不等式和节点集。本文在Logan关于Laplace本征函数节点集的最新发展的基础上，得到了解的节点集及其梯度的多项式上界。此外，我们推导出节点解集的隐式上界。给出了双拉普拉斯方程解的两类加倍不等式。因此，给出了解的消失率。
Nodal sets of Robin and Neumann eigenfunctions
本文研究了Robin和Neumann本征函数在区域内和区域边界上的节点集的测度。在光滑区域上得到了Robin特征函数的内节点集的多项式上界.对于解析域，给出了Robin特征函数的内节点集的精确上界.更重要的是，我们得到了Neumann本征函数的边界节点集的精确上界与新的定量整体Carleman估计。进一步得到了区域边界上Robin本征函数的锐倍不等式和消失阶。
The size of the nodal sets for the eigenfunctions of the smooth laplacian
我们证明估计特征函数的流形上配备了一个光滑度量。我们使用这些估计，以估计其节点集的大小。
Upper bounds of nodal sets for solutions of bi-Laplace equations: II
本文研究双调和方程解的节点集上界，通过Carleman估计获得多项式上界，不依赖频率函数。
Ruled nodal surfaces of Laplace eigenfunctions and injectivity sets for the spherical mean Radon transform in $\mathbb R^3.$
证明了若$\mathbb R^3$中Laplace算子的Paley-Wiener本征函数族在二维解析直纹曲面$S \subset \mathbb R^3$上为零，则$S$是一个锥并，每个锥包含在非零调和齐次多项式的零点集的平移中.如果$S$是浸入$C^1-$流形，则$S$是Coxeter平面系。给出了凸支撑分布的Laplace谱的公共结点集的完整描述。等价地，该结果描述了球面平均变换的直纹内射集，并且对于$\mathbb R^3,$中直纹曲面的情况，证实了E.T.昆托和作者。
Conformal invariants from nodal sets II. Manifolds with boundary
本文研究了有边流形上共形协变算子的节点集和负特征值所产生的共形不变量。我们也考虑应用曲率处方问题的流形上的边界。我们与狄利克雷和诺依曼特征值，并把这里开发的结果为Escobar问题到更一般的框架边界算子的任意阶。
Lower bounds for volumes of nodal sets: an improvement of a result of Sogge-Zelditch
我们利用Dong-Sogge-Zelditch公式得到本征函数节点集体积的一个下界。我们的结果改进了Sogge-Zelditch的近期结果，并在n维\leq 5中给出了Colding-Minicozzi的下界的新证明.
A Remark on Recent Lower Bounds for Nodal Sets
最近，Sogge-Zelditch和Colding-Minicozzi给出了本征函数节点集大小的新的幂律下界.这篇短文的目的是指出第三种方法来获得节点集体积的幂律下界。我们的方法是基于本征函数的Donnelly-February man增长界和我们在以前的工作中证明的增长与体积的关系。
Lower bounds for nodal sets of Dirichlet and Neumann eigenfunctions
设λ是紧致有界黎曼流形上Laplace-Beltrami算子的Dirichlet或Neumann本征函数.我们证明了节点集{n =0}的大小的下界。
Upper bounds on the size of nodal sets for Gevrey and quasianalytic Riemannian manifolds
当黎曼流形具有Gevrey正则性或拟解析正则性时，我们得到了特征函数节点集大小的新的多项式上界。
Nodal Sets of Laplacian Eigenfunctions with an Eigenvalue of Multiplicity 2
该研究针对重数为2的简并拉普拉斯特征值，分析矩形单边边界形变对结点集的影响，明确了小扰动下结点集的几何性质变化规律，证明一般形变下内部交叉破裂并给出结点集的位置与正则性估计。
On nodal sets and nodal domains on S^2 and R^2
我们讨论了S^2上球谐函数节点集的可能拓扑构型，特别是节点集的分量数。我们还构造了方程Delta u=u在R^2中只有两个节点域的解。这个方程是在研究高能量本征函数时产生的。
A lower bound for the nodal sets of Steklov eigenfunctions
本文研究光滑黎曼流形上Steklov本征函数节点集的下界--Dirichlet-to-Neumann映射的本征函数.设$N_λ$为其节点集。假设零是斯捷克洛夫本征函数的正则值。我们证明了对于某个正的常数$C$，$$H^{n-1}(N_λ)\geq Cλ^{\frac{3-n}{2}}$$只依赖于流形。
Structure Theory of Parabolic Nodal and Singular Sets
本文研究了抛物线不等式解的节点和奇点集的结构，提出新的估计方法并揭示了其与正则抛物线Lipschitz图的关系。
Upper bounds of nodal sets for eigenfunctions of eigenvalue problems
本文的目的是提供一种简单而统一的方法来获得实解析区域上不同类型的本征值问题的本征函数节点集的精确上界。算例包括双调和Steklov本征值问题、屈曲本征值问题和倒角板本征值问题。从特征函数的倍化不等式和增长估计出发，导出了节点集的几何测度。它是通过Morrey-Nirenberg估计和Carleman估计的分析估计完成的。
Polynomial upper bound on interior Steklov nodal sets
研究了具有Lipschitz首项系数和有界低阶系数的一致椭圆型偏微分方程的解.我们推广了A.对数关于调和函数的节点集，特别是，证明多项式上界的Steklov本征函数的内部节点集在相应的本征值$ λ$。
Nodal Sets and Doubling Conditions in Elliptic Homogenization
本文研究椭圆齐次化方程节点解集的一致测度估计。考虑一类具有快速振荡和周期系数的散度型二阶椭圆算子$\{ \mathcal{L}_\e\}$.证明了球中$\mathcal{L}_\e (u_\e)=0$在$\R^d$中的解的节点集的$(d-1)$维Hausdorff测度在$\e>0$中是一致有界的.证明依赖于一个均匀的加倍条件和近似的$u_\e$的均匀化方程的解决方案。
The Nodal Sets of Solutions to Parabolic Equations
本文研究一般抛物方程解的节点集，证明了任意维数、时间依赖且仅 Lipschitz 系数下节点集的 (n-1) 维 Hausdorff 测度有限，并首次建立一般维数下节点集 Hausdorff 维数随时间不增的单调性。
Lower bounds on the Hausdorff measure of nodal sets II
我们给出了一个非常短的参数，显示了我们早期论文（Sogge和Zelditch，2011）的主要恒等式如何立即导致目前已知的（Colding和Minicozzi II，2011）最佳下界，用于$n\ge 3$维节点集的Hausdorff测度。
Isoparametric functions and nodal solutions of the Yamabe equation
我们证明了节点解的Yamabe方程是常数沿水平集的等参函数的存在性结果。
Nodal sets of Dirichlet eigenfunctions in quasiconvex Lipschitz domains
本文将拟凸Lipschitz域类引入到椭圆算子边界唯一延拓的研究中，它同时涵盖了$C^1$和凸区域.特别地，我们证明了一般椭圆型方程在有界拟凸Lipschitz域上的Dirichlet特征函数的节点集大小的上界。我们的结果对于凸区域上的Laplace算子也是新的.
Doubling inequalities and nodal sets in periodic elliptic homogenization
证明了一类具有快速振荡周期系数的线性椭圆型方程的显式加倍不等式，并得到了弱解节点集的一致上界（在$(d-1)$维Hausdorff测度下）.利用收敛速度、一个“解析性”的三球不等式和一个频率函数的单调性公式，在不同的尺度上证明了显式依赖于倍化指数的倍化不等式.利用加倍不等式、调和函数逼近和迭代引数给出了节点集的上界。
Upper bounds of nodal sets for Gevrey regular parabolic equations
本文研究了Gevrey正则抛物方程节点集的上界，揭示了系数解析性与时间依赖关系对上界的影响。
Interior nodal sets of Steklov eigenfunctions on surfaces
本文研究了具有边界的连通紧致曲面上Steklov本征函数的内节点集$\mathcal{N}_λ$。Steklov本征函数的最佳消失阶为$Cλ$。奇异集$\mathcal{S}_λ$是节点集上的有限点。我们能够证明Hausdorff测度$H^0(\mathcal{S}_λ)\leq Cλ^2$ .此外，我们还得到了内节点集$H^1(\mathcal{N}_λ)\leq Cλ^{\frac{3}{2}}$的测度的一个上界。在这里，这些正常数$C$仅取决于表面。
Tangent nodal sets for random spherical harmonics
本文考虑$S^2$上的固定向量场$V$，并研究了$V$也相切的随机球谐函数节点集上点的分布.我们表明，相应的计数函数的期望值是渐近的特征值的首项系数是独立的向量场$V$。这以某种形式证明了向量场直到低阶项的普遍性。
Partial analyticity and nodal sets for nonlinear elliptic systems
我们研究了椭圆型方程组解的部分解析性和非线性椭圆型方程组解的水平集的解析性。我们考虑了几个应用，包括解析的流线有界的固定解决方案的2-D欧拉方程，和解析的水波和无表面张力。
Nodal sets of eigenfunctions of sub-Laplacians
本文首次研究紧流形上次拉普拉斯算子特征函数的节点集，揭示其各向异性行为，并给出反例说明其豪斯多夫测度不能被 Yau 猜想的 $\sqrtλ$ 所界定。
Nodal Sets for "Broken" Quasilinear PDEs
本文研究了具有非线性电导率部分的椭圆型拟线性方程解的节点集的局部性态，其中\begin{equation*} \operatorname{div}(A_s(x,u)\nabla u)=\operatorname{div}{\vec f}(x), \end{equation*}具有$s\geq 0$阶的“破缺”导数，如\begin{equation*} A_s(x,u) = a(x) + b(x)(u^+)^s, \end{equation*}，其中$(u^+)^0$被理解为$\{u>0\}$上的特征函数.假设矢量${\vec f}(x)$在$s=0$情况下为$C^α$，在$s>0$情况下为$C^{1,α}$（或更高）。使用几何方法，我们证明了几乎完整的结果（类比与标准偏微分方程）的节点集的行为。更确切地说，我们表明，节点集，解决方案有（线性）非退化，是局部光滑的图形。退化点的结构，遵循线的参数作为调和函数的节点集，和一般偏微分方程。
Geometry and interior nodal sets of Steklov eigenfunctions
研究了光滑流形中Steklov本征函数的几何性质。我们得到了精化的加倍估计和Bernstein不等式。对于实解析流形，我们能够得到内部节点集测度的精确上界。
Nodal sets of Laplace eigenfunctions under small perturbations
研究了紧致流形上拉普拉斯本征函数节点集在特定小扰动下的稳定性。我们证明，节点集是相当稳定的，如果说扰动是相对较小的，更正式地说，支持在一个亚波长尺度。我们不需要对节点集的拓扑作任何假设。作为一个间接的应用，我们能够表明，一定的“佩恩财产”有关的第二节线保持稳定的控制扰动下的域。
Hausdorff measure bound for the nodal sets of Neumann Laplace eigenfunctions
该研究针对带$\mathcal{C}^{1,1}$边界的有界域内的Neumann拉普拉斯特征函数，推导得出其节点集的$n-1$维Hausdorff测度满足$\mathcal{H}^{n-1}(\{u_\lambda=0\})\leq C\sqrt{\lambda}$的上界估计。
The sharp upper bound for the area of the nodal sets of Dirichlet Laplace eigenfunctions
设$Ω$是$\mathbb{R}^n$中具有$C^{1}$边界的有界区域，$u_λ$是$Ω$中具有特征值$λ$的Dirichlet Laplace特征函数.证明了$u_λ$的零集的$(n-1)$维Hausdorff测度不超过$C(Ω)\sqrtλ$ .这一结果对于具有$C^\infty$ -光滑边界的区域也是新的.
Lower bounds for interior nodal sets of Steklov eigenfunctions
研究了$n$维相对紧流形$M$中Steklov本征函数的内节点集$Z_λ$，证明了它的$(n-1)$维Hausdorff测度的大小存在下界$|Z_λ|\ge cλ^{\frac{2-n}2}$.证明是基于董型恒等式和Steklov特征函数的梯度估计，类似于那些在\cite{SZ1}和\cite{SZ2}，分别。
Nodal set comparison for Allen--Cahn solutions with conical asymptotics
本文研究了具有锥形渐近性的Allen-Cahn解的节点集比较，证明正相的包含决定了解的全局顺序，并展示了节点集的不相交性。
Nodal sets of Steklov eigenfunctions near the boundary: Inner radius estimates
我们表明，Steklov本征函数在有界Lipschitz域有波长密集的节点集附近的边界，相反，可以发生什么内部的域。作为逆，在二维Lipschitz域$Ω$中，我们证明了Steklov本征函数的任何节点域都包含一个以$\partialΩ$为中心，半径为$c_Ω/λ$的半球.
Lower bounds on nodal sets of eigenfunctions via the heat flow
研究了紧致无边界黎曼流形上Laplacian特征函数节点集的大小，并通过比较特征函数的热流与人工构造的扩散过程的热流，得到了当前最优的下界.同样的方法应该适用于许多其他问题;例如，我们证明了一个尖锐的结果，即节点域不能完全包含在“合理平坦”表面的一个小邻域中。我们期望新出现的概念与经典理论有更多的联系，并在这个方向上提出一些建议。
Spectral multiplicity and nodal sets for generic torus-invariant metrics
设环面$T$自由作用在至少为二维的闭流形$M$上。我们证明了，对于一个通用的$T$不变的黎曼度量$g$上的$M$，每个真正的$Δ_g$ -特征空间是一个不可约的实表示的$T$，因此，有维数最多为2。对于$M$上的一般$T$ -不变度量，如果$u$是一个非不变的实值$Δ_g$ -特征函数，且在某个$T$ -轨道上为零，则$u$的节点集是一个连通光滑超曲面，其补集恰好有两个连通分支.
Geometric structures in the nodal sets of eigenfunctions of the Dirac operator
我们证明了，在$n\geq3$维的圆球中，对于任意复杂拓扑的余维为2的光滑子流形$\mathfrak{S}:=\{Σ_1,...,Σ_N\}$（$N$是旋量丛的复维数），总存在Dirac算子的本征函数$ψ=(ψ_1,...,ψ_N)$，使得每个子流形$Σ_a$，模环境同态，是旋量分量$ψ_a$的结构稳定节点集.这个结果适用于旋量丛平凡化的任何选择。这些结构的出现发生在小尺度和足够高的能量。
Distribution of the nodal sets of eigenfunctions on analytic manifolds
紧黎曼流形上的Laplacian本征函数的节集具有余维数1和有限超曲面测度。本文研究了当流形上的度规是解析的时，特征函数节点集的分布。我们证明了，如果本征函数在小尺度上是等分布的，那么它们的节点集的超曲面体积形式的弱极限与流形上的体积形式是可比的。特别地，在具有解析度量的负弯曲流形和环面上，我们证明了在任何特征基中，存在特征函数的全密度子序列，使得其节点集的超曲面体积形式的弱极限与流形上的体积形式相当。
Nodal Sets for Broken Quasilinear Partial Differential Equations with Dini Coefficients
研究了一类破裂拟线性偏微分方程\begin{equation*} \mbox{div} (a_+ \nabla u^+ - a_- \nabla u^-) = \mbox{div} f, \end{equation*}弱解的节点集，其中$a_+$和$a_-$是一致椭圆的Dini连续系数矩阵，且满足强相关性，即$a_+$和$a_-$是某个标量函数的倍数.在这样的结构条件下，我们发展了一种迭代方法，使解在奇点处达到高阶逼近，这对于Hölder区域以下的标准椭圆型偏微分方程也是新的，并由此建立了一个奇异集的结构定理.我们还估计了节点集的Hausdorff测度，只要给定解的消失阶在其节点集上是有界的，通过一种方法，将经典的论点扩展到具有不连续梯度的某些解。此外，我们还证明了解的Lipschitz正则性及其节点集在正则点附近的连续可微性。
Interior pointwise regularity for elliptic and parabolic equations in divergence form and applications to nodal sets
本文利用紧性方法与扰动技术证明散度型椭圆和抛物方程弱解的最优内部逐点 $C^{k,\alpha}$ 正则性，并将其用于刻画解的节点集结构。
Measure upper bounds of nodal sets of solutions to Dirichlet problem of Schrödinger equations
本文研究了Schrödinger方程Dirichlet问题解节点集的测度上界估计，通过精细的分步迭代方法，得出了节点集的(n-1)维Hausdorff测度上界，并在V为解析函数时给出了具体表达式。
Lower bounds on the Hausdorff measure of nodal sets
设$\ncal_{ϕ_λ}$是光滑黎曼流形上本征值$λ^2$的$Δ$ -本征函数$ϕ_λ$的节点超曲面.我们证明了它的曲面测度的下界：$\hcal^{n-1}(\ncal_{ϕ_λ}) \geq C λ^{\frac74-\frac{3n}4} $。最佳先验下界似乎是$e^{- C λ}$。
Nodal sets for the groundstate of the Schroedinger operator with zero magnetic field in a non simply connected domain
研究了磁场为零的磁薛定谔算子在$\r^2$中作用于非单连通区域上的节点集。对于在该区域中每个孔周围的磁矢势的1/2的循环的情况下，我们获得了节点集的特征，并使用此来获得基态的多重性的界限。对于一个空穴和一个固定的电势的情况下，我们表明，第一本征值取其最高值的循环1/2。
Sets of unique continuation for heat equation
我们研究热传导方程解的节线。我们感兴趣的是节点集的整体几何，在整个定义域的解决方案。节点集的局部结构是一个很好理解的问题，而节点线的全局几何形状则不太清楚。我们给出了一个简单的组件的热方程的解的节点集的详细分析。
Level Spacings and Nodal Sets at Infinity for Radial Perturbations of the Harmonic Oscillator
本文研究了谐振子径向微扰的高频本征函数和准模的节集性质。特别是，我们认为节点集上的领域的大半径（在经典的禁止区域）的准模式的能量位于一个固定的能量$E$周围的间隔。对于精心选择的间隔，我们表明，这些节点集表现出定量不同的行为相比，未扰动的谐振子。这些能量区间的定义通过仔细分析的扰动算子的本征值间距，基于解析扰动理论和线性化公式的Laguerre多项式。
Restriction of toral eigenfunctions to hypersurfaces and nodal sets
本文给出了三维标准平坦环面上拉普拉斯算子的特征函数对曲率非零曲面的限制的L^2范数的一致上界和下界。我们还提出了几个相关的结果，本征函数的节点集。
Applications of small scale quantum ergodicity in nodal sets
本文的目的是引出小尺度量子遍历性在本征函数节集上的新应用。我们证明了，如果量子遍历性在半径为收缩半径$r(λ) \to 0$的球上成立，那么，根据$r(λ)$的一定幂，我们可以改进Lognov-Malinovova和Lognov-Malinovova关于节点集大小的上界.我们还证明了Donnelly-Festivalman和Dong的消失阶结果可以改进。由于通过Han和Zuari-Rivière的结果，小尺度QE在负曲率流形上以几何收缩率保持，因此我们得到了这种流形上的对数改进。对于遍历测地流的流形，我们也得到了$o(1)$改进。我们的结果适用于任何给定的本征函数的规范正交基的全密度子序列。
Nodal Sets of Steklov Eigenfunctions
研究了$\mathbb{R}^n$中光滑有界区域边界上Steklov本征函数的节点集--Dirichlet-to-Neumann映射的本征函数.在定义域$Ω$为$C^2$的假设下，证明了特征函数$u$的一个加倍性质.当$λ$增长到无穷大时，我们用特征值$λ$来估计$u|_{\partial Ω}$节点集的Hausdorff $\mathcal H^{n-2}$ -测度.在定义域$Ω$是解析的情况下，证明了多项式有界O（$λ^6$）.我们的论点，其中大量使用Almgren的频率函数，是建立在以前的作品[Garofalo和Lin，CPAM 40（1987），no.3; Lin，CPAM 42（1989），no.6]。
Lower Bound of Nodal Sets in Elliptic Homogenization and Functions with Strong Maximum Principle
本文尝试证明椭圆均匀化中节点体积的一致下界，并在二维情形得到常数下界，进而推广到满足强极大值原理的连续函数。
Nodal sets of thin curved layers
本文讨论了任意维欧几里得空间中Dirichlet Laplacian的特征函数在超曲面的细管状邻域中的节点集的位置。在邻域半径趋于零的极限中，已知拉普拉斯算子的谱性质可以通过超曲面上的有效薛定谔算子很好地近似，该超曲面具有仅用主曲率表示的势。利用椭圆型偏微分方程的技巧，加强了已有的扰动结果，得到了特征函数在Hölder空间中的收敛性.这使我们特别能够得出结论，每个节点集与管状邻域的边界有一个非空的交集。
Average $L^q$ growth and nodal sets of eigenfunctions of the Laplacian on surfaces
在最近的一篇论文中，我们展示了表面上拉普拉斯本征函数的平均局部增长与其节点集的大小之间的联系。在该文件中，平均本地增长计算使用均匀或$L^\infty$-生长指数的波长半径的磁盘。本文的目的是用$q \in (1, \infty)$证明更广泛的一类$L^q$增长指数的类似结果。更准确地说，我们表明，节点集的大小是有界的平均本地$L^q$增长与频率的产品以上和以下。我们简要地讨论了这个新结果与丘氏关于节点集大小猜想之间的关系。
Nodal sets of magnetic Schroedinger operators of Aharonov-Bohm type and energy minimizing partitions
本文考虑了在Aharonov-Bohm型半整数环磁场存在下平面上的定常Schroedinger算子。我们分析了一类解的节点区域，使得节点集由连接奇点与边界的规则弧组成。在一个磁极的情况下，这是自由移动的域，节线可以集群解剖域的三个部分。我们的主要结果表明，磁能是临界的（相对于磁极），当且仅当这样的配置发生。此外，节点区域形成域的最小3-分区（相对于与方程相关联的实能量），配置是唯一的，并且连续地依赖于数据。所进行的分析与[20]中引入的谱最小划分的概念有关。由于它涉及本征函数，我们同样表明，临界点的瑞利商对应于多个集群的节线。
Hausdorff measure of Vorticity Nodal Sets for the 3D Hyperviscous Navier Stokes Equations with General forces
本文对三维Navier-斯托克斯方程进行了改进，增加了一个l-Laplacian算子。给出了二维Hausdorff测度解的涡度水平集的上界。我们表示他们在Kolmogorov长度尺度和Landau-Lifschitz估计的湍流自由度的数量。在一定的假设下，我们也恢复了通常的三维Navier-斯托克斯方程的二维Hausdorff测度估计。此外，我们还证明了这些估计依赖于l，这一结果表明修正的Navier-Stokes系统是一个成功的湍流模型，节点集的大小为湍流理论的发展指明了方向。
High-energy eigenfunctions of the Laplacian on the torus and the sphere with nodal sets of complicated topology
设$Σ$是球面$\mathbb{S}^n$或平面环面$\mathbb{T}^n$，$n\geq 3$中的定向紧致超曲面.在环面的情况下，进一步假设$Σ$包含在$\mathbb{T}^n$的可收缩子集中。我们证明了对于任何足够大的奇数$N$，存在一个拉普拉斯算子在$\mathbb{S}^n$或$\mathbb{T}^n$上的本征函数$ψ$满足$Δψ=-λψ$（$λ=N(N+n-1)$或$N^2$分别在$\mathbb{S}^n$或$\mathbb{T}^n$上），并且$ψ$的节点集的连通分量由~ $Σ$给出，直到环境同构。
Measure Upper Bounds of Nodal Sets of Robin Eigenfunctions
本文在Robin边界条件下，得到了特征函数节点集的Hausdorff测度的上界，\begin{equation*} {\left\{\begin{array}{l} \triangle u+λu=0,\quad in\quad Ω,\\ u_ν+μu=0,\quad on\quad\partialΩ, \end{array} \right.} \end{equation*}其中结构域$Ω\subseteq\mathbb{R}^n$，$u_ν$是指$u$沿$\partialΩ$的外法线方向的衍生物。本文证明了，如果$Ω$是有界的解析的，且相应的特征值$λ$足够大，则特征函数节点集的测度上界是$C\sqrtλ$，其中$C$是一个只依赖于$n$和$Ω$而不依赖于$μ$的正常数。我们还证明了，如果$\partialΩ$是$C^{\infty}$光滑的，而$\partialΩ\setminusΓ$是分段解析的，其中$Γ\subseteq\partialΩ$是$\partialΩ$，$μ>0$，和$λ$的一些$n-2$维子流形的并，如果$u$足够大，则对于某个正数$α$，$u$的节点集的相应测度上界是$C(\sqrtλ+μ^α+μ^{-cα})$，其中，$c$是仅取决于$n$的正常数，$C$是取决于$n$、$Ω$、$Γ$和$α$的正常数。
Nodal sets of Laplace eigenfunctions: polynomial upper estimates of the Hausdorff measure
设$\mathbb{M}$是维数为$n$，$n\geq 3$的紧致$C^\infty$ -光滑黎曼流形，$φ_λ: Δ_M φ_λ+ λφ_λ= 0$表示$\mathbb{M}$上对应于特征值$λ$的拉普拉斯特征函数.我们表明，$$H^{n-1}(\{ φ_λ=0\}) \leq C λ^α,$$，其中$α>1/2$是一个常数，它只依赖于$n$，和$C>0$依赖于$\mathbb{M}$。这个结果是我们研究$C^\infty$ -光滑黎曼流形上调和函数零点集的结果。我们开发了一种技术的椭圆型偏微分方程的解决方案，使我们能够获得本地边界从上面的体积的节点集的频率和倍增指数的传播小。
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